Funcoes de varias variaveis calculo 2

  • 32,743 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
32,743
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
556
Comments
0
Likes
4

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Notas de aula --- Parte II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEISEscritas pelo Professor Wilson CanesinUtilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da UniversidadeBraz Cubas
  • 2. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade,depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usualrepresentar estas relações como funções de várias variáveis. Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada deprodução (P), depende do número de homens-hora (L) e do númerode máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. Arepresentação funcional dessa relação é P = f( L, K) O mesmo conceito se estende para qualquer número devariáveis.1.2 – Funções de duas variáveis Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, umúnico número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínioda função. zAssim, f(x,y)D é o domínio da função em R2 ,f é a funçãof(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). y x z (x,y) DExemplos de valores de função de 2 variáveis:Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32Domínio das funções de duas variáveis O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domíniode funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , talque os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem emvalores finitos e reais para f(x,y).Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = y − xA condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seudomínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 18
  • 3. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva x2Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita 2x − yquando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, taisque, z D D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }. y x z D x2Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita 3x − yquando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que, D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }.1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é noplano x,y e y=f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Umafunção de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3. X Y Z A superfície é obtida 0 0 para cada par x,y , 0 1 fixando um valor de 0 2 x e variando y, em 0 3 1 0 seguida fixa um 2o 1 1 valor de x e varia y , 1 2 depois fixa um 3o x e 1 3 Y varia y ,etc., até 2 0 variar x e y em todo 2 1 o domínio. 2 2 X 2 3 3 0 3 1 ... ...Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 19
  • 4. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Exemplos de funções de 2 variáveis: Z Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5 5 A superfície é um plano infinito, paralelo Y a x,y e passando por z=5 X Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer : Z a) x =0 e y =0 → z = 6 b) x =0 e z = 0 → y = 2 (0,0,6) c) y =0 e z = 0 → x = 3 Portanto, o gráfico de f no X plano é ⇒ (0,2,0) (3,0,0) Y Ex. 4 - A função éEx.3 – A função é z = f(x,y) = x2 + y2 z = f(x,y) = 1 − x − y 2 2 Z A superfície é Z um parabolóide A superfície gerada de revolução. é uma semi-esfera de centro na origem. Y Y X X Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 20
  • 5. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor(x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por lim f ( x, y ) = L ( x, y ) → ( x 0 , y 0 )Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário afunção será descontínua no ponto. O mesmo é válido para umintervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limiteexiste em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificara continuidade das funções, por simples inspeção da mesma. Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nasrestrições.Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,yEx.2 f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6, contínua ∀ x , y x2 + y2Ex.3 f(x,y) = é contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x x y −1 y D X x+ yEx. 4 f(x,y) = é contínua se ∀x≠ y x− y y y=x D XUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 21
  • 6. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0ou y > x y y>x xEx.6 f(x,y) = 1 − x 2 − y 2 é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1 y O domínio é uma circunferência de D centro na origem x e de raio r ≤ 1Ex.7 f(x,y) = y − 1 / x a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/xQue resulta no gráfico: y xUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 22
  • 7. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é amesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui éque , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixaenquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) ,sua derivada em relação a x é ∆f = f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) incremento da função ∆f f ( x + ∆x, y ) − f ( x , y ) = taxa de variação da função ∆x ∆x lim ∆f ∂ f ∆x→0 = = f x ( x, y ) Derivada parcial em x ∆x ∂ x Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é l i m ∆f ∂ f = = f y ( x, y ) Derivada parcial em y ∆y → 0 ∆x ∂y1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação dareta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) deduas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da retatangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralelaao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com xconstante. z Assim, tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x y0 y tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y x0 βx αUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 23
  • 8. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais) Número Função f = f(x,y) Derivada fs = ∂f/∂s , s = x,y 1 f=k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.) 2 f= x ou f=y fs = 1 s = x ou y 3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y) 4 f = n um m us Ds n u m = n um nu 5 f = ln u us Ds ln u = u 6 f = lga u us Ds lga u = u ln a 7 f = au Ds au = au lna us 8 f = eu D s e u = eu u s 9 f =uv fs = v us + u vs 2 10 f=u/v , us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v 11 f = senu fs = cosu .us 12 f = cosu fs = -senu .us 13 f = tanu fs = sec2u .us 14 f = secu fs = secu.tanu.us 15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us 16 f = cotu fs = -cotu.cscu.usUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 24
  • 9. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais A derivada parcial em relação a "x" , considera y comoconstante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y"considera x como constante.fx = ∂ f / ∂ x → y=constantefy = ∂ f / ∂ y → x=constanteEx.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2 fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3yEx.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2yEx.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 )f=u/v , u =x e v = x 2 + y2 fs = [ v us – u vs ]/v2fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção dasuperfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante. ∂z ∂ ∂ = (4 x 2 y ) − (x y3 ) = 8 x y − y 3 ∂x ∂x ∂xmas no ponto x=3 e y=2 , tem-se ∂ f (3,2) = 40 ⇒ α = tan (40) = 88,57° -1 tanα = ∂xEx. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfíciez = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 25
  • 10. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva ∂ f = 3x2 + 2y ∂x ∂ f (1,1) = 5 ⇒ α = tan (5) = 78,69° -1tanα = ∂xEx. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx∂ f ∂ (u.v) ∂u ∂v = = .v + u. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx∂ x ∂x ∂x ∂x∂ f ∂ (u.v) ∂u ∂v = = .v + u. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx∂ y ∂y ∂y ∂y1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis A condição para que uma função seja diferenciável é que suasderivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , suadiferencial total é : ∂ f ∂ f dz= dx + dy ∂x ∂yEx.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1 ∂ f ∂ f = 9x2y2 – 2y3 +y e = 6x3y – 6xy2 + x ∂x ∂yassim, a diferencial da função é df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dyA função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciaisforem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de nvariáveis é: ∂F ∂F ∂F n ∂F dF = ∂x1 dx1 + ∂x 2 dx2 +......+ ∂x n dx n = ∑ ∂x i =1 dxi iEx.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2yUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 26
  • 11. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz1.8 – Derivada de funções compostas Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . Aderivada desta função em relação a “t” é d f ∂ f d x ∂ f d y = + dt ∂x dt ∂y dtEx.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 ,onde x(t) = et e y(t) = t3 . a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5 E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2 b) Calcula-se pelas derivadas parciais ∂ f ∂ f d x t d y 2 = 2x ; =3; =e ; = 3t ∂x ∂y dt dt Assim dF = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2 dtSe a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” édada pela regra da cadeia df n ∂ f d xi ∂ f d x1 ∂ f d x 2 ∂ f d xn =∑ = + + ... + dt i =1 ∂ x d t ∂ x1 d t ∂ x 2 d t ∂ xn d tEx.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2td f = 2. cos t + 3.e t − 4tdtUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 27
  • 12. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaExercícios propostos: achar as derivadas df/dt 1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1 3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t31.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis Uma função está na forma implícita, quando não está resolvidapara uma variável específica. As funções resolvidas para uma variávelsão chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na formaimplícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc. A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação ax é ∂f dx ∂f dy ∂f ∂f dy + =0 → + =0 ∂x dx ∂y dx ∂x ∂y dx ∂ f ou, dy ∂ x f = − = − x dx ∂ f f y ∂ yEx.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente afórmula acima, ∂f = − ∂x = − dy 4x dx ∂f 15 y 2 ∂yEx.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0 ∂f = − ∂x = dy 6y dx ∂f 8 y − 6x ∂y Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) ediferenciando, e após algumas considerações teremosUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 28
  • 13. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva ∂z ∂ f ∂x f ∂z ∂ f ∂y fy =− =− x e =− =− ∂x ∂ f ∂z fz ∂y ∂ f ∂z fzEx.3 - Achar as derivadas ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , da função x2+y3- z=0.Solução;∂z ∂ f ∂ x − 2x =− = = 2x∂x ∂ f ∂z −1∂z ∂ f ∂ y − 3x 2 =− = = 3y2∂y ∂ f ∂z −1Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar ∂ z ∂ x e∂ z ∂ y , nas expressões abaixo1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 02) x2 + xy2 + xyz3 –3 =01.10 – Derivadas parciais de segunda ordem Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadasparciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadasmais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem,que são representadas por ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f f xx = , f xy = , f yx = , f yy = ∂ x2 ∂ x ∂y ∂ y ∂x ∂ y ∂xQuando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadascruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx .Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy fx =∂f /∂x = 8x – 6y e fy = ∂f /∂y = 6y – 6xUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 29
  • 14. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva ∂2 f ∂2 f f xx = =8 ; ; f yx = = -6 ∂ x2 ∂ y ∂x ∂2 f ∂2 f f xy = = -6 ; f yy = = -6 ∂ x ∂y ∂ y ∂xEX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5yfx =∂f /∂x = 2e2x+5y fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y ∂2 f ∂2 f f xx = = 4e2x+5y ; f yx = = 10e2x+5y ∂x 2 ∂ y ∂x ∂2 f ∂2 f f xy = = 10e2x+5y ; f yy = = 25e2x+5y ∂ x ∂y ∂ y ∂x Note que fxy = fyxEX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2) 2x 2y Ufx =∂f /∂x = ; fy = ∂f /∂y = = x + y2 2 x +y 2 2 V ∂2 f V . U x − U . Vx 2( y 2 − x 2 ) ∂2 f − 4 xy f xx = = = ; f yx = = 2 2 2 ∂x 2 V2 (x2 + y 2 )2 ∂ y ∂x (x + y ) ∂2 f V . U y − U . Vy − 4 xy ∂2 f 2( x 2 − y 2 ) f xy = = = 2 2 2 ; f yy = = ∂ x ∂y V 2 (x + y ) ∂ y ∂x (x2 + y 2 )2Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 30
  • 15. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias VariáveisAs derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveise são representadas da mesma forma.Exemplos: 1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx 2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 ) 2 3 fx = ; fy = 2x + 3y − z 2 + t 2 2x + 3 y − z 2 + t 2 − 2z 2t fz = ; ft = 2x + 3y − z 2 + t 2 2x + 3y − z 2 + t 2Exercícios propostos - Derivar as funções: 1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz x+ y 3) f(x,y,z) = x−z 4) f(x,y,z) = xyz 5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt 7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)1.12 – Derivadas de Ordem SuperiorSeja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas deordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas.fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.Ex.1 – f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy = 8y ; fxz = 0fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 zUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 31
  • 16. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função : f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us ∂ −1fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx = -2 ( x ) = -1.x = -1/x 2 ∂xfxy = 0 ; fxz = 0 ∂fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = -2 (2 y −1 ) = -2y = -2 / y 2 ∂y ∂fyz = (2 y −1 ) = 0 ∂zfz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas)1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3 fyx=2 ; fyy=0 ; fyz=4 fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0 x+ y2) f(x,y,z) = ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2 y−zfxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)33) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z);fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z); fzz= 18(x+2y+3z) .4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 32
  • 17. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silvafzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ;fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 .5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2;fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2;fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)26) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ;fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2)fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2)fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ;fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2) x 2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z37) f(x,y,z) = e ; fx=2x e ; fy=2y e ; fz=3z2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3fxx=2 e +4x2 e ; fxy=4xy e ; fxz=6xz2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3fyx=fxy ; fyy=2 e + 4y2 e ; fyz= 6yz2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z e +9z4 eUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 33
  • 18. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é ada otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrarseu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de umavariável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontosextremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tiposão esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessianocalculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir. f xx f xy H(x0,y0 ) = f f yy yx ( x0 , y 0 )Assim ,Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, ea) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo.b) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo.c) H(x0,y0 )<0 então (x0,y0) é um ponto de sela.d) H(x0,y0 )= 0 o teste é inconclusivo. Q Os pontos P e Q são pontos P de máximo, porque qualquer S deslocamento em sua vizinhança, F(x,y) irá descer. T O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce. LUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 34
  • 19. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cmde largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidademáxima. x senθ y cosθ x x θ 12-2xA área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos doistriângulos.A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x) (a) f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθEstudar os extremos (máximos e mínimos) da função.fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0 sen2θ = 2senθcosθ =2 cos2θ - 1 2xcosθ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/x cos2θ =cos2θ - sen2θ = 2cos2θ -1fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0 = x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2 cosθ = ½ → θ = 60oO resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas,também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certezapodemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acimadestes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 35
  • 20. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 0 1 2 193 4 6 3.336 194 4 12 6.58 195 4 18 9.647 196 4 24 12.453 197 4 30 14.928 20 198 4 36 17.013 199 4 42 18.662 15 XYZ = 10 0 200 4 48 19.846 máximo 5 5 201 4 54 20.553 10 0 0 15 202 4 60 20.785 5 25 10 50 15 20 75 20 100 203 4 66 20.562 204 4 72 19.919 X , Y, Z 205 4 78 18.904 Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 ) 206 4 84 17.576 207 4 90 16Ex.2 – Achar os extremos da funçãof(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5].Calculando as primeiras derivadas , tem-se:fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula)então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 =0 , que resulta x = 10 e y =10 .Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se assegundas derivadas.fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se:fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 36
  • 21. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaSubstituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai darzero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso éconfirmado pelo gráfico tridimensional da função. Note que nos pontos x =10 e y =10, a função tem um de seus mínimos. 0.5 0 0 0.5 5 10 15 0 5 10 15 M Gráfico 3D da função senoEx.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores doexemplo 2, para uma exponencial. e −0,0225( x + y )+0 , 45( x + y )+ 4 , 5 2 2 f(x,y) = = ef(x,y) e0,0225( x + y )−0 , 45( x+ y )+ 4 , 5 2 2fx = [-0,045 x + 0,45] . e0,0225( x + y )−0 , 45 ( x+ y )+ 4 , 5 2 2fy = [-0,045 y + 0,45] .fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)No ponto x=y=10, tem-se:fxx + fyy < 0que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode serverificado no gráfico da função.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 37
  • 22. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1 0.8 0.6 0.4 0 0.2 10 0 20 10 20 M Gráfico 3D da função exponencialEx.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano édada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nospontos mais quentes e mais frios da região.fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80yOs pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 . f xx f xy 32 0 H(x0,y0 ) = f = yx f yy ( x0 , y 0 ) 0 80 ( −3 / 4, 0) > 0 H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo. O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outroponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conformemostra o gráfico da superfície.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 38
  • 23. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 0 1 2 8 -1 1.2 49.6 9 -1 1.6 94.4 10 -1 2 152 11 -0.8 -2 151.04 12 -0.8 -1.6 93.44 13 -0.8 -1.2 48.64 100 14 -0.8 -0.8 16.64 mínimo XYZ = 15 -0.8 -0.4 -2.56 0 20 0 16 -0.8 0 -8.96 15 5 10 10 17 -0.8 0.4 -2.56 5 15 0 20 18 -0.8 0.8 16.64 Escala em y =y-10 Escala em x = x-10 19 -0.8 1.2 48.64 X , Y, Z 20 -0.8 1.6 93.44 Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0) 21 -0.8 2 151.04 22 -0.6 -2 151.36Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x .Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema:fx = 2x –2 = 0 , ou x=1fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0)Por outro lado,fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2 f xx f xy 2 0H(1,0) = = = 4 >0 f yx f yy 0 2fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y).1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um pontoP0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quandof(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinhode P0(x10,x20,...xn0).Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 39
  • 24. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo localde f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn)vizinho de P0(x10,x20,...xn0). O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações: fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto) O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo oude mínimo, para o caso de n variáveis é dado por: f x1x1 ( P0 ) f x1 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) H(P0) = .... .... .... .... f xn x1 ( P0 ) f xn x1 ( P0 ) .... f xn xn ( P0 )Além disso é necessário calcular os n determinantes ∆0 =1 ∆1 = f x x ( P0 ) 1 1 f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) ∆2 = f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) f x1x3 ( P0 ) ∆3 = f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) f x2 xx3 ( P0 ) f x3 x1 ( P0 ) f x3 x2 ( P0 ) f x3 x3 ( P0 ) .................................................................. f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) ∆n = .... .... .... .... f xn x1 ( P0 ) f xn x1 ( P0 ) .... f xn xn ( P0 )Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 40
  • 25. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEntão, se: a) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de mínimo de f . b) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é um ponto de máximo de f.Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 everificar se são de máximos ou de mínimos. fx = 2x = 0 →x =0 fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico fz = 2z =0 → z =0 fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0 fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2 2 0 0H(0,0,0) = 0 2 0 = 8 0 0 2 2 0 0 2 0∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = =4; ∆3 = 0 2 0 =8 0 2 0 0 2todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f.Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 . Os pontos críticos da função são:fx = -2x = 0 →x =0fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto críticofz = -2z=2 =0 → z =1fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0fUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em zx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2 Tecnologia em Ciências Aeronáutica 41
  • 26. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva −2 0 0H(0,2,1) = 0 −2 0 =-8 0 0 −2 −2 0 0 −2 0∆0=1 ; ∆1= − 2 = -2 ; ∆2 = =4; ∆3 = 0 −2 0 =-8 0 −2 0 0 −2Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um pontode máximo da função f.Ex.3 – Estudar os extremos da função: f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 – 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2 fx = x2 – 6x +8 = 0 → x1=4 e x2 =2 fy = 2y – 20y + 42 = 0 → y1=7 e y2=3 2 fxx =2x-6 , fxy =0 , fyx = 0 , fyy = 4y - 20 . → existem pontos que podem ser críticos, ou seja P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3) 2x − 6 0O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) = 0 4 y − 20 2 0 2 0H(4,7) = >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = =4; 0 8 0 8O ponto é de mínimo. 2 0H(4,3) = <0 (sela) 0 −8 −2 0H(2,7) = < 0 (sela) 0 8 −2 0 −2 0H(2,3) = >0 e ∆0=1 ; ∆1= − 2 = -2 ; ∆2 = = 16 0 −8 0 −8Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 42
  • 27. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaO ponto é de máximo.Exercícios propostos:1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1 Resp. P1(0,0) é mínimo e P4(4,6) é máximo e P2(0,6) e P3(4,0) são selas.2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2) Resp. P1(π/2,0) é máximo.3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1 Resp. P1(5,-3) é mínimo.4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1 Resp. P1(2,4) e P2(2,2) são de máximo.Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 43
  • 28. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.15 – Operadores especiais da física1.15.1 - Gradiente Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), erepresenta-se por grad f ou ∇f, a expressão: ∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ grad f = ∇f = i + j + k ∂x ∂y ∂zO gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários.1.15.2 - Divergência r Denomina-se divergência de um vetor V = V x iˆ + V y ˆ + V z k j ˆ , erepresenta-se por div V ou ∇. V , a expressão ∂ Vx ∂ V y ∂ Vz div V = ∇. V = + + ∂x ∂y ∂zUma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento deum fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pelavelocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade devolume num ponto do fluido.1.15.3 - Rotacional O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V édefinido por ⎡ iˆ ˆ j k ⎤ ˆ ⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥ rot V = ∇×V = ⎢ ⎥ ⎢∂ x ∂y ∂ z⎥ ⎢ Vx ⎣ Vy Vz ⎥ ⎦ ⎛ ∂ Vz ∂ V y ⎞ ˆ ⎛ ∂ Vx ∂ Vz ⎞ ˆ ⎛ ∂ V y ∂ Vx ⎞ˆ =⎜ ⎜ − ⎟i +⎜ ⎟ ⎜ ∂z − ∂x ⎟ j +⎜ ⎟ ⎜ ∂x − ∂y ⎟k ⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação(Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma Ω = (1/2). rot (ρ v)Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 44
  • 29. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.16 – Integrais múltiplas As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, oupodem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integraissimples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas deintegração simples: u n +1 ∫ csu du = ln ⎢cscu - cotu⎢ + C ∫ n u dx = +C , onde u =f(x) e n +1 n≠ 1 ∫ cotu du = ln ⎢senu ⎢ + C du ∫u = ln u + C ∫ sec u du 2 = tanu + C ∫ eudu = eu + C ∫ csc u du 2 = - cotu + C ∫ audu = au / lna + C ∫ secu tanu du = secu + C ∫ cosu du = senu + C ∫ cscu cotu du = -cscu + C ∫ senu du = -cosu + C ∫ sen 2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C ∫ tanu du = -ln|cosu ⎢ + C ∫ cos 2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C∫ secu du = ln ⎢secu + tanu ⎢ + C A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular aárea de uma figura plana. y A área infinitesimal dA = dx. dy f(x) é obtida integrando de x1 até x2 dA x2 ∫ [y ] x2 f ( x) A= ∫ ∫ dx.dy = f ( x) 0 dx dy x1 0 x1 dx x2 A = ∫ f ( x )dx x1 x1 x2 xUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 45
  • 30. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.1 Achar a área sob a função y= -2x2 + 18 , de x=0 até x=3. − 2x3 [ ]3 x2 f ( x) x2A = ∫x ∫ dx.dy = ∫ f ( x )dx = 3 1 0 x1 ∫0 ( −2 x 2 + 18) dx = 3 + 18 x 0A = - 18 + 54 = 46 (unid2)Outros exemplos de integrais são: x2Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida) ∫ ∫ xydxdy xSolução: x2 x2 ⎡ x4 x2 ⎤∫∫ xydxdy = x.⎡ y ⎤ dx = ∫ x.⎢ 2 − 2 ⎥dx = 2 x6 x4 x ∫ ⎢2⎥ ⎣ ⎦x ⎣ ⎦ − 12 8 +c xEx.3 Calcular a integral múltipla mista ∫ ∫ sen( x + y)dxdy o x∫ ∫ sen( x + y)dxdy = ∫ [− cos( x + y )]0 dx = - ∫ [cos( 2 x) − cos x]dx = x o 1= − sen( 2 x) + sen x + c 2As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais devolume de sólidos, conforme mostra a figura z O volume do sólido pode ser calculado por uma integral tripla, do tipo: a b c dz V = ∫ ∫ ∫ dxdydz y 0 0 0 dx dy xUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 46
  • 31. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva1.16.1- Volume de sólidos de revolução Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana emtorno de uma reta fixa. Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se: r = f(x) y y = f(x) dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx b V = π ∫ [ f ( x)]2 dx a a b x Figura plana girando em x Cálculo do elemento de volumeEx1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólidogerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo[1,2]. (2,8) y (2,8) (1,1) r y = x3 x (1,1) R 1 2 x 2 2 2 x7 2 127 V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ x 3 ]2 dx =π ∫ x 6 dx =π = π (unid) 3 1 1 1 7 1 7Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = a 2 − x 2 em [-a, a]Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 47
  • 32. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva y y= a2 − x2 = r -a a x Semi-círculo em rotação Sólido (esfera) gerado pela rotação do semi-círculo a a 2 ⎡ x3 ⎤ a V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ]2 dx =π ∫ [a 2 − x 2 ]dx =π⎢a 2 x − ⎥ −a −a 1 ⎢ ⎣ 3 ⎥−a ⎦ ⎧⎡ ⎪ a 3 ⎤ ⎡ 3 a 3 ⎤⎫ ⎪ ⎧ 3 a3 ⎪ a3 ⎫ ⎪ ⎧ 3 2a 3 ⎪ ⎫ ⎪= π ⎨ ⎢a 3 − ⎥ − ⎢− a + ⎥ ⎬ = π ⎨ a − + a3 − ⎬ = π ⎨ 2a − ⎬ ⎪⎢ ⎩⎣ 3⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 3 ⎥⎪ ⎦⎭ ⎪ ⎩ 3 3 ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ 3 ⎪ ⎭= 2πa3 ⎧1 − ⎫ = πa3 1 4 ⎨ ⎬ que é o volume da esfera gerada. ⎩ 3⎭ 3Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em tornodo eixo de y, no intervalo [0,4]. y y 4 y = x2 x= y 0 x x Sólido gerado pela parábola Seção plana parábola de revolução girando em y b b 4 4 πy 2 4V = π ∫ r 2 dy = π ∫ [g( y)]2 dy = π ∫ [ y ]2 dy = π ∫ ydy = = 8π = 25,13 unid3. a a 0 0 2 0Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 48
  • 33. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da SilvaEXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule asua divergência.Resp. div V = 6x2 + 3xz23) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 kResp. rot V = 5z2 i + 2y k x4) Calcular a integral ∫ ∫ ( x + y)dxdy 0 Resp. x3 / 2 = C a b5) ∫ ∫ xydxdy 0 0 Resp. a2b2 / 46) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana,transformando integral dupla em integral simples. As expressões em x2 f ( x ) x2 f ( x )integral dupla são: xc = (1/A) ∫ ∫ x dxdy x1 g ( x ) e yc = (1/A) ∫ ∫ y dxdy x1 g ( x ) x2 x2Resp. xc =(1/A). ∫ [ f ( x) − g ( x)]x.dx e yc =(1/2A). ∫ [ f 2 ( x) − g 2 ( x)]dx x1 x17) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de0,5 até 3 3 3 1 2Resp . V = π ∫ [ f ( x)] dx = π ∫ [ 2 ] dx = 8,34 unid 3 0,5 0,5 xUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 49