Armonicos

Apńdice A
e

An´lisis de la cuerda vibrante
a

El an´lisis que se realiza en este anexo sigue la formulaciones convencio-
a
nales de la mecńica cl´sica y como tal puede encontrarse de forma parecida
a a
en multitud de libros de texto. Nuestro inter´s es estudiar los movimientos
e
que desplegar´ una cuerda te´rica, que estuviese anclada en sus dos extre-
ıa o
mos a puntos fijos y que fuera desplazada de su situaciń de equilibrio por
o
un agente externo.
Fijemos, por lo tanto, nuestra atenciń (c.f. Figura ??), en una cuerda
o
de longitud L, anclada en sus dos extremos a dos puntos fijos. Llamemos
y = y(x, t) a la funciń que expresa el desplazamiento lateral de la cuerda en
o
un punto x, en un instante t, (cumplińdose siempre que 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0).
e
Cuando se produce una perturbaciń de la cuerda de su situaciń de
o o
equilibrio, por ejemplo, mediante un desplazamiento lateral de la misma en
un punto (es el caso, por ejemplo, que se produce cuando se pulsa la cuerda de
una guitarra) o, mediante percusiń instantńea (situaciń que se da cuando
o a o
se impacta la cuerda de un piano con el martillo correspondiente una tecla)
podemos analizar el movimiento inducido en la cuerda.
El desarrollo que sigue a continuaciń hace uso de la segunda ley de New-
o
ton, expresada en su forma m´s conocida: f uerza = masa x aceleracion.
a
Tambiń resulta posible realizar el an´lisis, y tal vez resulte algo m´s elegan-
e a a
te, en base al principio de conservaciń de la energ´ es decir al principio de
o ıa,
que la energ´ aportada a la cuerda inicialmente (bien en forma de un des-
ıa
plazamiento de su posiciń de equilibrio, bien en forma de velocidad inicial)
o
no se pierde sino que se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento
(en el caso ideal de que se desprecien las fuerzas diversos fen´menos disipa-
o
tivos). Ambas aproximaciones responden a los mismos principios b´sicos de
a
la mencńica te´rica y el resultado es idńtico sea cual sea el camino elegido.
a o e
Bajo la hip´tesis de el desplazamiento de la cuerda de su posiciń de
o o
equilibro es muy pequeõ en comparaciń con su longitud, podemos ignorar
n o

1

´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 2

los movimientos longitudinales de un segmento pequeõ (infinitesimal, como
n
suele decirse) de cuerda como el de la figura (c.f. Figura ??) y concentrarnos
exclusivamente en el movimiento transversal.
Haciendo la aproximaciń habitual de que dy
o ds
dy
dx
cuando el ńgulo
a
tendido por el segmento de cuerda sobre la horizontal es muy pequeõ y n
que la variaciń de la tensiń en horizontal es, tambiń, muy pequeã en
o o e n
comparaciń con el valor inicial de la tensiń T , tenemos que la fuerza neta
o o
ascendente sobre el segmento de cuerda es

∂y ∂y ∂ ∂y ∂2y
−T +T + (T )dx = T 2 dx (A.1)
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
y, esta fuerza debe ser igual a la masa del segmento (que puede expresarse
como la densidad lineal ρ por la longitud l) por la aceleraciń lateral, es decir
o

∂2y ∂2y T ∂2y ∂2y
T 2
dx = ρ 2 dx y haciendo c2 = ⇒ c2 = 2 (A.2)
∂x ∂t ρ ∂x2 ∂t
Esta es la ecuaciń que represnta la vibraciń transversal de una cuerda
o o
tensionada en las condiciones ideales mencionadas.
Afortunadamente resulta bastante fćil resolver esta ecuaciń, pudiendo
a o
emplearse diversos m´todos matem´ticos. En cualquier caso, el problema,
e a
esta, lo que los matem´ticos llaman ’bien determinado’, si a la ecuaciń
a o
anterior se le aãden las condiciones iniciales y las condiciones de contorno,
n
es decir: la condiciń de que los extremos de la cuerda estń siempre en
o a
reposo, y la condiciones iniciales, que indican la posiciń y velocidad inicial
o
de la cuerda antes de dejarla libre donde L es la longitud de la cuerda:

∂
y(0, t) = y(L, t) = 0, y(x, 0) = y0 (x), (x, 0) = y0 (x)
˙ (A.3)
∂t
Una forma frecuente de resolver la ecuaciń ?? es emplear el denominado
o
procedimiento de separaciń de variables, es decir en buscar soluciones del
o
tipo y(x, t) = X(x)T (t), lo que da lugar a:

∂2X ∂2T 1 ∂2X 1 ∂2T
c2 T (t) = X(x) 2 ⇒ c2 = (A.4)
∂x2 ∂x X(x) ∂x2 T (t) ∂t2
Como el lado izquierdo de la ecuaciń solamente puede ser una variable de
o
x y el lado derecho de t, la unica opciń para que dicha ecuaciń se cumpla
´ o o
es que ambos t´rminos sean igual a una constante que, por conveniencia,
e
suele denominarse −ω 2 . De esta forma la ecuaciń diferencial original (en
o

´ ´

derivadas parciales de x y t) puede desglosarse en las siguientes ecuaciones
diferenciales simples

d2 X(x) ω 2 d2 T (t)
+ 2 X(x) = 0, + ω 2 T (t) = 0 (A.5)
dx2 c dt2
No deber sorprender la aparente manipulaciń que este m´todo de resolu-
o e
ciń conlleva. La ecuaciń fundamental de la vibraciń de la cuerda junto con
o o o
sus condiciones iniciales y de contorno, son, ya se ha seãlado, lo que en ma-
n
tem´ticas se llama un problema bien determinado y esto significa que existe
a
una soluciń y s´lo una que cumpla dichas condiciones. Cualquier m´todo
o o e
que nos lleve a encontrar dicha soluciń nos debe dejar tranquilos de que
o
estamos ante la soluciń ’real’ de la ecuaciń en cuestiń.
o o o
Es fćil comprobar que la soluciń general de las dos ecuaciones anteriores
a o
es de la forma

ω ω
X(x) = A sin( x) + B cos( x) T (t) = C sin(ωt) + D cos(ωt) (A.6)
c c
Donde A, B, C y D son constantes a determinar que nos permitirń ase-
a
gurar el cumplimiento de la condiciones iniciales y de contorno. En particular,
como X(0)T (t) = X(L)T (t) = 0 para todo instante t, tenemos que B = 0 y
que cualquier A cumple la condiciń si se satisface el requisito ω L = nπ, don-
o c
de n es cualquier n´mero entero. Es decir la soluciń general de la ecuaciń
u o o
de la cuerda es:
∞
nπ nπc nπc
y(x, t) = sin( x) · [Cn sin( t) + Dn cos( t)] (A.7)
i=1
L L L
Y Cn , Dn ser´ series de coeficientes a determinar en funciń de las
ıan o
condiciones iniciales a lo largo de la cuerda
En el caso de que la cuerda se pulse mediante un desplazamiento en
un punto de su extensiń, o se golpee en un punto para luego ser libremente
o
abandonada a su vibraciń tenemos que habrń de cumplirse dos condiciones
o a
iniciales, una referida a la forma inicial de la cuerda y la otra a su velocidad
inicial.
Es decir, si llamamos f0 (x) a la funciń que describe la forma inicial de
o
la cuerda y v0 (x)a la funciń describe la velocidad inicial de la cuerda a lo
o

´ ´

largo de su extensiń, se tendr´ que para t = 0:
o ıa

∞
nπ
f0 (x) = y(x, 0) = Dn sin( x)
n=1
L
∞ (A.8)
nπc nπ
v0 (x) = y(x, 0) =
˙ Cn cos( x)
n=1
L L
De donde puede deducirse el valor de los coeficientes Cn y Dn . En las
secciones siguientes, veremos dos ejemplos ilustrativos(, que se parecen -de
manera simplificada- a las situaciones que podemos encontrar en los casos de
guitarra y el piano.).
Sin embargo, es posible deducir un buen n´mero de propiedad intere-
u
santes de la ecuaciń ?? incluso antes de aplicar ninguna de las condiciones
o
iniciales. Y, resulta util hacerlo as´ puesto que dicha ecuaciń expresa de for-
´ ı o
ma bastante general (s´lo se ha llegado a ella imponiendo la condiciń de los
o o
extremos fijos) como vibra la cuerda de forma natural, independientemente
de como se excite su movimiento inicial. ¿Qu´ podemos deducir de ecuaciń?.
e o
Entre otras cosas, por ejemplo las siguientes:
El movimiento de la cuerda es la suma de un n´mero infinito, en prin-
u
cipio, de movimientos que pueden interpretarse como independientes,
que suelen llamarse en f´ ısica ’modos’ de vibraciń. Cada uno de es-
o
tos ’modos’ de vibraciń conlleva una una forma unica de moverse la
o ´
cuerda, y su expresiń normalizada (es decir reduciendo su amplitud
o
m´xima a 1 es cada uno de los t´rminos de la expresiń sin( nπ x). La
a e o L
figura ??) muestra el aspecto de cada uno de estos modos. Como puede
verse se trata de formas de onda de longitud de onda decreciente. El
primer modo, a veces, suele llamarse modo fundamental y suele ser el
modo que tiende a contribuir m´s al movimiento, tanto en amplitud,
a
como en el porcentaje de energ´ absorvida.Segń sube el valor de n
ıa u
y los modos tiene una longitud de onda m´s corta, su contribuciń al
a o
moviento suele ser menor. Adem´s, aunque el modelo te´rico usado,
a o
es perfectamente lineal (es decir el movimiento total puede estudiarse
como la suma de un conjunto de modos de vibraciń independientes,
o
desacoplados entre si y sin amortiguamiento alguno) en la prćtica, los
a
modos altos van decayendo antes en el tiempo, debido a que en su mo-
vimiento si resultan m´s relevantes las fricciones internas que el an´lsis
a a
ha ignorado.
Cada uno de los modos tiene una evoluciń llamada armńica en el
o o
tiempo, caracterizada por un movimiento peri´dico de frecuencia f
o

´ ´

dada por 2πf = nπ . Es decir por f = 2L . Este resultado es muy
L
nc

interesante porque, muestra que cada uno de los modos ’oscila’ con
una frecuencia creciente, as´ para si para n = 1, la frecuencia del pri-
ı
c
mier modo es f1 = 2L , las sucesivas frecuencias para n = 2, 3, . . . son,
2f0 , 3f0 , 4f0 , 5f0 , 6f0 , . . .

La combinaciń particular de modos que son m´s ’motivados’ a vibrar,
o a
en una situaciń determinada, viene dada por las condiciones iniciales,
o
es decir por el movimiento o desplazamineto otorgado a la cuerda. Lo
interesante es que cada modo ’suena’ de una forma diferente. As´ los ı
modos, altos suenan m´s agudos y los bajos m´s graves. El abanico
a a
de modos activos en un momento dado es lo que suele llamar en f´ ısi-
ca la composiciń esprectral de la vibraciń y, puede adelantarse aqu´
o o ı,
que en l´ practica es lo que tiende a caracter´
a ızar el diferente timbre de
los instrumentos. Instrumentos con un timbre muy brillante generan
espectros en que los modos altos son importantes. Instrumentos m´s a
’c´lidos’ tienen modos de vibrar de baja frecuecia. En el caso de instru-
a
mentos complejos, la forma de los modos de vibraciń es mucho m´s
o a
compleja que en el caso de la cuerda, pero responde (en el caso ideal) a
los mismos principios de superposiciń lineal de modos independientes
o
de frecuencia creciente.
En el caso de la cuerda vibrante, la ecuaciń ?? muestra que siempre,
o
la cuerda vibra en sus modos naturales dando lugar, por lo tanto, a
la misma nota. Sin embargo, el peso de cada modo puede variar de-
pendiendo de la forma de actuar sobre la cuerda y eso dar´ lugar a un
a
brillo diferente en el sonido final. Esta experiencia es fćil de realizar
a
con un guitarra, por ejemplo, pudiendo comprobarse que al pulsar la
cuerda m´s cerca de los puntos de apoyo, el sonido toma un caracter
a
m´s met´lico, indicaciń de que se han activados modos m´s altos. Sin
a a o a
embargo, el modo fundamental estar´ tambiń presente y ser´ el que
a e a
siga marcando el caracter de la nota.

En el caso de la cuerda vibrante, la frecuencia del modo fundamental
depende de forma inversa con la longitud de la cuerda. Esto permite de-
ducir que si se reduce la longitud de la cuerda a la mitad, manteniendo
la tensiń longitudinal, se genera un sonido ’fundamental’ cuya frecuen-
o
cia es el doble. Si reduce a un tercio de la longitud original se genera un
’modo fundamental’ cuya frecuencia es el triple, y as´ sucesivamente. Es
ı
fćil imaginar como ´sta pudo ser la forma en que los antigös descu-
a e u
brieron las leyes de la consonacia: poniendo diversas cuerda tensionadas
de diferente longitud y hacińdolas sonar simultaneamente (??
e

´ ´

Cuadro A.1: Intervalos generados por los modos naturales
Modo Frecuencia Relaciń caracter´
o ıstica Nombre del intervalo
1 f0
2 2f0 2:1 octava
3 3f0 3:2 quinta justa
4 4f0 4:3 cuarta justa
5 5f0 5:4 tercera mayor justa
6 6f0 6:5 tercera menor justa
7 7f0 7:6 tercera submenor
8 8f0 8:7 super segunda
9 9f0 9:8 segunda mayor
10 10f0 10:9 seguna menor
5 5f0 5:3 sexta mayor justa
8 8f0 8:5 sexta menor justa
7 7f0 7:4 s´ptima submenor
e

Hemos visto pues, que, al final, todos los movimientos de una cuerda
vibrante (anclada en los extremos) son una combinaciń m´s o menos larga de
o a
movimientos simples de frecuencias crecientes. Es muy interesante observar
que las frecuencias asociadas a los modos de vibraciń (as´ como las que se
o ı
derivan de ir reduciendo la longitud de la cuerda, en la forma seãlada) estan
n
en la proporciń 1, 2, 3, 5, 6, . . .. Pues la relaciń entre los sonidos asociados
o o
a cada una de esas frecuencias es lo que, desde la antigëdad se conoce como
u
los intervalos.

A.1. Apariciń y significado de los intervalos
o
El concepto de intervalo juega un papel fundamental en el desarrollo de
las escalas musicales y tambiń en la propia prćtica musical. Posiblemente,
e a
la forma m´s clara de introducir estos conceptos esta en hacerlo en este
a
momento, es decir, al estudiar los modos naturales de vibraciń. De esta
o
forma, puede verse como los intervalos no son consecuencia de la existencia
de una escala musical sino, como se ver´ en su momento, su origen.
a
As´ se tiene que, usando la teminolog´ cl´sica habitual en los intervalos
ı ıa a
se tiene (en el cap´
ıtulo correspondiente al an´lisis inst´rico?? se motivar´ la
a o a
introducciń de esta terminolog´ Si se toman los primeros (y por lo tanto
o ıa).
los m´s importantes) modos de vibraciń de una cuerda puede construirse
a o
una tabla con las siguientes relaciones:
Naturalmente se pueden seguir identificando ratios y muchos de ellos han

´ ´

recibido nombres espec´ ıficos a lo largo de la historia (ver [? ] Apendice XX
1
secciń III).
o
Los seis primeros modos de vibraciń han dado lugar, por lo tanto, a
o
cinco intervalos b´sicos que, historicamente, se han considerado como ’con-
a
sonantes’ (y la experiencia ac´stica as´ lo confirma, porque son modos que
u ı
suenan entre si sin extridencia o tensiones, aunque el grado de aceptaciń deo
la disonanc´ varia con el gusto personal y, sobre todo, con el entorno cul-
ıa
tural).Estos intervalos pueden expresarse como relaciones entre los primeros
n´meros naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El m´s consonante de todos los intervalos
u a
es el de octava, donde la frecuenc´ de la vibraciń es exactamente el doble
ıa o
de la frecuencia fundamental.
Resulta importante, en este contexto, identificar los intervalos comple-
mentarios de estos primeros cuatro intervalos (omitiendo la octava) dentro
del intervalo de octava, porque dan lugar a otros intervalos utiles en el an´lisis
´ a
y a la prćtica musical. Por ejemplo. partiendo de una frecuencia fundamen-
a
3
tal f0 , si se aumenta una quinta se llega a 2 f0 , ¿cuanto le falta a este sonido
para llegar a la octava, es decir a 2f0 ? , la respuesta es 4 obviamente. De
3
una forma m´s gr´fica:
a a
3
f0 . . . . . . f0 . . . . . . 2f0
2
quintajusta= 3
2
cuartajusta= 4
3

octava

Asi, puede comprobase que los intervalos de cuarta y quinta son comple-
mentarios. Por su parte los intervalos de tercera mayor y tercera menor, dan
lugar a los intervalos de sexta menor y de sexta mayor respectivamente. La
discusiń iniciada en esta secciń ser´ importante al hablar de la apariciń y
o o a o
evoluciń de las escalas m´sicales, que son, al f´ y al cabo, los componentes
o u ın
b´sicos con que trabajamos para hacer m´sica. As´ podra verse que se pue-
a u ı
de construir la totalidad de la escalas musicales occidentales a partir de la
relaciones interv´licas seãladas, simplemente mediante superposicion y tras-
a n
laciń (aunque este procedimiento dar´ luego lugar al interesante fen´meno
o a o
de las escalas temperadas y su dificultad de utilizaciń prćtica). En la tabla
o a
?? se ha incluido tambiń, fundamentalmente a t´
e ıtulo informativo, el inter-
valo de s´ptima menor y de segunda mayor, pero no es necesario elaborar
e
aqu´ m´s sobre su significado, que se ver´ m´s claramente al hablar de la
ı a a a
1
Como se ver´ en su momento, Esta diversidad de intervalo, conducir´ a una cierta
a a
complicaciń prćtica que fue ’resuelta’ hac´ el siglo XVI con la adopciń de las escalas
o a ıa o
temperadas. Con la adopciń de dichas escalas desparece, por ejemplo la diferenc´ entre la
o ıa
terecera submenor y la tercer menor justa, utilizńdose en la actualidad la denominaciń
a o
de tercera menor, simplemente.

´ ´

construcciń de las escalas musicales.
o
En cualquier caso, como ya hemos seãlado anteriormente, los modos
n
m´s importantes (los que en la prćtica tienden a absorver m´s energ´ y
a a a ıa
a comunicar m´s energ´ al aire en forma de ondas de presiń que nosotros
a ıa o
escuchamos son los m´s bajos. De esta forma puede verse como, a parte de
a
la relaciń inmediata de octava, los intervalos m´s importantes son los de
o a
quinta y los de cuarta. Esto explica, en parte, la importancia hist´rica del
o
intervalo de quinta y su papel fundamental. Y, tanto por ser complementario
de este, como porque aparece en el segundo modo de vibraciń, el de cuarta.
o
Estos intervalos marcan el caracter del sonido generado por la cuerda y, ya
se ver´ como incluso juegan un papel fundamental en el an´lsis armńico.
a a o
As´ cuando se hable de grados tonales y se ve´ lo fundamental que resulta
ı, a
la relaciń del llamado V grado con el grado I, recuerdese que aquel an´lisis
o a
encuentra parte de su razń de ser en los sencillos y hermosos resultados
o
mostrados en esta secciń.
o

A.2. Estudio de la cuerda pulsada
El an´lisis realizado en la secciń anterior resulta v´lido para cualquier
a o a
cuerda anclada en sus extremos que vibre de forma natural tras una pertur-
baciń inicial. Es un resultado, por lo tanto, bastante general, y sirve, por
o
lo tanto, para imaginar como funcionan distintos tipos de intrumentos de
cuerda, por ejemplo el piano o la guitarra. Ahora bien, si queremos estudiar
un poco m´s en profundidad un instrumento en particular, por ejemplo la
a
guitarra o el arpa, debemos introducir las condiciones iniciales propias de la
perturbaciń inicial que dicho instrumento conlleva.
o
As´ tomemos una cuerda de longitud L y introduzcamos un pequeõ
ı n
desplazamiento lateral δ0 en un punto x0 de la cuerda, ver figura ??, lue-
go abandonemos la cuerda a su vibraciń natural. Las condiciones iniciales
o
asociadas a esta situaciń son:
o

y(x, 0) = 0, para 0 ≤ x ≤ L
˙ and (A.9)

δ0 L−x
y(x, 0) = x, para x ≤ x0 y(x, 0) = δ0 , para x0 ≤ x ≤ L (A.10)
x0 L − x0
Al igual la ecuaciń ?? con la ?? se deriva que que los Cn tienen que
o
ser todos nulos, ya que esa es la unica forma en que dicha condiciń puede
´ o
ser cumplida. Por lo que respecta al desplazamiento inicial la sustituciń
o
de la expresiń f0 en la ecuaciń ?? por la expresiones ?? permite obtener
o o

´ ´

los Dn . Para ello se pueden seguir diversos procedimientos. Uno sencillo es
multiplicar ambos lados de la ecuaciń ?? por sin( mπx ), donde m = 1, 2, 3, ...
o L
e integrar en el intervalo [0, L]. Esto da
L ∞ L
mπx nπ mπx
f0 (x) sin( )dx = Dn sin( x) sin( )dx (A.11)
0 L n=1 0 L L

La integraciń del lado derecho de la ecuaciń ?? es fćil 2 , pudiendo demos-
o o a
trase que los Dn toman la siguiente expresiń:
o
L
2 nπx
Dn = f0 (x) sin( )dx (A.12)
L 0 L
Esta expresiń permite calcular que importancia tiene cada modo de vibra-
o
ciń dentro de la composiciń espectral del desplazamiento inicial cada uno
o o
de lo modos naturales de vibraciń de la cuerda. 3
o
Sustituyendo en la ecuaciń ?? f0 por las expresiones dadas en ?? e
o
integrando, se llega al siguiente resultado:

2L2 δ0 nπx
Dn = sin( ) (A.13)
n2 π 2 x0 (L − x0 ) L
Es interesante modificar la expresiń anterior mediante el simple cambio de
o
variable x0 = ξ0 L donde ξ ≤ 0 y representaria la fracciń de L donde se
o
produce el desplazamiento inicial de la cuerda
2δ0
Dn = 2 π 2 ξ (1
sin(nπξ) (A.14)
n 0 − ξ0 )

Es interesante observar que los Dn no dependen de la longitud de la cuerda
sino del punto relativo de la cuerda donde se pulsa. El caso mas sencillo es
cuando la cuerda se pulsa exactamente en su centro y entonces ξ = 1/2,
quedando que
8δ0 nπ
Dn = 2 2 sin( ) (A.15)
(n π) 2
En este caso, se tiene que D01 = 0, 8106, lo que puede visualizar pensando
δ
el primero modo toma una amplitud m´xima del 81 % del desplazamiento
a
2
La integraciń es sencilla si se tiene en cuenta que solamente los t´rminos en que
o e
2 (1−cos(2α))
n = m no son nulos y que sin (α) = 2 .
3
Se trata, l´gicamente, del bien conocido desarrollo en serie de Fourier de la funciń f0
o o
o, si se prefiere, de la proyecciń de la funciń f0 en el espacio funcional ortogonal formado
o o
por los vectores sin( mπx )
L

´ ´

Cuadro A.2: Peso relativo de los modos naturales. Caso de la cuerda pulsada
ξ
modo 0,5,0 0,35 0,25 0,10 intervalo
1 100,00 % 100,00 % 100,00 % 100,00 % fundamental
2 - 22,70 % 35,36 % 47,55 % octava
3 11,11 % 1,95 % 11,11 % 29,09 % quinta justa
4 - 6,67 % - 19,24 % octava
5 4,00 % 3,17 % 4,00 % 12,94 % tercera mayor
6 - 0,96 % 3,93 % 8,55 % quinta justa
7 2,04 % 2,26 % 2,04 % 5,34 % s´ptima
e
8 - 1,03 % - 2,97 % octava
9 1,23 % 0,63 % 1,23 % 1,23 % segunda mayor y/o novena
10 - 1,12 % 1,41 % - tercera mayor

inicial. Adem´s, es fćil ver que todos los modos pares son nulos y que en el
a a
resto la amplitud disminuye con n2
Resulta interesante estudiar como evoluciona, la composiciń exprectral,
o
en definitiva los sucesivos valores de Dn segń se desplaza el punto de aplica-
u
ciń del centro hacia los extremos. As´ La tabla ?? muestra el peso relativo
o ı
de cada uno de los modos frente al modo fundamental al que se le ha dado
el valor de referencia de 100.
Como puede verse los modos m´s relevantes son los que corresponden al
a
fundamental, a la primera octava y la de quinta justa y, en menor medida,
al de tercera mayor. Resultado interesante ciertamente, y que explica, en
parte, porque los llamados acordes triadas mayores tiene, precisamente, como
estructura la nota fundamental, la tercera mayor y la quinta.
De forma complementaria la figura ?? permite visualizar la evoluciń del
o
peso de los modos (los modos 2 a 10) segń el punto de pulsaciń se mueve del
u o
centro a uno de los extremos. Puede verse como el segundo modo (la octava,
de frecuencia 2f0 toma en seguida importancia y que el resto de los modos
superiores requieren que nos situemos en el cuarto m´s pr´ximo al punto de
a o
apoyo para que se produzca valores significativos. De hecho el valor ξ = 0, 25
es un punto interesante (como tambiń puede verse en la tabla) porque los
e
tres primeros modos (el fundamental, la octava y la quinta) tienen valores
significativos y el resto todav´ no, mientras que m´s pr´ximos al punto de
ıa a o
apoyo los modos superiores toman mucha importancia.
Estos resultados podr´ sugerir que el punto ´ptimo para pulsar una
ıan o
cuerda de guitarra ser´ a un cuarto de su punto de apoyo (o quizas un
ıa
poco m´s a la derecha hacia ξ = 0, 2 donde aparece la tercera mayor), ya
a
que generaria un sonido m´s armńico, m´s rico. Resulta curioso comprobar
a o a

´ ´

60,00%

Modo 2
Modo 3
50,00%
Modo 4
Modo 5
Modo 6
40,00%
Modo 7
% Amplitud respecto modo 1

Modo 8
Modo 9
30,00%
Modo 10

20,00%

10,00%

0,00%
0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,30 0,28 0,25 0,23 0,20 0,18 0,15 0,13 0,10 0,07 0,05 0,02 0,00

-10,00%

-20,00%

Punto pulsación

Figura A.1: Evoluciń del peso de los modos con el punto de pulsaciń
o o

que esto no es una mera especulaciń. En efecto, si se toma una guitarra se
o
podr´ comprobar como un cuarto de la longitud de la cuerda medida desde
a
el puente nos situa justo en la zona habitual de pulsaciń, en cima de la boca
o
de la caja. Pulsando una cuerda al aire en ese punto, se genera un sonido
calido y pleno. Si por ejemplo se busca el punto medio de la guitarra (que
se corresponde con el punto de contacto del mastil con la caja) se ver´ que
a
queda un sonido puro pero poco rico, correspondiente al caso en que casi toda
la energ´ es abosrvida por el primer modo. Por contra, pulsar muy cerca del
ıa
puente arroja efectivamente sonidos met´licos que delatan la presencia de
a
armńicos superiores.
o
Tambiń puede observarse (de forma general a partir de la ecuaciń ??)
e o
como seãla Helmholtz [? ] que si el punto de pulsaciń corresponde con una
n o
divisiń entera de la cuerda, el modo correspondiente y todos sus m´ltiplos
o u
son nulos.
Un aspecto no comentando, pero que tiene su importancia en la prćtica
a
de los instrumento de cuerda pulsada es la influencia de que la forma de pul-

´ ´

saciń tiene sobre el sonido generado. En efecto, el modelo sencillo utilizado
o
en esta secciń, contempla un desplazamiento de un punto, de forma que la
o
cuerda toma una forma puntiaguda en el momento de m´xima tensiń. Esta
a o
forma de desplazamiento se corresponder´ aproximadamente, con pulsaciń
ıa, o
mediante un objeto te poca superficie, por ejemplo el borde de un cuchillo.
En el caso de la guitarra, la pulsaciń real se realiza mediante los dedos. Si
o
la pulsaciń se realiza con la yema del dedo, la forma del desplazamiento ori-
o
ginal tiene que ser m´s redondeada que la que el modelo sencillo a supuesto.
a
Esta forma m´s redondeada del punto de apoyo, inevitablemente dar´ lugar
a a
a que la composiń espectral del desplazamiento inicial (y por lo tanto del
o
movimiento) sea m´s suave y que los armńicos superiores tengan menos pe-
a o
sos. Si la pulsaciń se realiza con la uã del dedo, la forma del desplazamiento
o n
inicial ser´ m´s puntiaguda y se generaran armńicos de mayor frecuencia.
a a o
Esta es circunstancia es de hecho un aspecto discutido en la prćtica inter-
a
pretativa de la guitarra, donde algunos maestros prefieren usar m´s el ataque
a
con uã y otros gustan m´s de usar la yema. A este respecto Dionisio Aguado
n a
en su hist´rico m´todo de guitarra seãla [? ]
o e n
Yo siempre hab´ usado de ellas [las uãs]; pero luego que o´ a
ıa n ı
mi amgio Sor, me decid´ a no usarla en el pulgar, y estoy muy
ı
contento de habverlo hecho, porque la pulsaciń de la yema, de
o
este modo, cuando no pulsa paralelamente a la cuerda, produce
sonidos en´rgicos y gratos, que lo que conviene a la parte del bajo,
e
que regularmente se ejecuta en los bordones: en los dem´s dedos
a
las conservo.
Considero perferible tocasr con uãs.Buen usadas, el sonido que
n
resulta es limpio, met´lico y dulce. Se han de cortar en forma oval
a
y han de sobresalir poco de la superficie de la yema.

A.3. Tensiń transmitida a la caja de reso-
o
nanc´
ıa
El modelo de cuerda pulsada resulta muy util por que, siendo muy sim-
´
ple, arrojar unos resultados muy ricos. Ahora bien, una de las simplificaciones
realizadas en la construcciń del modelo, a saber, que los extremos en que se
o
apoya la cuerda son perfectamente r´ ıgidos implicar´ una situaciń prćtica
ıa o a
poco util desde el punto de vista m´sical. En efecto, si los extremos fuesen
´ u
perfectamente inamobibles, la cuerda vibrar´ y transmitir´ algo de su vibra-
ıa ıa
ciń al a´ pero lo har´ de una forma casi impercetible ya que su pequeã
o ıre, ıa n
superficie cortan el a´ al moverse y apenas si movilizan una masa apreciable
ıre

´ ´

de a´ De esta forma (y la experiencia puede realizarse) apenas se oir´ un
ıre. ıa
zumbido proveniente de la cuerda. Por esta razń, todos los instrumentos
o
de cuerda estan motados sobre una caja de resonancia (por ejemplo, en la
guitarra o en los instrumentos de madera). Los puntos de apoyo de la cuerda
en estos instrumentos no son perfectametne fijos, sino no que son capaces de
transmitir una pequeã vibraciń a la estructura de la caja, la cu´l vibra y,
n o a
´sta s´ transmite la vibraciń al aire.
e ı, o
Es interesante reparar que aunque visualmente el movimiento de los apo-
yos sea imperceptible, este existe y adem´s se realiza siguiendo exactamente
a
la frecuencias correspondientes a cada uno de los modos de vibraciń. Eno
cierta forma, es como si cada modo de vibraciń se transmite a trav´s de los
o e
apoyos a la caja. Ahora bien, el diseõ de la caja afecta a que modos tiene
n
m´s efecto sobre la vibraciń de la misma. Siendo esta relaciń el objeto de
a o o
an´lisis del ’acomplamiento’ de la caja con modos de vibraciń de las cuerdas.
a o
En la secciń anterior hemos estudiado como diversos modos tienen di-
o
versas amplitudes y, por lo tanto, como los diversos modos contribuyen al
movimiento de la cuerda en diferente proporciń. Resulta tambiń de inter´s
o e e
estudiar como evoluciona la fuerza que la cuerda transmite al soporte. El
c´lculo de esta tensiń es elemental una vez que se ha resuelto la ecuaciń
a o o
del movimento. En efecto, teniendo en cuenta que la tensiń vertical Ty y
o
recordando la soluciń general y que Cn = 0 y que los Dn estń dados por ,
o a
se tiene
∂y 2T δ0 nπc
Ty = T = sen(nπξ0 ) cos( t) (A.16)
∂x Lnπξ0 (1 − ξ0 ) L
Resultado que ya permite ver que, curiosamente, la tensiń vertical en el
o
extremo deca´ con el inverso de n/ sen(nπξ0 ) en vez de con n2 / sen(nπξ0 )
e
como es el caso de la amplitud. Es decir, la amplitud de los modos superio-
res deca´ m´s r´pidamente que la tensiń que estos modos producen en el
e a a o
extremo. En suma, los modos superiores pueden tener m´s importanc´ en el
a ıa
peso del sonido, de lo que sosprechabamos, debido a que lo que cuenta es su
capacidad para transmitir vibraciń a la caja a trav´ s de la tensiń generada
o e o
en su extremo.
La figura muestra la evoluaciń del peso de la tensiń asociada a cada
o o
modo, respecto al modo, fundamental, segń el punto de apoyo se desplaza
u
del centro hac´ el extremo de aoyo.
ıa
En este an´lisis no hemos valorado cual puede ser el orden de magnitud
a
de la tensiń vertical en el extremo. Para valorar este orden de magnitud
o
basta tomar el caso m´s sencillo, el de la cuerda pulsada en punto medio.
a
Sustituyendo en la ecuaciń ?? los vaores ξ0 = 1/2 y n = 1 y suponiendo que
o
δ0 /L ∼ 0, 01 se tiene que la tensiń para x = 0 es T0 /T ∼ 2,5 %. Es decir
o

´ ´

120,00%

100,00%

Modo 1
Modo 2
80,00% Modo 3
% Tension respecto al modo 1

Modo 4
Modo 5
60,00% Modo 6
Modo 7
Modo 8
40,00%
Modo 9
Modo 10

20,00%

0,00%
0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,30 0,28 0,25 0,23 0,20 0,18 0,15 0,13 0,10 0,07 0,05 0,02 0,00

-20,00%

-40,00%

Punto de pulsación

Figura A.2: Evoluciń de la tension vertical con el punto de pulsaciń
o o

la tensiń vertical es del orden de la centńsima parte de la tensiń lineal
o e o
de la cuerda, lo cual no es tan poco, si se recuerda que las cuerdas de los
instrumentos pueden llegar a tener una tensiń considerable.
o
Otra cosa es como responda la caja a dicha tensiń, que tiene tambiń
o e
un caracter peri´dico. Y esto es objeto del an´lisis del acomplamiento de las
o a
vibraciones de la cuerda con la caja.

A.4. Acomplamiento con la caja de resonanc´
ıa
En un instrumento real, la calidad del sonido depende de forma funda-
mental de la forma y estructura de la caja de resonancia. Como ya hemos
comentado, es realmente la caja (con su mayor) superficie la que puede movi-
lizar el aire de forma significativa para hacerlo llegar a nuestro oidos. Ahora
bien, ¿como se relaccionan las vibraciones de la cuerda con las de la caja?.
En an´lisis de esta interacciń se puede hacer de forma, relativamente
a o
simple, pensando que la caja, como tal, tambiń tiene unas formas naturales
e

´ ´

de vibrar, unos modos naturales de vibraciń y, a partir de ah´ estudiando
o ı,
como interactán, o acoplan, los modos de vibrar de la cuerda con los de la
u
caja.
Los modos de vibrar de la caja de resonancia son, l´gicamente, mucho
o
m´s complejos que los que corresponden a la cuerda, b´sicamente por que la
a a
caja tiene una estructura y forma m´s compleja. De entrada se trata de un
a
cuerpo tridimensional y sus vibraciones serń tridimensionales (aunque las
a
m´s importantes e interesantes serń las que suponen desplazamiento de la
a a
tapa superior e inferior en sentido perpendicular, ya que estos modos son los
que pueden movilizar un volumen apreciable de aire.
Hoy en d´ existen m´todos muy bien establecidos para estudiar los modos
ıa e
de vibraciń de cualquier objecto. Por un lado se pueden realizar mediciones
o
e a ´
experimentales (lo que es el m´todo m´s preciso). Estas consisten en excitar
la caja con una vibraciń cualquiera y medir su respuesta para identificar
o
cuales son sus modos de vibraciń. Estos modos se corresponderń a fre-
o a
cuencias concretas y a formas espec´ ıficas. La forma de vibraciń tambiń
o e
puede medirse fćilmente mediante la utilizaciń de aceler´metros, esto la
a o o
colocaciń de instrumentos (llamados transductores) que miden el desplaza-
o
mientos de puntos espec´ ıficos del objeto. De esta forma se puede medir con
gran precisiń cuales son las frecuencias y las formas de los modos naturales.
o
La segunda forma de realizar este an´lisis consiste en la construcciń de
a o
modelos n´mericos del objeto. Se pueden emplear varias tćnicas, pero la m´s
u e a
extendida y util es la construcciń de modelos a base de los llamados Elemen-
´ o
´
tos Finitos. Este tipo de modelos recoge de forma aproximada la estructura
del objeto y permite, mediante software adecuado, deducir los modos na-
turales de vibraciń del modelo, que aproximadamente serń los del objeto
o a
real. En la medida de que le modelo se´ m´s sofisticado los resultados de este
a a
m´todo tenderń a coincidir con los resultados experimentales.
e a
Todo estos an´lisis son bien conocidos y, han sido objeto de m´ltiples
a u
estudios, cuyo an´lisis no es necesario hacer aqu´ Baste sin embargo seãlar
a ı. n
algunos resultados ilustrativos, como por ejemplo los reportados por Russell
[? ] que dan lugar a los siguientes modos de vibraciń de una guitarra ac´stica
o u
Hummingbird: 103 Hz, 188 Hz, 202 Hz, 231 Hz, 262 Hz, 315 Hz, 385 Hz,
481 Hz Hz, 749 Hz. De cuya lista se han eliminado los modos que Rusell
considera estructurales, es decir deformaciones de la guitarra (del mastil por
ejemplo) que no producen una presiń sobre el aire en la caja ac´stica. Russel
o u
considera que los seis primeros modos (correspondientes a lo que ´l llama
e
frecuencias bajas y medias son los m´s relevantes desde el punto de vista
a
ac´stico, especialmente los tres primeros). La figura ?? tambiń debida a
u e
Russel muestra uno de los modos de vibraciń obtenidos, en particular el
o
que corresponde a 188 Hz.

´ ´

Figura A.3: Ejemplo de modo de vibracion segun Russell, 188 Hz

En lo que respecta a la interacciń con la cuerda, se trata entonces de ver
o
como esos modos de la caja interactuan con los modos de la cuerda. Para
hacernos una idea orientativa del mecanismo. Basta analizar la respuesta de
un modelo que tenga un unico modo de vibraciń y que este sometido a una
´ o
fuerza externa de caracter peri´dico (la tensiń en el punto de apoyo). Otra
o o
forma ser´ estudiar la vibraciń conjunta de la cuerda con el modo de la
ıa o
caja, pero puede verse que como la masa de la caja y de la cuerda son muy
diferentes, las vibraciones son prćticamente independientes, es decir estan
a
desacopladas: la vibraciń del caja no afecta a la de la cuerda significativa-
o
mente.
En estas condiciones el modelo sencillo ser´ el de la figura ??, donde se
ıa
ha introducido el fen´meno de amortiguamiento del modo correspondiente a
o
la caja. Esto es importante pues claro que en este caso la caja si que presenta
una amortiguamiento significativo, sobre todo porque irrad´ energ´ a trav´s
ıa ıa e
de la impulsiń que hace del íre. El tipo de amortiguamiento utilizado en el
o a
modelo es el habitual y sencillo amortiguamiento viscoso (proporicional a la

´ ´

velocidad), ań cuando el real pueda no responder a este modelo. Este tipo
u
de amortiguamiento tiene la ventaja de que da lugar a ecuaciones sencillas y
bien conocidas que pueden analizarse de forma elemental, como se hizo antes
para las vibraciones libres de la cuerda.

F=f0sin(ωt)

m

k c

Figura A.4: Modelo para el estudio de la vibraciń forzada
o

En estas condiciones se puede demostrar fćilmente que si se llama m a la
a
masa del k a la rigidez del muelle (siendo por lo tanto la frecuencia natural
k
de vibraciń de ese sistema f0 la que corresponde a ω0 = 4π 2 f0 = m , la
o 2 2

respuesta de la amplitud m´xima de la vibraciń x sigue la expresiń
a o o
F 1
x= (A.17)
k (1 − ω2
2
ω2
)2 + (2ζ ω2 )2
ω0 n
c
donde ζ ser´ el factor de amortiguamiento, definido como ζ =
ıa cr
, siendo
cr el conocido como amortiguamiento cr´ıtico 4 y vale c2 = 4mk.
r
4
El significado de este valor se entiende fćilmente al estudiar las vibraciones libres de
a
un sistema amortiguado. Es aquel valor que justamente separa los r´g´ e ımenes de amortigua-
miento super-cr´ıtico y sub-cr´
ıtico. En el amortiguamiento super-cr´ ıtico, el movimiento libre
de la masa esta dominado por la amortiguaciń y la masa se para antes de completar una
o
oscilaciń. En el amortiguamiento sub-crt´
o ıtico, la amortiguaciń no puede con la vibraciń
o o
y la masa oscila aunque, l´gicamente, acaba parńdose. Con el valor del amortiguamiento
o a
cr´
ıtico, la masa se parar´ justa en su posiciń de reposo natural.
ıa o

´ ´

De esta expresiń es fćil ver que la amplitud de la vibraciń varia con-
o a o
siderablemente al variar la pulsaciń de la excitaciń ω, siendo fundamental
o o
su relaciń con la pulsaciń correspondiente al modo natural de vibrar ω0 .
o o
La figura ?? muestra los bien conocidos resultados correspondiente a este
modelo sencillo.

5

4,5

Factor de amortiguación
4

1
3,5 0,5
0,25
Amplitud relativa

0,15
3
0

2,5

2

1,5

1

0,5

0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Frecuencia de excitación / frecuencia natural

Figura A.5: Amplitud de la oscilaciń forzada
o

De lo anterior se deduce que interesa que la caja de resonancia tenga
modos naturales de vibraciń que estń en el rango de la frecuencias que
o e
tienen inter´s desde el punto de vista musical. Naturalmente, no existirń
e a
modos de vibraciń para todas las notas de inter´s, pero en tanto haya una
o e
cobertura razonable del rango de inter´s la guitarra sonar´ bien.
e a
En la prćtica musical de la guitarra la m´sica se suele escribir una octava
a u
por encima de lo que realmente suena. Es decir, el ’la’ central (el que esta
justo por encima de la clave de sol en el pentrama) suena realmente a 220 Hz
en vez de lo que ocurre en otros instrumentos en los que suena a 440 Hz. Esta
consideraciń permite estimar que la mayor parte de los tonos fundamentales
o
que se encuentran en la m´sica para guitarra podr´ estar entre los 110 Hz y
u ıan

´ ´

los 880 Hz (los dos ’la’ por encima y por debajo del referido). En este sentido
cabr´ esperar que los pricipales modos de vibraciń de la caja de resonancia
ıa o
esten en este rango de frecuencias, lo que los resultados de ....., entre otros
muchos, vienen a confirmar.

A.5. Estudio de la cuerda percutida
El an´lisis del modelo de la cuerda pulsada nos ha servido para iden-
a
tificar un buen n´mero de propiedades interesantes de los tonos musicales.
u
Dichon an´lisis tiene adem´s el inter´s de que presentra resultados que pue-
a a e
den generalizarse a otros instrumentos m´s complejos. El an´lisis de dichos
a a
instrumentos mediante m´todos matem´ticos puede llegar a ser muy com-
e a
plejo y, por otro lado, resulta innecesario para el prop´sito de este libro.
o
Existe sin embargo un instrumento al que si dedicaremos una minima
atenciń adicional: el piano. Este instrumento consiste en una serie de cuerdas
o
tensadas que, a diferencia de la guitarra, no son pulsadas sino percutidas o
impactadas por un martillo. El martillo es activado al apretar una tecla,
siendo la velocidad del impacto dependiente de la velocidad (’la fuerza suele
decirse’) con que se aprieta la tecla.
Como pasa con la guitarra, la tćnica constructiva del piano ha ido me-
e
jorando a lo largo de los siglos y un buen piano actual es un elemento muy
sofisticado con inumerables detalles constructivos que son fruto de la expe-
riencia e inventiva acumulada de cientos o miles de artesanos. As´ mode-
ı,
lar adecuadamente el piano ser´ de nuevo labor compleja que no podemos
ıa
abordars. Sin embargo, si puede abordarse el estudio de un caso simplificado
consistente en una cuerda tensada en sus extremos que es impactada en un
instante por un martillo que luego se retira instantńeamente. Como luego
a
comentaremos este caso se diferencia de la mecńica real del piano en algunos
a
aspectos importantes pero su estudio no deja de tener inter´s.e
Asi, las condiciones iniciales correspondientes a este caso ser´
ıan
y(x, 0) = 0 yy(x, 0) = 0 para todox = x0 yy(x, 0) = v0 parax = x0 (A.18)
˙ ˙
donde x0 ser´ el punto de impacto y v0 la velocidad inicial impartida a
ıa
dicho punto.
Puede demostrarse fćilmente, siguiendo pasos muy similares a los em-
a
pleados en la secciń ?? que el resultado es de la forma ??, donde Dn = 0 y
o
2v0 nπx0
Cn = sin( ) (A.19)
nπc L
Este resultado difiere, fundamentalmente, del obtenido para la cuerda pul-
sada en que la amplitud m´xima decae con el inverso de n mientras que en
a

´ ´

aquel caso lo hac´ con el de n2 . Esta simple observaciń ya nos indica que
ıa o
cabe esperar que los armńicos superiores sean m´s importantes en el caso
o a
de la cuerda percutida.
En efecto la representaciń de la soluciń anterior en forma gr´fica (ver
o o a
figura ??) muestra los modos no solamente no decaen tan r´pidamente como
a
en el caso de cuerda pulsada sino que en ciertas zonas (cuando el punto de
impacto se sitá alrededor de 0, 1) en que los primeros modos tienen todos
u
una amplitud similar.

100,00%

Modos
80,00%
1 2

3 4
% amplitud respecto al primer modo

60,00%
5 6

7 8
40,00%
9 10

20,00%

0,00%
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

-20,00%

-40,00%

Punto de imapcto

Figura A.6: Amplitud de los modos en la caso de la cuerda percutida

En el caso real del piano, estos resultados se ven modificados de forma
relevante, porque realmente el impacto del martillo no se corresponde con
el que representa el modelo anterior. Los martillos del piano tienen una ca-
beza acolchada, de diversa elasticidad, que se comprime en el momento del
impacto y que hace que el empuje no sea realmente instantńeo sino que
a
el martillo empuje la cuerda durante unos breves instantes. Helmholtz [? ]
analiza y comenta este caso en detalle en su monumental obra. De hecho rea-
liza un an´lisis matematem´tico algo m´s complejo que el aqu´ presentado
a a a ı

´ ´

para presentar unos resultados algo m´s realistas. Adem´s, recoje comen-
a a
tarios muy interesantes sobre experiencia prćtica percutiendo cuerdas de
a
piano real, as´ como observando el diseõ que los artesanos han ido dando a
ı n
los martillos, diseõ que como el comenta suele ir cambiando segun uno se
n
mueve a lo largo de las teclas del piano.
Existen multitud de an´lisis m´s recientes, como por ejemplo los realiza-
a a
dos por Hall[? ], que realiza una comparaciń entre los resultados te´ricos,
o o
derivados de modelar diversos grados de elasticidad del martillo. Uno de sus
resultados consiste en la mediciń experimental de la respuesta modal del
o
piano cuando se pulsa el do central. Estos resultados se muestran en la figura
??.
Es interesane recordar que todos estos hermosos resultados no hacen sino
explicar o confirmar lo que los artesanos ’lutiers’ han ido aprendiendo du-
rante siglos. Ellos han sido capaces de acumular una experiencia r´ ıquisima
y construir unos instrumentos hermosos y maravillosos, y, ciertamente, para
ello no han necesitado de ecuaciones ninguna clase sino de paciencia, ensayo
y cariõ por trabajo bien hecho. El resultado de esta combinaciń es natu-
n o
ralmente superior a la que cualquier se llegar´ con el an´lisis te´rico m´s
ıa a o a
sofisticado.

´ ´

Figura A.7: Respuesta modal de un piano al do central

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