2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS
LINEALES
Cuando el número de variables de los
sistemas a resolver es elevado (por
ejemplo arriba de 100) los métodos
directos resultan imprácticos y recurrimos
a los métodos iterativos.
3. MÉTODO DE JACOBI
Dado un sistema lineal:
n
aij x j b j ,1 i n
j 1
Podemos despejar la variable xi para obtener una expresión que relacione
xi(k 1)
con xi(k ) :
( k 1)
n aij bi
x i ( x (jk ) ) ,1 i n, aii 0
j 1 aii aii
j 1
4. MÉTODO DE JACOBI
El método de Jacobi consiste básicamente en
aplicar la ecuación anterior para cada una de las
variables, empezando con los valores iniciales
correspondientes.
La forma matricial se deriva de forma similar.
Partimos de la ecuaci´on Ax = b y el hecho de
que podemos descomponer la matriz A como:
A=D+ L+U
es decir en sus matrices diagonal principal,
triangular inferior y triangular superior,
respectivamente.
5. MÉTODO DE JACOBI
Por tanto:
Ax = (D + L + U)x = b
y entonces podemos despejar el t´ermino
Dx para obtener:
Dx = −(L + U)x + b
y como aii 6= 0 para 1 i n, podemos
despejar x en Dx para obtener:
x = −D−1(L + U)x + D−1b
6. MÉTODO DE JACOBI
Utilizando este ecuaci´ n, obtenemos la ecuaci´ n para un paso del m´ todo de
o o e
Jacobi, en forma matricial:
x(k+1) = −D−1(L + U)x(k) + D−1b
donde x(k) representa el valor de las variables en la k-´ sima iteraci´ n, empezando
e o
con el vector x0. El proceso se detendr´ cuando la distancia euclideana | | x(k+1) −
a
x(k)| | < e, para una determinada tolerancia del error e, donde, claro:
1/ 2
n
X Y ( xi yi ) 2
j 1
7. Ejemplo
1. Con el método de Jacobi aproxima la solución del siguiente sistema de ecuaciones
lineales, con 5 iteraciones y determina la cantidad de cifras significativas exactas de
la quinta iteración. Utiliza como iteración inicial .
Nota: Para los cálculos utiliza hasta 4 cifras después del punto decimal.
8. RESOLUCIÓN
Solución
Primeramente notamos que la matriz de coeficientes del sistema sí es diagonalmente
dominante. Por lo tanto, podemos emplear la fórmula recursiva del método de Jacobi,
obteniendo:
10. Para la segunda iteración utilizamos los valores de la primera iteración:
11. Similarmente para las otras tres iteraciones resulta la tabla de aproximaciones:
Iteración
0 0.0000 0.0000 0.0000
1 2.0000 0.6000 2.0000
2 1.4250 1.0000 2.2800
3 1.3050 0.9705 2.0850
4 1.3574 0.9390 2.0669
5 1.3659 0.9424 2.0837
12. Los errores relativos para cada variable son:
,
,
De esta forma se puede asegurar que la aproximación para , y en la quinta
iteración sólo tienen doscifra significativa exacta.
13. MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL
A diferencia del método de Jacobi, el Método de Gauss-Seidel, utiliza los valores
previos de X JK ) ,1 j i 1 para calcular el valor de xi(k 1) Esto nos da la siguiente
(
ecuación para el MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
i 1 n
( k 1) 1 ( k 1)
x i aij x j aij x (jk ) bi
aii j 1 j i 1
14. MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL
El método de Gauss-Seidel consiste básicamente en aplicar la ecuación 3.8 para
cada una de las variables, empezando con los valores iniciales correspondientes.
La forma matricial se deriva de forma similar al método de Jacobi. De la ecuación
3.3, despejamos ahora el término (D + L)x para obtener:
(D + L)x(k+1) = −Ux(k)+b
de donde despejando, encontramos la ecuación de una iteración del método de
Gauss-Seidel:
x(k+1) = −(D + L)−1Ux(k)+(D + L)−1b
15. EJEMPLO
EJEMPLO 1 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:
hasta que
16. RESOLUCIÓN
SOLUCIÓN:
Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente.
Se tiene:
Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando.
17. Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x 2 = x3 = 0 en la primera
ecuación, para calcular el valor de x1:
Ahora se sustituye y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2:
Ahora se sustituye y en la tercera ecuación para obtener x3:
18. Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:
Puesto que todavía no se puede calcular ningún error aproximado, se repite el proceso pero ahora
con los últimos datos obtenidos para las incógnitas:
Sustituyendo y en la ecuación 1 se obtiene
Sustituyendo y en la ecuación 2 se obtiene
finalmente, sustituyendo y en la ecuación 3 se obtiene
. Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a la solución del
sistema:
19. Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismo proceso con los últimos valores
obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el error aproximado ya cumple
con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite
el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:
20. n este caso se tienen los siguientes errores aproximados:
Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores
aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:
21. MÉTODO DE GAUSS – JORDAN
El método de Gauss-Jordan es una variación de la
eliminación de Gauss. La principal diferencia
consiste en que cuando una incógnita se elimina
en el método de Gauss – Jordan, ésta es
eliminada de todas las otras ecuaciones en lugar
de hacerlo sólo en las subsecuentes. Además,
todos los renglones se normalizan al dividirlos entre
su elemento pivote. De esta forma, el paso de
eliminación genera una matriz de identidad en
vez de uan triangular. En consecuencia, no es
necesario usar la sustitución hacia atrás para
obtener la solución. El método se ilustra con un
ejemplo:
