METODE BISEKSI DAN
METODE NEWTON - RAPHSON
Paper
Disusun untuk memenuhi tugas Metode Numerik yang dibina oleh Bapak
Sujito...
PENDAHULUAN
Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan
sedemikian rupa sehingga dapat diselesai...
method). Sementara itu metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas
bawah dan batas atas pada perkiraan nilai ...
PEMBAHASAN
1. Metode Biseksi
Seperti yang telah disinggung sebelumnya, metode biseksi merupakan salah
satu contoh dari met...
5. Jika f(c) > 0 maka a = tetap menjadi batas bawah sementara c = batas atas
yang baru. Ulangi langkah 2 hingga mendapatka...
• Algoritma metode biseksi
(1) Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya.
(2) Tentukan nilai a dan b.
(3) Tentukan ...
readln(x2);
y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3;
write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4);
end;
if (y1*y2)<0 then
Writeln(' Sy...
• Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi secara manual
Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini deng...
dibutuhkan akan semakin bertambah besar. Hal tersebut karena semakin kecil
nilai toleransi, maka akan semakin teliti hasil...
• Langkah-langkah menentukan akar dengan metode Newton-Raphson
Dengan menggunakan x0 sebagai tebakan awal, dilanjutkan den...
• Algoritma Metode Newton-Raphson
1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimu...
• Contoh program untuk menghitung akar dengan Metode Newton-Raphson
Terapkan Metode Newton Raphson pada persamaan f(x) = x...
xn = xn1;
n=n+1;
fx = xn^3 + xn - 1;
fx1 = 3*xn^2 + 1;
xn1 = xn -fx/fx1;
fprintf('%g %8.6f %8.6f %8.6f %8.6fn',n,xn,fx,fx1...
• Kelebihan dan kekurangan metode Newton-Raphson
Kelebihan : Bila taksiran awal kebetulan memang mendekati akar yang
sesun...
2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik
pendekatannya berada di antara dua titik stasi...
x . e-x + cos(2x) = 0
Bila menggunakan titik pendekatan awal x0 = 0,176281
f(x) = x . e-x + cos(2x)
f1(x) = (1-x) e-x – 2 ...
Bila digunakan pendekatan awal x0=0.5 maka dengan iterasi dari metode
Newton - Raphson diperoleh:
Akar yang ditemukan adal...
Contoh :
Hasil dari penyelesaian persamaan x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range
[0,5] adalah sebagai berikut :
KESIMPULAN
1. Metode biseksi merupakan salah satu contoh pendekatan numerik dengan
metode akolade (Bracketing Mode). Langk...
3. Metode Newton-Raphson ternyata kadang memiliki permasalahan dalam
implementasinya. Permasalahan terjadi antara lain jik...
DAFTAR RUJUKAN
1. Implementasi Penyelesaian Persamaan dengan Metode Newton-Raphson,
2009, one.indoskripsi.com/judul-skrips...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Paper

125
-1

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
125
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Paper

  1. 1. METODE BISEKSI DAN METODE NEWTON - RAPHSON Paper Disusun untuk memenuhi tugas Metode Numerik yang dibina oleh Bapak Sujito, S.T., M.T. Oleh LILIK EMI RAHAYU 207533408593 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MALANG MARET 2009
  2. 2. PENDAHULUAN Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika. Salah satu persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode numerik adalah persamaan non linear. Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar dari persamaan non linier tersebut. Sebuah bilangan dianggap akar dari sebuah persamaan jika seandainya bilangan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan, maka nilai persamaan itu akan sama dengan nol atau bisa dikatakan akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Bila digambarkan dengan grafik, akar persamaan yang menyebabkan f(x) = 0 adalah titik potong antara kurva f(x) dengan sumbu x. Meskipun tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang. Ada 2 pendekatan yang dapat digunakan pada penyelesaian persamaan non linier yaitu dengan metode akolade dan metode terbuka. Metode akolade (Bracketing Method) adalah metode yang hanya membutuhkan 2 tebakan awal untuk mengira- ngira akar dari sebuah persamaan. Sebuah fungsi sesuai jenisnya akan berubah disekitar harga suatu akar. Akar sebenarnya dari persamaan tersebut nantinya akan berada di antara 2 angka yang telah ditebak tersebut. Metode ini terdiri dari metode Regula Falsi (false position method) dan metode bagi-dua/ biseksi (bisection Akar persamaan sebagai penyelesaian
  3. 3. method). Sementara itu metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas bawah dan batas atas pada perkiraan nilai awal. Karena hal itu, bila tebakan awal tepat, maka hasilnya akan mendekati akar yang sesungguhnya dengan kecepatan lebih cepat dari metode biseksi. Metode ini terdiri dari metode Newton-Raphson, metode secant dan iterasi titik-tetap (Fix point iteration). Dari metode-metode tersebut, metode biseksi dan metode Newton-Raphson adalah dua metode yang sering digunakan. Catatan : Pendekatan Dan Kesalahan Kesalahan di dalam metode numerik dibagi menjadi dua macam yaitu: 1. Kesalahan pembulatan ( round of error) 2. Kesalahan pemotongan ( truncation error ) Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan misalnya 0.4 menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan adalah kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan. Kesalahan numerik adalah kesalahan yang timbul karena adanya proses pendekatan.Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah : dimana xˆ adalah nilai yang sebenarnya ( nilai eksak ), x adalah nilai pendekatan yang dihasilkan dari metode numeric, e adalah kesalahan numerik. Kesalahan fraksional adalah prosentase antara kesalahandan nilai sebenarnya. Pada banyak permasalahan kesalahan fraksional di atas sulit atau tidak bisa dihitung karena nilai eksaknya tidak diketahui.Sehingga kesalahan fraksional dihitung berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh: Perhitungan kesalahan semacam ini dilakukan untuk mencapai keadaan konvergensi pada suatu proses iterasi.
  4. 4. PEMBAHASAN 1. Metode Biseksi Seperti yang telah disinggung sebelumnya, metode biseksi merupakan salah satu contoh dari metode akolade. Metode biseksi juga disebut metode pembagian interval karena membagi area antara 2 bilangan yang merupakan tebakan awal menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak. Bagian yang tidak mengandung akar akan dibuang selanjutnya pencarian dilakukan pada bagian yang diperkirakan mengandung akar.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. • Langkah-langkah menentukan akar dengan metode biseksi 1. Menentukan dua titik nilai awal, misalnya a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas. Nilai ini diperoleh dengan cara menebak. Namun harus diusahakan range tebakan sedekat mungkin dengan perkiraan akar persamaan. 2. Dari 2 nilai awal tersebut, tentukan nilai tengah ( c ) dengan rumus : Sehingga akan muncul dua daerah yaitu daerah akar (x) yaitu antara c dengan a ( a<x<c) dan antara c dengan b (c<x<b) 3. Setelah memperoleh nilai c, masukkan nilai tersebut pada persamaan f(x) sehingga persamaan menjadi f(c) 4. Jika f(c) > 0 maka akar(x) berada pada daerah a< x < c atau di sebelah kiri garis bagi daerah (garis yang ditarik vertical dari titik c ) Jika f(c) < 0 maka akar (x) berada pada daerah c < x < b atau di sebelah kanan garis bagi daerah (garis yang ditarik vertikal dari titik c) c
  5. 5. 5. Jika f(c) > 0 maka a = tetap menjadi batas bawah sementara c = batas atas yang baru. Ulangi langkah 2 hingga mendapatkan nilai tengah antara a dan c , selanjutnya kita sebut nilai tengah ini dengan xn saja. Jika f(c) < 0 maka c = batas bawah sementara b = tetap batas atas. Ulangi langkah 2 hingga mendapatkan nilai tengah antara c dan b, selanjutnya kita sebut nilai tengah ini dengan xn saja. 6. Setelah mendapatkan nilai tengah (xn) ulangi langkah 3 dan 4 sampai f(xn) = 0 atau mendekati 0 (tergantung toleransi yang diberikan). Bila f(xn) = 0 atau mendekati 0 berarti akar persamaannya sudah ditemukan sehingga iterasi dihentikan. a b c Daerah akar bila f(c) > 0 Daerah akar bila f(c) < 0
  6. 6. • Algoritma metode biseksi (1) Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya. (2) Tentukan nilai a dan b. (3) Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N. (4) Hitung f(a) dan f(b.) (5) Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan. (6) Hitung (7) Hitung f(c.) (8) Jika f(c) > 0 maka a = tetap menjadi batas bawah sementara c = batas atas yang baru. Jika f(c) < 0 maka c = batas bawah sementara b = tetap sebagai batas atas. (9) Jika |b-a|<e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6. • Contoh program untuk menghitung dengan metode biseksi uses wincrt; label ulang; var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real; i : integer; ab : char; begin ulang : clrscr; writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan Metode Biseksi'); write( 'Masukan nilai x1 = ' ); readln( x1 ); y1 := x1 * x1 * x1 * + x1 * x1 - 3 * x1 -3; writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4); repeat begin write( 'Masukan nilai x2 = '); c
  7. 7. readln(x2); y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3; write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4); end; if (y1*y2)<0 then Writeln(' Syarat Nilai Ok') else Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai'); until ( y1 * y2 ) < 0; I :=2; Writeln; writeln('Penyelesaian Persamaan Dengan Metode Biseksi, Nilai x1= ',x1:0:2,' & x2= ',x2:0:2); writeln('--------------------------------------------------------------------------'); writeln('n x f(x) error '); writeln('--------------------------------------------------------------------------'); repeat begin i :=i + 1 ; x3 := ( x1 + x2) / 2; y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 -3; if (i mod 10)=0 then readln; if i<10 then writeln(' ',i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::') else writeln(i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::'); if ( y1* y3) <0 then begin x2 :=x3; end else begin x1 := x3; end; end; until abs( y3 )<1E-07; writeln('-------------------------------------------------------------------------'); writeln('akar persamaanya = ',x3); writeln('errornya =',abs( y3 )); writeln('-------------------------------------------------------------------------'); write('Apakah anda ingin mengulanginya (y/t): '); readln(ab); if (ab='y') or (ab='Y') then begin goto ulang; end else donewincrt; end.
  8. 8. • Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi secara manual Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini dengan metode Biseksi: f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0 Penyelesaian: Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2. f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4 f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3 Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2. Langkah 2: mencari nilai x3. Dan f(x3)= 1.53 + 1.52 - 3(1.5) – 3 = -1.875 Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai f(x1)*f(x3)<0 maka : Dan f(x4)= 1.753 + 1.752 - 3(1.75) – 3 = 1.71875 Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7 . Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.73205080 dengan nilai errornya f(x)= 1.2165401131E-08. • Kelebihan dan kekurangan metode biseksi Kelebihan : Metode biseksi lebih mudah dalam pembuatan programnya dan selalu mencapai laju yang konvergen ke arah akar yang diinginkan. Kekurangan : Nilai awal yang harus ditebak lebih banyak dan pencarian akar pendekatan membutuhkan waktu lebih lama karena begitu konvergennya sehingga memerlukan banyak iterasi. • Catatan Bila toleransi error yang kita tentukan pada sebuah metode biseksi semakin kecil, misalnya 0.001 (ataupun lebih kecil lagi) maka banyaknya iterasi yang
  9. 9. dibutuhkan akan semakin bertambah besar. Hal tersebut karena semakin kecil nilai toleransi, maka akan semakin teliti hasil yang diinginkan 2. Metode Newton - Raphson Metode Newton atau yang biasa dikenal dengan metode Newton Raphson dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi. Keunggulan metode ini adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensi linear. Pencarian akar dilihat dari tan gradien grafik suatu fungsi persamaan (turunan fungsi persamaan). Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x. Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan : Xn+1 = Xn - f(Xn) f’(Xn) Metode newton raphson dapat digambarkan sebagai berikut :
  10. 10. • Langkah-langkah menentukan akar dengan metode Newton-Raphson Dengan menggunakan x0 sebagai tebakan awal, dilanjutkan dengan mencari titik (x0, f(x0)). Kemudian dibuat garis singgung dari titik (x0, f(x0)), sehingga diperoleh titik potong (x1, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x0, f(x0)). Kemudian dilanjutkan lagi dengan mencari titik (x1, f(x1)). Dari titik (x1, f(x1)) kemudian dibuat garis singgung, sehingga diperoleh titik potong (x2, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x1, f(x1)). Demikian seterusnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan langkah berikut. tan (beta) = f’(x0) = 10 0 )( xx xf − , maka Iterasi pertama x1 = x0 - )(' )( 0 0 xf xf dilanjutkan iterasi kedua x2 = x1 - )(' )( 1 1 xf xf dan seterusnya, dengan cara yang sama didapat xi+1 = xi - )(' )( i i xf xf (1) iterasi dihentikan jika dua iterasi yang berurutan menghasilkan hampiran akar yang sama (jika selisih antara akar-akarnya relatif sama) atau |xi+1 = xi | < tol Dari bentuk (1), terdapat penyebut f’(xi). Sehingga agar setiap iterasi tidak terjadi kesalahan (error), maka selama iterasi nilai f’(xi)tidak boleh nol, karena pembagi tidak boleh nol.
  11. 11. • Algoritma Metode Newton-Raphson 1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f(x0) dan f1(x0) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e Hitung f(xi) dan f1(xi) 6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh. Flow chartnya :
  12. 12. • Contoh program untuk menghitung akar dengan Metode Newton-Raphson Terapkan Metode Newton Raphson pada persamaan f(x) = x3 + x – 1 = 0. Penyelesaian: f(x) = x3 + x – 1 = 0 , maka f’(x) = 3x2 + 1, sehingga xn+1 = xn - 13 1 2 3 + −+ x xx %metode Newton Raphson %persaman yang diketahui fx=x.^3 + x - 1, fx1 = 3*x^2 +1 xn = 1; tol = 0.000001; fprintf('tol = %10.8fn', tol); fprintf('n xn fx fx1 xn1n'); n=0; fx = xn^3 + xn - 1; fx1 = 3*xn^2 +1; xn1 = xn-fx/fx1; fprintf('%g %8.6f %8.6f %8.6f %8.6fn',n,xn,fx,fx1,xn1); while abs((xn1 - xn)/xn1) > tol
  13. 13. xn = xn1; n=n+1; fx = xn^3 + xn - 1; fx1 = 3*xn^2 + 1; xn1 = xn -fx/fx1; fprintf('%g %8.6f %8.6f %8.6f %8.6fn',n,xn,fx,fx1,xn1); end; fprintf('%g %8.6f n',n,xn); fprintf('n|(xn1 - xn)/xn1| = %8.6f <= tol = %8.6fn', abs((xn1 - xn)/xn1),tol); fprintf('Akarnya = %8.6f, banyak iterasi = %g n',xn1,n); OUTPUTNYA : tol = 0.00000100 n xn fx fx1 xn1 0 1.000000 1.000000 4.000000 0.750000 1 0.750000 0.171875 2.687500 0.686047 2 0.686047 0.008941 2.411979 0.682340 3 0.682340 0.000028 2.396762 0.682328 4 0.682328 0.000000 2.396714 0.682328 4 0.682328 |(xn1 - xn)/xn1| = 0.000000 <= tol = 0.000001 Akarnya = 0.682328, banyak iterasi = 4 • Contoh soal dan penyelesaian metode Newton-Raphson secara manual
  14. 14. • Kelebihan dan kekurangan metode Newton-Raphson Kelebihan : Bila taksiran awal kebetulan memang mendekati akar yang sesungguhnya maka waktu yang dibutuhkan untuk menghitung akar lebih cepat. Kekurangan : Bila taksiran awal tidak tepat, hasilnya justru akan divergen (semakin menjauhi nilai akar yang sebenarnya). • Permasalahan pada pemakaian metode Newton-Raphson 1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F’(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari F (x) F’( x) sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: Pendekatan pada titik puncak Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.
  15. 15. 2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Titik pendekatan berada diantara 2 titik puncak Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda. • Penyelesaian permasalahan yang timbul pada metode Newton-Raphson Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini, maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan : 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi ±δ dimanaδ adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian F1(xi ) ≠ 0 dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. 2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson Contoh : Selesaikan persamaan :
  16. 16. x . e-x + cos(2x) = 0 Bila menggunakan titik pendekatan awal x0 = 0,176281 f(x) = x . e-x + cos(2x) f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) Sehingga F(x0) = 1,086282 dan F1(x0) = -0,000015 Perhatikan grafik dari fungsi ini: Grafik y=x.e-x+cos(2x) Iterasi menggunakan metode Newton Raphson adalah sebagai berikut: Akar yang ditemukan adalah x=71365, padahal dalam range 0 sampai dengan 1 terdapat akar di sekitar 0.5 s/d 1. Untuk menghindari ini sebaikan digunakan grafik atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang baik.
  17. 17. Bila digunakan pendekatan awal x0=0.5 maka dengan iterasi dari metode Newton - Raphson diperoleh: Akar yang ditemukan adalah x=0.973692. • Algoritma metode Newton – Raphson dengan modifikasi tabel : Dengan menggunakan algoritma newton raphson yang dimodifikasikan diharapkan akar yang diperoleh sesuai dengan harapan dan bila terdapat lebih dari satu akar dalam range ditunjuk, akan ditampilkan semuanya.
  18. 18. Contoh : Hasil dari penyelesaian persamaan x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range [0,5] adalah sebagai berikut :
  19. 19. KESIMPULAN 1. Metode biseksi merupakan salah satu contoh pendekatan numerik dengan metode akolade (Bracketing Mode). Langkah awal untuk menghitung akar sebuah fungsi dengan metode ini adalah dengan menebak 2 nilai awal sebagai batas bawah dan batas atas. 2 nilai tersebut harus memiliki tanda yang berlawanan (positif dan negatif). Dari 2 nilai awal tersebut, tentukan nilai tengah yang akan membagi daerah hasil menjadi 2 bagian. Cek masing- masing daerah dengan aturan yang ada pada metode biseksi untuk mengetahui daerah mana yang mengandung akar dan daerah mana yang tidak. Langkah ini diulangi terus-menerus hingga akar yang diinginkan ditemukan. Kelebihan dari metode ini adalah hasilnya selalu konvergen (mendekati akar yang sebenarnya) tapi kcepatannya untuk mencapai akar yang sebenarnya lambat karena memerlukan banyak iterasi. 2. Metode Newton-Raphson adalah salah satu contoh pendekatan numerik dengan metode terbuka. Disebut metode terbuka karena akarnya tidak dibatasi oleh batas bawah ataupun batas atas seperti pada metode biseksi. Metode ini menggunakan tan dari grafik persamaan fungsi atau menggunakan turunan fungsi tersebut. Langkah awal menentukan metode ini adalah dengan mendefinisikan persamaan fungsi dan turunan fungsi tersebut terlebih dahulu. Setelah itu, tentukan nilai awal x yang diperkirakan merupakan akar persamaan. Masukkan x tersebut ke dalam persamaan fungsi dan turunannya kemudian cek apakah x tersebut benar-benar akar asli persamaan dengan aturan yang berlaku pada metode Newton-Raphson. Kelebihan metode ini adalah bila perkiraan akar ataupun nilai awal sudah tepat, maka waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan akar persamaan pun lebih cepat daripada waktu yang dibutuhkan oleh metode biseksi. Namun bila tebakan awal salah, maka semakin lama, hasil perhitungan justru akan semakin menjauhi akar yang sebenarnya. Oleh karena itu metode ini membutuhkan ketelitian dan ketepatan yang besar.
  20. 20. 3. Metode Newton-Raphson ternyata kadang memiliki permasalahan dalam implementasinya. Permasalahan terjadi antara lain jika titik pendekatan berada pada titik ekstrim atau puncak sehingga nilai penyebut / f’(x) akan menjadi nol dan hasil akhir perhitungan akan menjadi tak terhingga. Permasalahan lain yang mungkin muncul adalah bila titik pendekatan berada pada dua titik puncak maka akibatnya akan menghilangkan penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda. 4. Cara yang dapat ditempuh untuk mengatasi permasalahan yang timbul pada metode Newton-Raphson adalah dengan menggeser titik pendekatan bila titik itu berada di titik puncak serta menggunakan metode tabel terlebih dahulu untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berjauhan sehingga konvergensi bisa terjamin. 5. Baik pada metode biseksi ataupun Newton-Raphson, toleransi pendekatan sama-sama dibutuhkan untuk mendapat akar persamaan yang benar-benar tepat. Semakin kecil toleransi maka semakin teliti hasil yang diinginkan. 6. Besarnya toleransi berbanding terbalik dengan jumlah iterasi. Semakin kecil nilai toleransi maka semakin banyak iterasi yang dibutuhkan, sebaliknya, semakin besar toleransi maka semakin sedikit iterasi yang dibutuhkan.
  21. 21. DAFTAR RUJUKAN 1. Implementasi Penyelesaian Persamaan dengan Metode Newton-Raphson, 2009, one.indoskripsi.com/judul-skripsi-makalah-tentang/newton-raphson 2. Subakti, Irfan.2006. Modul Metode Numerik, ITS, Surabaya 3. www.snapdrive.net/files/544779/Metode Numerik 4. http://www.informatika.org/~rinaldi/Buku/Metode%20Numerik/BAb- %2001%20Metode%20Numerik%20Secara%20Umum.pdf 5. http://jack_w.staff.gunadarma.ac.id 6. http://gofar.files.wordpress.com/2007/09/modul-numerik1.pdf 7. www.malang.ac.id/e-learning/FMIPA/Susy%20KA/Persamaan/Newton.htm

×