EL METODO DE GAUSS
Un problema referente a Gauss PulsKarl Friedrich Gauss, matemático, físico y astrónomo alemán nació en la ciudad de Brunsw...
Un problema referente a Gauss <ul><li>“ El número de tres cifras que falta, satisface que:
cinco veces la cifra de las unidades, más diez veces la cifra de las decenas, menos cinco veces la de las centenas es igua...
Un problema referente a Gauss <ul><li>Solución.
Llamamos  x ,  y , y  z  a las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas respectivamente.
Escribimos las ecuaciones </li></ul>
Un problema referente a Gauss <ul><li>5 x  + 10 y  –5 z   = 35
x  –  y  + 5 z   = 40  (1)
– x  + 2 y  + 2 z   = 21 </li></ul>
Un problema referente a Gauss <ul><li>Observamos que el coeficiente de x en la segunda ecuación es uno, entonces escribimo...
Un problema referente a Gauss <ul><li>Así:
x –y + 5z = 40
5x + 10y –5z = 35  (2)
– x + 2y + 2z = 21
Multiplicamos por (–5 ) la primera ecuación del sistema (2) y la sumamos a la segunda </li></ul>
Un problema referente a Gauss <ul><li>– 5x + 5y –25z = –200
5x + 10y –5z =  35
15y –30z = –165
Simplificamos dividiendo el resultado entre 15 y obtenemos y –2z = –11, ahora sustituimos la segunda ecuación por la que a...
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Metodo de gauss

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Metodo de gauss

  1. 1. EL METODO DE GAUSS
  2. 2. Un problema referente a Gauss PulsKarl Friedrich Gauss, matemático, físico y astrónomo alemán nació en la ciudad de Brunswick en 1777. Resolviendo el sistema de ecuaciones que definen las siguientes condiciones, es posible conocer el año de su muerte. e para añadir texto
  3. 3. Un problema referente a Gauss <ul><li>“ El número de tres cifras que falta, satisface que:
  4. 4. cinco veces la cifra de las unidades, más diez veces la cifra de las decenas, menos cinco veces la de las centenas es igual a 35. La cifra de las unidades menos la cifra de las decenas, más cinco veces la de las centenas es igual a 40. El doble de la cifra de las centenas, menos la de las unidades, más el doble de la de las decenas es igual a 21” </li></ul>
  5. 5. Un problema referente a Gauss <ul><li>Solución.
  6. 6. Llamamos x , y , y z a las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas respectivamente.
  7. 7. Escribimos las ecuaciones </li></ul>
  8. 8. Un problema referente a Gauss <ul><li>5 x + 10 y –5 z = 35
  9. 9. x – y + 5 z = 40 (1)
  10. 10. – x + 2 y + 2 z = 21 </li></ul>
  11. 11. Un problema referente a Gauss <ul><li>Observamos que el coeficiente de x en la segunda ecuación es uno, entonces escribimos primero esta ecuación. Si ninguna ecuación tuviera coeficiente uno en la primera variable, multiplicamos por el número que corresponda para que ello suceda en la primera ecuación. </li></ul>
  12. 12. Un problema referente a Gauss <ul><li>Así:
  13. 13. x –y + 5z = 40
  14. 14. 5x + 10y –5z = 35 (2)
  15. 15. – x + 2y + 2z = 21
  16. 16. Multiplicamos por (–5 ) la primera ecuación del sistema (2) y la sumamos a la segunda </li></ul>
  17. 17. Un problema referente a Gauss <ul><li>– 5x + 5y –25z = –200
  18. 18. 5x + 10y –5z = 35
  19. 19. 15y –30z = –165
  20. 20. Simplificamos dividiendo el resultado entre 15 y obtenemos y –2z = –11, ahora sustituimos la segunda ecuación por la que acabamos de obtener: </li></ul>
  21. 21. Un problema referente a Gauss <ul><li>x –y + 5z = 40
  22. 22. y – 2z = –11 (3)
  23. 23. – x + 2y + 2z = 21
  24. 24. Repetimos el procedimiento ahora usando las ecuaciones primera y tercera, para eliminar x en la tercera ecuación del sistema (3). Como en este caso el coeficiente de x en la última ecuación es uno, no hace falta multiplicar la primera por algún factor, sólo sumamos la primera y la tercera. </li></ul>
  25. 25. Un problema referente a Gauss <ul><li>x – y + 5z = 40
  26. 26. – x + 2y + 2z = 21
  27. 27. y + 7z = 61
  28. 28. Sustituimos la tercera ecuación de (3) por la obtenida y obtenemos </li></ul>
  29. 29. Un problema referente a Gauss <ul><li>x – y + 5z = 40
  30. 30. y – 2z = – 11 (4)
  31. 31. y + 7z = 61
  32. 32. En la segunda ecuación y tiene coeficiente 1; si no fuera así, multiplicamos por el factor que haga falta para lograrlo. Ahora multiplicamos la segunda ecuación del sistema obtenido por –1 y la sumamos a la tercera </li></ul>
  33. 33. Un problema referente a Gauss <ul><li>– y + 2z = 11
  34. 34. y + 7z = 61
  35. 35. 9z = 72.
  36. 36. Sustituimos la tercera ecuación de (4) por la obtenida, entonces </li></ul>
  37. 37. Un problema referente a Gauss <ul><li>x – y + 5z = 40
  38. 38. y – 2z = – 11 (5)
  39. 39. 9z = 72
  40. 40. Dividiendo entre 9 la última ecuación del sistema (5) obtenemos
  41. 41. z = 8 </li></ul>
  42. 42. Un problema referente a Gauss <ul><li>Entonces sustituyendo este valor de z en la segunda ecuación de (5) y despejando la y tenemos
  43. 43. y – 16 = – 11
  44. 44. y = – 11 + 16
  45. 45. y = 5 </li></ul>
  46. 46. Un problema referente a Gauss <ul><li>y por último sustituimos el valor de la z y el de la y, en la primera ecuación de (5) para obtener el valor de la x
  47. 47. x – 5 + 5(8) = 40
  48. 48. x + 35 = 40
  49. 49. x = 5. </li></ul>
  50. 50. Un problema referente a Gauss <ul><li>Así el número buscado es 855.
  51. 51. Gauss murió en 1885. </li></ul>
  52. 52. Un problema referente a Gauss <ul><li>Comprobación:
  53. 53. Sustituimos los valores x = 5, y = 5 y z = 8 en el sistema (1):
  54. 54. Primera ecuación:
  55. 55. 5x + 10y – 5z = 5(5) + 10(5) – 5(8) = 35 </li></ul>
  56. 56. Un problema referente a Gauss <ul><li>Segunda ecuación:
  57. 57. x – y + 5z = 5 – (5) + 5(8) = 40
  58. 58. Tercera ecuación:
  59. 59. – 5 + 2(5) + 2(8) = 21 </li></ul>
  60. 60. Un problema referente a Gauss <ul><li>El Método usado para resolver el problema anterior se llama método de Gauss o eliminación Gaussiana. </li></ul>
  61. 61. 3x +2y + z = 1 5x +3y +4z = 2 x + y - z = 5 El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida. A B C La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? AHORA PRACTICA TU CON ESTOS EJERCICIOS
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