Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuacion es.

Las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano.

Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema .

Resolver un sistema es hallar la intersección de los conjuntos solución de la ecuación que la forman, es decir que debemos encontrar el o los puntos par los cuales a igual valor de x le corresponde igual valor de y en ambas ecuaciones. Dicha intersección puede ser: • Un único punto ( x,y ) que satisface a las dos ecuaciones. En este caso el sistema se dice que es compatible determinado. • No existe ningún punto ( x;y ) que satisface a ambas ecuaciones. En este caso el sistema es incompatible. • Existen infinitas soluciones que satisfacen a ambas ecuaciones, este sistema es compatible indeterminado.

Tomamos como ejemplo = ->

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo. 2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: 3 Resolvemos la ecuación obtenida: 4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. 5 Solución Tomamos como ejemplo = -> x= 8 - 2.3 = 8-6 X = 2 24-6y-4y = -6 -10y = -30 Y=3

1 Lo más fácil es suprimir la y , de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso. 2 Restamos y resolvemos la ecuación: 3 Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. 4 Solución : Tomamos como ejemplo = ->

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y . 5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado. Solución: • z = 1 • − y + 4 ·1 = −2 y = 6 • x + 6 −1 = 1 x = −4 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación , para eliminar el término en x .

Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas: Método de Gauss Consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente . 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas . 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: Tomamos como ejemplo = ->

Sistemas de ecuaciones no lineales: La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución , para ello seguiremos los siguientes pasos: Tomamos como ejemplo = -> 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado . • y = 7 − x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. • x 2 + (7 − x) 2 = 25 3º Se resuelve la ecuación resultante. • x 2 + 49 − 14x + x 2 = 25 • 2x 2 − 14x + 24 = 0 • x 2 − 7x + 12 = 0 4º Cada uno de l os valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. • x = 3 y = 7 − 3 y = 4 • x = 4 y = 7 − 4 y = 3

Dado el sistema: Debemos llevar cada una de las ecuaciones del sistema a la forma explicita: Para luego, poder graficarlas en un mismo sistema de ejes cartesianos. A modo de ejemplo solo se despejara una de las ecuaciones. La otra queda como ejercitación. Luego armamos las tablas de valores correspondientes (de cada recta) para encontrar los puntos de cada recta:

Clasificación sistemas de ecuaciones: Sistema compatible determinado : Tiene una sola solución. • x = 2, y = 3 Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.

Sistema compatible indeterminado : El sistema tiene infinitas soluciones. Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución .

Sistema incompatible : No tiene solución Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

Bibliografía
http:// www.vitutor.net /1/36. html
http:// es.wikipedia.org / wiki / Sistema_de_ecuaciones

http://nuestrabiblioteca-profjulianaisola.blogspot.com	23
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Sistemas de ecuaciones

by Juliana Isola

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