1. Alumno: uño Julian
Profesor/a: Isola Juliana
Temas:
Función Cuadrática
Ecuaciones Cuadráticas
Ecuaciones con 3 puntos
Sistema de dos ecuaciones mixtas
Propiedades de las raíces
Intervalos en la recta real – clasificación
Modulo: propiedades, ecuaciones e inecuaciones
Números complejos
Recuperación 1er trimestre de
matemática
2. Función Cuadrática
La función cuadrática es la función polinomica de segundo grado: f(x) = ax² +
bx + c. En el que siempre a, b y c son números reales y a≠0
Partes de una función:
f(x) = ax² + bx + c
La representación grafica de una función cuadrática es una parábola y para
graficarla se deben calcular los elementos de esta y luego representarla
• Raíces de la parábola: Son los puntos de intersección de la parábola con el eje
x ; cuando f(x) = 0.
• Vértice de la parábola
• Eje de simetría: Es la recta que tiene por ecuación x = xv.
• Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la parábola con el eje y. Es
decir el valor de c.
Termino Cuadrático
Termino
Lineal
Termino
Independiente
6. Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas son aquellas ecuaciones de segundo grado y que su
forma general es: ax² + bx + c = 0. En el que a , b y c pertenecen a los reales y que
a tiene que ser distinto de cero.
Ecuaciones incompletas:
•Si b = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax² + c = 0
•Si c = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax² + bx = 0
Ecuaciones completas:
Si la ecuación es completa, o sea que ninguno de sus coeficientes es nulo; los
valores de x que la verifican se hallan aplicando la siguiente formula.
7. Casos para averiguar el numero de soluciones
• b2 − 4ac > 0 : La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos. Ejemplo:
• b2 − 4ac = 0 : La ecuación tiene una solución doble. Ejemplo:
• b2 − 4ac < 0 : La ecuación no tiene soluciones reales. Ejemplo:
8. Encontrando ecuaciones con 3 puntos
Ejemplo: (1;12), (-1;2) y (2;20) siempre partimos de
A. Reemplazamos los valores y resolvemos: B. Igualamos a c en las 3 ecuaciones:
x y
Punto 1= (1;12) 1) 12= a+ b + c 12 – a – b= c
Punto 2= (-1;2) 2) 2= a – b+ c 2 – a + b= c
Punto 3= (2;20) 3) 20= 4a+ 2b + c 20 – 4 a – 2b= c
C. Elegimos las dos primeras para igualarlas, luego las 2 ultimas y por ultimo reemplazamos
uno de los resultados de las ecuaciones en la otra y tendremos todas las letras
12 – a – b= 2 – a + b 2 – a + b = 20 – 4 a – 2b a + b = 2
12 – 2 = 2 – 2 + b – a + b +4 a + 2b = 20 – 2 a + 5 = 2
10 = 2b 3 a + b = 18 : 3 a = – 3
5 = b a + b = 6 : 3
a + b = 2 12 – a – b = c
D. se reemplaza las letras encontradas 12 + 3 – 5 = c
En una ecuación igualada a c en paso B. 10 = c
E. Una vez obtenidos los valores podemos obtener la parábola: y = – 3x² + 5x + 10
9. Sistema de dos ecuaciones mixtas
Los sistemas de ecuaciones formados por una ecuación de primer grado y otra de segundo
(heterogéneos) , o por dos ecuaciones de segundo grado (homogéneos), se denominan
sistemas mixtos.
11. Propiedades de las raíces
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se cumple:
1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2, es
demostración:
2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 × x2, es
demostración:
El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de cuadrados:
12. Intervalo en la recta real - clasificación
Los intervalos intervalos en la recta real son subconjuntos de números reales, como
los números reales se grafican en la recta numérica, los intervalos son segmentos o
semirrectas de la recta real.
Clasificación:
13. Por ultimo módulos y números complejos
Pequeña definición de módulos: También llamado valor absoluto, se define como la distancia de un número
al 0(cero), simbólicamente su notación es lxl; su definición algebraica nos dice que:
lxl = x si ≥0
-x si < 0
Propiedades:
•El modulo de un numero real es igual al de su opuesto y, además, es negativo. |x|= |-x|≥ 0
•El modulo del producto de dos números reales es igual al producto de los módulos de esos números. |a. b| =
|a|. |b|
•El modulo de la suma de dos números reales es igual o menor que la suma de los módulos de esos números.
Esta propiedad se denomina desigualdad triangular .|a + b| ≤ |a| + |b|
•El modulo de la diferencia de dos números reales es igual o mayor que la diferencia de los módulos de esos dos
números. |a – b| ≥ |a| - |b|
Definición de números complejos: Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la
suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, es aquel que puede ser expresado por
un numero entero o decimal. Los números imaginarios surgen de la necesidad de calcular raíces cuadradas de
números negativos. La unidad imaginaria es el numero y se designa por la letra i.
ejemplo:
14. Modulo (ecuaciones e inecuaciones)
Ejemplo de una ecuación con modulo:
Propiedades de inecuaciones y ejemplos
ejemplo de propiedad numero 2
