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Funciones logaritmicas

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Funciones Logarítmicas - 2°1° Economía

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  • 1. Logaritmo de un número El logaritmo en base b de un número a es el número c, si b elevado al exponente c da como resultado a. En símbolos: logba = c  bc =ab es la base del logaritmo y debe ser un número positivoy distinto de 1.a es el argumento del logaritmo y debe ser un númeroreal positivo.
  • 2. Enunciado Expresión simbólica Ejemplo numéricoEl logaritmo de 1, en cualquierbase, es 0.El logaritmo de la base es 1.El logaritmo de un producto esigual a la suma de loslogaritmos de los factores, siéstos existen.El logaritmo de un cociente esigual a la resta entre logaritmosdel dividendo y el divisor,respectivamente, si estosexisten.El logaritmo de una potencia esigual al producto del exponentepor el logaritmo de la base.El logaritmo de una raíz esigual al logaritmo del radicandodividido por el índice.Cambio de base: El logaritmoen base a de un número sepuede obtener a partir delogaritmos en otra base.Corolarios o Consecuencias.
  • 3. C AMBIO DE BASE El procedimiento cambio de base nos permite cambiar la base b de un logaritmo por otras mas conveniente. Si llamamos c a la base elegida, podemos aplicar directamente la siguiente formula : Logab=logcb/logca Así podemos obtener con la calculadora científica el logaritmo de un numero en cualquier base. La nueva base que elegiremos será 10 o e. Ejemplo: log2256= log256/log2=8 o bien Log2256= ln256/ln2=8
  • 4. Logaritmos decimales: son aquellos de base 10. Generalmente, la base no seescribe. Por ejemplo:log x = log10xEl número e: es un número irracional cuyo valor aproximado es:e = 2,71828Logaritmos naturales: son los de base e. Se los escribe con ln, es decir que:ln x = Logaritmos con la calculadora: Para obtener logaritmos decimales (en base 10): pulsamos la tecla log Para obtener logaritmos naturales o neperianos (en base e): pulsamos la tecla ln Para obtener logaritmos en otra base, aplicamos cambio de base: (ver “Propiedades de los Logaritmos”)
  • 5. FUNCIÓN LOGARÍTMICALa función logarítmica se simboliza de la manera: y=log a X (Se lee: «Logaritmo en base a de X»)• El dominio de la función Y=log a X es R + , pues coincide con el conjunto imagen de su inversa y=a X
  • 6. • K > 0 a > 1 b > 0 crece• K > 0 a > 1 b < 0 decrece• K > 0 a < 1 b < 0 crece• K > 0 a < 1 b > 0 decrece• K < 0 a > 1 b > 0 decrece• K < 0 a > 1 b < 0 crece• K < 0 a < 1 b < 0 decrece• K < 0 a < 1 b > 0 crece• Desplazamiento horizontal: y = logb(x - a)• Dominio: (0, ∞); R+• Imagen: R• Asíntota vertical: x = a
  • 7. Esta es una representación de la función: y=log2x• El conjunto imagen es R+• Es creciente en todo su dominio• Tiene una asíntota vertical que es el eje y• No corta el eje de ordenadas• Corta el eje de abscisas en x=1
  • 8. En este ejemplo podremos ver en qué afectan las diferentes bases enuna función logarítmica. En el gráfico se encuentran dibujadas lasfunciones: f(x)= log2x G(x)= log3 x H(x)=log1/2x J(x)= log1/3x
  • 9. Conclusiones: Características comunes:  Cortan al eje de abscisas en el punto (0 ; 1)  No cortan el eje de ordenadas, y el conjunto imagen es R+  Tiene una asíntota vertical que es el eje x Diferencias:  Si la base es mayor que 1, la función es creciente  Si la base es menor que 1, la función es decreciente  Las curvas correspondientes a funciones de bases recíprocas son simétricas
  • 10. En este caso se graficaron las funciones:f(x) = log2xDominio: R+ Asíntota: Eje yg(x) = log2(x-2)Dominio: [2;+∞] Asíntota: x = 2h (x) = log2(x+1)Dominio: R Asíntota: x = -1• Si trasladamos el gráfico de f(x) = log2xdos unidades hacia la derecha, obtenemosel gráfico de la función g(x) = log2(x-2)• Si trasladamos el gráfico de f(x) = log2xuna unidad hacia la izquierda, obtenemos el gráfico de la función h(x) = log2(x+1)• El desplazamiento horizontal, en estos casos, modifica el dominio de la función y la asíntota.
  • 11. En todos los casos en que se aplican lasfunciones exponenciales, como losexpuestos anteriormente, son necesarios lologaritmos para averiguar los valores de lasvariables que aparecen como incógnitas enlos exponentes
  • 12. La escala de Ritcher, utilizada para medir la intensidadde los terremotos, es una escala logarítmica de base 10.La magnitud de un terremoto en esa escala está dadapor la fórmula: M = log pDonde M es el grado de la escala de Ritcher y p es lapotencia, que indica cuántas veces mayor fue laamplitud de la onda sísmica del terremoto encomparación con una onda de referenciacorrespondiente a la situación normal.
  • 13. La concentración de iones hidrógeno enuna solución determina su grado deacidez. Como se trata de cantidades muypequeñas, se inventó una escalalogarítmica que facilita su manejo.La fórmula que relaciona el pH de unasolución con la concentración de ioneshidrógeno es la siguiente: pH = log(1/[H+]), donde [H+] representa los molesde iones hidrógeno por litro.
  • 14. BIBLIOGRAFÍA  Matemática 2 - Santillana – Serie Perspectivas  Matemática 1 – Santillana – Tapa Negra  Apuntes de clase

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