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Estructuras hiperestaticas
- 1. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT.
- 2. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 2 ANTES DE EMPEZAR… El presente libro digital multimedia es una pequeña muestra del contenido que aparece en el Máster. La lectura y visualización del siguiente libro no es equiparable a la impartición académica del Máster, que requiere de una dedicación constante y continua hacia el alumno por parte de los profesores y tutores. La formación que ofrece Zigurat consiste en una experiencia completa cuyo valor reside en el seguimiento pedagógico y en el contacto personal. Existe una colaboración constante entre profesores y alumnos, los cuales también aprenden compartiendo sus respectivas experiencias profesionales y personales. Por medio del networking, se generan sinergias y contactos profesionales de enorme utilidad para los alumnos. Además, en el Máster de Zigurat los contenidos son más extensos, profundizan en la materia y aportan abundantes ejemplos y proyectos basados en casos reales. Se trata de una formación con un enfoque práctico y profesionalizante, para que el alumno pueda afrontar sus proyectos con seguridad. Tanto la metodología como el entorno formativo han sido diseñados teniendo en cuenta las necesidades del alumno. Si bien los contenidos están estructurados de forma secuencial, los alumnos pueden navegar libremente a cualquier módulo y/o unidad didáctica o recurso pedagógico. Los contenidos están diseñados con un formato audiovisual multimedia que facilita su seguimiento. Los Másteres cuentan con ejercicios, demostraciones y casos prácticos, así como ejemplos con imágenes, fotografías, y vídeos comentados por su autor que permiten asimilar de forma ágil los aspectos más importantes. Todo ello para enriquecer la experiencia formativa del alumno. Nuestra plataforma de servicios de e-learning le ayudará a potenciar la utilidad de los contenidos online, en un entorno colaborativo. En un Máster de Zigurat contará con los siguientes servicios: Foro Dudas Técnicas: Plantear dudas, solicitar aclaraciones, realizar aportaciones para el análisis de conceptos, resolver dudas de otros compañeros y contribuir con la participación activa a que el foro del curso sea un espacio para un aprendizaje enriquecedor para todos. Videoconferencias en Directo: Según la acción formativa se realizan ponencias, tutorías técnicas, demostraciones mediante sesiones de Videoconferencias. Descargas: El núcleo de la aplicación lo forma el Campus virtual, accesible a todos los alumnos, desde donde pueden visualizar el temario del curso. Tiene a su disposición la posibilidad de descargar el temario en formato
- 3. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 3 PDF. También se dispone de un espacio destinado a descargar temas relacionados con el curso o material de apoyo para la resolución de las prácticas con CYPE. Otros: • Seguimiento al alumno: el dinamizador estará en continuo contacto con el alumno, de forma que note que 'está acompañado' en todo su proceso de aprendizaje, a través del foro. • Foros Dudas Académicas: espacio de comunicación del responsable de guiar a los alumnos y de dar solución a dudas con respecto a la planificación, las herramientas online, licencias temporales de CYPE. • Agenda: permite al alumno consultar las distintas tareas a realizar para asegurar un correcto seguimiento de la formación.
- 4. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 4 ÍNDICE DE CONTENIDOS Estructuras Hiperestáticas. 1. Resolución de vigas hiperestáticas por compatibilidad .................................................5 1.1 Viga empotrada-apoyada con carga uniforme.............................................. 6 1.2 Viga biempotrada con carga uniforme........................................................ 10 1.3 Viga continua de dos tramos iguales con carga uniforme .......................... 14 1.4 Viga continua de dos vanos diferentes con carga uniforme ....................... 16 2. Esfuerzos isostáticos y esfuerzos hiperestáticos ........................................................20 3. Conceptos de cálculo matricial....................................................................................22 3.1 Definición de rigidez ................................................................................... 23 3.2 Rigidez a esfuerzo axil ............................................................................... 24 3.3 Rigidez a momento flector.......................................................................... 27
- 5. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 5 1. Resolución de vigas hiperestáticas por compatibilidad En las estructuras isostáticas las ecuaciones de equilibrio nos permiten calcular las reacciones y los esfuerzos. Ocurre, por ejemplo, en el caso de una viga con un apoyo fijo y un apoyo deslizante. Figura 1.1 Viga apoyada-deslizante Si las cargas son únicamente verticales también es el caso de una viga biapoyada, ya que las fuerzas horizontales no intervienen, es decir, las dos vigas de la figura son equivalentes. Figura 1.2 Equivalencia de viga apoyada deslizante y viga biapoyada sin cargas horizontales En las estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio no son suficientes y hay que analizar la deformabilidad de las barras. En el caso de las vigas con carga vertical, esto ocurre en cuanto tenemos algo más que una simple viga apoyada, es decir, en vigas de un tramo con uno o dos empotramientos y en vigas continuas. Para analizarlas, haremos que los giros en los empotramientos sean nulos y los giros en los apoyos continuos sean iguales en las dos barras que acometen al nudo. Figura 1.3 Giros conocidos
- 6. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 6 1.1 Viga empotrada-apoyada con carga uniforme La viga empotrada-apoyada es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos conocer la reacción vertical en ambos apoyos y el momento en el empotramiento, es decir, tenemos 3 incógnitas y el equilibrio sólo nos ofrece 2 ecuaciones: SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de fuerzas horizontales no interviene). Figura 1.4 Cargas y reacciones La tercera pista nos la da la deformación: El giro en el empotramiento es nulo: 0=Aϕ Figura 1.5 Giro nulo en el empotramiento Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos por un lado la viga como isostática y por otro lado la viga sometida únicamente al empotramiento. Figura 1.6 Superposición de cargas La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las dos vigas ficticias. En particular, nos interesa que el giro de la barra en el empotramiento –que sabemos que tiene que ser nulo por definición de empotramiento- será igual a la suma del giro en el ambas vigas ficticias.
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- 8. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 8 Ejemplo Tenemos una viga IPE 300 de 7,00 m empotrada en un extremo en un muro de hormigón y apoyada en el extremo contrario en un muro de fábrica, con una carga uniforme de 30 kN/m. ¿Cuál es la reacción en cada extremo? Solución El momento de inercia de un IPE 300 es 8356 cm4 =83560000 mm4 El giro en el apoyo A de la viga con carga permanente es: 024434,0 8356000021000024 ³700030 ··24 · 3 1, −= ×× × −=−= y A IE Lq ϕ El giro en el apoyo A de la viga con momento en dicho apoyo es: 10330,1 83560002100003 7000 · ··3 · 2, −×= ×× == EMM IE LM AA y A Aϕ Superponemos ambos e igualamos a cero. 10330,1·024434,00 2,1, −+−=+== EM AAAA ϕϕϕ Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo. kNmNmm E M A ·05,183·183046536 10330,1 024434,0 == − = Podemos comprobar que coincide –salvando redondeos- con el valor que nos habría ofrecido la fórmula obtenida para el momento en el empotramiento: mkNmmN Lq M A 75.183183750000 8 ²700030 8 ²· == × == Una vez obtenido MA, el problema se reduce al de una viga isostática equivalente al problema inicial.
- 9. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 9 Para calcular RB, anulamos momentos respecto al extremo izquierdo kNRRM BB 74,78005,300,73078,1830 =⇒=××−×+⇒=∑ Por equilibrio de fuerzas verticales podemos obtener RA kNRRRRFz AABA 26,13100,73074,780 =⇒×=+=+⇒=∑ Es interesante observar que la reacción vertical en el empotramiento es sensiblemente mayor que la reacción vertical en el apoyo simple.
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- 11. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 11 2,1,0 AAA ϕϕϕ +== Figura 1.12 Superposición de giros El giro en el extremo A de la viga con carga permanente es: y A IE Lq ··24 · 3 1, −=ϕ El giro en el extremo A de la viga con momento en dicho extremo es: y A A IE LM ··3 · 2, =ϕ El giro en el extremo A de la viga con momento en el extremo B es: y B A IE LM ··6 · 3, −=ϕ Superponemos e igualamos a cero. y B y A y AAAA IE LM IE LM IE Lq ··6 · ··3 · ··24 · 0 3 3,2,1, −+−=++== ϕϕϕϕ Obviamente, no es suficiente, tenemos dos incógnitas. La manera más genérica de resolverlo sería anular el giro en el extremo derecho, que sería: y B y A y BBBB IE LM IE LM IE Lq ··3 · ··6 · ··24 · 0 3 3,2,1, +−=++== ϕϕϕϕ De este modo, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. No obstante, en este caso particular tenemos un atajo: la viga es simétrica y los momentos serán iguales (aunque de sentido contrario): MB=-MA Por lo tanto, la condición de giro nulo en el extremo izquierdo se puede poner: y A y A y AAAA IE LM IE LM IE Lq ··6 · ··3 · ··24 · 0 3 3,2,1, ++−=++== ϕϕϕϕ Simplificando:
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- 13. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 13 mkNmmN Lq M A 50,122122500000 12 ²700030 12 ²· == × == Una vez obtenido MA, el problema se reduce al de una viga isostática equivalente al problema inicial. Calculamos la flecha para cada una de las acciones y superponemos. La flecha debida a la carga es de 53.45 mm hacia abajo.La flecha debida a cada uno de los momentos –por simetría es igual para ambos- es ascendente y de valor 21,38 mm. En total: 53,45-21,38-21,38=10,69 mm hacia abajo.
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- 15. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 15 Solución En primer lugar calculamos el momento flector en el apoyo: mkN Lq M 30 8 ²415 8 ²· = × == A partir de ahí, cada tramo de la viga es asimilable a una viga isostática sobre la que actúa la carga lineal y el momento antes calculado. Equilibramos momentos del tramo izquierdo respecto al apoyo central: 030 2 00,4 00,41500,4 2 ··· =+××−×=+− AA RM L LqLR Por lo tanto: RA=22,50 kN Por simetría: RC=22,50 kN Y por equilibrio de fuerzas verticales RB=q·L+q·L-RA-RC=15×4,00+15×4,00-22,5-22,5=75 kN. Si ambas vigas fuesen biapoyadas, habríamos obtenido RA=RC=30 kN y RB=60 kN. Concluimos entonces que la carga del apoyo central se incrementa por los efectos hiperestáticos de la continuidad y, consecuentemente, la carga de los apoyos extremos disminuye.
- 16. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 16 1.4 Viga continua de dos vanos diferentes con carga uniforme La viga continua es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos conocer la reacción vertical en los 3 apoyos, es decir, tenemos 3 incógnitas y el equilibrio sólo 2 ecuaciones: SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de fuerzas horizontales no interviene). Figura 1.16 Reacciones verticales La condición que nos falta la obtenemos de la compatibilidad de deformaciones. La viga es continua, por lo que el giro a ambos lados del apoyo central debe ser igual dBiB ,, ϕϕ = Figura 1.17 Compatibilidad de giros Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos por un lado la viga como isostática y por otro lado la viga sometida únicamente al empotramiento. Figura 1.18 Superposición de acciones La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las dos vigas ficticias. En particular, nos interesa que el giro de la barra en el empotramiento –que sabemos que tiene que igual en ambos tramos- será igual a la suma del giro en el ambas vigas ficticias. 2,,1,,,,2,,1,, dBdBdBiBiBiB ϕϕϕϕϕϕ +===+ Calculamos primero el giro de apoyo B por la izquierda: Por la carga permanente:
- 17. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 17 y i iB IE Lq ··24 · 3 1,, =ϕ Por el momento: y iB iB IE LM ··3 · 2,, −=ϕ Calculamos ahora el giro del apoyo B por la derecha: Por la carga permanente: y d dB IE Lq ··24 · 3 1,, −=ϕ Por el momento: y dB dB IE LM ··3 · 2,, =ϕ Superponemos ambos estados e igualamos los momentos a derecha e izquierda. 2,,1,,2,,1,, dBdBiBiB ϕϕϕϕ +=+ y dB y d y iB y i IE LM IE Lq IE LM IE Lq ··3 · ··24 · ··3 · ··24 · 33 +−=− Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo: dB d iB i LM Lq LM Lq · 8 · · 8 · 33 +−=− iBdB di LMLM LqLq ·· 8 · 8 · 33 +=+ ( )33 · 8 )( diidB LL q LLM +=+ ( ) )( · 8 33 id di B LL LLq M + + = Conocido MB, cada uno de los tramos se trata como una viga isostática, el cálculo de las reacciones verticales se obtiene por equilibrio y los diagramas de esfuerzos y las flechas se obtienen con la formulación habitual.
- 18. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 18 Figura 1.19 Vigas isostáticas equivalentes Ejemplo Tenemos una viga IPE 200 de 8,00 m apoyada en tres muros separados 5,00 m y 3,00 m entre sí y con una carga uniforme de 20 kN/m ¿Cuál es el momento flector sobre el apoyo central? Solución Igualamos los giros a ambos lados del apoyo central. 2,,1,,,,2,,1,, dBdBdBiBiBiB ϕϕϕϕϕϕ +===+ Para simplificar los cálculos y visualizar mejor los giros, aprovecharemos que al ser la viga del mismo material y sección, el producto E·Iy es constante y por lo tanto, al efectuar las operaciones, desaparece, de modo que da igual el valor que tomemo. Supondremos que E·Iy=1. Además, operaremos en m y kN, con lo que los números resultan mucho más legibles.
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- 21. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi – © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. www.e-zigurat.com RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT. Conceptos Prácticos de Estructuras. Estructuras Hiperestáticas. 21 Los esfuerzos hiperestáticos son los originados por el momento flector en el apoyo. Figura 2.2 Esfuerzos hiperestáticos en una viga continua La dirección de las reacciones evidencia que el efecto hiperestático aumenta la reacción en el apoyo central y la disminuye en los apoyos extremos, como ya sabíamos. Cuando hay momentos en los extremos (por ejemplo, por la presencia de voladizos) y en vigas de más de dos vanos, como regla pnemotécnica es útil pensar que el valor de las reacciones hiperestáticas de cada vano es el cociente entre la diferencia de momentos en los extremos del vano y la luz del propio vano R=(Mizda-Mdcha)/L y –este es el punto que suele provocar mayores dificultades- este valor se suma en el extremo cuyo momento es más negativo, es decir, más alto en la gráfica, y se le resta al otro extremo. Vídeo 2.2 Esfuerzos isostáticos e hiperestáticos
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