Conceptos básicos sobre probabilidad condicional y teorema de Bayes

2. P( •| B) es una función de probabilidad y por lo tanto se verifican todas las propiedades de una probabilidad: P( φ | B) = 0 P(A c | B) = 1 − P(A | B) Si A y C son disjuntos: P(AUC | B) = P(A | B) + P(C | B) P(AUC | B) = P(A | B) + P(C | B) − P(A ∩ C | B) En general: P(A | B) ≠ P(B | A) PROBABILIDAD CONDICIONAL

3. La probabilidad de que una empresa venda un producto defectuoso cuando la producción se somete a un proceso diario de control de calidad (C.C.) es 0,005. La probabilidad de que un día no haya control de calidad es 0,05 y la probabilidad de que esa empresa venda un producto defectuoso (P.D.) es 0,02. Determinar la probabilidad de que: a) Se venda un (P.D.) y que haya (C.C.). b)Habiéndose vendido un (P.D.) haya habido (C.C.). c) Habiéndose vendido un (P.D.) no haya habido (C.C.). d) Habiéndose vendido un (P.N.D.) haya habido (C.C.). e) Habiéndose vendido un (P.N.D.) no haya habido (C.C.) . f) No habiendo (C.C.) se venda un (P.D.). g) No habiendo (C.C.) se venda un (P.N.D.). EJEMPLO

4. D=“venta de producto defectuoso” C = “hay control de calidad” P(D/C)=0,005; P(D)=0,02; P(C c )=0,05 P(D c /C)=1-P(D/C)=0,995; P(D c )=1-P(D)=0,98; P(C) =1- P(C c )= 0,95 SOLUCIÓN

5. INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES Se dice que dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno de ellos, no modifica la ocurrencia del otro, ni está influenciado por este. Si se realiza una serie de pruebas repetidas, las pruebas son independientes , cuando el resultado de una de ellas no está influenciada por el resultado de la prueba anterior, ni tampoco influenciará el resultado de la prueba siguiente.

6. INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA Se dice que dos eventos son independientes si y solo si: P(A/B) = P(A) Se dice que dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia del otro. P(A/B) ≠ P(A)

8. REGLA DE LA CADENA De la definición de probabilidad condicional, se puede evaluar la probabilidad de A1 ∩ A2 ∩ A3... ∩ AN ( probabilidad conjunta ) como: P(A1 ∩ A2 ∩ A3... ∩ AN)=P(A1|A2 ∩ ... ∩ AN)P(A2| A3 ∩ … ∩ AN)... P(AN) Si A1 , A2,A3... , AN son independientes entonces: P(A1 ∩ A2 ∩ A3... ∩ AN)= P(A1)P(A2)... P(AN)

11. REGLA DE PROBABILIDAD TOTAL Sea un espacio muestral “S” y sean B1,B2,...,Bn un conjunto de eventos que constituyen una partición de S, donde Bi son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, se puede expresar la probabilidad de A de la forma: P(A) = ΣiP(A ∩ Bi)=ΣiP(A| Bi) P(Bi) Esta regla es útil cuando necesitamos invertir probabilidades condicionales, es decir cuando sabemos P(A|Bi) y nos interesa calcular P(Bi|A)

14. Se lanza una moneda y si sale cara se ponen 7 bolas blancas en una urna y si sale cruz se ponen 4 blancas. Se vuelve a lanzar la moneda y se ponen 5 o 2 bolas negras, según se saque cara o cruz. Después se saca una bola de urna así compuesta EJEMPLO

15. En un país hay cuatro partidos políticos que se dividen la opinión pública. Se sabe que: El 35% de la población adhiere al partido I; El 31% adhiere al partido II; El 28% al partido III; El 6% al partido IV. Entre los adherentes al partido I, un 36% corresponde a personas con ingresos inferiores a dos salarios mínimos; Entre los adherentes al partido II, esa proporción es del 52%; Para el partido III, es un 42% Para el partido IV. 11% Si se elige una persona al azar calcular la probabilidad de que tenga ingresos inferiores a dos salarios mínimos. EJEMPLO

16. TEOREMA DE BAYES El Teorema o Regla de Bayes nos brinda un método para contestar algunas preguntas muy importantes. En su esencia, esta regla nos indica cuál información es necesaria tener y el método para invertir la condición cuando calculamos una probabilidad condicional: si A y B son eventos y conocemos P(A|B),P(B), P(A| B C ), entonces podemos calcular P(B|A). La necesidad de calcular este último valor a partir de la información disponible es imprescindible para entender las consecuencias de algunas de nuestras decisiones.

17. TEOREMA : Dados los sucesos cualesquiera A y Bi tales que P(A)≠0 y P(Bi) ≠ 0, UBi=S se cumple: EJEMPLO : Sea E un suceso que indica si una persona tiene cierta enfermedad. A: indica si la prueba de un test relacionado a dicha enfermedad es positivo. Se sabe que: P(E) = 0.01, P(A | E) = 0.95, P(A | E c ) = 0.03. Nos interesa calcular: P(E | A). P(Br| A) = P(Br) P(A| Br) / Σ iP(A| Bi) P(Bi) TEOREMA DE BAYES

18. Considere una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir sus botellas. En esa fábrica se producen 10,000 botellas al día. La máquina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas. El inspector de calidad de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la máquina A? EJEMPLO

19. ¿Cómo se puede explicar que la máquina A produzca el 79% de las botellas defectuosas? Este hecho se debe a dos factores. El primero es que la máquina A produce casi el doble de botellas que la máquina B. Aún si la tasa de botellas defectuosas fuera la misma para ambas máquinas, por el hecho de producir un mayor número de botellas, la máquina A produciría casi el doble de defectuosas de la máquina B. El segundo factor es que la tasa de producción de defectuosas de la máquina A es el doble de la correspondiente de la máquina B. En este caso, aún si ambas máquinas produjeran la misma cantidad, las producidas por la máquina A contendrían el doble de botellas defectuosas que las que vienen de la máquina B. INTERPRETACIÓN

20. El gobierno aprobó una ley para hacer obligatorio que los cerca de 200,000 empleados públicos se sometan a una prueba para detectar si son usuarios de drogas. Se estima que el 1% de los empleados públicos del país son usuarios de drogas. La prueba que se ofrece muestra un resultado positivo en el 98% de los casos en que se le administra a una persona que usa drogas, es decir, detecta el 98% de los usuarios de drogas. De manera similar, si la persona no usa droga alguna, la prueba arroja un resultado negativo en el 99% de los casos. EJEMPLO

21. Se selecciona un empleado al azar, se le administra la prueba y se obtiene un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea un usuario de drogas? De la población a la que se administra la prueba, ¿cuántos resultados positivos esperarías observar? ¿cuántos falsos positivos habría? EJEMPLO

23. SOLUCIÓN A = tiene lugar el escenario A. B = tiene lugar el escenario B. C = tiene lugar el escenario C. D = consumo eléctrico alto. P(A) = 0,20; P(B) = 0,60; P(C) = 0,20; P(D/A) =0,90; P(D/B) = 0,50; P(D/C) = 0,20.

24. Tenemos una caja con 5 canicas, dos de ellas son rojas y las otras tres son azules. Se selecciona una canica al azar, sin mirarla la guardamos en el bolsillo. Luego seleccionamos otra canica al azar. Esta segunda canica era de color rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica haya sido también roja? EJEMPLO