Proyecciones Ortogonales: Proceso de Gram-Schmidt                               Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM   ...
Suponga que V es un espacio vectorial con producto interno. Y sea b un vector de V y W un      subespacio lineal de V . Si...
Por tanto                                              d(y, b)2 = d(z, b)2 + d(y, z)2De donde concluimos que d(x, b) ≤ d(y...
Figura 1: Captura de los vectores del ejemplo 1.Se toma u1 = v1 . Como v2 • u1 = −6 y u1 • u1 = 3 se tiene x12 = −6/3 y po...
Figura 2: Seguimiento del algoritmo en el ejemplo 1.Figura 3: Conclusi´n del algoritmo GS e inicio del ortonormalizaci´n. ...
Figura 6: Formaci´n de la matriz para el ejemplo 1.                                              o                        ...
Figura 8: Datos y ortonormalizaci´n del ejemplo 2.                                                              o         ...
Iniciemos con u1 = v1 .   Como v2 • u1 = −4 y u1 • u1 = 6 en ese caso                                               v 2 • ...
Soluci´n       oIniciamos con u1 = v1 .    Como v2 • u1 = −7 y u1 • u1 = 6 en ese caso                                    ...
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  1. 1. Proyecciones Ortogonales: Proceso de Gram-Schmidt Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 20 de noviembre de 2010´Indice 28.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 28.2. Ortogonalidad a un espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 28.3. Proyecci´n ortogonal . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 28.4. Proceso de ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.1. Introducci´n o En esta lectura veremos el proceso para ortogonalizar un conjunto de vectores. Este proceso es conocidocomo el proceso de Gram-Schmidt.28.2. Ortogonalidad a un espacio Teorema Sea V un espacio vectorial con producto interno •. El vector u es ortogonal a todo vector de W = Gen{v1 , . . . , vk } si y s´lo si o u • vi = 0, para todo i = 1, 2 . . . , kDemostraci´n oSi u es ortogonal a todo W , entonces es ortogonal a todo elemento de W . Los elementos vi son tambi´n eelementos de W . Por tanto, para cada i = 1, 2, . . . , k se cumple u • vi = 0.Supongamos que para cada i = 1, 2, . . . , k se cumpla u • vi = 0, y sea v un elemento cualquiera de W . ComoW est´ generado por los vi , deben existir ci tales que: a v = c1 v1 + · · · + ck vkHaciendo el producto interno con u: u • v = c1 u • v1 + · · · + ck u • vk = c1 · 0 + · · · + ck · 0 = 0por tanto, u es ortogonal a todo elemento de W .28.3. Proyecci´n ortogonal o Nuestro principal resultado referente a ortoginalidad es el siguiente.Teorema
  2. 2. Suponga que V es un espacio vectorial con producto interno. Y sea b un vector de V y W un subespacio lineal de V . Si W posee una base ortogonal, entonces 1. Existe z ∈ W tal que b − z ⊥ W . 2. El vector z que cumple lo anterior es unico. ´ 3. Para todo y de W : d(z, b) ≤ d(y, b).Demostraci´n oSea B = {a1 , a2 , . . . , ak } una base ortogonal para W . Definamos b • a1 b • a2 b • ak z= a1 + a2 + · · · + ak a1 • a1 a2 • a2 ak • akPor conveniencia representaremos b • ai fi = ai • aiVeamos que z cumple el requisito 1. De acuerdo al resultado previo debemos probar que (b − z) • ai = 0 paracada i = 1, 2, . . . , k. Si utilizamos las propiedades del producto interno y la ortogonalidad de B tenemos: k (b − z) • ai = b− j=1 fj aj • ai k = b• ai − j=1 fj aj • ai = b• a i − k fj a j • a i j=1 = b • a i − fi a i • a i b•a = b • ai − ai •aii ai • ai = b • ai − b • ai = 0Por lo anterior y el teorema previo concluimos que b − z ⊥ W .Supongamos que el vector y de W tambi´n cumple la condici´n 1. Es decir, que b − y es ortogonal a todo e ovector de W . Para probar que y = z, veamos que la magnitud de y − z es cero. (y − z) • (y − z) = (y − z + b − b) • (y − z) = (−(b − y) + (b − z)) • (y − z) = −(b − y) • (y − z) + (b − z) • (y − z)Como z y y son elementos de W y W es un subespacio lineal, y − z est´ en W . y como los vectores b − z y ab − y son perpendicuales a todo vector de W se obtiene que: (b − y) • (y − z) = 0 y (b − z) • (y − z) = 0de esta manera tenemos que (y − z) • (y − z) = 0Por tanto 2 y−z =0Y as´ y − z = 0; de donde concluimos que y = z. ıAhora, sea y un vector cualquiera de W , as´ ı: (b − y) • (b − y) = (b − y + z − z) • (b − y + z − z) = ((b − z) + (z − y)) • ((b − z) + (z − y)) = (b − z) • (b − z) + (b − z) • (z − y) + (z − y) • (b − z) + (z − y) • (z − y) = (b − z) • (b − z) + (z − y) • (z − y) 2
  3. 3. Por tanto d(y, b)2 = d(z, b)2 + d(y, z)2De donde concluimos que d(x, b) ≤ d(y, b) para todo y de W .Definici´n 28.1 oSea V un espacio vectorial con producto interno. Sea u un vector y sea W un subespacio con una base ortogonalB = {v1 , . . . , vk }. Entonces, la proyecci´n ortogonal de u sobre W es el vector o u • v1 u • vk upr = v1 + · · · + vk v1 • v1 vk • vkLa diferencia uc = u − up r se llama la componente de u ortogonal a W . u • v1 u • vk uc = u − v1 − · · · − vk v1 • v1 vk • vk u = upr + ucEl vector upr es el vector de W lo m´s cercano a u y la distancia de u a W es la magnitud del vector uc . a28.4. Proceso de ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt o Sea V un espacio vectorial con producto interno. Todo subespacio W con una base tiene al menos una base ′ortogonal y una base ortonormal. Si B = {v1 , . . . , vk } es cualquier base de V , entonces B = {u1 , . . . , uk } esuna base ortogonal, donde u1 = v 1 v u2 = v2 − u2 •u1 u1 1 •u1 u3 = v3 − u3 • u1 u1 − v 1 • u1 v3 • u2 u2 • u2 u2 . . . vk • u1 vk • u2 v2 • uk−1 uk = v k − u1 • u1 u1 − u2 • u2 u2 − ··· − uk−1 • uk−1 uk−1y Gen{v1 , . . . , vi } = Gen{u1 , . . . , ui }, i = 1, . . . , k ′′ ′ Una Base ortonormal B se obtiene normalizando B . ′′ u1 uk B = ,..., u1 ukEl proceso anterior es conocido como proceso de Gram-Schmidt.Ejemplo 28.1Determine una base ortogonal y una ortonormal de R3 aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la baseB = {v1 , v2 , v3 } , en la cual       1 −2 1 v1 =  −1  , v2 =  3  , v3 =  2  1 −1 −4 Soluci´n Por razones de conveniencia, definamos o v j • ui xij = (1) ui • uj 3
  4. 4. Figura 1: Captura de los vectores del ejemplo 1.Se toma u1 = v1 . Como v2 • u1 = −6 y u1 • u1 = 3 se tiene x12 = −6/3 y por tanto se tiene: u2 = v2 − x12 u1     −2 1 6 =  3 − −  −1  3 −1 1   0 =  1  1Ya que v3 • u1 = −5, v3 • u2 = −2, y u2 • u2 = 2, se tiene que x13 = −5/3 y x23 = −1 y entonces u3 = v3 − x13 u1 − x23 u2       1 1 0 −5  =  2 − −1  − (−1)  1  3 −4 1 1  8  3 4 =  3  −4 3As´ la base ortogonal es B ′ = {u1 , u2 , u3 } donde ı,      8  1 0 3 u1 =  −1  , u2 =  1  , u3 =  4  3 1 1 −4 3Por ultimo, normalizamos para obtener una base ´ ortonormal B ′′ : 1 2     √ 0 √       3 6      1       1  1    √   √  ′′  −√ B =  , 2 , 3 6      1   1 1      √  √ −√   2     3 6Los c´lculos anteriores pueden llevarse a cabo en la TI 89 o Voyage. La figura 1 contiene la captura de los avectores. Las figuras 2 y 3 contienen los pasos del algoritmo sobre el conjunto de vectores inicial. Las figuras3 y 4 contienen la normalizaci´n de los vectores resultantes del proceso de Gram-Schmidt. o La figura 5 4
  5. 5. Figura 2: Seguimiento del algoritmo en el ejemplo 1.Figura 3: Conclusi´n del algoritmo GS e inicio del ortonormalizaci´n. o o Figura 4: Ortonormalizaci´n del conjunto. o Figura 5: Resultado del ejemplo 1. 5
  6. 6. Figura 6: Formaci´n de la matriz para el ejemplo 1. o Figura 7: QR en el ejemplo 1.contiene la matriz cuyas columnas son el resultado del proceso del ortonormalizaci´n completo. El proceso de oGram-Schmidt combinado con el de ortonormalizaci´n est´ implementado en la TI mediante la rutina llamada o afactorizaci´n QR. El conjunto de entrada debe estar en las columnas de una matriz. En la figura 6 se ilustra ola formaci´n de la matriz cuyas columnas son el conjunto inicial. Note en ella, el uso de la funci´n augment o ocon punto y coma para la separaci´n de los vectores y el uso de la transpuesta debido a que ellos inicialmente ofueron definidos como vectores rengl´n. En la figura 7 se ilustra el uso del comando QR. Note que no se usan opar´ntesis debido a que es una rutina y no una funci´n. El primer argumento es la matriz y el segundo y tercero e oson variables d´nde se depositar´n los c´lculos. Note que la matriz q resultante contiene en sus columnas el o a amismo resultado de nuestro proceso completo.Ejemplo 28.2Determine la m´ ınima distancia de v3 al espacio V que generan v1 y v2 con los datos del problema anterior.Soluci´n oPara este c´lculo debemos cambiar a {v1 , v2 } por una base ortogonal y poder utilizar el resultado sobre la adescomposici´n. Por los resultados del problema previo tenemos que una base ortonormal es: B ′ = {u1 , u2 } odonde     1 0 u1 =  −1  , u2 =  1  1 1Ya que v3 • u1 = −5, v3 • u2 = −2, y u2 • u2 = 2, entonces v 3 · u1 v 3 · u2 v3c = v3 − u1 − u2 u1 · u1 u2 · u2       1 1 0 −5  −2   =  2 − −1  − 1 3 2 −4 1 1  8  3 4 =  3  −4 3 6
  7. 7. Figura 8: Datos y ortonormalizaci´n del ejemplo 2. o Figura 9: C´lculos finales del ejemplo 2. aPor lo tanto la distancia de v3 a V es 4√ ||v3c || = (8/3)2 + (4/3)2 + (−4/3)2 = 6 3 En la figura 8 se ilustra la forma de realizar los c´lculos del ejemplo 2 en la TI. Note que el vector v3 se adefini´ como rengl´n, y por ello el uso de v3 T . Aplicando el concepto de multiplicaci´n de una matriz por un o o ovector, la expresi´n qT v3 T calcular´ < u1 • v3 , u2 • v3 > (Recuerde que ui • ui = 1). o a la expresi´n q qT v3 T calcular´ o a pr = (u1 • v3 ) u1 + (u2 • v3 ) u2En la figura 9 se obtiene la distancia m´ ınima de v3 al espacio generado por v1 y v2 : 32 4√ d = v3 − pr = = 6 3 3Ejemplo 28.3Calcule una base ortogonal y una ortonormal de R3 aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la base B , enla cual        2 0 1  B =  −1  ,  3  ,  2  1 −1 0  Soluci´noUtilizando       2 0 1 v1 =  −1  , v2 =  3  , v3 =  2  1 −1 0 7
  8. 8. Iniciemos con u1 = v1 . Como v2 • u1 = −4 y u1 • u1 = 6 en ese caso v 2 • u1 u2 = v 2 − u1 u1 • u1     0 2 −4 =  3 −  −1  6 −1 1  4  3 7 =  3  1 −3 22Ya que v3 • u1 = 1, v3 • u2 = 6, y u2 • u2 = 3 , entonces v 3 • u1 v 3 • u2 u3 = v 3 − u1 − u2 u1 • u1 u2 • u2 4       1 2 1 −6 3 7 =  2 −  −1  − 22  3  6 0 1 3 −1 3  14  − 33 =  17  66 7 − 66As´ la base ortogonal es B ′ = {u1 , u2 , u3 } donde ı    4   14  2 3 − 33 u1 =  −1  , u2 =  7  , u3 =  66  3 17 1 −1 3 7 66O sea    4   14   2 3 − 33  ′ B =  −1  ,  7  ,  17  3 66 1 −1 7   3 66Por ultimo normalizamos para obtener una base ortonormal B ′′ : ´  1   √4   − √ 28  66 1122    2  √7  ,  √ 17 ′′ 1   B =  −4 ,   66   1122  1 − √1 7 − √1122     4 66Ejemplo 28.4Calcule una base ortogonal y una ortonormal de R3 aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la base B , enla cual         1 4 1  B = v1 =  −2  , v2 =  3  , v3 =  2  1 −5 3   8
  9. 9. Soluci´n oIniciamos con u1 = v1 . Como v2 • u1 = −7 y u1 • u1 = 6 en ese caso u2 = v2 − u2 · u1 u1 v 1 · u1     4 1 =  3  − −7  −2  6 −5 1  31  6 2 =  3  − 23 6 13 251Ya que v3 • u1 = 0, v3 • u2 = 2 , y u2 • u2 = 6 , entonces v 3 • u1 v 3 • u2 u3 = v 3 − u1 − u2 u1 • u1 u2 • u2 31       1 1 13 6 0 2 =  2 − 6  −2  − 2 251  3  6 23 3 1 −6  99  502 476 =  251  1805 502As´ la base ortogonal es B ′ = {u1 , u2 , u3 } donde ı 7 99        1 6 502  2 476 B ′ =  −2  ,  3 ,  251  1 1805 1   6 502Por ultimo, normalizamos para obtener una base ortonormal ´ B ′′ :  1   √7   √ 99  66 3494402    4  B ′′ =  − 1  ,  √2  , √ 952     2 66  3494402  1 √1 √ 1805     4 66 3494402 9

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