1. Distribuição Binomial
Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?
A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6, ou seja, 1/6 é a probabilidade de
obtermos o número 4 em cada lançamento.
Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, pois este é o resultado que
pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, estamos diante de um fracasso.
Note que só há duas possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer outro.
Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro lançamento, eles são
independentes.
Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada lançamento.
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo
geral do Binômio de Newton:
Lê-se
como número binomial de numerador n e denominador k, ou então como número binomial n sobre k.
Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de tentativas, k o número de tentativas que
resultam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um
fracasso.
Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso, assim como q é igual a 1 - p, ou seja,
sendo p a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter
um sucesso ou um fracasso, não há uma outra possibilidade.
Sendo n ≥ k, o número binomial
é dado por:
Para vermos a utilização da fórmula, vamos resolver o problema do início deste tópico.
Exemplo
Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?
O espaço amostral do lançamento de um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 3, representamos tal evento por:
E={3}
Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a probabilidade da ocorrência de
um 3 em um lançamento é:
p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso é dada por q = 1 - p, portanto
q = 5/6.
n é o número total lançamentos, então n = 7.
k é o número de sucessos, logo k = 4.
Antes de utilizarmos a fórmula
, vamos calcular o número binomial
:

2. Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar na fórmula. Vejamos:
A probabilidade 4375/279936 também pode se r representada na sua forma decimal, bastando realizarmos a divisão
de 4375 por 279936, que resulta em aproximadamente 0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando
multiplicarmos 0,0156 por 100% que dá 1,56%.
Portanto:
A probabilidade é 4375/279936, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%.