Geometrias no euclidianas santalo luiz a

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Esta ledici~n h'a sido revisada por el autor

,@"1961:

, '};D,ITORIAL

UN~~E~SIT ARIA DE ,BUENOS AIRES - Viamontc

, Fultdada por la' UJljvt'rsicllld tic Buenos Aire»
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: Hecho

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'el d~pósjto de ley

,IMPRESO

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EN LA ,AR,r.ENTINA - PRINTED IN ARGENT~A

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:)PR6LOGO

A los pocos. años de la muerte de Alejandro Magno.. y todavía bajo el, eco
.de .sus resonantes campañas militares, durante los años en que el primero de .los
.Ptolomeos se esforzaba por convertir a Alejandría en el centro y depósito .de
z¡ • • ):oda la cultura
del mundo civilizado, fue escrito un libro al que se dio, m~des-. :e
':· ..·?tamente, el nombre de Stoikbet« (Elementos). De su autor prácticamente no
,,;;~::
... conocen.otros datos que el nombre: Euclides.,
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',';,;.; En 'su tiempo pasaron casi desapercibidos .ambos, obra y autor. Sin embargo,
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'{:l:·.,::":~ori: correr .de los siglos, el influjo de' Jos Elementos sobre la historia -de la
el
"'.;.'~,
f"hunl'anid:id {tÚ! mucho mayor que el de las victorias de Alejandro. De éstas no
',:'; )iueda más: que'. el. recuerdo del guerrero que supo realizarlas, Aquéllos, en' cam:.bio,' han sido' ;el molde en que se ha estructurado toda la matemática, base-de
.. ']a ciencia y fundamento de ]a técnica que preside la civilización contemporánea.
•. .~: En .10s .Blementos, ·toda la geornetria, reunión hasta entonces de reglas, .em- 1
.pírícas para medir o dividir figuras, se convierte en ciencia deductiva. Se con- ,
~:"deiisatoda ella en unos pocos postulados, de Jos cuales deriva el restó, por
'~sucesivos razonamientos lógICOS.Lo que antes era empírico se convierte en. obra
,. ,:,~deI,~(iiscl1rso
y.del. pensamiento; la razón suple, como instrumento, a los sentidos .
..~ .'.~:~Elevada' la 'geometría a este nivel,' quedaba automáticamente al descubierto.
.
'posibilidad:~de muchas variantes; bastaba sustituir los postulados de partida
, .·:,po(otros~· para tener nuevas geometrías. Fueron las llamadas, mas tarde, geo,met:r'ías no euclidianas, pero cuya existencia estaba implícita en la .misma obra'
r'de<EucIides.·
:., '.;. ~.fás propiamente, por costumbre se ha reservado el nombre d'e geom~t~í~~
',. ·:.no'~'euc]idi:tnas"para las que conservan todos los postulados de Euclides menos
~un~ de ellos, el llamado postulado de las paralelas. Esto es 10 que hacemos. tam.bién en la presente obra, Nuestro objeto no va a ser edificar toda lageometria
.a partir de- los nuevos postulados, lo que puede verse en cualquiera de ··las
"óbras indicadas en la bibliografía; Hemos preferido, tomando la cuestión' desde
"'un" punto' de vista superior, aunque distinto del histórico, exponer con' detalle
dichas geometrías tal como aparecen encuadradas en el marco de la geometría
proyectiva, es decir, siguiendo el modelo dado para las mismas por Felix. KIein.
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. :.i· tos . de geometría psoyectiva, que para su comodidad hemos resumido en .los
'. capítulos IlI.y,IV, pero tiene la ventaja de sistematizar y poner de manifiesto
_. : ... Ja.·,hitima estructura 'de las' geometrías no euclidianas, muchos de cuyos teorc..'

en

.. .. mas saltan a ·la. vista' de manera inmediata,
este modelo.
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'',';'La bibliografía
mencionada' al final es un poco· extensa, con el objeto de que
, .: '.'pueda ser ·útil al Iector que desee proseguir o profundizar alguno de los puntos
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de.este capítulo .de la ci.encia.geométrica.

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1.1 .: Euclides.
Poco' se' sabe con certeza
tica, lo que Interesa' par~ ,la: historia d'e' la ;má?:
'de 'la vida de Euclides, Según el testimonio de
temática es la obra,,:y ésta;:'ali'ri'qu~ a -Euclides. ..'."
Proclo, un matemático que vivió en Bizanse le 'atribuyen algunos escritós"más~ sereduce!' ,
"cio [enrre los años 410 y:485 de .nuestra era,
fundamentalmente a" los' ! famoso~:, Elemétltos. :'::
"Euclides floreció durante el reinado de Pro.'
, ,,'. ,·;:u'~:::~: . ¡: <;:~:,:i' i.~':
~
1.2.. Los Elementos, Los: iElemenfos;'de" .
lomeo 1 [que murió en 283 a. C.J, 'pues es.
Euclides 'for;nan ',un :COh)U~td-de ::0 'Jlbro{de;;~::,'.
citado por Arquímedes, que nació hacia fines.
dicados a Jos fundamentos
.aJ.ije!sairol1o~:J6~';<'
..
delreinado de ese soberano. Además, se' cuengíco y sistemático, de'Ja-:geometría;;Es;Ii abrí};',
ta 'que un día Prolomeo preguntó a Euclides.
cumbre de la 'matemática':'g'riega:' Durante si;;'r'~':
si para aprender geometría existía un Camino
gIos ha sido el texto' obligado': de géometría e.:t,:.':
.
,má~ breve que el deIos Elementos, obteniendo
la respuesta. de que en geometría na existe
todas las escuelas. Es etprimer ~bro:d(funda:"/::. '
. camino real. Euclides es, pues, posterior a Plamentación geométrica~:y SÜ, ;estilo ,y~'ord¿na~..·:"
tón: [428-348. :1. C. J y a sus discípulos [como,
ción fueron los moldesa los 'que.se ájustaron~·:. :'
todas las 'obras posteriores de' matem:hica. ~,".' :;) :
Aristóteles, 384-322
C.]" pero anterior a',
No se 'trata, :e'n.absolutor(ie:''Jri;¡'maiiu~I·::i '.
Eratéstenes [aproximadamente 280-192 a. C.]
práctico o de un 'co~junto' de:.;egl~s úti]'~s!<jul,
y aiArquímcdes
[287-2123.
C.J.u
puedan' servir' para" ctllttilár lo' ,.me'Jir~ .al:: es~¡:
"
, Debido a 'estas noticias es costumbre ubicar
tilo .de los docuinentos'·~egipdó's '·o¡babil6rticós'.:: ,
a Euclides como habiendo vivido alrededor del
-de .épocas'arit~riores; Sc"trata de',uná 'estr,li'ctlJra'?,' ,
año' 3<>0,antes de nuestra era. Sin embargo, te'
, nie~do en cuenta que el comentario de .Proclo ,.).lógica que' responde', ex:ic~a'fnerite,'~l, cQ'rl¿~'pi()"!,:;',
. de Platón' de la' geometda:I,~.·C(;mé;:!si','Sé'Hati.ra!
:::;
fue: escrito más de setecientos' años después, y
: que se carece de referencias más directas, se
de alguna finalidad ~'prádj'd;fó~'
I
comprende que algunos historiadores pongan
h:ibl~n: siempre ·:~e'~cita~i~~;.,~~.~l.~#gár/J~alg~~~;;i:':¿,;
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. gar, cuando en verdad la CleÍlCla':s'e,cuItlva!con,?:::~:;,.
:;
en duda tal fecha y aun la existencia misma de
Euclides, atribuyendo sus obras' ya sea a otro
el único. fin 'de ~onoce~r.t~','!:'(1{epüblicti~'rLibio~:¡¡,:
':_
.',:, ;~,;,'~'.;'l·,',,-!: j"f' I,',I;"¡, ',';' ,!,¡:J..,¡:.',!.",
Vil , 527)s , .s".""
matemático griego,.·o 'a la labor conjunta de
.; "~~:;~'i ·i;;'lo~o.:>f~·;!:i '; -í{~J ::' ..
~r~" t;'r~:
~
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.una escuela qut! hábria pretendido compendiar
. Las bases de que parte,Eublldes"para:¡c<hfl-,:'¡:;" .
todos los conocimientos matemáticos de 12'
car su geoméerla-son: las"definidories/lós':pb's~! -:':
época.
tuIado~'y las río~iones,~comuI:ies.~'·:,
'{':,.::~!~~~
:i·(IJ'~I"'··
Prescindiendo de la persona, real o hipoté, Las definici01tes ~on:,veirititr'é.s;,·akcótri,ie~zd;·~:': '
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aunque luego en el texto se van introduciendo
otras más, hasta un total de ciento dieciocho.
Con ellas se-intenta dar nombre a los elementos con loscuales se va' a construir la geornetría., Citaremos algunas como ejemplo.
PU1t.io'~s"lo que no: tiene parees.

, 'L.íne~ es una' longitud sin anchura.
, Recta es aquella Ünea que, yace igualmente
respecto de todos sus puntos.

Superficie es lo que tiene únicamente longlrud y :anchura.
Plano es la superficie igualmente

situada

respecto, de sus .recras,
",
Ángulo' es lainclinación 'entre dos líneas de
, ,_un plano, las .cuales se encuentran y no están
en línea, recta. ,ISi las dos líneas que contienen
" ' el á~g~lo son rectas, el' ángulo se llama recti-

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,: Rectas" perpen,dic1dares: si una recta forma
con otra' ángulos adyacentes iguales, cada uno,
de estos ángulos es, recto y .las rectas se lla, ~a~ perpendiculares,

,lmcda trazar un« circun [ercncia.
~V. Todos/os ángulos rectos S01/. iguales entre si.
'
,
V. Si u1fa'recta, al cortar a otras dos, [orma de un nusmo lado ángulC?s internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolO1:gadas indefinidtlmente Sf cortan del lado en que
está,t los á1tg1tlos,menores que dos rectos.

.. SI!

Finalmente, Euclides sienta unas cuantas
nociones constates (llamadas por algunos autores axiomas) cuyo número es variable según
los textos Ilegados hasta nosotros, pero, entre
las cuales se encuentran siempre las siguientes.
l. Cosas iguales a 1enamisma cosa, S01t iguales entre sí.
2, Sj¡ a cosas iguales ;e le~ agregan cosas,
iguale.!, las sumas son igll,ales.
I
3. Si de coses.iguales se quitan cosas igua- '
les, los restos ron iguales. '
"
4- (ó 7 según- los textos). Cosas que se pItede» mperpOl1-ar últ.0a
otra S01J' iguales. é',~'
tre sí.
'
,
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, ;~'
R,ec't~s,-p'aralelai ~on:'aquellas que", estando
5 (u 8 según los textos)'. El todo es mayor
.en 'un mismo .plano,' no se encuentran al proque la parte.
',:
:'long~r1~s:' indefinidamente
en am bas direc-' ,
De estas nociones comunes interesa señalar
, clones ,:': : : ~, "1" i ',,' ',j,' , " , "
'. ', . ;:.: .. .:.'; ;~.~.:' ~ :'.'
~.
'''.
.
la cuarta. En efecto, 'la idea de superposición
:: : No "es 'nuestro objeto detenernos en poner
lleva implícita la de un movimiento que rIle, dc':m~r;ifies'to"lo's inconvenientes y 'la inconve una figura (o cosa) sobre otra, y, precisistencia' 4é: )~~~pr~er~~: definiciones ~nteriosamente, la manera de llevar 'una figura sobre'
; res. Responden al afán" que la autoridad de
otra,' para .decidir acerca de su igualdad, es una "
1;:4cli~e~hizo,p~~du¡:,ár durante siglos, de defi- '
de las caracterfsticas esenciales de, cada geor
I nirlo' todo," lndu só'lás
nociones primitivas de
, metría: Es decir, ya Euclides, aun expresán, l~~':--c~'al~s
'"l{ary::~q~e
,:i;~~ti'r
cualquier consdolo en forma vaga, vislumbró que, en geo-,
tr~cc~óp; lógi~~::)¡''q~~,
pueden def~r~e en: , mecría, para definir la igualdad hace .falta
,~i"t~~l?i.~~~:
~,~~rlPPP.!~~~ .construccrones , definir el 'movimiento queperrnite. llevar una
i~n )a~
',': aXl9.matlcas'm)d~rnas, el'punto y la recta, por
figura sobre otra, punto de vista que fue ~m:;.
::: ej~h-tp,lq;'sc'
iiití-9~~c~1?- ~mc;>'
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elementos que sapliamente discutido, por Helmholtz 'y que,
'.:, tisfacen ciertos axiomas, es decir, se definen
además, constituye la base de la definición de
, 'po'~" s~s .propiedades '(
Hilbert [25]).'
la geometría según Kleín.
'Siguen después estos cinco .postulados:
,..'! !"".
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Tratándose de figuras, en vez de "igualdad" "
: ",:,1.;
Desde cualquier punto (J cualquier otro
se, acostumbra utilizar la palabra "congruense,:p-,ted_eraza_~,::~n,a
t
recta. ,,
cia", precisamente para indicar que' puede JIcvarse una de.ellas a coincidir con la otra. '
, ::",II..:Toda r~~tili~itada
puede prolongarse
, ltziefinidamCJ1.tC.en la, misma direccián:
Con los cinco postulados anteriores y las
nociones comunes citadas se intenta edificar
_III.: Con cualquier centro y cualquier r,adio
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toda la geometría. A la luz .de la crl tica mo. derna, el sistema presenta varios defectos. No
'. figura, por ejemplo, aunque es usado con frecuencia, el postulado de la continuidad, que
en la forma dada por Dedekind se enuncia:
. Si los puntos de 1tna ~ecta están' divididos
en dos clases, de manera Q1tClos de la primera
clase precedan a todos los de .14 segunda, entonces existe 1m P1tnto, y sólo 1tná, que separa.
a ambas clases, es decir, que sigue a todos los
, de la primera y precede a todos los de la se...
gUtida.
, También .esusado, sin qu~ sea postulado explíciramenee, el hecho de que un p.,unto de una
recta divide a ésta en dos partes "separadas, o
.de que una' recta de un plano. divide a éste
en dos regiones, así como el siguiente postu~
Jado de Arqulmedes, que en realidad es consecuencia del de la continuidad, y que ·luego
'resultó fundamental
para la construcción
axiomática rigurosa 'de la geometría:
'
,

Dadas dos magnit1tdes entre
definidas la nema y la 'relación
nor, tal-como para segmentos
te siempre 1m múltiplo. de la
mayor que la segunda.

las cuales están
de mayor a meo ángulos, exisprimera que es

Sin estos postulados, u otros equivalentes,
pueden señalárseles varias fallas lógicas a los
Elementos. Por ejemplo, 'ya en su primer pro.blerna, que consiste en la"construcción de un
triángulo equilátero de lado dado, al hacer la
construcción lrabitual de trazar dos circunferencias, de radio igual al lado dado, por los
extremos de un, segmento de la misma longitud (lo que puede hacerse por el postulado JI) ,
no queda demostrado que dichas circunferencías deban cortarse.
Sin embargo, todos los defectos que pueden
señalarse resultan insignificantes comparados
con el mérito extraordinario. de haber construido una ciencia deductiva a partir del cúmulo de conocimientos dispersos, en su mayoría empíricos, que constituían la matemática
anterior a la griega. Además, el hecho de señalar' como postulado. al quinto de ellos, que
.dio origen a tantos estudios y discusiones du-'
rante más de veinte siglos, demuestra una in"

tuición genial acerca de uno de los puntos claves del pensamiento geométrico l.
'1

'

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,

1.3.' El postulado V o postulado :de '.I~~1
paralelas, 'De los cinco postulados del-sisre-'.
ma de Euclides, los cuatro primeros traduceñ':'
'propiedades más o menos evi den tes. para' nues-, -.
tra intuición geométrica¡ Elrnériro' consiste ,en,:
haber sabido seleccionar,' de entre el sinnúmero' ~
de tales propiedades, una: Cantidad redúcidí-"
.
sima de ellas que fuera. suficiente. paraeons- '
truir la geometría. El postulado: Y,i en cambio; "
llama la atención, y ello desde.el principio .... ..
por
su mayor- complicación' 'y ·po.r-~c~recer"·de la'
evidencia intuitiva de'.que gozan:':los :.·demás;·.'
Es probable que al' mismo Euclides" no 'se; le.'
escapara esta diferencia y. procurase.ven tóda
su obra, evitar lo más'. posible leste 'postuladoj"
que aplica por primera vez' para .demostrar .la:
proposición 29 del Libro 1,' a+saber: 'una recta'
,que corta a dos paralelas/oriria:~'con: e~IaS:}~·~";.
gulos alternos internos igú'áIcs;:~¿'~respd~die.n.:':"
tes iguales; e inrerioresdé
mismolado ..·su,,,:~
plernentaríos, Este esfuerzo de: Euclides' por.'
evitar el uso de su postulado V, mientras 'pue'-',
de, y por construir la ·g~ome~i:íii.con indepen' "dencia del mismo, .justifica !Ia .muy .repetida
fiase de que Euclides fue el .. rimer geómetra
p
no euclidiano, o bien," que ;Ji "geometrí« no
eu~lidiana nació negan-do su paternidad, ; v- ,';.
Hay que observar que en algunos. mariuscritos el postulado de las paralelas" aparece
corno axioma Xl (algunas nociones comunes
pasan a ser' postul ados ),. 'Así :se lo menciona
también en algunos trabajos 'posteriores, 'por'
ejemplo en los de J. Bolyaí. 'Siguiendo la costumbre gener:t]"que:históric~mente
parece ser
la más exacta, nosotros seguiremos llamándolo .
.postulado V"
"
:~,
La primera idea, que prevaleció por' más de
veinte siglos, fue la de querer "demostrar" este

un:
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I

.'

•

1 Más detalles sobre Euclides y' su obra pueden verse
en las clásicas obras de Heath. [1] .y. Enriques ,[2] •.
:ls¡ como en la Historia de la matemática de Rey Pastor y Babini [20J. y muchos pU,ntos de vista, or'igi- .
nales acerca del valor de los Elementos como modelo
de construcción matemática, en el interesante libro de
B. Levi titulado Leyendo a E~clidis [3 J.,

9

.'.

postulado. Los sucesivos ensayos. de demostra, .sición (que atribuye a Aristóteles y toma como
, ción 'no' dieron: otro .resultado que llevarlo a
:evidente): ]a distancia entre dos puntos: de
. otr~s':'formas equivalentes, aunque a 'vecés de
dos rectas que se cortan puede hacerse .ran
, apariencia If.luy: distinta de la del enunciado
grande como se quiera. prolongando¡ suficienoriginal -,,V~os a mencionar .algunas. de estas
, temente las dos rectas. A partir' de esteIema,
equivalencias, algunas.de las cuales presuponen
que vale, siempre que las rectas se consideren "
" q~c,:,las",¡;~ct~~o~ J;lO cerradas, condición' ésta
..s
líneas no cerradas, el postulado V equivale a
': que .antes se consideraba, implícita en el postuVa. Si U11arecta encuentre a una de Jos pa.
,', Iado)I,'(ycr;·2!1).:~:' ",: , , ',.
ralelas, encuentra necesariamente a la otra;
,
... l"
' "
l'
',' " 't!.na'·~en4encia, queafloré.repetidas
veces, ,
también puede enunciarse de estos modos: '
Consi~te-en 'modificar la, definición de rectas .
, p~al~~i':S~iúp.~u~lides:
son.aquellas que 'Uno ,~f ,v l. Por U1,. PU11to exterior a una recta: se ,
: puede trazar 1!na y solo una paralclil a dicha.
,,: ':'ie~c~é~t:rap r p'ol'
~
que se prolonguen".
recta;'
,
'~f;~a.:a$í"ab~ert~..1a, posibilidad de que existan
Va". Dos rectas paralelas a, U'Ila tercera, son:
r~~ª~ ,~sintó~ca~~i ~s;:de~ir, rectas que, como
siempre paralelas entre 'sí.
'·09l~f~~~,I~:!ú'p,é.r~ola;y:s~s,asíntotas,
nunca'
,se./;e~cll,~1.1~~en;r'
pc;tQ·,:que ¡SIn 'embargo no, se
La f~rrna Va' es la más comúnmente utili':~~~~e~~ll;,eq'ujdf~,~a~~es~,;:~~<? su dista~cia ' , zada. enIa actualidad en los textos, de' geomeque
11~g~e;,
~,,:ha~e,r~e:l~~n,
pequeña como se qwera,
tría, y se atribuye generalmente al matemá, ',;sin- reducirse ¡~p~c;a¡,i;~efo. Si, explícitamente
tico inglés John Playfair (1748~1818) .
. : Sf!
)?,d~y'e: esta posibilidad, el postulado de las
paralelas-puede ,c{~mostrar~. Es decir, se le
puede' ciar la forma siguiente, debida a PosidoD
ni~:'(~igló J'a~'C.)~, ,! ' :'.
.,
: Vi.! Dos r~ctas -p'aTalelasS01l- equidistantes.
" Mu~:análoga.~sila forma dada al postul~do
deIasparalelas 'por C. Clavius (1537-1612):
" .. i
1:
..
'
",
.
,V2. ,Si tTCS:P1m.~OSstán de un mismo lado
e
¡'

I~~~:

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de U11arc_ctll, e_q1l-idist,!nde ella, los tres PU1,.y
los 'pertenecen a una misma recta.
I ,".

I

• • ~

: Esté .enuaciado equivale a, pedir que ellugad'gcométri~o (I,e;10'$ puntos equidistantes de
u;Darecta' (de' un' xpismo lado de ella) sea ~tra
recta. '
:
. Procl~,::el' matemático bizantino al q-ue se
deben q~~.'
pocas ;~~t,i~i,~s"
que: sobre.' E~clides
se..conocen, y los 'ppmeros comentarios sobre
los 'Elementos, se 'apoya' en la siguiente' propo,.:,'

,=: ,t':
La obra' de, Proclo. se
•

tI .....

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'

#tula' Comenterio

,d Libro 1 '
Desde principios del.
siglo
hicieron va~w edícíoaes latinas, de esta obra,
una eJe eUas, dirigida! por, G.;Friedlein y pub]icada por
Te~bner, (,[.eipzig,' 187J).:.rComo versiones modernas
hay;ila 'alema~a, de 'P. Leander ,Schonberg, con comentarios'de M. Steckc(194$);y
la !r~ncesa de Paul ver
Beecke, en: 1948 (Collection.lde: trauvaux de J'Académie lnternazionale d'Histoire.des Scicnces, n9 1, Brujas
(BéJ¡;i~a): :
¡,': :': '

, '. ,1'

iJe 'los "Elemento's'~

xvi ~

1

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•

I

Del mismo tipo, aunque muy postenor, esla forma a que lo reduce A.' M. Legendrc.
(1752-18H),asaqer:
"
;

'dc 'EúéJiJes.

V,. Por U1t punto cualquiera, 101Tl4do en.'el .
, interior de UtJ ángulo, se puede siempre trazar
,tli'ta recia q!'-e encuentre a los dos lados, ~cl
.tÍ1Jgulo.
j ,
'C

De rodole muy diferente, pero ?C ~ra~ importancia, conceptual, es la forma slgwe,nte dada por J. Wallis (1616-1703):
:

¡'

i,I

10

.',

I

:
.

·Yrs. Dado un triángtllo' cualquiem existe
siempre uno semejante de magnitud arbitrari«:
:Es decir, la ~xistencia de triángulos seme-

.i

I

. -. ¡;; :¡.::(;.i.'~.. .'!.;.{ b :·Ü::~::¡:..:::,·:.
.
:~<
..
:'!:...

una .figura de la que-hace müy.~frecuehtéluSo~
:.
(llamada c1tadrilátero}.de·;Sacc.heri;·~v.er
::,.~~) ·'" .
1
Sea AH 'un segmentó::'arbit~aHo; 'perpéndi~7
.
larmente a él se torri'an.·'(JOs::segmentos;AD·,;_ ~.
BC, y se forma':'::eF'cu~drilátéro :;iABCD .

=

jantes: es caracrerístico de la geometría euclidiana. En las geometrías no euclidianas, si dos
v( v ~)d triángulos tienen sus ángulos iguales, son conIt·~,¡::·.·!··;-;.:r..·I,., ;....~.:,;.'.;.:...:'.:.. :,;.:.>
.••. .J.'
..
gruentes (es decir, se pueden. superponer),
1,','· ': ';.'
;.~: :;
~.
yVlJl
pues el tamaño de un triángulo: queda deter:::! ::':'..1. 1.::::, "';' i.;..:¡;,;-::
..
~)J~~' minado por sus ángulos, como ocurre con Jos
triángulos esféricos.
.
.: : ~>!.;;
iEs interesante el razonamiento de Wallis
.0,:: o.oí ~. lo]~':;' o'
. para demostrar la equivalencia de las formas
.': ..... ;"';' B': .'_:":'. :."';~:;.:,';
;
'
y y y ¡J. Sean las rectas AB 'y. CD que forman
A'
.¡/·(I
:
i.' )0
ángulos a y ~ con la secante AH (fig. 1).
'. .
FIGURA' 2 '.
;
~i
Supongamos que a
< 180°. Traslademos
!.
t:'
AB hasta CBl de .modo que se conserve el án.
-,
';'
.... ~
~.:
J:' o,' ,
gulo a que forma con AH. Siendo u < 180° _.
(fig. 2). Sin eluso del.pósrüladó V se demues(3, la recta CBl caerá dentro del ángulo
tra 'fácilmente 1 que el ángulO C es igUal :al D•.. '
DCH. Por. consiguiente, durante la traslación
Caben entonces tres casos, según que esteárihabrá un punto A' en que la recta ·A'B' corgulo sea recto,' agúd.b ru-, btusó. :S~ d~niti'esir~ .
o
tará a CD~ Si P es el punto de: intersección,
que siempre se está ~.il el-mismo .caso;·cüales~ ,
se. tiene el rridngulo A'CP. Si se puede 'consqu..iera·:qúe-sean las dimehsicnesde.lá' i"asé'~B:
truir un triángulo' semejante al A'CP cuyo
y de los segmentos igúales !A.p. y BC~~pái¿";'. ."
t
lado sea AC, el punto' homólogo del P será
cen así tres posjbilidade(·qtJe."p~eden ~óm~rse' .
el. de encuentro de .AB y CD·; es decir, estas
como hipótesis: la del ~ángulo .recto, ,la !del, .
rectas se cortan, lo que. prueba l~ vigencia del . :íngulo obtuso, y la';del. ángulo ~agi1do,¡'según . .
postulado de las paralelas. Que. éste implica . ! .10 sea él ángulo e D:: Saccheri demúes~á :..;' .
VlI es evidente.
..
que" el postulado' de lás paralelas eqUi~.aIe"~~~b;..: ..
.
:WalHs opina que su forma VIS del postulado
. hipótesis del .ángulo:, recto,!.'i:·.trata)~ego~;,(Je·~." . '.!
es:]a más próxima al pensamiento de Euclides,
probar que las otrasJ~'pótel;isJlévan'!~
puesto que el postulado' III establece la exissurdo. Para la hipóteSis del áriguloobtusO cOn~;¡':1
tencia de. circunferencias semejantes, y parece
sigue demostrar que::¡ellá' to'ndúce;:a::;.Ia:l·(:6n~::
'nátural el paso sucesivo' de postular la existenclusión .de -que-Ias rect'a.s :son:.,.-:.fini~as~lo;,,~ue:;.~;;;;:
l..
.toma como el abSüi-dCi'deseadd,'y.:por·lo):in.tc(:·'
l.,
.de figuras semejantes también para otras
figuras .geométr~cas.
. '.
.
excluye "tál p~si~ilid~d,~J~'E~·:i;,.~a~bi?,.~¡
~ar~~~~..
.... i'
';Otra orientación, que hace ver bajo un nuehipótesis d~1!~~ID110Ja;~.~?t:D~·.:~??~1~~i}I>~~~r ¡:
..,.,;
vo aspecto la incidencia del postulado de las
a cont~ad~Ccló,n A ~l~.n~~:i ~~~l~~v~~~~~~'.h~a!:::l. .i
paralelas sobre teoremas geométricos al pare. contradicción no eX1ste.~y .¡preclsamen~e; la :'.. (.
..es
cer muy distintos, es la iniciada por el jesuita
búsqueda de l~:mismá.~~o:~qu~;~.~~ría·.~~~
.~.~~d~l:
.:.
. G: Saccheri (1667-1733) Y seguida posterior. '.
.
. "~~i+::~¡ ·1.l:!;L-¡:'~ : !}}.! ~:' ¡!l. ,*~?.:i.'. ".
..,:>
.:
1 Basta llevar el cuadrilátero fObre SI rnasmo..dc,rna.....
..;
in.ente po~ J. H. Lambert. (1728-1777) y
A. M. Legendre (1752-183'3), según la cual se .' fiera que la base resulte: mvertida·::. (es decir.tq·ti~~;:A::.:! ;'!
coincida con B v:viceve'rs2H¡q~ed:indó Jo'~dc"s:(:~idri",:.:
demuestra' que _
dicho. postulado.
equivalente
Iáteros del rnisrn'o' lado con. respécto ::a!·!aJ;2se. ÁB!.lpoi. :.
al; siguientes.
.
el postulado IV, J~ 'snnjrrecta ·AD.i.coinéi~i· :;coll!:BC. ..

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:Va. La suma de los lÍ1!gulos';'nteriores d~ un

tiiángttlo es ig1lal a dos 'rectos,
Saccheri llega a este resultado

I

a tra vés de

Be con AD.:Siendo;.además, ;jguales los segmentos .
AD y De, el cuadrilátád coinCidirá. consigo Iornlstno" en
posiciÓn invertida
por 10;t:1n~o,.el ángulo le :coiald.:
dir.á con el. D.
." '.. :;'.
'.: '1. l: .."..
y la

Y.

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...

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r

cír, .unr siglo 'más .tarde, al descubrimiento de
'las geometrías no euclidianas.
.
. ·'N~ es"difíci( demostrar que las tres hipótesis, (del ángulo recto, obtuso o agudo) equivalenrespéctivamente a suponer que la suma
de los ángulos interiores de un triángulo es
. igual, mayoro menor que dos rectos.
. Finalmente, es intéresante la forma obtenida
por Gauss (carta a~. Bolyai en 1799 [18]):

, Vr. Existen tridngtdos de área tat) grande
. como se.quiera.' ':
.; :: Si '~e admite esta proposición, el postulado V
también: puede demostrarse.
.
. ·.Hemo~, dado varias formas diferentes del
postulado de .Ias paralelas, Se podrían citar todavía otras 111as. odas ellas fueron cnconrrar
das durante las tentativas de "demostrar" di.cho .postulado.' ·Et' resultado. fue "siempre la .
"~~stitQci6n .del' mismo por otro equivalente,
de enunciado: más: o menos. simple, o más o
menos evidente. :Así se fue llegando al. convencimiento de' q~e .se trataba 'efectivamenre
de 'un verdadero postulado -no de un teore#

I

•

"

el s~lo uso de
los postulados precedentes-,
y que, por '10
tanto, iban a· ser inútiles todas las tentativas'
de demostración.
·En este sentido, Wolfang Bolyai '(17751856) 1 escrihia a su hijo Johann, uno de los
'creadores de la geometría no euclidiana [21]:
"Te ruego que no intentes tú también luchar
con la teoría de las líneas paralelas. Perderías
-el tiempo y 'sus teoremas quedarían sin demostrar. Estas-impenetrables tinieblas pueden
derribar a miles de torres como Newron. Nunca se aclararán en la Tierra; y el desdichado
género humano nunca poseerá en el mundo
nada completo, ni aun en la geometría. Esto
constituye una grande y eterna herida en nu
alma."
-rna que pudiera demostrarse con

1 Como suele. acostumbrarse,
utilizamos la versión
alemana de los nombres de los Bolyai, padre e hijo. Para
respetar la forma húngara, en la que el nombre sigue
al apellido, en algunos libros Wolfang Bolyai aparece
como Bclyai Farkas, y su hijo Joh:mn como Bolyai
]ános.
'"
.

•

'

,

CAPiTULO II
,

.

LAS GEOMETRtAS.'NO EUCLIDIANAS
: ., 1

':'

, :.,2:1.' Las ~bras"de

l·

", s

Gaues, Lohachevsky y
Bo)yai.; Si el ·po~t~.la40·V, en la forma. dada
por~Euchdes u ot,ra 'equivalente, es un verd~
·.dero·postulado, eI'hecho qe negarlo, aceptando
'105 aemas~' no: deb~· co:nd~cir a contradiccion
aIguna~ Es~a f~e:la ~d.ea¡·q~e:
maduró en la primera.:mitad . de1:s.iglo XIX; 'y' que: dio por re'"
,
'I
"' ...
s~lt~A~'I~Ln~fixA~~~t.0;i,dc,
.,las."
g~o~etrías no
cu,~hRl~n~~,es·;de~~.J;""l;de.·.la.s:·geol?etnas que
en
. el:,ppg'pla'd9 :V¡: .deJ.~uc~des .deja de ser válido.
,}C~fl1o~:t.oda
.Ii~e~',:q~e.;.l~eg.a ~adu~ez e.n
a 'la
un determinado momento de la historia, dicha~'~
g~omet~ías" .ii.ó'·puede~ atribuirse 'total.~:ente:
sola' p~rsona:. Fueron gestadas por
la obrade todos los matemáticos anteriores que
)

a 'u?a

"

12

intentaron ver claro ·el.significado del famoso
postulado, y cosechadas simultáneamente por
varios matemáticos, entre' los cuales, y corno
más significativos, se cita siempre al gran rnatemático alemán Karl Friedrich Gauss (17.77,~
1855) , al ruso Nikolai 1vanovich Lobachevsky
(1793-1856)
y al húngaro Johann Bolyai
(180f-1860). .
;
En realidad, los únicos que publicaron durante su vida los resultados obtenidos fueron
los dos últimos, pues Gauss, prillceps matbematicorum, ya coronado ,de fama por 'otras
investigaciones, temió siempre que las .relativas la recria de las paralelas fueran consideradas por sus contemporáneos como div:aga-'

a

i
.!,

,

¡

.:
'.
'.

.

cienes i~sensatas d~l orden de la cuadratura del
círculo
del movimiento continuo. 'Por eso;
a pesar de. que reconoció el mérito de tales
trabajos y los' alentó, y en cartas privadas dio'
noticias acerca de sus propias investigaciones,
'no quiso. publicar nada durante su vida "por
temor algriterío de los beocios" (carta ¡l Besse1 en 1829 [18]).
.
'Los primeros trabajos de Lobachevsky datan de ·1826 (memoria presentada a la Universidad de Kazán y cuyo manuscrito se ha
perdido), siguiendo después varias publicacione~,entre'1830
1840, fecha es~a última en
que aparecen-sus famosas lnuestigaciones geo-métricas sobre la teoría de -las paralelas, obra
escrita en 'alemán [19].
.
. -Los trabajos de Bolyai empiezan alrededor
de 1823, según cartas a su padre Volfang y á
·.otros amigos, pero su publicación se retrasa
· h:ista 1832, en que aparecen como apéndice del
· primer tomo de un libro de su padre [14
. y~15J.
.'
: Tanto Lobachevsky como Bolyai ponen en
estos trabajos las bases de la geometría y dé la
trigonometría no euclidianas. Bolyai se dedica
especialmente a distinguir las 'proposiciones
geométricas que necesitan el' postulado de Euclides de aquellas que son independientes del
mismo, a las que Ilarna propiedades absolutas o absolutamente verdaderas. Lobachevsky·.
construye más decididamente la geometría no'
eucliaiana, al negar de entrada el postulaCIO'V
y suponer, en cambio, que por un' unto ex~erlOr a una recta pasa más e una' para cIa.

o

Y

. 2.2. Las geometrías no euclfdfanas; 'Dejandó de lado' el desarrollo histórico, así corno
la difícil tarea de distinguir a quién pertenece
cada una dé las ideas que forman la geometría no euclidiana _'_'y que se encuentran muy
entremezcladas en las obras de. Lobachevsky,
Bolyai y otros autores de su. época, como
F. C. Schweikart (1780-1859) y F. A. Taurinus .(1794~ J 874) -, vamos a presentarlas tal
como quedaron una vez' pulidas y sedimentadas. .Un .estudio histCSrico· y . bibliográfico
puede verse en el libro de Boncla [5].
~ Sea una recta.,. == AB y un punto P exte- .

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'l..: ';~'::" ~~ .

rior a ella (fig. 3) . .Torriernos-Irn pUri~o:'cu:áI-:' .'
~
quiera M sobre r, ...Y.:·'~dnsldéff'J:nos)Ja::1:'re~fa.
:"
a'=='PM. Supongamos.quejelpüaro ·M. ;müe':':~
.:
ve sobre r;alejándose~infinit'imerité;',.~i:'anto:lía:.(· .
cía un lado como hacia' el:otfo)pueddl'pieiéÍl;.;, ..:::
tarse tres casos··· ... ¡ .... 'ii.;i. "if;li,~n¡': I."{';;'·. !i.¡.' :::.~¡~
;:.;':
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'se

l. ·'E~ste 'u~~'

únic;~';:~¿~ic~¿íi~M¿')~d~!. '
;I~:~~~~·>'

.ta variable a, en la cuál rio:c6tia: ··¿'r. Estai.ínica·. '.
. posición límite: será. hlJ'pai-alela~p'o'r'!p,
~s-> .'
ta mas 'en el caso euéÜdiá'hd ¡ por.' P)p(zs~·."ülúz' ' . '.
sola paralela. . '.. ~ ·:i:·,·;!r:.>-¡:::¡;~~T::: ,:,,;:~,
..:
. 2. Cualquiera·quei·s'ea·· .. f~ctalq~ej~a~~:~Brt ..
P, siempre corta'a r:Jpor.
pasa~ning1ina
para/el~. GQ_f)
~J. i.(l);~;;~.J.;,;·j .
.
. 3. Existen dos' posiciones'Hmiee,' EE'/'i FF_~":
.:
para las rectas secantes; .soil!las·corresporiaidl-.~·"
tes a los dos sentidos en':que:.M· puedc[aléjarse: .'
!.,
:(1. ()'
i,'J'.'¡ t.ir: :r·I!,{~~!'J'·I.·t ::·.'¡:<:':·i·II.:t ••:·4.r~:·"",,< .•.
':..
" ~.~ . ~(. : ...,.;f.':i'fJ{):'L'~'!':: i;, il.~L~r;r'j·F'::
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1,

infinitamente. Las .recras que, pasan.ipor ,'P ¡;y.:.
están comprendidas en el ángulo FPE, ó>rtatá'n_
á r: serán secantes ..¡Las' -que .;pasan :):ór ~~P
..
comprendidas
en el' áriguló . EPF~, : novcortarán a r: serán no',.s-eéantC's•. Las .EE' i" FP' ,'.
~
de. s~a:ración entre ainbos~.!!Eos de ;:rectas, se
1I!.ri1alLPara]!las._Fs decir,. en este' caso:' ,por..
eUU11-to P' paran .dos;:p!!.ra~~!as a :!',~
'in]Iñitas'
'. ...
no secan tes.: . .
es,.
t'i ;:~; ~!.~.;.,.. ' :.;~ ·i·f~'·'.',.:,:",
. (Obsérvese 'que .lasrectas¡ no] secantes, tes-.'
pon den .también a.la definición- ~e rectas
lelas dadas por·.Euclides. (ver::l.2 h·sin émbar:"; .
go, las posiciones límites tienen .Cierta.spropie~"
'dades particulares 'que hacen convCtiient~ con-:
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!':",
.,:
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servar' sólo p~ra t ellas' el nombre de paralelas,
para 'a,sí-"distüiguírl.as de las no secances.}: ' ,
~-Los .casos 2 y _:3 ¡ corresponden a las geomeidas ~o, euclidianas, Ilamadas, respectivamente,
elJ ptiq( e" bjpl_rb61~clI.,,:':':,
•

•

•

....

,¡

';; I

.

,

geometría en que no se cumple el postulado V. ,
'Por tratarse de un ejemplo muy familiar, es
muy útil para comprender algunos hechos que
a primera vista parecen paradójicos. Por ejem-'
plo, el resultado de Wallis, de' que no. puede
....
: •••...•..
;:
;"f
.
haber figurassemejantes en una geometría no
':,2.3. L~geomctria:no' eu~lidiana elíptica.
euclidiana, se cumple evidentemente sobre la
, ',La, ,ge~mecda':'elíptica,; .es la. que resulta de
esfera, donde un triángulo queda, determinado
completamente por sus ángulos. También, si
, "su~.ti~uir,el postulado: de: las paralelas por el
. siguiente:
'
,:¡ ,"', "
,
se considera el lugar geométrico de los puntos
equidistantes .de una Circunferencia máxima
Por, un 'punto exterior, a ,,,na recia "O plisa
(recta de la geometría elí ptica) , resulta una
ninguna p'arIlJela.es decir. todas las recias qm:
pasan !por 'un pt¡.n!o extcrior a otra cortan a circunferencia menor, que ya .no es una recta;
se comprende así el postulado V2 de Clavíus.
es/a última. '
:
Con esta íntcrpreeacién de la geometría'
':Consi,deremos (~ig~,j) 'la recta HP p~rpcnelíptica es fácil deducir todas sus propiedades, '.
dicul,!~ a,.r,p()r."u~,:punto H.de la misma y la
por 10 que no vale la pena detenerse
ella.
LL'_ perpendicular.a: PH', por el punto P. Sea
Así: la suma de los, ángulos de un triángulo e:s'
.M1 'el, punto'
q~e LL' corta a r. 'Según el
mayor que dos rectos, el área de un triángulo
postulado 1 de Euclides ,(inte~pret~do en 'el
es proporcional: a su exceso esférico, en un
sentido de que· por. .dos puntos pas~ una sola
cuadrilátero
Saccheri se cumple la hipótesis
recta) ,:'el punto Ml~·debe,ser único, y' el mismo
del ángulo .obtuso, etcétera.
,
.
.
tanto si M'se aleja':hacia la. derecha como haÁnálogament~, la' trigonometría corresponcia la izquierda. La"recta r·resulta a~í cerrada
diente a la geometría elíptica coincide con la
. y, p'or .10 tanto, ~init~.:E~'dedr: _ .,.'
.
trigonometría esférica.
.
','
E".n:la 'geomctrla ~ plica las ;eclas son ceeli
A: veces se considera también como' geome-.las
(.'.
,
rraa:,:.' ",~{¡"_i',':r .) ' ': '. .
j'.
'.
' ,
tría no euclidiana a la geometría esférica pro":'
píamente dicha, es decir, la: geometría sobre
No _pued~decirse
que sean U!~m!t~das",
puesto 'que no ,tienen ,p..?~~s ~onde empiecen - la esfera 'sin la' identificación de los puntos
o' terminen; por lo tanto no ~ay estricta condiametralmente opuestos. En este caso el postradicción, con el postulado
Sin embargo,
tulado 1 debe, entenderse
el sentido de que
por dos puntos 'pasa por lo menos una recta. Le" (O/O/'
"i~plíci~amenie se :.hil~~a::,entendido siempre
quevlas rectas ',dc;b~an)~er'¡biertas e infinitas.
a
Como la idea de estudiar la geometría soDe ~qui ;que :la conclusión 'de .que debían ser
brc una .superficie determinada --en el caso
-cerradas "se¡estimase:"un'aicontradicción con el
actual, la esfera=--" tomando 'como rectas las
geodésicas.o curvas de longitud 'mínima 'entre"
postulado P',":Y Ja'~ge0n1.e~.r,í~líptica no 'fuera
e
cQ:'lsider~d~,'eli u,n:pr4tcipio~ ',', ' : '.
dos de sus pimtos (suficientemente pr6ximos):
f..:'Li:;· cometría~elí i~~a, l;t'geometría: sobre
es'
es de B. Riem:mn'(1826-1866),
a las geome-'
trías elíptica y esférica se las suele llamar"
la-~superficie esférica cuan, o se 'conSl eran co-mo rectas :13, circ;unferencias 'má~mas., 5olageometr'ias no euclidianas de Riemann.
menté¡h~y ..que, c~':lye~j.r~'para evitar que dos
. 2.4.. La geometría DO euclidiana ~iper.;
recta~se .cortcn> en ~
dQs.':puntos.. iferenres, qué
d
bólica. El -caso 3 de 2.2 corresponde a la
los p~Úttos'~Jia1fzciralmenté 'opuestos .sea.n 1m
geometzia 'no euclidiana propiamente dicha.,
pi¡.n~o
•.:En' ,reiio~es 's~fident~mente limiEs la' geometría desarrollada por Gauss, Loba-;
_t~da~:' ara-que ;~Q:ha~~,e~::~~as.'
p
puntos diamechevsky y Bolyai, a la que K1ein dio, el nom- ~
tr~lmente'opuestos~'la identidad, entre la geobre de geometría hiperbólica. En ella las rec-:
metria: 'sobre la esfera y 'la: geometría ,t:Ií ptíca,
ilimitadas. Se cumplen los
, escompleta ..
tiene-así el:.'primer'ejem~lo d~~. tas son abiertas

.,

','

en

en

de

l. ,

en

n.

solo

Se

é

I .

,

.'

. cuatro primeros postulados de Euclides y deja
de cumplirse el quinto, el cual se sustituye 'por'
e] siguiente:
.

. El mejor método .que., a. uno .se Ie ocurré. " . ;
pensar, para ello, consiste enmedir la. ~ma di;-·:::' :
los ángulos de un triángUloky';comproba:r<Si'
~.:,.:'
ella .es igual, maYor,:!o'hnenof ..
dos:
i:'-< :
Por un unto exterior a una. recta pasan
El primer ¡ensayo .Io- hkó'jGarlssf Diidie'n(lo':lof :,;..... ;
:')
os paralelas, que separan as infinitas rectas"
;.;.:::~;
:
no 'secantes de las i"finitas secantes.
. . ángulos deJo ttiáóguldUormá~o'ipor:·lis1ciiná5:
de los montes .Broc~eili~Hoherihagen?'e·~Iiisel~;: /!";'i: ;
. La posibilidad de esta geometría deriva de'
,berg,. triángulo cuYosrlaClós;.:ñüdeilivaHd·t:dé!·. ;:~.:', .
que, sin contradecir los primeros postulados,
cenas- de .kü6métros~~EI :,;.reSüItad~: rleX(¡üé'.la 'r:::;J_ .
f
puede haber rectas que no se corten .(por le.
suma diferíade i180~·¡en:~~'dllitidadés-_'ínhY'i.pe~·:~~.
-.:::
.
ta~to, paralelas según Euclides) y cuya disqueñas; atribuibles a erroies ,de' obSérVáCión.~~r -.!. '!' l
tancia mutua sea variable, llegando a ser tan
" Estos: errores,'] irievi~ábles,,¡,poi1..~p:recis·as¿.;q~e . i.·
.:}
.pequeña .como se quiera. De esta manera las
!;ea~ :las mediciones¡ hacen:! C¡ueTmediante':.tesu· :"f
I
paralelas .EE' y FF',. de la figura 3, resultan
tipo de experiendas;tno!·lseá:·~pOsibI~~)'aeCidir· ·..i:··
.;
r~ctas Uasintóticas" a la ,. e: AB, a la cual se
cuál: es la geometría' ~eal· 'déla>;'n'arutaIeza;:;~a~:;, :
acercan jnfinitamente sin llegar ':l. cortarla. EJ
lo sumo ~irven .r.para;;.JIegarti:dla>,cohélu'Si6h:. -':;'.: ;
· ángulo a = HPE
HPF se llama tÍ1,gulo de
cornehtes'" de·'¡.J,!,s
"Ciéñ¡; -v, ¡.. (..
:.
paralelismo y depende de la distancia d =·PH -. de que'·· para' los uso~(:'
cías e~'periine:ntales,dai:':geome~d2! 'eucliáiaD:l: :'.,:::::.:
:
En! 'la geometría euclidiana es' siempre a =
perfectamente .'válida. ~
.'no·:· iéuclidi;i::':.'~:
='90°; en la no euclidiana, a varía desde cero,'
nas tienen interés pu'rámente'!'té6rico"cu2n'dó"s'e .:,.;;
para d infinito, hasta 90 o, para Jtendiendo
'considera' que' conocer: es :~l::.:úniéo 'fui 'de )2- .: :
a cero (ver 6.4).
.
geomeería, pero. tienen valOr.!~sCi~ éórrto.1
geo..;'·. ;
De esta geometrla .nos vamos ocupar con
metrlas para: medir', ~ú
t~bse:rya'r' :los¡.~fenorrie~·.: .:
-detalle enIos 'capítulos.V, VI y VIt Adelan-.:
nos naturales,' Para' 'elIó':'la:'eüélidiana: ·~Súfí.; -~.. ' ..
..
ternos únicamente que, en ella, la suma' de los
ciente, y es,.también·1Ia ..·rit~sfprác'tid~~pdr je:r' .:.
ángulos de un triángulo es menpr que' dos recla más' simple y,la
'ada'pdda:'a1 la!intuici~n~~·~!'.
·tos y que, por lo tanto, corresponde a 'la hiEs-explicable :c¡ue··ásr:Sea':·Los'-'postuI~dos.'eD: .
':1
pótesís del ángulo' agudo de Saccheri,
.
qúe 'se basa una geometría fSei:'elig~nJ,lo::)nás . 2.5. Geomelría y r:ealidad. Es curioso
evidentes: posible pai:bla" intUiCión;;'
ésta' . '.
observar cómo Jos creadores de ~a geometría
es producto de la obserV:ici6n 'de·la natUraleza .,
noleuclidiana de la primera mitad del siglo XIX,·
por los sentidos.' Por:·;Jo;"tiiiito~;.alnerios"tÍÜen!.::.)¡·' .
i
"a pesar 'de su obra. capital, parece que se hutras. nos mantenga'm~s
eltord.en dé:magiii~:; .' .:
bi~ran alejado del concepto plaeóníco que pre'. tud "'apreciable poi' .Iós! senti(Jos;~.Ja:géometiía.
side los Elementos de Euclides y hubiesen reeuclidiana sed .la niás acorde':con'la: naturaleia~ .:" .
trocedido, vol '¡iendo a considerar la 'geometría
por -ser el p~stuladóiide;:E~¿lides~~If.inásJefi~ ::~,.
.como una ciencia destinada a medir las cosas
denre : para ·.Ja.¡.'in~ció~~l;p~a:F.~~s~~~Zp~ede .~..
· de; la Tierra. En 'efecto, al vislumbrar la poocurrir' al trarar .fenómenos :cuyo·I.¡:orden~.;de::.
sibilidad. de'.gcometrías distintas de la euclidíamagnitud sea' muy' diferente t del. qué.'~apredárt. :
naJ en lugar de adquirir el convencimiento de
directamente los sentidos,::!coino;distahcias es.:. . ."
·que el postulado Vera Indemostrable y .que,
.telares '0 diámetros de !paiticulás ··.ele~tntalés. :,:.;
...
· "
.
.,
.
, ...
en; consecuencia, existían otras' geometrras
.. : .','::>
.:'.
igualmente verdaderas, mostraron una cons-'
den" geometru. Mis aun,.-sostlene que"el'problema en.;.
~'.
'tante preocupación por averiguar, por vía ex- ';
.i cuece de sentido, .ja'·q-ue ·unaTgeómetrí2·'no es ·iñit.. .
, perimental, cuál era' la "verdadera" geometría,
o menos fI~rJaJml ,ino m~s;o 'irienos.:é&moJtI.:para:.Ser .
aplicada a .,un:. cierto :~~mundo".· ua :el nuéstro~' este .::
P
es ;decir, cuál -era la geometría' válida en la
carácter es poseído pOr.Ja ¡geometdá :~did¡:aDa.'i..C:Ver ~.
naturaleza 1.
..
. !
H. Poiitc2r~, ÚI' rimeltl y 111hipóltsis (trad.:'esp'~j, Es- 'i

4u~.

rectos::, ..

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i

· 1 Henri Pomcué La' recllazado la posibilidad de d~cidir, por medio de 12 experiencia, cu~1 es 12 "verda-

pasa-Carpe Art., coleeci9it'" Austr2l,'
IV y.Y.)
.: :.. :
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1'''', cap' .. ;!!.
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Enesros casos podría ser que la intuición fa:llara Y' que o~~as:geomcCrías fueran más apropiadas, .de 'la misma manera como para grandes velocidades, superiores a las observadas
direcramente por los sentidos, deja de ser exac ...
tao la mecánica newtoniana (la más evidente
para la intuición) ..y debe ser sustituida por la'
einsreiniana.' . :..,.
Desde el 'punt,o -de vista de la matemáti~a
.pura, en cambio, todas .las geometrías tienen
igual valor.: Son' estructuras matemáticas distintas: pero :igual.n:iente valederas, cuyo inte. rés p.u~4e variar según.la aplicación que se les
.: encuentre, Paralos, usosde la práctica, la geometr:.í~·.euclidja~~ es .l~.:qu~·mejor se adapta.
En cambio, paraciertos capítulos de la matemá rica.pura (te~rí~ de, funciones automorfas)
ode la físi~a reéricaj'teoría de la relatividad).
.: .IQS'esquemas de las geomerrlas no euclidianas
,. son más apropiádos~;' "'~.:, :
.:
1;.. ' ¡)":':¡::i',::.¡ -.1:!. ",'
'.
:. ::~:;2,,~,,¡;
N.ue~lr.:Q.:p~og~~a •. Lobachevsky y
.' Bolyaijdesarrollaron su geometría por vía .ele;. ~,ent:~l~,;Pres~~Ad~~nd~·::d.e~
.po~.tul~do V O. sus- .
.: ·tltuY~l?golo,r por. ¡otro; :.pero siguiendo un ca.. mino; ~~álogo'. al .de-Ios Elementos, }tegaron a
1': mp.cho,s.res~l..t~40sinteresantes de la geometría
.. y;?~;ig~npmetría: -9-0. euclidianas, Al no encon,
'.:,.trar contradicción. e~: sus razonamientos, He-'
.
, . gaban :a la. convicción de- que. el postulado de
Euclides; era, yc:r~ad~ra~ente un postulado,
puesto ;que su. negación no conducía a resultadosl contrad~ictorios. S1n .embargo, esto era
. nada ,más que una' convicción, no una demostración, puesto' que'. quedaba la duda de si la
co_!!tradicciónEareEe!:_ía ~ algúE_~ev~ reo- .
rema .. As~, , en . ciertos' momentos; el mismo
Bolyai. creyó, p~r un exxor de cálculo, haber
llegado' a: una contradicción y, por 10 tanto,
haber "demostrado" el postulado de Euclides
(ver Bonola [5,' pág. :ll.~J)~
.:
.
-,: ,~a 'prueba .. e;:1.~ indemostrabilidad del p~.sd
rulado de. Euclides no, fue' dada hasta' más tar.·de; por: caminos.diversos.: Primero por Beltra'ini·.(1835.-1900r,.en·I~68,.
según una direc-

"· !{:;:ri· i..
..

'~.' '~ : ;:.<

, 16

¡ :.' :',:. ..:. .'

.

.

ción de la que hablaremos más adelante (8~2),

y luego porF, Klein (1849-1925) en una memoria famosa [36], en la cual sistema tizó las,
. geometrías no euclidianas desde el punto de
vista de la geometría proyectiva, construyendo modelos con los cuales se podían obtener
todos los teoremas de las mismas. Llegó incluso
más lejos que Lobachevsky y Bolyai y, sobre
todo, demostró que nunca se encontraría contradicción en sus razonamientos, puesto que
ello conducida a una contradicción en el rnodelo, el cual estaba construido' a partir de la
geometría euclidiana. 'Es decir, demostraba ~ue
si hubiera contradicción en la geofl1etría~ no
euclidiana, también la habría, por ta1),to, en la
euclidiana. '
i
Nuestroobjeto es exponer con cierto detalle
esta iri terpretación proyectiva de las geometrías no euclidianas. Creemos que es la mejor
manera de lograr una visión global de su jes~
tructura y de comprender la esencia de ;sus
principales teoremas. Ello obliga a manejaral ..
gunos conocimientos de geometría proyectiva
.que, para no tener que hacer continua referenda a textos sobre la materia, vamos I a resumir
,
-,
en los capítulos In y IV.
'
No vamosa hacer la construcción axio~ática de la geometría desde el principio.· Siguiendo el camino de Euclides, pero con todas'
las correcciones y añadidos exigidos por la crítica moderna, 'esta construcción fue iniciada
por M. Pasch (1843-1930)' y terminada con'
: la obra magistral de D. Hilbert (1862-1943) ..
.titulada Fune/amentos de la geometría [25],
fuente insustituible a este respecto. Dicha
construcción' puede verse en cualquiera de los
libros modernos dedicados a las geometrías no
euclidianas, por ejemplo en los excelentes de
llaldus [4], Coxeter [8] o Norden [11].
Admitiremos, sin formularlos explícitamente, los postulados con los cuales se edifica rigurosamente la geometría proyectiva, y que pueden verse en la obra de Enriques [23] o enila
de Rey Pastor [26].
.

I '

2'.
"

.',,:'

"

./

._
-Las nociones de 'geometría proyectiva que
vamos a presentar pueden verse con mayor'
detalle en cualquiera de los' textos mencionados en la bibliografía. Las exp~qemos brevemente en este capítulo y en el siguiente para
tenerlas a mano y para refrescar. la memoria'
de¡ lector. La exposición será un poco concisa
y algunas demostraciones tan solo serán. esbozadas. -.
I
I

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:.:<

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J>':' .. , ,',

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..',' ,ll,···,ti·,

DEFINICIÓN 2...ConveÍlci'emos'efl

deCir:qúe.·

>~
.:

toda recta' .del pl~n("';dcfhie' ¡ün~'punt¡;~¡l1;lmj~:
pio J el cual es' el' niistno"'pa¡,~.;todas'
¡ reéta~ .'"
paralelas, . y dístin
'rectas_' no 'iaraleJas/ Por :consiguiente, ...dar un'' p'únto';' impropio,
equivale a dar una' recta.o ~ea~JUna,di.i-ecci6n-:', "
el plano.' Dos:rectas .:paral~Ús:d:~t~rrninan·, :'.
.
.
'..
.,'
l .•
"
.._..
•
"
el mismo 'punto ·.iinp!opio !:[( equivrilef~,.a:;declr·.:;..'
:
que tienen la' misma ~direcCi~n)~::eori' 'este;'con.:.(:' ,';
venio, elenunciado ·.,~dó~:::rectas
(¡itermin~n
i: ,!..
t,
t !,,"
• k.' , ·.. 1:
,
r
.: .. " .){ ",: ,í·': .",
punto" nene valtdez:'lgen~ral~:,~,L;J.':.::ií:~~S
;:;;VÚ:!I~i'. :¡'.
.que:
el'cas&',de;d'ó~:rebtas:;ii~'
p.:t:ii::1 ..... .;

.la~

to' .pára,

'~'n

iin

. 3.1. El plano proyectivo. DEFINICIÓN 1.
Se )lama Plano euclidiano al plano de la geo-'
metría euclidiana, es decir, al plano que uti-,
'lelas el: pun too q ue' detérmin~n Su ,~jiltersec~: ,,¡,. ;
~:i
liza 'Euclides en sus Elementos; Y. para el cual
.ción (que. p~~te:'lece:'~"~~Dib~¡s)}'t~ml)i'éit':'ert!~r
valen todos los postulados establecidos en .Ios
caso de.punt:os.imprdpios·sé:~ice~:;~.r;~c5modi-- -, ',' ..
:,
mismos •.Es el plano ordinario' de la geometría·.
.dad de Ienguaje, que':elIos ··:·peiteileciñ~~;/a b': . ',
~
elemental, .
..'
.
recta que Jos ¿eterm~a1 :Dc·!esu'Jrian·era;:hda.:.1'-:::.' i
.. ' En el plano euclidiano es cierto que' "dos
tiene .'un pun.tQ~;imp:ropio:W.1:sOJo~:ij~~~::~
:J;~.~
...
'puntos deterrnínan.una recta". En cambio no '.
:rii{:j¡t~,:) I
lo
la propiedad dual 1: "dos rectas determi-': '.con junto de los ptiiltos<in'ipropios!::).'iieJie:
útiic6 puríto ~.omú.ií:::~to~-::
ttiálquier:::·1;~¿tá::; (fél. .)":.:i.' t'
nah un punto", puesto que, si bien' cuando .las
plano,. Y. como' esta rpro'i,je~~~:eh:
':'1.. ', .. : '.
rectas se cortan, puede decirse .que dererrm .. a·n
J
. puntos propios," dJraéteriz'aFi{ ~~~
su"!punto de intersección, cuando son' paralelas
conviene en 'decir: ¿¡'de ·:10$ 'ífu'iÍtos .mípi·opios:.:.
'
no: determinan ningún punto. Para obviar esta
. forman' una' recta; .1lárnadi.,:iecld· ;mproPia:;o. :¡. :
falta de' simetría o. 'dualidad, resulta cómodo
.
1..... :>d'f· '... :. ¡l,..
,..
recta d e1 In f"11/.110 de 1.ptano.. ,,:.. ¡_,; ; ., ," ::,,:.;s . ;.;; - ,..
ampliarel plano' con nuevos puntos; Ilamados
.' .
'. . l', ':/:.: ..... j' . -, .',"': ;.!".' ' .. '; .. '. .
.,
p'll'!1tostmpropios o puntos del injinito, que seDEFINICIÓN 3.
¡j,lano': pioyec'Hvo '.~'.
. rán' aquellos.determinados por rectas paralelas."
al-plano euclidiano ampliado·.. ..los, ptinib·s. ': .
:cOll
••
.: .
.
~
:.'
".
lmprOpIO!.
:
l.,:
.. ;:"
.: '
i Propiedades duales (en el pl:mo) son las que se
Una imagen muy:íitil ;·~ellpláno·.proye:c'tÍ'vo :.:,.:
obtienen un:i de la otra 'permut':Il'~doentre sí 1:1, palabras "punto" y "recta" y umbién las expresiones "re¡;se obtiene' de ]a. maner,a: sig~iente·:.:Seá,::e~
·:'pla~·'. :'
t:1 que une" (dos pUl1tos) e "incersecc:i6n" (de dos
no 3t Y. un.:pun·to exteriór·:(r!(fig::.4)'~·;Consi- .... '
rectas). .
.
.
.
deremos el conjunto ~de las rectas :y' pla.nds del .
Como los axiomas usuales. de la geometría proyecdva
espacio que pas'an por ~O (se llama '1'ailiación i
del' plano son duales, dado 'un teorema su expresión
de vértice O) •. Se .tiene:
.;'::' :. ," ..,.,.::.!. ;.~;, ?t·;~ ...
dual t3mbién será un lcor~ma.
!',

, . 'Puesto

'es

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,:,;' ",J.,~ :t,!d;(l~jónr,de, vértice o 'comtituye
tcn«
; repT~se~~,!c~Ó_n,¡á.e_1
'pl~~o 'Pro_yictivo, con el
l. convento de¡: 114?n.ar:.p.1~n!os" a las rectas de la
,~¡r
~,ra'4ia~ió1"-y,~,rTectas" {I' los' pla1Jos de la misma.
,
.' _'i • ,1_
;.:" .E:n 'efecto;' alcortar con e~ plano n; a cada
. ": recta a .que,cortea 'n le corresponde el punto A,
..j',

; _ .• ,"

1,

','

,.

';

•

,~

•

'

_

y cada

,.~ de int~.rsecd6n,¡ 'a
plano (a,b) determi"::'nad.o por ,dos,.re~tas'-la, recta 'AB determinada
:.p~r'l<?s::puntos:: correspondientes. Los puntos
. .impropios de n corresponden a las rectas de
la radiación contenidas en el plano n', paralelo
,a ~.: f .rectas paralelas de n les corresponde una
._-misma ::~ecta.paralela ,que pasa por' O, conté- ,
:
:n~da:en'el plano' n',o "sea.,:un solo "punto" im.propio: .~~ recta ·~mp.ropia,correspon~e a rt'. La '
'radiación de (. értice ,:0;, excluido el plano n', ,
v
-consrítuye 'un,a .representacién del plano euclidiano: J;" '.¡ "', ',:::, ,',: .;' .': .
'
, ;""'!, Obsei~~~e' que ';al definir el plano proyectivo
,
.. nc_> 'hace '~~~ que, introducir los elementos
se
, .Impropios como' una "manera cómoda de uni:ficar .cniJnciados;': pero con' ello no se alteran .
.Ics' postuladosjque .:relacionan los elementos
, . pun~o y 'recta' de':la~'ge9~etr_ía euclidiana. El
, .1'),~;: .~ ,;' ".' : : ~.' :
,

. ::,,: : ( ,' l;;: 6,
~
.....

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3.2. Razón doble de cuatro puntos:' 8U
invariancia por proyección y seceión, DEFINICIÓN 4. Dadós cuatro puntos s~bre una
misma recta r, y un cierto orde~! ~,B,C,D
,r

A

D
FIGURA

,

entre "ellos -indepe'ndierlte
del orden en que
están dados sobre r (fig. J) -, se llama raz6n
doble o raZÓ11, ottarmóllÍca de los mismos. ~ la'
I .
expresión
i
..
AC AD
(ABCD) =-:-, .
(1 )
,
'BC! RD

1
(ABCD) = (ÁBDC)

',"

'.'

;-, . l',!

,

o"

:.

. ':: .

r,

~, ¡,FIGURA

, ~',~ ·l.~:.
' 3;;; /'

..

::1 ,:':'~'~~,:.¡:, :;:;;;: e:: ':,.
,

:"po~t~1ado V equivale. 'ar'la afirmación de 'que
'~:':l~:ip':ln~o.
Pfop¡p¡,Y,',::?J;lO impropio determinan
,·;.?n~,.sola~··reGta,
rprop'~sición 'válida en el plano
,::l>roy'ectivo. Es decir, la. geometría' proyectiva
",

.'

';"1

'.'

... ." :
'.~~,."1 '~':'.

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•

-:

I

'.,

-..:
.'

•

,0('

,

~

1.
= '(RAC;D)

'.= (BADC) = 1- (ACBD) '=
= 1- (DBCA).

:

,':,'¡ .. ".,

. :;' - '.

.. "

-:'

1

El primer miembro es u~a not~ción. EI;'se:·"::'.
gundo es un 'cociente de razones entre ,segmentos, los ~uales deben tomarse .orienrados,
es decir, teniendo en cuenta, que, 'por ejemplo,
es AC =- CA. La razón, doble depende i del
orden en 'que se toman los cuatro püntos:, Se
comprue~an, por ejemplo, las .relaciones ;

~

;,'.

'se edifica' con los mismos. elementos de la geometría euclidiana}. aquélla podría estudiarse
por entero .dentro del marco de esta última,
tan solo complicando los enunciados. Esta 'observación es muy importante desde el pqnto
de vista de la -fundamentación de la geometría.
Según ella, al construir la geometría proyectiva no podrá encontrarse en ningún momento
contradicción lógica si,no la hay en la geometría euclidiana .

...

'

:

,

=~
(2)
••

Debido a 'estas relaciones, de las 24 razones
,dobles que se pueden formar con los 4 puntos de una cuaterna, al variar el orden de: los
mismos, solamente 6 tienen valores diferentes.
Si sobre la recta r' está definido un sistema
de abscisas; -o sea, un origen O y un punto

,

,

.

..

'.

un:idad U de manera que cada punto X esté
determinado por su abscisa x (distancia a O
.rnédida con la unidad OU), llamando a, b, e
y U, ~ las abscisas de los cuatro puntos, la razóh doble (1) se escribe también
,1

'

,;(ABCD), = (abed)
I

'

·1

·f

"

,.

=.
d-a
d'-b

e-a
e-b

,!

.

.'

,

(3 )
.

'

(A, veces, para evitar alguna posible' confusióh, pondremos también ,( a,b,é ,d)' en lugar
"
"
~ ',del (abed).)'
, 'La expresión mediante las abscisas de los
,cu'atro puntos tiene la ventaja-de que permite
definir la razón 'doble 'aun ,para puntos ima.ginarios, es,decir, para puntos de abscisa 'imaginaHa; se la llama también razón .doble de los
'cuatro números a, b, e y d.
;
La importancia 'del concepto ,de razón doble
deriva de la propiedad fundamental siguiente:
, . Supongamos' q~e la, cuaterna A,B,C,D de r
, se 'proyecta sobre otra recta r' desde un punto'fP (fig. 6); sean A', B', C' y D~'los puntos
proyectados. Vale enton~es que' (ABCD)
,,=t(A'B'C'D').
./'.
,
En efecto, llamando ahora (1,' b, e 'y d
a las rectas proyectantes.vy representando por,
ar :(APC) el-área del triángulo APC, y análogamente para Iós demás 'triángu'Ios, se tiene:

=

:2 ar (APC)
2 ar

= PA.PC.sen (ae) = AC.h
(BPC) = PB.PC.se~ (be) '= BC.h,

donde h es la 'distancia de Par.
. AC _
. BC -

De aquí

PA
sen (ae)
PB . sen (be)'

.

Procediendo análogamente con' los triánguJos,APD y BPD, para Jo cual basta cambiar e
por D y e por d en las fórmulas anteriores,
resulta
AD
PA
sen (ad)
,
,

--_--.
BD

Dividiendo
sulti

sen (bd).

las dos últimas igualdades,
'

=' sen (ae) . se'n

(ABCD)
"

PB

,

'sen

(be)

re-

(dd)

. sen, (bd)

. (4)
,

"

,;.' , ~:...19
,t.,

.;

'., .

..0",

.

.

.
'

"

"

,".

: . z.6n.:·dobi~'.J;'··~u:atro
'rectas de u~. h~z, dadas
pór~SUt ec'ua.~joneS, ,jgwil ¡j la TIlz6n, doble'
'es
, ~f:~1J.~'
coefic~c1!teS'angulares.

.

I

"

' .,.,

,"

:'~ it

",

cuadri vértice ..(en la figura son MP, MN,:

j .:' i',:

;::

! •. ;.

"j":

MQ,

NP, NQ y'.I~Q). Los puntos en que se corean

,

y

dos lados, . que no son vértices, se Ílaman
, puntos diagonales (el A, el B, y el ..f.l).' Vale
el siguiente: ,

•

, ",·3.4., Cuaternas.arménicas, D.EF1NICIÓN 7.
!:,
....
", S~:dice ·,''l,ue.'cuatro puntos' .alineados A, B,
,TEC?REMA 2. Sobre las recias qlJ.e unen dos
, C Y:]) forman' ana' c:ua/~rna'ar1nónjca"cuan. pmllos diagonales de U11 cuadrivértice ~om,do;Su,razó~ doble
-1, 'o sea, (ABCD)'= .
pleto, estos puntas y los de interseccián C011, =·...-1.
.
los otros dos lados forman un« cuatern« 'armontea.
o

•

o

••

..If

'.

vale

"

"

..

',:

Así, en la. figura 7 son armónicas las, cua'ternas A,B,C;D; H,B,F,E y H,A,K,L. Demos'tremos,. porejemplo, que 10 es Á,B,C,D. Aplicando el teorema 1 'a la proyección de A,B,C,D
desdc·M sobre la recta PD, se tiene (ABCD)
= (PQH_D) y. proyectandodesde N sobre la
rectaprimitiva, (PQHD)
(BACD). Por lo
tanto será.' (ABCD):
(BACD), 'o sea,.lla, mando x á' esta razón doble,' según (2). es.
:X
l/x, o sea xl! = 1; pero 'no puede ser
x -:- 1 .si los cuatro puntos son distintos 1,' luego, será x
1, Io que prueba el teorema.
En 'una' "cuaterna
armónica,', por' ser
(ABCD),
(RACD)
(ABDC), en cada

'

=

=

=

= _'

=

=

': 'i

"

.

:: ','
:~
.

;

....::.
:
j~+'
~l.

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,

'1

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:~.:
~:', .

.

..",

,"

•,"

: ~,.'.'
t •

~•

.'
' :: •

e

B

D

•

FIGUIlA 7
I

.:1.,-.'

•• '

! ' .. ~ '.

" " )'j:':U~aonfjguracló~':fundamental
c

que da Iu- , uno de' los pares A,B 'y C,D. d~..la cuaterna
pueden permutarse- los elementos entre' sí.
'; "ga,r a'.'cua·~ernis::~rnlon:ica~es la-de la figura ~t
, Además,' siendo negativa la razón .doble, .de
.,,~
llamada 'cullári'lllr#ce! completo. Un" cuadri-.
',' .vértic.e'..es'un conjunto"d4! 4 puntos,' como los
1 En efecto,
según (3), si x= 1 es (c-a)(d
:',M ..:N~' p y Q.,..~elos cuales nohaya tres sobre
- b) =' (J - a) (e - b) o' sea,' haciendo operaciones
'.una misma recta'.::Las 6 rectas que' unen estos
"y simplificando; (a-b) (c-il) = o, 10 que obliga
puntos entre si, dosa ,40s, se llaman lados del
, ':l' que:o bien A .coincida con D, o bien e coincida con D,
, 20

I

1

.' • '.~ : ';') 1:"!
"

.,' ."

r

1,
1

~,; f .,;tdl:i~j,J:i(
.'
JI:

'terna arménica, (ABCD), :, -;;-.1;,.; deq¡rVlei,"""~': ¡';.
haga' corresp ondér .": ~a'~': ltiater";l.l arm6~i¿~~~¿¡
ú (
'~}~;::'
(A'B;C'D':) :..:... f.~de:Lr.;~se~'dice;'quet'la;~;có~I:
_"_.
,;f.,
rresp6ndencia'" co~s¿í-+~;J~};~~~terrias ¡~irri6~i;!~, ..
'.::,:
(
.
V'1 :", ..
1,,¡.~ ."""j
'rr,I,t,,:!'
.k':
.caso a e.ientonces.e "SigUlente; teorema,', un,,:;)I~':'!':
"
""d";';"':i .I .. ".'··~.~tt:J,<1'
....
1
"menta :.
l'
~,
l'
d· .' l.d e Stau t·, :1.?""1'; ,';:"1, • .~.~:},.:.. ~';Jr'I¡'l¡rll~ í'ió .....,'.'I':'; .,(.
..
.'";~f lWh
k'f':;''-''· 1•·•·.¡W" .•:_;,:
:v

~1) se deduce que los dos pares deben sepa-.
rarse (es decir, si C es interior afsegme~to AB; .
el punto D debe ser exterior, y reciprocamente). Por esto se dice que son pares que se
separan armónicamente. Tamb~é~ se dice q~e .
cada punto de un par es elconjugado armo-:'
nico delotro, respecto del par restante.
.
Es interesante el caso ·en que el punto D
se aleja hacia el infinito.
este caso, siendo

En

lirn] (AD/BD)

== lim

=']jm .[

(AB

•

•

fl,

I

'.

.

-

.

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s'' -, :.~;.
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•.

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+ BD)/BD] =

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L
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1

1

·1

",V

''h'J'~

.

(1 +AB/BD)
= 1,· se' obtiene AC ==
Be, es; decir, C: es .el.. punto .~edio .de
AB~ Por 10 tanto:
'TE9REMA '3. El ámj1tgado
~~móniCo Jel

frllntO improPio respecto' del par: A,B
pultto medio del segmento AB ..

'

,,'

es el'

·1

'1":

.

;, ;.V'

'~"':,f ,.(.: .

." !.íJ:
:... IT!;li·:j

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1

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~:¡'hr·,!·~·n(~~.
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1

·t',r·u~. r ':1 ~

.~:tE J·:i-~,1~r..: ;:" .
..
M

'.
•

S¡" •

TEOREMA
VOCII'

'los

.¡

1

.: .A.
'j ,

4 -.'Si un'a correspotidencjá: ·bil¡n~::'.·.' ..' .,' .

entre .Jos piinto('iJe':;aos;:recliss f'.r,,·1~¡aer :':.:' , .
~

pláno proyectÍ'llO¡ con'seN;~·.las~ u'?:leNÚIs.~~fmó~:;; ;-,.'
C
.;';";:
nicas, .conserva. lil11;biln; ;1í'1I1drh" dl~ (,1-4:..t > '~"'. J!. :
.' iones dobles de dujfe-;J1i;¡s:;~ÍJálei(j11¡er~~¡~/rIjfX~~i:·.:¡i:'.;·
¡: i.

1

•

'-!..

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las

:~~~~:'j~i.i~~?~t;
"'íi"~~W r

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'.La·~déni~s·~~~ti6~}~~'~~~f.F&k~~f~¡~~~
-ti
la '.pe·na h:icerl~ p:ues'~st;~uY;im'po~tllDte'Je'¡:ins!f;r):.:;;i'~·
·
'..
.'"
.i "",.' ""d..1 "'j'¡j: . "i""
"J
'.
'FICURA
8
trUctlva~: ;i' :,! ·r;··!';'~::il;;~,~fLY,lf/f:~J;;··r[
.. :t~'!.I·;il;~i:~q?:!·,;!:~.:·i:
:: .•
Tomemos rn·. cada·;u'na~de;;nis}reCta's~.un¡;·sis;.t;: .: ::.
-::
te~a"
ábscis'as~:'de' !riláIi~'t:f{qti~1"
c;ad~J.plflít8~:; ~::~ ~ .;:;
:(:1.
.l.
.
.' ·Géométricamf.nte (figt 8) este teorema se . quede'
pof~,~ri~'riúfri¿io
1·r~ar:frSU~. ;r
;k;:l• ·Se··· O·I·l'~··••.
I:~·.""(·'t{..: ""'r'¡I'·OJ·)'''!'!·Urr·<¡-<·I~¡:I:(i¡:t·:·I:·~
puede .enunci1r:
a b SClsa.; an
';e:. 0" g~.~ ¡ aOSClsa.: 'h ,;'. ) /.h';' .~
e
punto unidad "'( bscis~··.J)
a
!.~
.,tEOREMA: 3'. Si se.1men los vértices. d~ la base dc'1en triángulo con los pt/.ntos'en que 1ma prop~o .0; del ii1finito:;(ábscisa' '1:00
!. :'~"
;
paralela a ella .corta a.los otros lados~ el pun'to '. Las mismas Jetras, :·i.'c()n'·:; tildes,' .¡hldidtán!¡Hot,: .";.:, !;~
de 'intérsección' eStá sobré 'la mediana corres- . puntos coiresp'oridieh~es':'bri:ir'¡:se&ún
·pondencia dada; ..estbs" ¡püriios·.:rio~.;.sii~n}yen:.:: .::;..',.;.
poit.diente 'al ter~er vértice.:'
, .
"general, los puntos .órig~ri~.:li.riidád: imprbj,io':: '.'
l·
3.5. Teorema ·fundame~lal. Suponga'. de r', pero' por .dos pioyecCioneS'~(,~veruentéf~ :
mos dos reétas r y. r', y ll;na correspondencia
siempre sé·pup.dcdlevár"~/LJ:~yiL~ sdl)r~'btñ{' ;:
recta 1'1' de manera que ..co~cidan con 1M ¡hiri!::··: .. : .
biuní'voca entre sus puntos tal que·.a ~oda cua1 ',

•

ae~
deterrhina'clo';'

l'

'ly¡:D!el~,pun:tó ;',::
~imt·~:~
..:,:
; ..

>t~/de::~.fE:;;
.:~:.:

.Iak~rr~·s~:i:
.',:
"'.:.:':

e.

'.

.,..

. ~.
.

.,"

~. ~ :·i:··.~
...'

,
.'

.:" .21:.

......

'.

· '.

.

::-"'.,::.:".

: ~:'

..:

tos' ~~ :a~~·cis~sO, T ~ 00 'de esta última. En'
efccto';"si Ol:'y' Ul"son los puntos de abscisas
O. Y 1; 'de
(fig, 9), basta tomar dos puntos
cualesquiera So.'y Sl' robre la recta 010'; los
" .puncos·H.:"(intersección
de SoU' y SlUl) y
E "(intersección. de SoL' con la' paralela a n
, -por Si). determinan' la recta e. Proyectando r'
'. s~bre:e,.desdc: So, y luego e sobre n, desde SI,
.:' se' tienen 'las, dos .proyecciones mencionadas.
.;. Estas dos proyecciones de centros So y S~ de· terminan una correspondencia biunívoca entre r~~,.y 1), .qu~. conserva las razones dobles
y, por.lo 'tant0/sé ~eridrá también .una corres'pondenciabiunívocaentre
r y TI que conserva
· . la's cuaternas armónicas, y que hace corres',' pender al origen,' al,.punto unidad y al punto
.impropio- de. los-puntos 'análogos de rr. Es
::decir, .llarnando x a la abscisa variable de los
.: puntos, 'de r ~'xl:;a la del punto
correspondiente
'de 'ri, ; y f á
correspondencia entre ambas
rectasvo sea·'f(x) = Xl, se' cumple
.

+ y = O da

que para x

f (-'

ri

~
,

r,¡

'¡'

'b:

=.0, .'/(i)' ,

1(0)

=

f(oo)

1,

ec , ' (5)

Queremos demostrar que de estas condiciones;
del hecho de c<?I?-s~rvarseas cuaternas
l
armónicas; se deduce que es
.

y:

" l.

r

:;

,

:

' "

~

I

.

'

'

:.. 1.,, ¡':-:'j !fx):=x.

· :;.....,.¡.,¡

(6)

.:' Si .esro :es -cierto, los 'puntos homólogos de

r: y ~.ri,tendr4n abscisas iguales,

y por lo. tanto
las razones! dobles, de cuaternas correspondientes tambié~ serán iguales; y, como las razones '
dobles .de cuaternas homólogas de n y r' tarnbi~J? son ·igul.!.es,,;qu~dará demostrado el teorema,":'
s •• ",
•
;' ,La; .~uatern~· ~,y;V:z (x

+ y),oo

es. armóni.. ca; : 'Por lo, ta,nto '.también lo será la de los
, elementos transformados, de donde resulta.

( '1,~,

x ~ ~:')~

. !.

.,

'.

'.~

,:.

':

+ f(y)

[f(x)

(7)

~

¡:: ;.: .
'!:":.'

= f(2x)

·:.;'2f(x)
.'
o',

:

;1'

,

r ,

a
(8j

.,

, :y:~por''1o canto; escribiendo (7) para los valo- .
. res: duplos' de 'las variables y aplicando (8)
l.

•

!

,....;

.

22,:; .

I.i .

'

/(x+,y)
..

,

-: fex)

+ f(y)

'(9)

.

¡(lO)

Teniendo ahora en cuenta que. la cuaterna
también es armónica, y que por

. '- x,+ x,1,x2

Id tanto también lo' será la cuaterna transformada, aplicando (3) a esta última resulta .

f (x2)

= [f (x)

poniendo x
aplicando .(9) y (11),

. y de aquí,

·/(xy)

+

= f(x)

]2

e

, 11 )
y en 'vez de x y
.

f(y).'

:

;(12)

Es decir, (9) y (12) prueban que toda C07
rrespondencia que cumple las condiciones (5)
Y conserva las cuaternas armónicas, conserva

también la suma y el producto (se 'dice que f
es un auto1!/'Qrfismo) . Para llegar a e 6) observemos que, siendo f (1) = 1, de la aplicación
. sucesiva de . (9) resulta fe 1n) =.1fJ" .para m .
entero. Poniendo x
m e y
11/m en e 12),
resulta f(1t/m)'= f(n)/f(m)
=n/pt, es decir, (6) vale para números racionales. Falta
ver que vale también para números reales
cualesquiera,

=

=

Poniendo en (11) Y x en lugar de x, resulta f(x).= [/(yx)
]'2, y por Jo tanto para
'x > 0, puesto que la raíz existe, f(x) es un
cuadrado; .por 10' tanto, suponiendo siempre'
que las variables son reales, resulta que si
X; > O es f (x). > O de donde, aplicando (9) y
(110); se deduce que si x-y> 0, es f(x)-f(y)

>"0.

.

Supongamos ahora que para un valor x no
fuera f (x)
x sino f (x)
r, y supongamos
que r > X. Se podría elegir un número ra.cional a·tal que x < a < r y, entonces, siendo a'-x> 0, ser,ía fea) -f(x) > o. Pero
f (a)
a (por ser a racional) y f (x)
r .(por
hipótesis);
por 10 tanto sería a- r > O,
con trariamen te a la desigualdad supuesta:'
X < a < r. En forma análoga, también se llega
a una contradicción suponiendo que r..< x,
Esto prueba que debe ser siempre f (x) = X.
como se quería demostrar.

=

=

l.

·.De.~quí;·haCiendo.y -:- üy sustituyendo,
contin~ac~qn;)~: por 2x, resulta
.
I

.

= -1 (x)

-x)

=

I

I

=

I

~.6. Puntuales

proyeetivas
y perspect!. vas. . DEFINJCIÓN 8. Si una recta se consi.,

I

.~
.

.. ,
dera como conjunto de. sus puntos,
demento, se llama p1tn~1tal.

no como

:' DEFINICIÓN
9. Se llama proyectividad
entre dos puntuales a toda .correspondencia
biunívoca enrre sus puntos, que conserve las
cuaternas armónicas. .
.

y (H,H')' son ~ares,'de:pUri:t~s'homólo:gb~;i~or'
lo tanto, no puede s'ú¡otra':;qiiejIa: proy~ctivi.;!·
. . dad dada. Resumien"dd;·¡Je.:tienei~;:(::j.¡~!::ji~: ......
·
)I:
. '.

, ~ .' '1"': ,,~.; J':I'~P~;~i~ '1,:, ~.::.!,~:,:,j~ ~';. 1:t·'"
'.~ Ij;:

':'

. re~ de punt~s. homologos. dei:do~;punt:uales:.p.~o-::,·:·:i.
. yectivas ·.pasani:por~,~n;~,;~isiho.:1.pt.irift6~(Ias':~p·u.n¿';.:
..:
'
tua 1es se 11
aman P ers 'P···'t· .. '1'. ··¡i··:",~·:t'1'¡.i'·¡·!· :'.
ce, wasl;-if.i'I··: :·:i!..f~H:.:.'!! 1',,· ,.
I,./

:: Según el teorem~ :tu~aam¡mtaI de Staudt se
conservarán también las. razones dobles de
cuaternas cualesquiera. De-aquí se deduce que
la proyectividnd queda 'determinada por tres'
puntos A,. B -" e de la puntual r, y sus. corresI
,:; ,

":

~,,~.:.~~~~~>Si!C~~.~.lq~~}:~n·:n:~'p:a~:
.•

. DE~INjCIÓ~.

•

••

I .~ ',.. s., ~.;t.t·
'
I

.,L'!I.,.I

:i! ~ ,1"<;'

.i

l'

TE'OREM~' 6:' ·pd~~.;qitJ.yj~;;;~p¡;niií;l~;;'¡fO?·

-yectiuas sean }Jersp?cüJit;;'es .fie'césár¡o~:y·;süf¡-·; , .'
cien te' que S1t P1tntO' COffl:1Í~ h011ú51ogoí de':.; .
'sea;
~í mismo.

:'! ",

~:·.ri:·f1~~:·!·l::'~~:~¡~{:(.'.;t.(
':
':.:'.:
por sUs·.coordé..;:;.'.

b) 'Sustituyendo 'los' p'untos

nadas; la rehcióri"';;(itBGX);·=
(A'irc'x') ;
permite despejar' x' "endun¿ión de' x~:re~ulta':n-:'
.
do una expresión de: la fórrria":
.:-.; .;',: ':;;:'.. '
"

:

":'l.'¿i;r+:

x' =..
:

y a

'1"'.'

i,.··yx
.'

• ti

!~(;.:~; '.'.:';":::;:'~:'~'"
.

+;b:.~ ;·
..
i:: r·:;·
,

(13)

"!~;',: .",'
!~.

,.1 :~,:,' .'<' .

.:,<!~~

;=

;1','

-.

donde a, ~, y
son "dertas :constá~tes que": .
dependen de las..abscisas de;'AJ 13 y"e y' dé7•.sus .
homólogos A', B'. Y C'," y:.que cumplen
1:1'
dición a~-~y#O:; .. '.'.;":;;. :
.'1,:::. :·¡'.i·,::.
La expresión (13); ~~.llama. ectill~ión :de·:ja.:.

~on·.:.·

r'

pro'yectiviJad.

.: .,: ¡r .....

:, .';', .: .. '::. :.(1 .. '

;,.: ..

:sup~~phesta~j.~ ~Ir';'
se llaman puntos 1enidos :1 los' homólogos desl :
mismos .. Para determinarlosj-bastárá
!-,
hacer-' : .
X' = x en (13), resultarido ;'úna' ecuáci6n;¡.de;:
.'
segundo' grado. Por í, lo':·:tahtó/ ,:presC=in-aie'i1'eJo.(
.... :.
del caso de la identidiid;·ln';¡lue: ¿:ida rpttRt'o.··;'·
;.;
coincide consu homólogo, ptied~n o'dir.rit'tiésj~ ;'.; , .
casos"
:." r·l'~/(}·,·~i'
"T·:I·(!:·,f·: ."!',j- ¡t,+:~·.'.'ft,··:·!,',;·'·: ¡:
Si .las puntuales=son

FJGUnA 10

,

pondienres A', B~Y C' de r', puesto que, para
. cualquier otro par X,X' de puntos homólogos,
debe ser (ABCX) = (AIB'e'X'), lo que permite determinar X' dado X. Por '10 tanto:

l

.'

,!;'" ~~:- i

:,.

.d

I :':~

"i:'

!. ,'1,

,~"·:i,'r~i"1:;,, ..

'~¡"I·, "

La proyectividad'[tiene .(:Jo·s{puntoS';¡'unidos:.
..:
. se llama hipérbólicilt::·:·I~!: p·:,'h;:.: :,:~r,:::;·V·::;f> .
:'TEOREMA 5. Una proyecti";Úad
entre dos
proyecrivídad ~i~~~··tiA.sb'ló·!p~ri~tJ;liMd~::;;·J.
p'u.nt1Iale,s queda determinada 'por tres pares
'p
b"l' ·-~·:".:I:·¡"·I·.;':( -':~':;:;I(";; .ií¡ ,1',"
''''.:
se 11ama ara o lea.';, ;:': :.;.... .. ! ~':~~;:':
-,
.:I'li::H~,.,~.;,: :-,'
tll' iJlllllos homólogos.
La proyectividad {'cárecel(le:punt~(iiili,dós~r::
::;
le
.'¡,.".
..
I·l..
·~t~'~··"-~· "'."
., *¡....
1 De aquí~
(réa es) : .se llaína e Iptictl. ,¡;:,.:~·r:'l"I :~;{j';;.'l';~!Y:':jtF!,/" {:=.
I
"
.
.
.
:·.¡,(~'~·.(·'·.:II,l'L¡~.;·'
:.!'fl;t( I~·¡I.,-¡l(.' ,.'.
,"
.: (1) Si el punto común a dos puntuales pro"
,
.- .• , ¡:~¡!;;:!~::)'.;,:,~~.,':~'.~
!;,:~I
'~. ::'::':~¡~::;::¡~~:';'.f{~'::':'
" '"
3.7. InvoluClono'i·.;Sean·r=::=r'r:,dos'puntua-..
,,',
yectivas es homólogo de sí mismo, H === H'
les 'proyectivas :'supe¡!püestii~;r
ISupóngamb'(.'qU'e·< ;'.;:
.:~
(lig. lO)', las rectas AA', BB',·ee', ... , que
unen puntos homólogos, concurren en un pun"
al punto
le '·cori:~pondir:tI:!.0-.~~
to O. En e:fecto, si O es el punto 'en que se
a A', conSIderado como) punto. :de' r;de corres- ':;:'"
.
. ponderá otro punto A~'.:CU'ando' Ai~-:es
eI:mjs" ,:'
cortan AA' y BB', proyectan,do desde él la
mo A primitivo, se:dice' que A. y A'~se'
'
ptlntuál r sobre r', se obtendrá.una correspon-:
ponden doble·mente.~-::.: .,'. ~ ':.¡... ;', ~:. ~
.¡ ..
clencia proyectiva en la cual ('A,A'), (B,B')

La
I

I

1" •• ,~,

(l.,"

., ••••

J

1-

::E.n,~
~e~~t.aJ.~·?
éorres-

.

~

-.

.', '.~,.,

.. .
'

'_

.~.:.' .

, : .: . :', .::?
0,.

i'

.. :
.::DEFINI~ióN 1.1. Una proycctividad entre
involución es elíptica, y en la xx' - 1 = O, si.
puntuales !~uP'!!rpuestas en la cual todos los .: es hiperbólica':
'.
puntos 'se corresponden'
doblemente; se llama .
En el caso hiperbólico, la ecuación de la in-'
· #m!oltición~ Los: p':l~~s .homólogos de una involución puede ponerse en otra forma tcdavía
, volucj~n .se llaman' conjugii4os.
'.
' . más simpl~, eligiendo el sistema de coordena· ','.J:Eq~M~ E1~·.·
..{.
~~~ proye.ctillidai
basta
das de manera que los puntos 'Unidos sean el
origen y el-punto del infinito. En este caso, las
, qtU_"1i:n'jiarde, pti.ntos:se correspondet» 'dobleraíces de l~ ecuación
-Zbx - ~ O, que- '
'l1i~1fte'paTaque-ta1!'J.bién se corresponda dobleda' los' puntos unidos, deben ser o e 00;; esto
':'.mente i 'C1lf11quierotro:' par' de P1J.tJtOS homó.
logos. '.' ". :.: ... '.
obliga a que sea ~ = O Y Y= 0, quedando la
ecuación de 'la involución en-la: forma simple'
..... En icfecro rUVAA') =·(UVA'A);
luego
x x'
o.. Esta forma sirve para establecer
. : . (AA'~B.') .' (,4' 4B'B") , ~ invirtiendo .los
rápidamente una relación impQrta~te entre un
'.' dos pares de Iasegunda razón doble, por (2),
. '. par de puntos cualesquiera A y B "y sus con'.. 'resulta" (AA'BB') ~ (AA'B"B'), y por lo
jugados A' y B'. ,Si se indican .las abscisas de
· .tanto: B" ea -R. "
.;.. i ~ ". .
.
.
b
b"
. estos puntos con a, ,11 Y' " por ser a
a
· TEOREMA' li.:; Si ....
fI,~~ . inlloluciólt
tiene dos
OYb
b'
0, resulta
· plltltos: .Jt1(-idos:V y
y A y A' S011 dos
.
+ b):!
puntos.~coniugados: cualesquier», la cuaterna
(ABR'A') = (a,b~-b,-a)
= Aab
U,V,A:~A'·es'
nr1~tÓnjca.:

yr +

¡"

.!.

'lo

"

1,

I

:

0,.

=

•

,

+ =

=

.v,

>,

'.

,

.!"

'

+

+

AJ

Por otra,: parte, representando 'por U y- V
a los puntos unidos de la involución (cuyas
coordenadas en el sistema .clegido son O e .(0).
.es
,

(UV4B)

al)-:-

.+

= O . ";,,..:

",

;

.

: 'Si' s:e~elig~~1,sis,t~~~A~.coordenadas de ma.,nera' que al.puntó' origen x = O le corresponda
,:;~l:{p'u~t~ ~pt.~p'io :,~!.=,oo·~e-?tonces 'en l~
":ecuación de ;la' in:v:olución, deberá ser o
o. Si
. ":~dé~á~!se hacé¡'~p~c~d4- :el punto unidad con

=

', ,t,.

'f~t:

!'l

:,1,

j':"

J ~

~t

!o¡,.

tt .:" ,.....'_' ,' ,..-,._
_

pcin'~q~v'~/y
9":é~~,~t~~-

. :.·'::·é'l
~/y;de modo que
,..}el >.)·r'adicando¡:"seat pOS~t1VO,resulta, que la
,
:.;~~~~~i6n
de ~n~,involu~ión siempre puede po:' :ners~ 'e~' la ¡ forma:: simple 'xx'
1
O, si la
.. ..'" . :;
~ ...: ~ :.
,
.
, ~. ':.

+ =

'.

1.'

•

',:24 ;.~'

.. :.'

.

:

!
:.

=

a

(O,oo,a,b)

=-¡;

b.
(UVBA) =-.'

+..

'a

. Resulta asir la importante
4(ABB'A')

+

'10.2'+ A'
u
.... y

+ =

•

· . .En. efecto, ' (q:VAA~) ~- (UV A' A); luego,
.el valor de esta razón 1doble. es - l. .
'.'i~·~ua~ió~' de "'la' proyectívidad (13)· se
~
, puede escribir-en laforma yxx'
o~'-f!.x_',~= O. Para .que .represenee una involución
· p,ebe seo!-'
.simétrica -respecto de x,x'-, y P9f 10
",.tanto debe se.r.~~:, ~~.:'Es· decir,.la ecuación
.
, g-e~ér;il;(lel~:~.nv,ol,u~ión'·
resulta .yxx' b (x
x~ - ~_,. ~~e~'ás, ,l~ .condición
y-.
.' 7.,~y~O" quc.hernosivísto
qJJe es necesana
::para que la ecuación (1~) represente. una pro: y~ctividad, .en .el. caso: de u,n~ involucién se
.reduce 'a b2 ~y =F O. Oe aquí resulta que ~a
· involución' no.p~ede:se.r;:'parabólica, puesto que
'la ¡~ccuició~" Yx2
2ox.-~= o', que da' los
I pp~t~s unidos ~e.l.a.:~yól~ción,
debería .~~ne~
'una raíz doble' y ,por Io .tant~ conduciría a

,~
+

+ '=

=

(UV.~)

Identidad

+

+ (UV~A) + 2 •

(14)

que liga' los puntos unidos U y V de una.Involución con dos pares A,A' y B,B' de puntos conjugados cualesquiera.
3.S: Proyccuvídad cnlre haces de ~ec·
Toda correspondencia entre las rectas
de dos haces re reduce oí una correspondencia
entre puntuales cortando cada haz con ~na
recta. Si la corresponden~ia subordinada entre
dichas puntuales es una 'proyeccividad, se dirá
que 'los dos haces son proyectivos. Si los' haces
i~n superpuestos (tiene1l ~~ mism? vértice)
y la sección da una in volución, se dice que los
dos haces est~~ en involución. De esta ma~era
las.

Ca

I

¡

j-:1.

;-l,
,1

,~

r

codo 10 dicho en los apartados precedentes vale
par~ haces. En particular; si dos haces proyec .."
tan] los puntos de una misma recta, como los
de, cent'ro A y,B de li figura 1't, resultan proyecHvos. En 'este caso se,dice,' además, que son
,perlpcctivos, yIa recta cuyos puntos, se proyedan se
eje de perspectividad. Del
mismo modo que para las puntuales. la con" áición necesaria ,y suficiente para que dos ha-

llama

res! proyectivos, sean perspectivos, es que la
recia que une S1lS vértices ·sea'unida.

i

,

" .3.9. Homografíus o colineaciones.
DEFI:NICIÓN 12. Se llama homografla o colineación entre dos planos, distintos ,o superpuestos,' a toda 'correspondencia -biunívoca entre .
.sus :puntos, tal que a puntos' alineados correspondan puntos alineados.,
:',
'
, ,'pados cuatro puntos alineados' A., B, e y
;'D, [qúc formen una cuaterna' armónica, obi 5er~:lndo la construcción del tuadrivértice
1 completo
(fig. 7) resulta que lbS, puntos ho- ~
mólogos A', B', e' y' D' ocuparán posición

'!

"

,

, I

;1
!
!

B

a

b
"i
, I

1

P,GURA 11 '

ana1} oga respecto del
ecua' d"."
rrvértrce eomp eto Ieté
transformado (por corresponderse los puntos
alineados) y por lo tanto forma~án también
ltn~cuaterna armónica. De aquí-y del teorefundamental de, Staudt resulta:
TEOREMA 9. Las razones dobles de cuatro

ma

,1

'.o"
, I

•

'J

••

"

,

. 'j

·i

:

.....

'
,

"

.' ~,La :p.t;pyectividad.':así obtenida es única,'
, puesto q ue. si :hu biese. otra, por el teorema 10 '
, ella subordinaría .entre los haces de vértices 11
, yA" ~~~ proyectividad, que no puede' ser otra
qu'r l~,'considerada,' por.rener con ella tres pares: de.rrectas .. omólogas comunes. Lo mismo
h
entre los '¡lac,e~de 'Vértices B y B'.
'
':',.; ,::(Finahncnte~ si P estuviera' sobre la recta AB,
',,' ;,'"t9~~r~~mcis e
como 'v6rtices de los ha" :' ces, Queda 'así demostrado el teorema 11.

y:IJ

:'1 : ' ~:.; !v-

o

.:

~ :

:

:.,'.

:

•

.

, :,_,).lO'~, Ho'~~g~~fí~8: articulares: ,'homo.
p
: ,IogítÍ/: !', Cónsidere~Qs ¡ ahora el caso de dos

','': ' 'plán~~.'proyectivos
, ma

superpuestos.
'

n,: ',1" , se:, deduce: '
anterior
'
" I

, ': '¡ ,"

,

Del recre'

12.,:qna,;' bomograji« entre, dos
, ',pl~1JoSsuperpue.stos,,:que no sea la identidad,
" TEoKú.u,
110

-tres

unidos, ' sin;, estar ninguna terna de ellos ~n línea recta). El vértice de este haz es el centro
de la. homología. Queda' probado, de, paso, el
siguiente "
: '

En una bomologia, las rectas
que unen pares de puntos homólogos pasan
por el centro.
"
~
Tambié~ esimportante el
, TEOREMA 15. U11abomologla queda determinada por, el centro, el eje y ~n, par de puntos bomologos,
En efecto, sean O, e y (A,A') los datos,
TEOREMA: 14,.

(fig, 13). Basta ver que con estos datos sepuede construir, el homólogo B' de cualquier, otro
'punto dado; B. Para ello observemos ,que:

p~ede tener cuatro puntos unidos tales que
de -ellos no .estén ,e1Zlinea recta.

Cabe, poz otra parre, el caso de más de tres
puntos unidos ,que estén alineados. En' este
'caso" la proyectividad subordinada sobre la
recta que_.los contiene.' por tener, tres puntos
unidos.será la identidad, es decir, la homogra.fía ,tendrá: toda].una 'recta de pu1,ltos. unidos.
" '" DEF~NIc~ÓN"l~.;Una hómografía con una
:,:rect,arde puntosunidos -se llama bomologla. La
'.~~ct,a~.~T,
d7,Ja: bomologia.
.

~~~~r~~e

, J~"
rEO~EMA::n,;" T9dajJomología
',tiene ,tam, ':-pUn
haz ~:de! ecias unidas. El' vértice del
r
, ;.mism(i~es un purzto ;un~do que se llama' centro
.; ., 'de la Aomologr'f;' y q1i:epuede o no' pertenecer
. ::al ,eje! .¡ , ,- Jr'y JI; ;:. "
;
¡"',
'
'
:;:, :'~1iP~~osÚ~c~~~~'
Se~~
A' dos puntos ho: ,;.mólogos' distintos, sea 'N el punto en que la
AA~ corra. al, eje,..e. Por ser, ,N 'E!S N' la
, recta -a = N A' .coincide con su homóloga ti' =
, :N'A.', o sea~;cs',u:na'~ecta unida. Lo mismo

.,

e

==

u~

M'

A~

. ,'re~c:a:

'~ale pa~a cualquier. erro-par de puntos homó, ,logos :,:B,B'~ Luego, hay infinitas rectas unidas.
, .Como la intersección' de rectas 'unidas es un
,;'p~~to:u~Úlo;'pa~a;qu~ no haya cuatro de ellos
.. tales que nunca' [eres: estén en línea recta, to.. da~' esas rectas .deben formar un haz (en caso
:.contrario, .tomando dos puntos unidos no per,"tenecien:tes al éje, ,y dos' puntos de este eje no
alineados con .ellos, se tendrían cuatro puntos
26

FIGURA

13

ti) B' debe estar sobre la recta OB (teor, 14);
b) la recta AM tiene por homóloga a A'M',
que podemos trazar; por 10 tanto B', que debe
estar sobre la recta A'M', será la intersección
, de 'esta recta con OB.·
En la figura 13, si consideramos las .rectas' OA y OB como secciones del .haz
(M : O,N,A,A') 1, según el teorema 1 resulta
1 Con esta "Jo~aci6n ~dicamos el haz de rect~s de
vértice M al cua'l-pertenecen las cuatro rectas MO. MN.
MA y MA'. '
,

, ,í

•

• , :'.,:

=

, (ON AA')
(OEBB'),y por' 10 tanto esta
razón doble es la misma para cualquier par de
puntos homólogos. Es decir:

,¡,

:":: '~.

~:t;~'. ,:
:.

,

,.

.'

''"

lo',

'

'

1,

·teorem~l'·redproco:·.:IDa~os,:·'
un .punto O, '1.marectii :ei' Y. .itn.:,valoro.áJnslan,-:: , .

te, k, la: cOTresponden~i(i,iq1ee':!¡ú('áda
;'fi'Útito:A(I, ':,
del 'plano)e, l:útce.!:co_rréspond.e¡'k~I,.tJ1l1t~oo· :'::',
A':,k
alineado -con- o,::y'A~':Iy'#al qüe[t·;(ON.A.(A.~),'-..::..~t>";~.:
.
,= k (siendo N el pun~¿/'de:inierseC'ci6n.'de:.OÁ:~;;":,~!
con e), :es 1m,1 homologíaj deie,n~r(jL(j, I'éié.::~:,;'~:: "j
"::':

tanteo
así obtenida

'! ~.'.

:,,',.:....' ••::

. Es evidente el

16.

La' constante

:.'

!',

dela bomologla. Si li~razón vale .: -1~
:la::'ho:;,j,
mología se llama' armOn'ica. ¡;,,'; ,/, !", ,':r~,¡ ió}',',:'ir:'·

En una bomologla, la razón
doble de la cuaterna formada por dos puntos
- bdmálogos, por el centro y por ;el punto, en
qne la recia que losune corta al, eje, es consTEOREMA

I '.

j '.;

se llama razón

r:JI liI1Ii; 'i!;;¡.j¡;.¡l¡::!j.:

~

~ razón k. . .;.'
,

'1"':)

-: I

"CAPiTU:t·O IV. i.::., ":1' ,:

~';:,l'-

",: ":,!·:~H,./;.n-;;:!. i~~? :lf,':-:,; .!
,:,,::>i I
¡ir
"1
i,~ ! . 't
,1."~"
r
GEQMETRíA'~PROYEC~IVA(~¡;';'~;
: T
j" I
'J
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.

1, ,V."'.·'
'··:·.··I~·
.., ' '. '... l..' ,:.

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j. , ; ~!,'s:·:i:'r"¡.l'.

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, ;,'.;rr.: LAS,
';-:!':.;

,,1 ~.
.":

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C(;NICAS~··<.':,:,: ~

. . . .•.. ;'¡iT:!mÜ,"Ji U1 iJt~;:(:
:i
!.

,
, ' ', .. ' ;·,:'jh:.,,! : -':1 t/'I', ,:' ~ I I:~'~l::,:':;/.<J, L
:4.1. Las cónicas. Las cónic:ls son la elipPara .nuestro ' objeto',:: rtécesitamos ':una ;:de'fi~!,l
se, la hipérbola y la parábola de' la geometría
nición más.complicadai(básadaj,eiÍ; lós,:COíic~p~ir·::<
:;:
elemental. La circunferencia eS'.'también una
tos de geometría proyeetivaf:;que; :vimos/.eri:t~lb ~/,!.;
capí tuja precedente~:Es·;lai,sigiiierite':.:¿éfínici6h)i-':;,¡; 'f:
'cónica: es una elipse particular. Se pueden
'S .
,, '~,ho ,,;.,
-t,
..... :!
.,:.,.''.~', .~·~lot:'·I·_"·~,..
'-l.,)
I'~~,,,>,, ''''. ·"",,:_f~'P"
»1'1"" -¡ e
d e temeré
.definir de varias maneras. Una. de las más in,y:I:::!" l.'~·.L~{,';
1" ~II::~"! ~,~
;f:~ '.~~::'t~".;I'.:;: :
..
~.:;.
tu'jtivas 'y también de las m:ls,'::t'ntigu:.ts, pues
D~FINJCIÓN : 1. Se ~'llairi:i~'lé6nica~~attlugát;;~,:::-:
se! remonta a Apolonío (siglo III a. C.), congeométrico .de ' los ,;pútltos:' aéÜri·te.ri~ccio:nra~':;::);:Ji
'
siite en consideradas como secciones planas
rectas homólogas de :dos'~hac:¿~!;proyectivos(de~¡.-¡; f.:
dd un cono de revolución completo. Según 1::1 un mismo planb, 'que~¡no!sei¿,;perspeétivós:lo~;;,;',;¡ L
posición del plano con el cual: se corta, se
si la ·c·6nica así 'defigfd~;hg~¡ti'J~~
'ptliitós:ilW~.l)! ",:' :
'
obti
nene una U otra de Ias tres' 1,.
e
especres d e co- , propios, 'se Ilama'elip¡e;'si:,~ierie:dos,}iipér/iol#;!;; :':,!'
1 p= ;b' 1 :'i',;:~t,):, ¡ :," '·,7 ~" ,.J.!. ~!.:!.~"',f~·t
,:..
nj~as. Así, si el plano que es paralelo al dado
Y SI nene uno so o,' ara o a..,';,;, I , -:'~: .11, (:': ::;f;¡/~> ',:; ,
y pasa por el vértice O es exterior al cono, la '
Si A y B son, IJs:::;:.'Vér·dcé~, '.de"~'1ds::~'llaces}" j,;
.';.
sección es una elipse; si es secante, una hipér(fig. 14), conviene' ObSerVar ,qtie'~:ila:recta,}1B? ...
bola; y ~ies tangente,' una parábola.
considerada': cómo' irech{: del-haz: A":liNd:fr&s:::::,!,"..
i:;
¡Analíticamente las cónicas están represenponderá: una dertá 1rect'a:.:BB"~·,;'y·lpor}iO,
tanto;;" .
t:idas por' ecu,lciones de segundo' grado en las
de acuerdo con,Ja·defiiiición¡,,'el pun'to"B¡íperL
dos coordenadas cartesianas, x e ;y, del plano.
tenece ,-a;la 'cónica: :Adeniásj{:lá; rect:i}BB~trt¿(,:"':' '
E~ decir, son' las, curvas más simples después
tiene otro pun to que:'~'perteheic~ :'.
a::;:Iá;~lconiC:i::~~:
_<' o¡
,c
de: las rectas, representadas por' ~cuaciones de
es la·ta~gente' en,B. A~álóga'~'érite';,:el~'puhto~'iA~.'~c
•
¡
.
'¡>"l' ,.1'", ¡ ',,': , ", Hji', "I,·.~,~I.,,¡t.r;P·ili
.l·.,
"";'
primer grado. Tal vez por es~o las cónicas
·'·f,"!· '.: :I.~!ril,:" :1·"f"·,i;(ViI'!·'J,,!UJI~ 'll'l!"{~~~·~ ...I·J'
j
• 1,' Si Íos' h:l~es, sori,'p~1SP~~~!fo!;~I:e!I::~,ugg~~eo,~;éi:°[~c~:'~:J
.; 1,
so'n' curvas que 'aparecen con· frecuencia en
, se compone M'dos, ~ec~ris,~.iel:,
~J~.~~.e:
~erspect~~J~a~l ~),~~.) : :,
,¡I
;;::
la: naturaleza: las trayectorias de los planetas
y la recta que 'une los 'vértIces ;de)os .'dosfnaces"~po~,,.:
:'
o ;de los satélites, y las, de los proyectiles en ,e]
trat:lrse de una:l'ecu'unida¡':En ~stccuo·se'rdice,:ita~·ve'.l;:·.:''o
¡
,V:lcío, son cónicas.
ces, que se trata de un2.'é'ÓniC'a_átgentrirJa:'! ..;~'. "W!'!;~:! :,
}l)
•
o!,:', ,! ',:,:':,.,/;,:',"
:. o: ..

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.',

;.,

....

.,,~::,,':,
1

"

.;

•

........
"

,

,

"

,

pert~nec~ ',también a la cónica' y la tangente,
en él es la recta homóloga de la BA considerada
como, 'recta. del haz:
.:Si r es una recta que no pasa por A nipor B,
" I~s :p,unt~stdc::cl,la que.pertenecen a, la cónica
; .serán 'los puntos: unidos de la proyectividad
" " 'obtenida sobre, dicha, recta como sección de los

B>

o', •• ~

,

"

:,',

':4 :

'.

"

t,

,

··:t
:

0,,

..

':

,

'1"",

r

"

',1 .:

,

.,

:

,...

.

¡

.•

¡,'

.

.

l .. ,

!

4·.2. Teoremas de .Pasced y de Brian.
chon,
La anterior demostración
tiene
la

'

ventaja de que, al mismo tiempo, si se obs~rv~
en la figura 15 el hexágono AJ:rfBENH incripto en la cónica 1, resulta demostrado el
siguiente

:

"

.;

. ,,,

i .

'1

,',

'

:.: ••

"

Pero

mente.
estas puntuales son perspectivas,
siendo M -su punto unido y' R el centro,. de
,perspectiv:idad (intersección de las rectas ''PQ
'y AH, que unen pares de puntos homólogos);
por 10 tanto sus proyecciones desde E y' H
resultan proyectivas, como 'se queda: dé":'
mostrar.

,
,

:'

TEOREMA' .DE PASCAL.

Los tres puntos

en

que se encuentran los pares de lados opuestos.
de 1m bexágono inscripto en-una cánica, está"
en, linea recta.

D
FIGURA

14,

'1

haces proyectívos generadores de la cónica.
'Por lo tanto: una recta: p1feáe tener, con. una
:_Cónica,.
áQs",uno,~()'n_Í1J.gúnpunto común, lla-.
'n.ztitzáose respectiya11J.e~~te
secante~"l!1ngente, o
exterior ti la có#lca. ;. ..',',
,
"
;:iPa:ra,q~e)a;4~finición de Steiner tenga va-:
.lor,' hay: que: demostrar que los vértices A y IJ
dec'; los 'haces proyeccivos generadores, .no son
puntos excepcionales, !'sino que proyectando
los purtos , de. .~~a cónica desde. dos, cuales-:
quiera :dC?. p~nto,s. se.obtienen siempre haces
su~
'., ..;',,;.,, I •.... • i '. ,:_,.í ..
proycctivos.
,;: ¡"::' .
.

A

I

l.

...;.

I

.Ó:

':

.',

_.

'·.:~,:J~e1lJ.o,stracjó#,~ ,E
.Sean

yH

.otros dos puntos-fijos. de 1.a· ónica, .desde ·105' cuales vamos
c
íl'r proyectarla (fig ..: 15): Si 'M'y N son otros
dos-puntos, al 'cortar: los haces proyectivos de
.vértice~' A yi B: respectivamente porIas ..rectas
"NE;,y :1;lH.,i:re~uJtall.~puntuales :perspectivas
, (puesto-que .sonproyectivas y el punto N es
. homólogo de: sí mismo):. cuyo centro de persp~cti~idad es¡,~lp~nt~""l~,':dela figura. Si chora
:sup~nem,os que' Ni describe ,la cónica, los haces'
de vértices .fJ. ,y H proyectan las puntuales que
P y Q describensobre MA y MB, respectiva-

28;:
l'

1..

oo'

FIGURA

15

el siguiente teorema .dual: .
TEOlEMA DE BRIANCHON.
Las tres rectas
que unen los paTes de vértices opuestos de 'un
hexágono circunscripto a 1/.114 cónica, C01U:UTren en 1/.11- Ptt1ltO (fig, ,16)'.
:
Vale también

Estos teoremas. siguen siendo válidos en los
1 Obsérvese que el hex:ígono' no tiene,que: ser nccc:-'
sariamente convexo como "en la geometría elemental;
puede ser estrellado, como el AMBENli'dc,1a
fig. IS.
La definición' general es la siguiente: un I hexágono es
un conjunto de seis puntos dados en un cierro orden;
las rectas que unen puntos consecutivos. en el orden
dado, son los lados del hexágono.
'

"

l·

.

. .:

l. '. ,:

1

. '4.3. D~lerminnción de eónleas. ''TEORE1. Una cánica queda deÚrmiitada por cinca' pmztos de -los. cuales no bey« nunca tres
sobre -una misma recta.
En efecto, sean A, B, C, D 'E los puntos
'dados (fig. 14). Tornando dos. .de ellos, por
ejemplo A Y' B, como vértices, los pares, ~e
'rectas (AC,BC), (AD,BD) y,:(AE~BE) définen una proyectividad entre los haces de vértices A Y B~ Si C, D Y E no están en lín~a
recta, esta proyectividad no es una perspectividad y, por 10 'tanto, define url¡:l cónica 'que
pasa por los Cinco puntos dados '. ~ ,
COROLARIO
1. Una cónica queil« determinad« por cuatro puntos, tres ~e Jos cuales 1tO
estén nunca en línea recta, y la!.tangente el]
11110 de ellos.
.

y

'

..

:

eu·t

..'

':.'

:

¡

,.,

I

---~

__

e

./
,

..

.

......

A,B

o

,

,

, "

l .:

•

d~.

I

'1,:.

jugado armónico
'P' respect~ del' par
(fig. 18) ..,AI variar ·la Isecante que pasa por.P,
se demuestra 'lile P' describelunarectá, lo cual'
permiteformularIa
siguiente '(i ; •. > ¡ :: ',i;;,
, DEFINICIÓN ,2. Se'" JIarlta polar' de' ~h
:pu~-)
to P,'respecto de u,pa'cónica;Q,:;a'!a·recta que
contiene Jos puntos conjugados arménicos'de'P"
, respecto. de los pares de .puntos en que Secantes '
'por P cortan a la cónica,' ti;' :":~;'(i,:;,,; ."
f;, ,:.{i,"
El p~n·~o.1>'s'e'Ilam¡a:p~lo
,recita pol~r~.

I

'1

,;

4.4. Polartdad- ..
]8S conicns~ rSeil" Q .
una cónica, y p' uii~p·t·nto :~~rpland::que+-.ho '
pertenece a ella. Sean í A' Y-l B ¡los. puntos, .de
intersección de la cóniéa.¡·corl:'una secante' que
pase por P, y consideré'mos el punto 'p"/con- ..'

.

..

«» "
,i~'n

J~~~~:E'~'
::. ;~~·H+r~·;~,

,U},~~;:;,
','

FJGURA,. 17 "
-.,
:
,

,
...'
'..J.._q_---o;-----

í;. : ~ .;

:

~,;.r:.

:

MA

,

:.

y b ,( Hg. 17), la córiica" queda 'derermlnsda . .
i por los haces' proye~·tivds· i déP.véttices ,'A
:en los cuales' (AC;BC)}r{ii;BAj~';i (AB;b)
:
. 'l'" " :·I~<;
pares d e rectas h omo ogas, "j";">0 .. r: . , , ..···I·I~.,,,·'
¡...
',i
.a

casos límite en que los hexágonos se reducen
a pentágonos, cuadriláteros o triángulos, por
coincidir algunos de los vértices, en el caso de
Pascal, o algunas de 'las tangentes, en el de
Brianchon .,..

,
...

"¡~,

;~:

¡d~'isu

FIGURA "16

.
COR.OLARIO

2.

.'

Una cónica queda deiermi-

nada por tres pun;tos, -no alineados, yle:
.gentes en dos, de, ellos.

tan-

En ambos C:lSOS
basta' considerar las tangentes 'como' posiciones límite d~ rectas. que
urien dos puntos que han coincidido. Por ejemplo, ~~ el caso segundo, si los puntos son A, B
y 'C Y las tangentes en los dos primeros son
,
.
,

141
,1

" Si la polar de' p! ¿~rtáiar·"Q·!:eD ,·u~,.purito ::;
M, 'i recta PM nopuede' tener 'otró',p~nto':cb<:' .
1~
mún con' Q; por ]o!taiitoj:est'~hgeritéa~Q~~Es,:~'·'· .. "
decir: la polar 'de unipimto eHa:,re·cta;:i¡üe:úne··~'!.
:,',
los puntos de. contacto'.de Ias:!ta:ngenteshi~ila";': ."
cónica trazadas' por-rel: puriiói'" Suptiesto~'qiie . :
existan.
. ", :,:. ~:IJ:;~~: !:'!; f '7;:' ,{~ H,:· ) .: .:
;:.
~
Si la polar es tangente a :1(c6riica';''el 'polo:
.debe estar sobre ella' 'y, -además, .de Lacuerdo ,
con la definición, no puede ser otro puntó que'¡
'!¡

,,:,:

.

29,

'

.~.
,

~"',

,,'

jo

..

,

.

.'

,

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