Resistência dos materiais: tipos de esforços e deformação

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Prof. Luiz Gustavo 1
1- TIPOS DE ESFORÇOS
Uma força pode ser aplicada num corpo de diferentes maneiras, originando
portanto, diversos tipos de solicitações, tais como: tração, compressão,
cisalhamento, flexão e torção.
Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a solicitação é
SIMPLES. No caso de dois ou mais tipos agirem conjuntamente a solicitação é
COMPOSTA.
TRAÇÃO – solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação
da força aplicada.
COMPRESSÃO – solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta
da força aplicada.
CISALHAMENTO – solicitação que tende a deslocar paralelamente, em
sentido oposto, duas seções de uma peça (força cortante).

FLEXÃO – solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça.
Ex.: uma barra inicialmente reta que passa a ser uma curva.
TORÇÃO – solicitação que tende a girar as secções de uma peça, uma em
relação às outras.
SIMBOLOGIA DAS TENSÕES

2- DEFORMAÇÃO
A ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua forma, isto é, provoca
uma deformação.
Com o aumento da intensidade da força, há um aumento da deformação.
Existem dois tipos de deformação: Deformação Elástica e Deformação
Plástica.
Deformação Elástica - deformação transitória, ou seja, o corpo retomará suas
dimensões iniciais quando a força for removida.
Deformação plástica – deformação permanente, ou seja, o corpo não
retornará para suas dimensões iniciais depois de cessado o esforço aplicado.
O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite de escoamento.
DEFORMAÇÃO UNITÁRIA ou DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA => (AXIAL)
Deformação específica (ε ) é a relação entre o alongamento total ( l∆ ou δ ) e
o comprimento inicial ( 0l ).
0l
a
δ
ε =
ou
0l
l∆
=ε ou
0
0
l
llf −
=ε ( )mm
mm [1.1]
ε - é adimensional, ou seja, não tem unidade e pode ser expresso em
porcentagem multiplicando por 100.

3- TENSÃO
É uma grandeza vetorial que foi introduzida na resistência dos materiais em
1822, por Augustin Louis Cauchy. É definida como sendo a resistência interna
de um corpo qualquer, à aplicação de uma força externa por unidade de área,
ou seja, é a força por unidade de área.
A
F
=σ 





2
cm
kgf ou ( )2
mm
N = ( )MPa [1.2]
onde:
σ => Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão
simples
F => Força aplicada ao corpo (kgf ou N)
A => Área da seção transversal do corpo (cm2
ou mm2
)

4- DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO
O ensaio de tração consiste em aplicar num corpo de prova uma força axial
com o objetivo de deformá-lo até que se produza sua ruptura.
Aumentando-se a tensão, a deformação também vai aumentando e os
resultados da experiência podem ser mostrados por um gráfico (σ x ε ),
marcando em abscissas (eixo “X”) as deformações e em ordenadas (eixo “Y”)
as tensões.
GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO (σ xε )

No gráfico os pontos marcados significam respectivamente:
Ponto P – Tensão Limite de Proporcionalidade ( pσ )
Abaixo deste ponto, a tensão é proporcional à deformação específica ( ε ) ,
portanto a Lei de Hooke, que estabelece que a tensão é proporcional à
deformação, vale somente até este ponto.
Ponto E – Tensão Limite de Escoamento ( eσ )
Caracteriza o ponto de escoamento, ou seja, a perda da propriedade elástica
do material.
Nos aços de médio e baixo teor de carbono, ocorre um visível alongamento do
corpo-de-prova praticamente sem aumento da tensão.
Ponto R – Tensão Limite de Resistência ( rσ )
É a maior tensão que o corpo-de-prova pode suportar antes de se romper.
Obs.: conceitualmente pode-se admitir que pσ =  eσ
5- RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO
MÓDULO DE ELASTICIDADE
A Lei de Hooke (Robert Hooke 1678) estabelece que até a tensão limite de
proporcionalidade ( pσ ), ou seja até o ponto P do Diagrama Tensão-
Deformação, a tensão em um material é proporcional à deformação nele
produzida. Devido a esta condição de proporcionalidade pode se escrever que:
ε
σ=E ∴ εσ .E= ( )MPa [1.3]
onde:
σ => Tensão de tração
ε => Deformação específica
E => Módulo de elasticidade ou módulo de Young ( )MPa  (ver tabela 1)
Obs.: Módulo de Elasticidade é a medida de rigidez do material: quanto maior
o valor de “E” menor a deformação elástica e mais rígido é o material.

Substituindo as expressões [1.1] e [1.2] na expressão [1.3] e ordenando, tem-
se a equação [1.4] para a deformação total:
0l
δ
ε =
[1.1]
A
F
=σ [1.2]
εσ .E= [1.3]
AE
LF
.
.
=δ ( )mm [1.4]
MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL
Através de ensaios com corpos-de-prova submetidos a cisalhamento puro por
torção, pode-se escrever que:
γτ .G= ( )MPa [1.5]
onde:
τ => Tensão de cisalhamento por torção ( )MPa
γ => Deformação angular ou distorção que é a alteração sofrida em um
ângulo reto de um elemento ( )rad
G => Módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de elasticidade
Transversal ( )MPa (ver tabela 1)
COEFICIENTE DE POISON
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração,
sofre além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal
(afinamento).
Poisson demonstrou que estas duas deformações eram proporcionais uma em
relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke (até o ponto P do Diagrama
Tensão- Deformação).

Esta constante é dada por:
AxialDeformação
TansversalDeformação
L
L
=− µ
a
t
ε
ε
µ =− (adimensional) [1.6]
onde:
µ => Coeficiente de Poisson (ver tabela 1)
As três constantes se relacionam através da expressão:
( )µ+= 1.2 GE ( )MPa [1.7]
TABELA 1 – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS
Material
Módulo de Elasticidade
(MPa)
“E”
Mód. Elasticidade
Transversal (MPa)
“G”
Coeficiente
de Poisson
“µ”
Aços 210000 80000 0,30
Alumínio 72400 26700 0,33
Bronze 113200 42200 0,35
Cobre 121300 45600 0,33
Ferro
Fundido
Cinzento
102000 42200 0,21
Latão 108000 40800 0,32
Madeira
(Pinho)
11200 4200 0,33

6- DIMENSIONAMENTO
(TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA)
No dimensionamento dos elementos de máquinas, as peças a serem
calculadas deverão suportar as cargas com segurança. Para isto, admitem-se
apenas deformações elásticas, portanto, a tensão de trabalho fixada deve ser
inferior à tensão de escoamento do material.
A esta tensão que oferece a peça uma condição de trabalho sem perigo,
chamamos de TENSÃO ADMISSÍVEL.
Seu valor é determinado dividindo-se a tensão de resistência do material ( rσ
ou rτ ) por um coeficiente “S” chamado de COEFICIENTE DE SEGURANÇA.
σ S
rσ
= ou τ S
rτ
= ( )MPa [1.8]
O coeficiente de segurança é uma relação entre as tensões de resistência e
admissível do material.
Em princípio, o coeficiente de segurança é determinado levando-se em
consideração diversos fatores parciais, tais como, fator em função da
homogeneidade do material, fator em função do tipo de carga a ser aplicado,
fator em função de causas desconhecidas, etc.
Assim, a rigor o coeficiente de segurança é expresso da seguinte forma:
S= S1xS2xS3.........
Sendo:
S - Coeficiente de segurança total
S1, S2, S3, ..... – Fatores de segurança parciais
Porém, para os nossos cálculos de resistência adotaremos os valores de
coeficientes de segurança já consagrados pela prática, baseados na qualidade
do material e no tipo de carga aplicada à peça.
Os valores desses coeficientes já englobam todos os demais fatores acima
referidos.

Tipos de Solicitações: Basicamente existem 4 tipos de cargas:
- Carga Estática
Ocorre quando uma peça está sujeita a carga constante, invariável ao decorrer
do tempo e aplicada lenta e gradualmente.
EX: Vigas
- Carga Intermitente
Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável de zero a um valor
máximo, sempre com a mesma direção e sentido.
EX: dentes das engrenagens.
- Carga Alternada
Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável na mesma direção,
mas com sentido contrario.
EX: Eixos Rotativos.

-Carga de Choque
Ocorre quando uma peça está sujeita a variação brusca ou a de choque.
EX: Componentes de Prensas.
Os valores de COEFICIENTE DE SEGURANÇA que serão utilizados estão
representados na Tabela 2 abaixo:
TABELA 2
COEFICIENTE DE SEGURANÇA (S) *
TIPOS DE CARGAS
MATERIAL
ESTÁTICA INTERMITENTE ALTERNADA CHOQUE
Ferro Fundido 6 10 15 20
Aço mole (até SAE-1030) 5 6 8 12
Aço duro 4 6 8 12
Madeira 8 10 15 20
*EM RELAÇÃO À TENSÃO DE RESISTÊNCIA DO MATERIAL
As propriedades mecânicas dos materiais que serão utilizadas na resolução
dos exercícios propostos estão listadas na tabela 3.

TABELA 3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS
TENSÃO DE
RESISTÊNCIA
( )MPa
TENSÃO DE
ESCOAMENTO
NA TRAÇÃO
( )MPa
ALONG.
( )%
MATERIAL
trσ crσ crτ teσ ε
OBS.:
SAE-1010 350 350 260 130 33
SAE-1015 385 385 290 175 30
SAE-1020 420 420 320 193 26
SAE-1025 465 465 350 210 22
SAE-1030 500 500 375 230 20
SAE-1040 580 580 435 262 18
SAE-1050 650 650 490 360 15
SAE-1070 700 700 525 420 9
Aços carbono,
recozidos ou
normalizados.
SAE-2330 740 740 550 630 20
SAE-2340 700 700 525 485 25
Aços Ni, recozidos
ou normalizados.
SAE-3120 630 630 475 530 22
SAE-3130 680 680 510 590 20
SAE-3140 750 750 560 650 17
Aços Ni-Cr,
recozidos ou
normalizados.
SAE-4130 690 690 520 575 20
SAE-4140 760 760 570 650 17
Aços Cr-Mo,
recozidos ou
normalizados.
SAE-4320 840 840 630 650 19
SAE-4340 860 860 650 740 15
Aços Ni-Cr-Mo,
recozidos ou
normalizados
SAE-5120 610 610 460 490 23
SAE-5140 740 740 550 620 18
Aços Cr, recozidos
ou normalizados
SAE-8620 620 620 465 560 18
SAE-8640 750 750 560 630 14
Aços Ni-Cr-Mo,
recozidos ou
normalizados
AISI-301 770 770 580 280 55
AISI-302 630 630 470 248 55
AISI-310 690 690 515 315 45
Aços inoxidáveis
austeníticos
AISI-410 490 490 370 264 30
Aços inoxidáveis
martensítico
Fo.Fo.
120
à
240
600
à
850
-- -- -- Ferro fundido
Cobre 225 225 168 70 45
Latão 342 342 255 120 57
Bronze 280 280 210 -- 50
Alumínio 180 180 135 70 22

7- TRAÇÃO E COMPRESSÃO
FÓRMULA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO:
A
F
t =σ
A
F
c =σ ( )MPa
onde:
σ => Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão
simples
F => Força aplicada ao corpo (N )
A => Área da seção transversal do corpo (mm2
)
CRITÉRIO DE PROJETO:
≤σ σ
Sendo: σ
S
trσ
= ou σ
S
crσ
= ( )MPa
FÓRMULA DO ALONGAMENTO TOTAL:
AE
LF
.
.
=δ ( )mm
F
A
F
A

8- CISALHAMENTO PURO
Esforço cortante simples desprezando a flexão.
Ocorre quando uma peça é submetida a uma força F, atuando
transversalmente ao seu eixo, produzindo um cisalhamento (corte).
A
F
C =τ ( )MPa
onde:
τ => Tensão de cisalhamento
F => Força aplicada ao corpo (N )
A => Área da seção transversal do corpo (mm2
)
CRITÉRIO DE PROJETO:
≤cτ cτ
Sendo: cτ
S
rcτ
= ( )MPa
As tensões de resistência ao cisalhamento ( crτ ), para os materiais em geral,
obedecem aproximadamente a seguinte relação com referência à tensão de
resistência à tração ( trσ ):
=crτ 6,0 a 8,0 trσ

9- COMPRESSÃO SUPERFICIAL (ESMAGAMENTO)
Se a carga “F” atua da maneira que se vê na figura abaixo, as partes “B” são
tracionadas contra o rebite, ocasionando uma TENSÃO DE COMPRESSÃO
NAS SUPERFÍCIES de contato “M”.
F
F
B
B
M
M
D
t
t
Num caso como este, normalmente se usa a área projetada do rebite para o
cálculo da compressão na superfície “M”, ao se aplicar a fórmula
( AFc =σ ).
Substitui-se então a superfície real que é um semicilindro por um retângulo de
dimensões “t” e “D”.
t
D
Assim, a Tensão de Compressão sobre a superfície será obtida por:
A
Fc =σ ∴ ( )Dt
F
c .
=σ ( )MPa
Sendo “t” e “D” as dimensões da área projetada.

Observando a Figura, pode-se notar que as fibras da superfície do furo e as
fibras da superfície do rebite estão comprimidas umas de encontro às outras,
mas que a tensão de compressão devido à força “F” não atinge todo o rebite e
nem se estende por toda a chapa. A esse tipo de esforço dá-se o nome de
COMPRESSÃO SUPERFICIAL.
Quando houver mais de um elemento (rebite ou parafuso) utiliza-se:
( )Dtn
F
c ..
=σ ( )MPa
Sendo “n” o número de elementos (parafuso ou rebite) em análise.

10- FLEXÃO
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando
perpendicularmente ao seu eixo, produzindo uma flexão na barra.
Flexão pura – desprezam-se as forças cortantes.
f
f
f
W
M
=σ
( )MPa
F
b
h
a
LINHA
NEUTRA
L
onde:
fσ => Tensão de flexão
fM => Momento fletor (N.mm) VER TABELA 6
fW => Módulo de resistência à flexão (mm3
) VER TABELA 5
O Módulo de resistência à Flexão é a característica geométrica da seção de uma
viga que se opõe à flexão, e é expresso como:
a
I
W f
f =

onde:
If => Momento de Inércia à flexão da seção transversal (mm4
) VER TABELA 5
a => Distância da linha neutra à fibra externa (mm)
Exemplo de módulo de resistência à flexão ( fW ):
NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia ( fI ) e Módulo de Resistência à
Flexão ( fW ) da maioria das seções de uso prático na engenharia estão
apresentadas na TABELA 5.

Tensão de Flexão: Na figura abaixo pode-se observar que uma viga ao se
flexionar, as suas fibras situadas acima da LINHA NEUTRA se alongam,
enquanto que as fibras inferiores, sofrem um achatamento, denotando uma
compressão. Por outro lado, as fibras da camada neutra se mantêm
inalteradas.
F
LINHA
NEUTRA
+
-
Dessa forma, deduz-se que o corpo sujeito a um esforço de flexão sofre,
simultaneamente, uma tensão de tração e outra de compressão.
Consequentemente, para valores de tensões de resistência à flexão dos
materiais, tomam-se os mesmos valores de tração ou de compressão,
constantes na TABELA 3.
Caso os valores das resistências à tração forem diferentes aos da compressão,
para flexão toma-se o menor valor.
crtrfr ou σσσ =
DEFLEXÃO: Para todas as peças submetidas à flexão é necessário verificar a
deflexão. A deflexão máxima atuante “f” é calculada utilizando-se as expressões
da Tabela 6, e depende do tipo de apoio e carregamento.

Tensão de cisalhamento na flexão: Além das tensões normais (tração e
compressão) que surgem numa seção transversal de uma viga fletida,
aparecem também, tensões de cisalhamento ( cτ ).
As tensões de cisalhamento não se distribuem uniformemente sobre a seção
transversal, quando ela age em conjunto com a Tensão de Flexão. Ela pode
ser calculada através da expressão:
f
s
c
Ib
MQ
.
.
=τ
Onde:
=sM Momento estático da área.
=Q Esforço cortante
=fI Momento de inércia à flexão
=b Largura da seção resistente
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO RESISTENTE
DE UMA BARRA SUJEITA À FLEXÃO:
SEÇÃO RETANGULAR
A
Q
máxc .
2
3
=τ ⇒máxcτ 50% maior que cτ simples
SEÇÃO CIRCULAR
A
Q
máxc .
3
4
=τ ⇒máxcτ 33% maior que cτ simples
VERIFICAÇÃO:
≤máxcτ cτ

TABELA 5 – MOMENTO DE INÉRCIA À FLEXÃO, MÓDULO DE
RESISTÊNCIA À FLEXÃO E RAIO DE GIRAÇÃO

TABELA 6 – FÓRMULAS RELATIVAS À FLEXÃO DE VIGAS DE SEÇÕES
CONTÍNUAS

11- EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS

CONVENÇÃO DE SINAIS
MOMENTO NO PONTO
FORÇAS NORMAIS
OBS.:
+
+ -
-
+

APOIOS

TIPOS DE ESTRUTURAS

12- DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
DISPOSIÇÃO DAS CARGAS
CARGA CONCENTRADA: quando a carga age sobre um ponto da viga.
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA: quando a carga se distribui
igualmente ao longo da viga
CONVENÇÃO DE SINAIS
FORÇA NORMAL (N)
-
COMPRESSÃO
+TRAÇÃO

FORÇA CORTANTE (Q)
MOMENTO FLETOR (Mf)

13- TORÇÃO
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força P, agindo no plano
perpendicular ao eixo da barra, que tende a girar cada seção transversal em
relação às demais, produzindo uma torção, que por sua vez causará uma
deformação (ϕ ) que chamamos de ângulo de torção.
ϕ
x
Mt
F
L
R
LINHA NEUTRA
t
t
t
W
M
=τ
( )MPa
onde:
tτ => Tensão de torção
tM => Momento torçor (N.mm)
xFMt .=
onde:
F => Força aplicada (N)
x => Distância entre a força aplicada e o
centro de torção da peça (mm)

tW => Módulo de resistência à torção ou (mm3
) VER TABELA 8
Módulo de resistência polar
O Módulo de resistência polar é a característica geométrica da seção de uma viga
que se opõe à torção, e é expresso como:
R
I
W t
t =
onde:
It => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm4
) VER TABELA 8
R => Distância da linha neutra à fibra externa (mm)
Exemplo de módulo de resistência à torção ( tW ):
NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia Polar ( tI ) e Módulo de
Resistência Polar ( tW ) da maioria das seções de uso prático na engenharia
estão apresentadas na TABELA 8.
O Momento torçor pode ser obtido também pela seguinte fórmula:
n
N
Mt .9550= ).( mmN
onde:
N = potência que aciona o eixo (W)
n = rpm do eixo

É importante observar que as tensões de torção no corpo equivalem às
tensões de cisalhamento.
Portanto, para as tensões de resistência à torção dos diferentes materiais,
tomam-se os valores das tensões de resistência ao cisalhamento, TABELA 3,
dos respectivos materiais.
crtr ττ =
ÂNGULO DE TORÇÃO DA SEÇÃO RESISTENTE )(ϕ
ϕ
x
Mt
F
L
O ângulo de torção (ϕ ) poderá ser determinado pela seguinte expressão:
t
t
IG
LM
..
..180
π
ϕ = )(graus
t
t
IG
LM
.
.
=ϕ )(rad
onde:
ϕ => Ângulo de torção
tM => Momento torçor (N.mm)
L => Comprimento da peça (mm)
G => Módulo de Elasticidade Transversal ( )MPa VER TABELA 1
tI => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm4
) VER TABELA 8

DISTORÇÃO )(γ
G
tτ
γ = )(rad
onde:
γ => Distorção
tτ => Tensão de torção ( )MPa 
G => Módulo de Elasticidade transversal ( )MPa

TABELA 8 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR E MÓDULO DE RESISTÊNCIA
POLAR

14- FLAMBAGEM
14.1- DEFINIÇÃO
A flambagem consiste na deformação de uma peça, causada por uma
força de compressão axial, como ilustrada na figura abaixo. Como
conseqüência, a peça pode perder a sua estabilidade (sofrer um colapso) sem
que seu material atinja o limite de escoamento.
Este colapso sempre ocorrerá na direção do eixo de menor momento de
inércia de sua seção transversal.
I=b.h3
/12
EIXO DE MENOR
MOMENTO DE INÉRCIA
F
L
14.2- CARGA CRÍTICA ( CRF )
Denomina-se carga crítica, a carga axial que faz com que a peça venha
a perder a sua estabilidade e comece a flambar.
Portanto, se crFF ≤ , não ocorre flambagem, e se crFF ≥ , ocorre
flambagem.
Euler (1707-1783) foi o primeiro a estudar o fenômeno, e determinou a
fórmula da carga crítica nas peças carregadas axialmente.
2
2
..
λ
π AE
Fcr = ( )N eq. 1 (CARGA CRÍTICA)
crF => Carga crítica (N)
E => Módulo de elasticidade do material ( MPa ) - Aço= 210.000 MPa
A => Área da seção transversal ( mm2
)
λ => Índice de esbeltez (adimensional)

onde
Índice de Esbeltez (λ ) => mede a facilidade ou a dificuldade que um elemento
comprimido tem de flambar e é definido como sendo a relação entre o
comprimento de flambagem ( fl ) e o raio de giração ( R ) da seção transversal
da peça. Uma peça é esbelta quando seu comprimento é grande perante sua
seção transversal. Quanto maior o índice de esbeltez maior a probabilidade do
elemento flambar.
R
fl
=λ
(ÍNDICE DE ESBELTEZ)
Onde:
fl => Comprimento de flambagem (mm)
R => Raio de giração (mm)
e
A
I
R MÍNf
= (RAIO DE GIRAÇÃO) TABELA 6
Onde:
MINfI => Menor momento de inércia da seção (mm4
)
A => Área da seção (mm2
)
Substituindo 2
λ , na equação 1, tem-se:
2
2
2
R
fl
=λ
A
I
A
I
R
ff
=>








=
2
2
f
f
f
f
I
A
A
I
.
22
2
ll
=>=λ

2
2
2
2
2
2
2
2 ..
.
...
.
....
f
f
f
f
f
f
cr
IE
A
IAE
I
A
AEAE
F
lll
πππ
λ
π
=>=>=>=
2
2
..
f
f
cr
MÍN
IE
F
l
π
= ( )N eq. 2 (CARGA CRÍTICA)
14.3- COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM ( fl )
Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta
diferentes comprimentos de flambagens:

14.4- CONDIÇÕES PARA USO DA FÓRMULA DE EULER
A fórmula de Euler é válida para colunas esbeltas, onde :
105≥λ => Aço-carbono
80≥λ => FoFo
59≥λ => Alumínio
100≥λ => Madeira
OBS.: se 40..30 a≤λ não existe flambagem.
14.5- TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM ( flσ )
Tensão Crítica de Flambagem é a tensão que faz com que a peça perca
a sua estabilidade e comece a flambar.
A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de
proporcionalidade (abaixo do escoamento) do material. Desta forma, observa-
se que o material deverá estar sempre na região de deformação elástica.
A
Fcr
fl =σ => 2
2
.
λ
π
σ
E
fl = ( )MPa (EQUAÇÃO DE EULER)
CRITÉRIO
alidadeproporcionfl σσ ≤
OBS.: Para que em uma barra não ocorra a flambagem, o valor de tensão
desenvolvido pela força de compressão atuante deve ser menor que o da
Tensão Admissível Crítica de Flambagem ( flσ ), isto é:
flc
A
F
σσ ≤= onde
S
fl
fl
σ
σ =

DIMENSIONAMENTO
- NORMA ABNT NB-14 - AÇOS
TABELA 1 – Expressões para aços, segundo ABNT NB-14
Índice (λ ) Material flσ (MPa)
105<λ Aço 2
.0046,0240 λσ −=fl
105≥λ (Euler – def. elástica) Aço 2
2
.
λ
π
σ
E
fl =
- DIMENSIONAMENTO ESPECIAL – FLAMBAGEM NO CAMPO DAS
DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS
Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de
proporcionalidade do material, a fórmula de Euler (colunas delgadas) perde a
sua validade. Para estes casos, utiliza-se o estudo de Tetmajer (colunas
curtas) que indica:
TABELA 2 – Expressões de Tetmajer para colunas curtas
Índice (λ ) Material flσ (MPa)
100<λ Madeira (pinho) λσ .194,03,29 −=fl
80<λ Fofo cinzento 2
.053,0.12776 λλσ +−=fl
89<λ Aço duro λσ .62,0335 −=fl

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
FIGURA FÓRMULA
h
b
hbA .=
a
a
2
aA =
D
4
. 2
D
A
π
=
d
D
( )
4
. 22
dD
A
−
=
π

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