Dsp4
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share

Dsp4

  • 1,023 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
1,023
On Slideshare
1,023
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
5
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Ingenier´ Electr´nica ıa o Notas de ClaseProcesamiento Digital de Se˜ ales n EL-5805 Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya e Versi´n de 28 de julio de 2011 o
  • 2. PrefacioEstas notas de clase pretenden ofrecer al estudiante una gu´ para el curso “EL-5805 Pro- ıacesamiento Digital de Se˜ales”. No deben considerarse bajo ninguna circunstancia como nfuente de informaci´n unica. En cada cap´ o ´ ıtulo se hace referencia a fuentes bibliogr´ficas aadicionales que el estudiante debe revisar por su cuenta, con ejercicios adicionales y mayordetalle en su presentaci´n. oEl concepto del curso se ha orientado en las sugerencias de los autores John G. Proakis yDimitris G. Manolakis [15] para un programa semestral de curso de pregrado, con algunasadiciones y principalmente res´menes de la materia considerados necesarios. M´s detalles u ade los temas tratados aqu´ se podr´n entonces encontrar del cap´ ı a ıtulo 1 al cap´ ıtulo 8 delmencionado libro de texto.Las presentes notas de clase se han adaptado espec´ ıficamente al curso “ProcesamientoDigital de Se˜ales” de la Escuela de Ingenier´ Electr´nica del Tecnol´gico de Costa Rica, n ıa o opero se ponen a disposici´n libre para que sean de provecho a quien las necesite. oDr. Jos´ Pablo Alvarado Moya eCartago, 28 de julio de 2011 Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´n- o NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ una carta a Creati- ıe ve Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. c 2005-2011 Pablo Alvarado Escuela de Electr´nica o Tecnol´gico de Costa Rica o
  • 3. ´Indice general´Indice de tablas v´Indice de ejemplos viiLista de s´ ımbolos y abreviaciones ix1 Introducci´n o 1 1.1 Se˜ales . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Elementos de un sistema PDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Ventajas del procesamiento digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ´ 1.5.1 Areas de aplicaci´n . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Implementaci´n . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Se˜ ales y Sistemas de Variable Discreta n 13 2.1 Se˜ales de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 13 2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ales de variable discreta n . . . . . 14 2.1.2 Clasificaci´n de se˜ales de variable discreta . . . . . . . . . o n . . . . . 16 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia . . . . . . . . . . n . . . . . 21 2.2.1 Se˜al sinusoidal continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 22 2.2.2 Se˜al sinusoidal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 22 2.2.3 Exponenciales complejos relacionados arm´nicamente . . . o . . . . . 26 2.3 Sistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Descripci´n entrada-salida de sistemas . . . . . . . . . . . o . . . . . 27 2.3.2 Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Clasificaci´n de los sistemas discretos . . . . . . . . . . . . o . . . . . 31 2.3.4 Interconexi´n de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 35 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo . a . . . . . 35 2.4.1 T´cnicas de an´lisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a . . . . . 35 2.4.2 Descomposici´n de una se˜al en impulsos . . . . . . . . . . o n . . . . . 36 i
  • 4. ii ´ Indice general 2.4.3 Convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 37 2.4.4 Propiedades de la convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 42 2.4.5 Sistemas LTI causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.6 Estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo . . . . . . 43 2.4.7 Sistemas de respuesta finita e infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias . . . . . . . 46 2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias con coe- ficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.3 Soluci´n de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes . o . 51 2.5.4 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . 56 2.6 Correlaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 58 2.6.1 Autocorrelaci´n y correlaci´n cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 58 2.6.2 Propiedades de la correlaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 59 2.6.3 Correlaci´n de secuencias peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 60 2.6.4 Secuencias de correlaci´n de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . o . 61 2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 67 3.1 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 La transformada z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.1 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 Localizaci´n de los polos y el comportamiento en el dominio o de n para se˜ales causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . 75 3.2.3 La funci´n de transferencia de un sistema LTI . . . . . . . . o . . . . 77 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 79 3.3.1 Respuesta de sistemas con funci´n de transferencia racional . o . . . . 79 3.3.2 Condiciones iniciales no nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.3 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente . . . . . . . e . . . . 82 3.3.4 Causalidad y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.5 Cancelaci´n polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 83 3.3.6 Polos de orden m´ltiple y estabilidad . . . . . . . . . . . . . u . . . . 83 3.3.7 Estabilidad de sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874 An´lisis frecuencial a 91 4.1 Espectro de se˜ales continuas . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 Espectro de se˜ales continuas peri´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 Espectro de se˜ales continuas aperi´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1 Espectro de se˜ales discretas peri´dicas . n o . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.2 Espectro de se˜ales discretas aperi´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 99 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 5. ´Indice general iii 4.2.3 Relaci´n entre las transformadas de Fourier y z . . . . . . . . . . . 100 o 4.2.4 El teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ales discretas . . . . . . . 109 n 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.1 La funci´n de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 o 4.4.2 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente a entradas sinusoidales113 e 4.4.3 Respuesta en r´gimen permanente a se˜ales de entrada peri´dicas . 114 e n o 4.4.4 Respuesta a se˜ales de entrada aperi´dicas . . . . . . . . . . . . . . 115 n o 4.4.5 Relaciones entre la funci´n de transferencia y la respuesta en fre- o cuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.6 C´lculo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 a 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 117 4.5.1 Filtros ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5.2 Filtros paso alto, paso bajo y paso banda . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5.3 Resonadores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5.4 Filtros ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5.5 Filtros peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.6 Filtros paso todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.7 Osciladores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.6 Sistemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.6.2 Sistemas de fase m´ ınima, fase m´xima y fase mixta . . . . . . . . . 132 a 4.6.3 Identificaci´n de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 o 4.7 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.2 La transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.7.3 Relaci´n de la DFT con otras transformadas . . . . . . . . . . . . . 141 o 4.7.4 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.5 Filtrado lineal basado en la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.7.6 Filtrado de secuencias de larga duraci´n . . . . . . . . . . . . . . . 149 o 4.7.7 An´lisis espectral de se˜ales usando la DFT . . . . . . . . . . . . . 150 a n5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 153 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas . . . . . . . . . . . n o . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.1 Muestreo de se˜ales pasa-bajos . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . 156 5.1.2 Muestreo de se˜ales pasa-banda . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . 156 5.2 Cuantificaci´n de se˜ales de amplitud continua . . o n . . . . . . . . . . . . . . 160 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.1 N´meros codificados con coma fija . . . . u . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.2 N´meros codificados con coma flotante . . u . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4.1 Circuito de muestreo y retenci´n . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4.2 Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 6. iv ´ Indice general 5.4.3 Aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.4.4 Convertidor paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4.5 Convertidor en subrangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.4.6 Convertidor delta-sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.1 Fuentes de tensi´n conmutadas o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.2 Resistencias conmutadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.3 Condensadores conmutados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.5.4 Redes resistivas R − 2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.5.5 Conversi´n DAC delta-sigma . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826 Implementaci´n de sistemas discretos o 183 6.1 N´mero de Condici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u o . . . . . . . . . . . 183 6.2 Estructuras directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.2.1 Estructuras directas para filtros FIR sim´tricos e . . . . . . . . . . . 188 6.3 Grafos de flujo de se˜al y estructuras transpuestas . . . n . . . . . . . . . . . 188 6.4 Muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.5 Sistemas en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.6 Sistemas paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947 Introducci´n al dise˜ o de filtros digitales o n 197 7.1 Causalidad y sus implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.2.1 Dise˜o de filtros FIR por el m´todo de ventanas . . . . . . . . . . . 203 n e 7.2.2 Dise˜o de filtros optimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 n ´ 7.3 Dise˜o de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos211 n o 7.3.1 Dise˜o por aproximaci´n de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 212 n o 7.3.2 Dise˜o por invarianza impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 n 7.3.3 La transformada z adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3.4 Dise˜o por transformaci´n bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 n o 7.3.5 Filtros Anal´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 o 7.4 Transformaci´n de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 oBibliograf´ ıa 219A Octave y Matlab 221B Respuestas a Problemas 225´Indice alfab´tico e 231 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 7. ´Indice de tablas 1.1 Caracter´ ısticas de las se˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 2 2.1 Propiedades de se˜ales de variable discreta. . . . . . . . n . . . . . . . . . . . 16 2.2 Propiedades de sistemas discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Ejemplo de convoluci´n de dos secuencias finitas. . . . o . . . . . . . . . . . 38 2.4 Forma general de la soluci´n particular para diversos o tipos de se˜al de n entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 Propiedades de la transformada z bilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Transformada z de algunas funciones comunes . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3 Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales . . 86 4.1 Propiedades de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2 Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1 Est´ndar de coma flotante IEEE 754-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 a 5.2 Algunos n´meros especiales en precisi´n simple . . . . . . . . . . . . . . . 166 u o 5.3 Algunos n´meros especiales en precisi´n doble . . . . . . . . . . . . . . . . 167 u o −1 −2 6.1 M´dulos de segundo orden con funci´n de transferencia H(z) = b0 +b11zz−1 +a2 z−2 o o 1+a +b2 z para sistemas en tiempo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.1 Simetr´ en filtros FIR de fase lineal . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . 203 7.2 Funciones utilizadas como ventanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 Descomposici´n de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). . . . . o . . . . . . . . . . . 210 7.4 Caracter´ ısticas de Filtros Paso Bajo Anal´gicos . . . . o . . . . . . . . . . . 215 7.5 Transformaciones de frecuencia para filtros anal´gicos. o . . . . . . . . . . . 216 7.6 Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. . . . . . . . . . . . . . 217 v
  • 8. vi ´ Indice de tablas c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 9. ´Indice de ejemplos2.1 Escal´n unitario como suma de impulsos desplazados . . o . . . . . . . . . . . 142.2 Operaciones b´sicas con se˜ales . . . . . . . . . . . . . . a n . . . . . . . . . . . 152.3 Se˜ales de energ´ y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . n ıa . . . . . . . . . . . 182.4 Simetr´ de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . 202.5 Descripci´n entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 272.6 Salida de sistema acumulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10 Descomposici´n en impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 362.11 Convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 372.12 Longitud de la convoluci´n de dos se˜ales finitas . . . . . o n . . . . . . . . . . . 382.13 Reacci´n de sistemas con respuesta exponencial . . . . . . o . . . . . . . . . . . 402.14 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.15 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.16 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.17 Linealidad de sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.18 Soluci´n homog´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . 522.19 Respuesta de entrada nula para sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . 522.20 Respuesta de entrada nula con ra´ de multiplicidad 2 . . ız . . . . . . . . . . . 532.21 Soluci´n particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 542.22 Soluci´n total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 552.23 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo peri´dico . o . . . . . . . . . . . 924.2 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo aperi´dicoo . . . . . . . . . . . 96 vii
  • 10. viii ´ Indice de ejemplos c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 11. Lista de s´ ımbolos y abreviacionesNotaci´n general oA Matriz.   a11 a12 · · · a1m  a21 a22 · · · a2m    A= . . .. .   . . . . . .  . an1 an2 · · · anm + ∗IN , IN Conjunto de los n´meros naturales sin cero IN+ = IN{0}. uIN, IN0 Conjunto de los n´meros naturales IN = {0, 1, 2, . . .}. uZ Conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. uQ Conjunto de los n´meros racionales Q = {q | q = n ; n, d ∈ Z}. u dIR Conjunto de los n´meros reales. uC Conjunto de los n´meros complejos. u∆ Cuanto. Distancia entre dos niveles de cuantificaci´n.oeq (t) o eq (n) Error de cuantificaci´n. oF Frecuencia en ciclos por unidad de tiempo para se˜ales de variable continua. nf Frecuencia en ciclos por muestra para se˜ales de variable discreta. nFs Frecuencia de muestreo de una se˜al anal´gica. Fs = 1/T n oh(n) Respuesta al impulsoH(ω) Respuesta en frecuencia∠H(ω) Respuesta en fase| H(ω) | Respuesta en magnitudH(z) Funci´n de transferencia oIm(z) o zIm Parte imaginaria del n´mero complejo z u √ j¡ j = −1 Mapeo de un dominio temporal al dominio frecuencial o z Mapeo de un dominio frecuencial al dominio temporal o zRe(z) o zRe Parte real del n´mero complejo z uT [·] Transformaci´n realizada por un sistema oT Intervalo de muestreo. T = 1/FsTp Periodo fundamental Tp = 1/F para se˜ales de variable continua. nx(n) Se˜al de variable discreta. n ix
  • 12. x Lista de s´ ımbolos y abreviacionesx Vector.   x1  x2  T   x = [x1 x2 . . . xn ] =  .  .. xny Escalar.z∗ Complejo conjugado de zΩ Frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo para se˜ales de variable n continua.ω Frecuencia angular en radianes por muestra para se˜ales de variable discreta. nAbreviacionesBIBO Entrada acotada – Salida acotada (bounded input – bounded output)DSP Digital Signal Processing (o Processor ).FIR Respuesta finita al impulso (Finite Impulse Response)IIR Respuesta infinita al impulso (Infinite Impulse Response)LTI Sistema lineal e invariante en el tiempo (Linear and Time Invariant)PDS Procesamiento Digital de Se˜ales. nSQNR Relaci´n se˜al a ruido de cuantificaci´n (signal to quantization noise ratio). o n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 13. Cap´ ıtulo 1Introducci´n oEl Procesamiento Digital de Se˜ales (PDS) es un area de la ciencia y la ingenier´ que n ´ ıase ha desarrollado r´pidamente desde la segunda mitad del siglo XX. Tanto los aportes ate´ricos como de aplicaci´n contin´an extendi´ndose desde y hacia varias areas del saber. o o u e ´Los avances en el procesamiento y compresi´n de audio y video, as´ como las nuevas o ıtecnolog´ en comunicaciones digitales (telefon´ celular, modems ADSL, etc.) son quiz´ ıas ıa alos ejemplos de aplicaci´n m´s representativos del PDS. o a1.1 Se˜ ales nPara definir las tareas del PDS se requiere primero precisar el concepto de se˜al , con- nsiderada aqu´ como aquella observaci´n de una magnitud f´ ı o ısica en funci´n de variables oindependientes de tiempo y espacio, realizada de tal modo que la se˜al contenga informa- nci´n de los procesos observados. oEn general, toda se˜al contiene informaci´n que se desea extraer o modificar de acuerdo n oa los requisitos de cada aplicaci´n particular. Sism´grafos, por ejemplo, registran se˜ales o o ns´ ısmicas que contienen informaci´n sobre intensidad y caracter´ o ısticas espectrales de lossismos, con ayuda de las cuales pueden determinarse entre otras cosas la ubicaci´n de oepicentros y la naturaleza de los s´ ısmos. Las se˜ales electrocardiogr´ficas permiten al n am´dico determinar el estado del coraz´n de sus pacientes. e oLa tabla 1.1 resume las caracter´ısticas utilizadas para clasificar las se˜ales. Las se˜ales son n nrepresentadas por funciones matem´ticas de una o m´s variables. Una se˜al de voz, por a a nejemplo, puede representarse como una funci´n de una variable temporal f (t), im´genes o ase pueden considerar como funciones de dos variables espaciales f (x, y), y v´ ıdeo como unase˜al espacio-temporal f (x, y, t). nLas funciones pueden ser adem´s escalares o vectoriales. Si la voz se captura con un amicr´fono monof´nico, la se˜al el´ctrica de salida tendr´ por ejemplo un solo valor de o o n e atensi´n el´ctrica en cada instante de tiempo. Por otro lado, un electroencefalograma o e 1
  • 14. 2 1.1 Se˜ales nprovee un conjunto o vector de se˜ales el´ctricas provenientes de los diferentes electrodos n epara cada instante t: T f (t) = f1 (t) f2 (t) . . . fn (t)Otro ejemplo de se˜ales vectoriales utilizadas frecuentemente en ingenier´ son las im´genes n ıa aen color, en las que cada elemento de la imagen o pixel se representa como un vector enun espacio de color, donde las componentes del vector pueden, por ejemplo, representarlos valores de los colores primarios rojo, verde y azul. A cada una de las componentes delas se˜ales vectoriales se les denomina usualmente canales y por lo tanto a la se˜al se le n ndenota como multicanal .Las variables de las que depende la se˜al pueden ser discretas o continuas. La salida de nun foto-transistor puede, por ejemplo, ser obtenida en todo instante de tiempo t (variablecontinua), mientras que el n´mero de llamadas realizado por hora es una se˜al que el ICE u npuede generar para instantes discretos de tiempo nT distanciados por un intervalo de T =1 h (variable discreta). Los puntos donde la variable independiente de una se˜al discreta nest´ definida no deben ser necesariamente equidistantes; sin embargo, usualmente este tipo ade distribuci´n homog´nea de las muestras se utiliza por su conveniencia computacional o ey manejabilidad matem´tica. aLos valores que puede tomar una se˜al pueden ser tambi´n discretos o continuos. As´ el n e ı,voltaje del fototransistor puede tomar cualquier valor real en un intervalo, mientras queel n´mero de llamadas es siempre un valor entero. Tambi´n los valores de una funci´n u e odiscreta pueden ser equidistantes o seguir otros patrones m´s complejos (como el lo- agar´ıtmico). El t´rmino digital se utiliza para se˜ales de variables independientes discretas e ny de valores discretos, mientras que anal´gica es una se˜al con variables independientes o ncontinuas y valores continuos. El an´lisis matem´tico involucrado en el tratamiento de a ase˜ales digitales pueden simplificarse si se realiza a trav´s de funciones de valor continuo n ey variable discreta, llamadas usualmente se˜ales en tiempo discreto, por representar la nvariable independiente generalmente instantes de tiempo definidos. Este ser´ el enfoque autilizado en este documento.Un ultimo criterio de car´cter matem´tico para clasificar las se˜ales es su naturaleza ´ a a nestad´ ıstica: las se˜ales pueden ser deterministas si puede especificarse con precisi´n la n oforma de la funci´n. Por ejemplo, para se˜ales determin´ o n ısticas definidas en el tiempo,sus valores en el pasado, presente y futuro son siempre conocidos (por ejemplo, una Tabla 1.1: Caracter´ ısticas de las se˜ales n Caracter´ ıstica Valores N´mero de variables u una variable multiples variables Dimensionalidad escalar vectorial (multicanal) Variables independientes discretas continuas Valores de la se˜al n discretos continuos Naturaleza estad´ ıstica deterministas aleatorias c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 15. 1 Introducci´n o 3se˜al senoidal). Por otro lado, las se˜ales aleatorias o estoc´sticas solo permiten una n n adescripcion aproximada de la forma de su funci´n, por tener asociado un comportamiento oimpredecible (por ejemplo, un generador de ruido, una se˜al s´ n ısmica, una se˜al ac´stica n ude voz).Asociado a la naturaleza estad´ ıstica de la se˜al se distingue adem´s entre se˜ales es- n a ntacionarias y no estacionarias. Las se˜ales estacionarias son aquelas cuyos par´metros n aestad´ısticos no var´ en el tiempo, lo que de ninguna manera implica que el valor de ıanla se˜al se constante. Por otro lado, la se˜ales no estacionarias tienen par´metros es- n n atad´ısticos que var´ en el tiempo. ıanEn el presente texto se estudiar´n se˜ales de una variable, de valor escalar, digitales y a nde naturaleza determinista. En cursos de procesamiento de im´genes se extienden los aconceptos a se˜ales vectoriales (usualmente tres dimensiones) de dos variables discretas nespaciales (x, y). El an´lisis de se˜ales estoc´sticas es tema usual para cursos de posgrado; a n asin embargo, es en este curso introductorio donde se presentan todas las bases necesariaspara comprender los conceptos avanzados.En principio las se˜ales pueden corresponder a cualquier tipo de magnitud f´ n ısica observa-da; sin embargo, por medios electr´nicos solo se˜ales el´ctricas pueden ser procesadas, por o n elo que usualmente se requieren transductores o sensores que realicen la correspondienteconversi´n. o1.2 SistemasEl t´rmino sistema denota a una colecci´n o conjunto de elementos interrelacionados que e oconforman un todo unificado. Su ra´ etimol´gica es el t´rmino latino syst¯ma, que a su ız o e evez proviene del griego σ υ στ ηµα relacionado con los conceptos combinar e instalar. ´Un sistema puede formar parte de otro sistema de mayor nivel, en cuyo caso al primerose le denomina subsistema del segundo. Los diferentes subsistemas intercambian por logeneral informaci´n, materia o energ´ para lograr alg´n objetivo. Los t´rminos se˜ales o ıa u e nde entrada o de salida se utilizan entonces para abstraer ese flujo de informaci´n, materia oo energ´ en el concepto matem´tico de funciones. ıa aEl sistema entonces puede interpretarse como un conjunto de subsistemas que lograntransformar una se˜al en otra. Estos dispositivos pueden ser entes f´ n ısicos, como un circuitoelectr´nico, o virtuales, como algoritmos implementados en software. oEn la literatura actual se tiende a diferenciar entre dos tipos de tareas de los sistemas:procesamiento y an´lisis. Se dice que un sistema procesa una se˜al si la se˜al de salida a n ntiene las mismas caracter´ ısticas sem´nticas de la entrada: por ejemplo, si la entrada arepresenta una se˜al de voz, la salida de un sistema procesador ser´ tambi´n voz aunque n a equiz´ modificada para cumplir ciertos requisitos de la aplicaci´n. Se dice que un sistema a orealiza an´lisis de la se˜al, si la salida tiene otra naturaleza sem´ntica a la entrada. a n a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 16. 4 1.3 Elementos de un sistema PDSPor ejemplo, un m´dulo de un reconocedor de habla puede extraer de una se˜al de voz o ninformaci´n sobre la presencia de la vocal ‘a’ en ella. Usualmente el an´lisis de una se˜al o a nse realiza a trav´s de diversos pasos de procesamiento de la se˜al, junto con tareas de e nreconocimiento o codificaci´n de patrones. oEn resumen, el procesamiento digital de se˜ales1 , abreviado PDS o DSP por sus siglas en ningl´s (Digital Signal Processing) se refiere al proceso de modificaci´n de una se˜al digital e o nen un sistema, realizado para destacar o suprimir diferentes caracter´ ısticas de la se˜al que ntienen alg´n significado especial para una aplicaci´n en particular. u o1.3 Elementos de un sistema PDSLa mayor´ de las se˜ales en ciencia e ingenier´ tienen una naturaleza anal´gica, es decir, ıa n ıa otanto las variables independientes de las funciones que las representan como sus valoresson continuos. Matem´ticamente estas se˜ales se representan como funciones f (t) a n f : IR → IRes decir, relaciones matem´ticas que mapean valores reales en valores reales. Este tipo ade se˜ales pueden ser tratadas directamente utilizando sistemas anal´gicos, como por n oejemplo filtros pasivos o analizadores de frecuencia (figura 1.1). Se˜al de n Procesador Se˜al de n Entrada Anal´gico o Salida Anal´gica o de Se˜al n Anal´gica o Figura 1.1: Procesamiento anal´gico de una se˜al [15]. o nEl procesamiento digital (figura 1.2) requiere transformar las se˜ales de entrada a un nformato digital, es decir, a funciones f (n) f : Z → Z.Esto ocurre en una etapa llamada conversi´n anal´gica-digital (A/D). o oLa se˜al digitalizada es tratada luego en el procesador digital de se˜ales, que puede ser n ndesde un computador de prop´sito general, pasando por sistemas empotrados basados en omicrocontroladores, hasta circuitos digitales espec´ ıficamente dise˜ados para realizar las ntareas de procesamiento deseadas; sin embargo, las configuraciones programables tantoen software como en hardware reconfigurable son las que han brindado al procesamiento 1 En la literatura en castellano se encuentran los t´rminos tratamiento o procesamiento de se˜ales e ncomo sin´nimos. La preferencia de autores y traductores espa˜oles por el primero radica en la acepci´n o n oprincipal de proceso en la variante dialectal ib´rica como “causa civil o criminal”, que no se aplica tanto een Latino Am´rica. e c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 17. 1 Introducci´n o 5 Se˜al de n Procesador Se˜al de n Convertidor Convertidor Entrada Digital de Salida A/D D/A Anal´gica o Se˜al n Anal´gica o Figura 1.2: Procesamiento digital de una se˜al anal´gica [15]. n odigital una flexibilidad inalcanzable con sistemas anal´gicos equivalentes. El vertiginoso oavance en la electr´nica digital ha permitido el uso cada vez m´s generalizado de las o at´cnicas digitales de procesamiento. En la actualidad hasta los m´s peque˜os tel´fonos e a n ecelulares utilizan algoritmos de alta complejidad que hace tan solo 15 a˜os hubieran nrequerido computadores de gran tama˜o y costo. nEl ultimo paso del procesamiento digital consiste en convertir la salida del bloque procesa- ´dor a una se˜al anal´gica, lo que ocurre en el llamado convertidor digital-anal´gico (D/A). n o oEn aplicaciones de an´lisis de se˜al, la ultima etapa puede no ser necesaria, cuando la a n ´informaci´n a extraer se obtiene directamente de las representaciones digitales. o1.4 Ventajas del procesamiento digitalPara poder representar una se˜al anal´gica por medio de una se˜al digital sin que sufra n o np´rdidas de informaci´n considerables, la se˜al anal´gica debe ser digitalizada con una e o n otasa de muestreo suficientemente alta (esto se analizar´ con suficiente detalle en cap´ a ıtulosposteriores). La tecnolog´ digital impone l´ ıa ımites de velocidad de procesamiento, que,aunque cada vez menos restrictivos, determinan los anchos de banda de se˜ales que pue- nden ser tratadas digitalmente. Es por esto que los sistemas anal´gicos siguen siendo oirreemplazables en aplicaciones con se˜ales de anchos de banda en el orden de los gi- ngaherz. Otro ambito de dominio anal´gico son sistemas de bajo consumo de potencia (en ´ oel orden de los microwatts). Tanto los m´dulos de conversi´n ADC como DAC, as´ como o o ılos microcontroladores o microprocesadores digitales tendr´n siempre un mayor consumo ade potencia en la implementaci´n de filtros digitales que filtros hom´logos anal´gicos, o o o ode capacitores conmutados, implementados en tecnolog´ integradas. ıasEn casos donde las se˜ales pueden ser digitalizadas sin perder informaci´n de forma n oconsiderable y se cuenta con suficiente tiempo y potencia para realizar las conversionesy los c´lculos necesarios, es preferible utilizar un sistema digital sobre su equivalente aanal´gico. Esto por varias razones: oLos sistemas digitales son usualmente m´s baratos y confiables para el procesamiento de ase˜ales. Como ya se mencion´, pueden utilizarse sistemas programables, por lo que a n otrav´s de cambios en el software pueden modificarse o adaptarse sus caracter´ e ısticas, pro-veyendo as´ un alto grado de flexibilidad en el dise˜o. Adem´s, las precisiones alcanzables ı n acon sistemas digitales son usualmente mucho mayores que los circuitos anal´gicos, en los oque el error acumulado en forma de ruido aumenta con cada etapa de procesamiento. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 18. 6 1.4 Ventajas del procesamiento digitalUn sistema digital funciona en toda su vida util exactamente de la misma manera, y ´la fabricaci´n de dispositivos asegurar´ en todos ellos un comportamiento id´ntico. Esto o a econtrasta con los dise˜os anal´gicos, donde las caracter´ n o ısticas de los componentes, pasivosy activos, var´ con el tiempo y donde la tolerancia de cada componente alterar´ en ıan aalguna medida el funcionamiento del sistema total. Adem´s del envejecimiento de los acircuitos, el funcionamiento de los sistemas anal´gicos tiende a ser m´s sensible a cambios o aen la temperatura y a fuentes externas de interferencia que los sistemas digitales. En estesentido se dice que los sistemas digitales son m´s robustos que los sistemas anal´gicos. a oOtra ventaja de los sistemas de procesamiento digital tiene que ver con las posibilidadesde almacenamiento. Los niveles de ruido introducidos en sistemas de almacenamientoanal´gicos (como cintas magn´ticas) son extremadamente altos comparados con el alma- o ecenamiento pr´cticamente sin p´rdidas (excepto las introducidas por la propia digitaliza- a eci´n) de se˜ales digitales. Por este motivo, con se˜ales digitales es m´s factible realizar o n n alos llamados procesamientos “fuera de l´ ınea” (off-line), donde el tratamiento de la se˜al nse realiza en otro tiempo al de la captura de la se˜al. Esto es muy util por ejemplo en as- n ´tronom´ donde las altas cantidades de informaci´n capturadas por los radio-telescopios ıa, opueden ser entonces analizadas mucho despu´s de la adquisici´n de datos, sin riesgos de e oproducir conclusiones incorrectas producto de imprecisiones del almacenaje. Otro ejemploes el an´lisis de im´genes m´dicas, donde altos vol´menes de informaci´n son analizados a a e u oen procesos autom´ticos o semi-autom´ticos a posteriori en la detecci´n de enfermedades a a oy el planeamiento de operaciones quir´rgicas. uPero quiz´ una de las ventajas fundamentales del procesamiento digital es la complejidad aalcanzable por medio de algoritmos de software, para los cuales pueden incluso no existirequivalentes anal´gicos. Debido a las consiguientes simplificaciones en los procesos de odise˜o de sistemas digitales y considerando la predictibilidad en el incremento de las ncapacidades de procesamiento y memoria (por ejemplo, por medio de la Ley de Moore), seacostumbra desarrollar los modernos y complejos algoritmos para el tratamiento digitalde se˜ales utilizando equipos de alto costo y tal vez de dimensiones volum´tricas que n eexceden las limitaciones espaciales, puesto que se asume que en los pr´ximos a˜os se podr´ o n aintegrar y mejorar el hardware utilizado hasta satisfacer las expectativas de aparatosdom´sticos. Como ejemplo, los nuevos est´ndares de codificaci´n de video del grupo e a oMPEG necesitan varios microprocesadores de ultima generaci´n para funcionar, y a´n ´ o uas´ no alcanzan las velocidades necesarias para desplegar los videos con la naturalidad ıdeseada. Se parte del hecho que en un corto plazo los prototipos actuales podr´n seraintegrados y comercializados hasta en sistemas port´tiles. a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 19. 1 Introducci´n o 71.5 Aplicaciones1.5.1 ´ Areas de aplicaci´n oLas aplicaciones del procesamiento digital de se˜al son hoy en d´ incontables. Las m´s n ıa aconocidas, pero no las unicas, se resumen a continuaci´n: ´ o • Aplicaciones automotrices Control del motor, sistemas antibloqueo (ABS), sistemas de navegaci´n, analisis de o vibraci´n, etc. o • Electr´nica de consumo o Radio y televisi´n digital, sistemas de video (DVD, Blue-Ray, etc.), juguetes educa- o tivos, instrumentos musicales, sistemas de impresi´n y despliegue, como monitores o de plasma, LED, LCD, etc. • Industria Control num´rico, monitorizaci´n de l´ e o ıneas de potencia, rob´tica, sistemas de segu- o ridad. • Instrumentaci´no Generaci´n de funciones, emparejamiento de patrones, procesamiento s´ o ısmico, an´lisis a espectral, an´lisis de transcientes. a • Medicina Equipo de diagn´stico, monitorizaci´n de pacientes, pr´tesis auditivas, visuales y o o o mec´nicas, equipos de ultrasonido, tomograf´ MRI, etc. a ıa, • Telecomunicaciones Modems, ecualizadores de se˜al, codificadores y decodificadores, telefon´ celular, n ıa multiplexaci´n, cancelaci´n de eco, repetidores de se˜al, compensaci´n de canal, o o n o modulaciones de espectro ensanchado, video-conferencia, cifrado de datos • Voz/Habla Verificaci´n de locutor, mejoramiento de se˜al, reconocimiento de habla, s´ o n ıntesis de hablaEl tratamiento de se˜ales ac´sticas es utilizado entre otros en el almacenamiento y trans- n umisi´n eficientes de sonido digital (MP3, OggVorbis, etc.), el procesamiento profesional ode sonido en industria musical y cinematogr´fica, el manejo de se˜ales de ultrasonido a npara elaboraci´n de im´genes m´dicas, o el procesamiento de voz humana, necesario para o a ecodificar, encriptar, reconocer o sintetizar el habla.El procesamiento de im´genes bidimensionales permite analizar las se˜ales obtenidas por a nmedio de c´maras industriales, hoy en d´ frecuentemente encontradas en las l´ a ıa ıneas de pro-ducci´n; adem´s, el procesamiento de im´genes tomadas por sat´lite permiten identificar o a a eentre otras cosas el tipo de uso del suelo, facilitan la construcci´n de mapas actualizados, oetc. Esta area es central en la codificaci´n y compresi´n de se˜ales de video, tal y como ´ o o nlos establecen los est´ndares MPEG (Motion Picture Expert Group). a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 20. 8 1.5 AplicacionesEl procesamiento de im´genes tridimensionales se utiliza por ejemplo en el an´lisis y a ageneraci´n de im´genes de resonancia magn´tica (MRI), utilizadas en medicina como o a einstrumento de observaci´n de tejidos internos de un paciente, sin tener la necesidad de outilizar procedimientos quir´rgicos. uLas t´cnicas modernas de an´lisis permiten obtener mejores resoluciones y aumentar la e aconfiabilidad de la informaci´n producida por sonares y radares. Por otro lado, el estu- odio digital de se˜ales s´ n ısmicas y volc´nicas permite incorporar t´cnicas de simulaci´n y a e oreconocimiento de patrones que mejoran la predicci´n de zonas y periodos de riesgo. oEn los procesos de automatizaci´n industrial el procesamiento digital es en la actualidad oomnipresente, pues a pesar de que la mayor´ de los sensores producen salidas anal´gicas, ıa oestas son transformadas casi inmediatamente a se˜ales digitales para permitir una trans- nmisi´n m´s confiable y sin mayores p´rdidas a las unidades de procesamiento, para facilitar o a ela aplicaci´n de algoritmos de extracci´n de la informaci´n de inter´s, y para hacer posible o o o ela utilizaci´n de t´cnicas confiables de almacenamiento de la informaci´n, que puede ser o e ola base luego para el mejoramiento de los procesos productivos, en el c´lculo de costos, aetc.En la preparaci´n de se˜ales para su transmisi´n y en su decodificaci´n y mejoramiento del o n o olado de los receptores, el procesamiento digital juega un papel cada vez m´s importante. aUn ejemplo lo representan los m´dems utilizados actualmente para permitir enlaces de oalta velocidad a trav´s de las l´ e ıneas telef´nicas de cobre, denominado ADSL (Asymmetric oDigital Subscriber Line), donde el procesamiento digital es utilizado para codificar ydecodificar las tramas y las se˜ales de acuerdo a los est´ndares de modulaci´n digitales. n a o1.5.2 AlgoritmosConceptos algor´ıtmicos cl´sicos del procesamiento digital, encontrados en las areas de apli- a ´caci´n anteriores son: compresi´n, cifrado, reconocimiento, identificaci´n, sintetizaci´n, o o o oeliminaci´n de ruido, estimaci´n espectral y filtrado, solo por mencionar algunos. o oLa compresi´n consiste en la reducci´n de capacidad necesaria para almacenar o transmitir o ouna se˜al. En telefon´ celular se˜al de la voz es comprimida para poder transmitirla en n ıa nanchos de banda relativamente peque˜os, comparados con los utilizados en telefon´ fija. n ıaLos est´ndares MPEG contienen sofisticados algoritmos de compresi´n de im´genes que a o apermiten reducir en factores de 8 a 12 veces las se˜ales de video. nEl cifrado es necesario cuando la confidencialidad de la informaci´n en las se˜ales debe o nser asegurada. Algoritmos complejos codifican la informaci´n de forma tal que solo el odestinatario pueda decodificarla.Tareas de reconocimiento intentan inferir de patrones en la se˜al, informaci´n contenida n ode forma impl´ıcita. Por ejemplo, de una se˜al de voz puede reconocerse tanto el mensaje nhablado, como el hablante (reconocimiento de habla y de voz, respectivamente). Enim´genes m´dicas pueden utilizarse algoritmos para reconocer tejidos malignos y benignos, a e c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 21. 1 Introducci´n o 9o en im´genes industriales pueden ser reconocidos caracteres, formas de productos, el aensamblaje correcto de partes, etc.La identificaci´n est´ relacionada con el reconocimiento. Aqu´ no se intenta descubrir una o a ıidentificaci´n para el contenido de una se˜al, sino verificar que una identidad previamente o ndada es compatible con la se˜al. M´todos de identificaci´n se utilizan, junto con la n e oencriptaci´n, en aplicaciones de alta seguridad. oLa sintetizaci´n permite producir se˜ales artificiales similares a aquellas generadas a o ntrav´s de fen´menos f´ e o ısicos. Es utilizada por ejemplo en la elaboraci´n de efectos ac´sticos o ue imitaci´n de instrumentos musicales en sintetizadores de sonido. Otro ejemplo es la osintetizaci´n de voz humana, utilizada en interfaces avanzadas hombre-m´quina. o aLas se˜ales transmitidas por canales anal´gicos usualmente son perturbadas con ruido, es n odecir, con alteraciones indeseables que no contienen ninguna informaci´n relevante para ola aplicaci´n. Por medio del procesamiento digital es posible aplicar diversos algoritmos oque permiten reducir el efecto de dichas distorsiones.El filtrado es un concepto b´sico del procesamiento digital que forma parte de pr´cticamente a acualquier otro algoritmo. El sistema que realiza esta tarea se denomina filtro, y permiteel paso de solo ciertas “componentes” de su se˜al de entrada, y bloqueando el paso de notras. Algunos detalles ser´n presentados en los cap´ a ıtulos 4.5 y 7.La estimaci´n espectral es utilizada en varias areas de las comunicaciones para encontrar o ´los rangos de frecuencias en que se concentra la energ´ de una se˜al (como en el caso del ıa narriba mencionado ADSL).1.5.3 Implementaci´n oEl dise˜o de algoritmos para resolver las tareas mencionadas anteriormente se fundamenta nen teor´ matem´ticas que aseguran su funcionamiento bajo limitaciones pre-establecidas. ıas aPara cada algoritmo se puede elegir aquella estrategia de implementaci´n que mejor sa- otisfaga los requisitos de una aplicaci´n particular. Esto puede involucrar o • plataformas de prop´sito general, como un computador personal; o • plataformas empotradas, incluyendo tel´fonos celulares, PDA, controles en m´quinas, e a etc. Seg´n sea la demanda computacional requerida, ´stas plataformas se pueden u e basar en – microprocesadores de prop´sito general, o o – microcontroladores especializados en el tratamiento de se˜ales digitales (PDS, n Procesadores Digitales de Se˜ales) n • hardware reconfigurable, que se emplea en aplicaciones de alto desempe˜o, para el n cual los PDS no tienen suficientes prestaciones, • circuitos integrados de aplicaci´n espec´ o ıfica (ASIC), utilizados si se espera una pro- ducci´n en masa (como decodificadores del formato de audio Mp3) o • implementaci´n de circuitos de procesamiento en tiempo discreto. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 22. 10 1.5 AplicacionesEn la ultima estrategia la se˜al nunca es convertida a un formato digital, pero se incluye ´ naqu´ por basarse su dise˜o en las teor´ de an´lisis de se˜ales en tiempo discreto, a tratar ı n ıas a nen este documento.El desarrollo de tecnolog´ de implementaci´n de algoritmos ha tendido en los ultimos ıas o ´a˜os a simplificar los procesos, de modo que utilizando lenguajes de alto nivel (como npor ejemplo el lenguaje C, o MatLab) sea posible obtener con los compiladores adecua-dos el c´digo optimizado para el procesador particular utilizado o incluso la descripci´n o oen VHDL o Verilog del circuito que realiza la tarea descrita en C. Esto reduce costosal acelerar los procesos de implementaci´n y evita el entrenamiento de los ingenieros en otecnolog´ cuya vigencia se restringe a unos pocos a˜os. Sin embargo, en casos con restric- ıas nciones cr´ ıticas es inevitable recurrir ya sea a la optimizaci´n de algoritmos en ensamblador odel PDS empleado o la optimizaci´n manual de los circuitos. o1.5.4 CasosLos codificadores de voz (o codecs) utilizados en telefon´ celular son un ejemplo de ıaalgoritmos complejos imposibles de realizar con circuitos anal´gicos, al menos en el tama˜o o nde un tel´fono celular actual. En GSM, por ejemplo, la se˜al anal´gica adquirida por el e n omicr´fono es muestreada a 8 kHz, con 13 bits por muestra, lo que equivale a 104 000 bit/s. oSeg´n la calidad deseada o disponible, la salida de los codecs reducen el ancho de banda ua un rango entre 4,75 kbit/s y 13 kbit/s, es decir, permiten factores de compresi´n de 21 oa 8 veces.Otro caso impresionante es el de los diversos algoritmos para compresi´n de video. Consi- oderando que una imagen de televisi´n tiene 320×200 pixels aproximadamente y cada pixel onecesita 24 bits para ser representado digitalmente con suficiente precisi´n, entonces una osola imagen necesita, sin compresi´n alguna, 187,5 kB para ser almacenada. Un segundo ode video, asumiendo una frecuencia de 30 im´genes por segundo, necesitar´ 5,6 MB. Una a ıapel´ ıcula que tarde 90 minutos requerir´ entonces m´s de 30 GB, lo que ser´ imposible ıa a ıade almacenar en las tecnolog´ actuales de DVD. Solo con los sofisticados algoritmos de ıascodificaci´n de video y sonido pueden almacenarse no solo la se˜al de video, sino varias o nversiones ac´sticas en diferentes idiomas, y materiales adicionales con video y audio, en upoco m´s de 4 GB de espacio, con factores de compresi´n m´s de 10 veces. La implemen- a o ataci´n de los codificadores y decodificadores se realiza en circuitos integrados de aplicaci´n o oespec´ıfica tanto en las c´maras comerciales, como en las unidades de DVD y Blue-ray. aIncluso los sistemas de transmisi´n de radio y televisi´n modernos est´n cambiando de o o aser completamente anal´gicos a conceptos digitales. Los nuevos formatos de televisi´n o ode alta definici´n (HDTV) son completamente digitales, que no ser´ pr´cticos sin la o ıan apresencia de los algoritmos para el procesamiento y compresi´n adecuadas de las se˜ales o nen cuesti´n. oLos discos Blue-Ray se utilizan para almacenar v´ıdeo apto para HDTV. Soportan elformato 1080p24, lo que implica una resoluci´n de 1920×1080 p´ o ıxeles con exploraci´n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 23. 1 Introducci´n o 11progresiva2 , as´ como una tasa de 24 cuadros por segundo. Una imagen tiene as´ casi 2,1 ı ımillones de p´ ıxeles que requieren un espacio de 5,93 MB de almacenamiento sin compre-si´n. Esto implica que para la tasa de 24 im´genes por segundo se requiere almacenar o a142,4 MB por cada segundo de v´ ıdeo sin comprimir. La tasa de transmisi´n de datos oestandarizada para este formato de HDTV es de 4,5MB/s, que es un factor aproximada-mente 32 veces menor al de la se˜al cruda (sin compresi´n). Las t´cnicas de compresi´n n o e odel v´ ıdeo utilizan algoritmos de PDS m´s avanzados que sus equivalentes en un DVD, apara lograr alcanzar dicha tasa y as´ poder almacenar todos los datos (v´ ı ıdeo, texto, audio)en un disco con 25 GB de capacidad.Medicina es quiz´ una de las ´reas que m´s ventajas ha tomado del procesamiento digital a a ade se˜ales. Las nuevas tecnolog´ de visualizaci´n de ultrasonido permiten por ejemplo la n ıas oreconstrucci´n de una imagen tridimensional del feto en el vientre de la madre, ayudando oas´ al ginec´logo a tomar las precauciones del caso cuando algo no est´ en orden. El ı o emanejo digital de tomograf´ computarizadas y de im´genes de resonancia magn´tica ıas a epermite la visualizaci´n de tejidos internos en formatos legibles para los m´dicos. Los o eequipos m´s modernos permiten incluso hacer uso de la llamada realidad aumentada, adonde im´genes reconstruidas a partir de las mediciones se superponen a las reales para aguiar a los cirujanos en operaciones delicadas.La creaci´n de pr´tesis cada vez m´s complejas es tambi´n posible gracias a las t´cnicas o o a e ede procesamiento digital. El implante de c´clea, por ejemplo, permite a personas sordas ovolver a escuchar utilizando el an´lisis digital de las se˜ales ac´sticas obtenidas con un a n umicr´fono. Similar a este ultimo se trabaja en la actualidad en los implantes de retina, o ´donde complejos algoritmos de PDS intentan transformar la se˜al capturada por una nc´mara en impulsos el´ctricos que pueden ser acoplados al nervio optico en el ojo de a e ´personas ciegas. 2 la exploraci´n progresiva implica que la imagen se genera progresivamente l´ o ınea por l´ ınea en un solocuadro, y es lo opuesto a la exploraci´n entrelazada, donde la imagen se genera a trav´s de dos cuadros, o euno que contiene las l´ ıneas pares y otro con las impares. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 24. 12 1.6 Problemas1.6 ProblemasProblema 1.1. Busque un ejemplo de se˜al para cada una de las 32 posibles ncombinaciones de las caracter´ ısticas de las se˜ales indicadas en la Tabla 1.1. nProblema 1.2. Una se˜al puede clasificarse seg´n cinco criterios: n u N´mero de variables u (Una variable o Multiples variables) Dimensi´n del valor o (Escalar o Vectorial ) Variables independientes (Discretas o Continuas ) Valores de la se˜al n (Discretas o Continuas ) Naturaleza estad´ ıstica (Determinista o Aleatoria )Utilice las letras may´sculas indicadas en negrita para identificar las caracter´ u ısticas delas se˜ales a continuaci´n. Si alguna caracter´ n o ıstica no se aplica o puede interpretarse con ıquelo con ∗.cualquier valor de la propiedad, ind´ Se˜al n Caracter´ ıstica N´m. Variables (U/M/∗) ıstica (D/A/∗) Dimensi´n (E/V/∗) Variables (D/C/∗) Valores (D/C/∗) o Estad´ u Imagen tomada por una c´mara digital a color a Registro mensual de la posici´n de o una bandada de aves migratorias Se˜ales de salida de un micr´fono est´reo n o e Se˜al digital n Se˜al anal´gica n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 25. Cap´ ıtulo 2Se˜ ales y Sistemas de nVariable Discreta2.1 Se˜ ales de variable discreta nSea x(n) una se˜al de variable discreta, es decir, una funci´n definida para n entero. La n ofigura 2.1 muestra una t´ıpica representaci´n gr´fica de una se˜al de este tipo. A n se le o a ndenomina n´mero de muestra y a x(n) la n-´sima muestra de la se˜al. u e n x(n) n −1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 2.1: Representaci´n gr´fica de una funci´n real de variable discreta x(n). o a oN´tese que x(n) no est´ definida para n no entero. Un error com´n es considerar que la o a use˜al es cero “entre” las muestras, cuando en realidad all´ simplemente la funci´n no est´ n ı o adefinida. La suposici´n de que la se˜al es cero entre muestras es v´lido solo para una o n ase˜al de variable real x(t), que es otro concepto diferente. nAdem´s de la representaci´n gr´fica se utilizan aqu´ otras tres notaciones: a o a ı 1. Funcional:  1  para n = 1  x(n) = 5−n para 2 ≤ n ≤ 4   0 el resto Esta representaci´n es la forma m´s compacta de representar se˜ales cuyo compor- o a n tamiento puede ser expresado directamente por expresiones algebraicas cerradas. 13
  • 26. 14 2.1 Se˜ales de variable discreta n 2. Tabular n . . . -1 0 1 2 3 4 5 . . . x(n) . . . 0 0 1 3 2 1 0 . . . En programas computacionales como MatLab[12] u Octave[5] las se˜ales se repre- n sentan con esta notaci´n, donde las dos filas de la tabla se interpretan como dos o arreglos de datos independientes. 3. Como secuencia. Una secuencia de duraci´n infinita con el origen en n = 0 (indicado con “↑”) se o representa como x(n) = {. . . , 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .} ↑ Si la secuencia es 0 para n < 0 se suele representar como x(n) = {0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .} ↑ y si es finita x(n) = {0, 1, 3, 2, 1} ↑ Si la secuencia inicia en cero, entonces usualmente se omite la flecha: x(n) = {0, 1, 3, 2, 1} Por su brevedad y simpleza notacional, ´sta ser´ la representaci´n de se˜ales de e a o n preferencia en el presente texto.2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ ales de variable discreta nSe describen a continuaci´n algunas transformaciones elementales para se˜ales de variable o nindependiente discreta (o tiempo discreto). Estas transformaciones son la base de opera-ciones m´s complejas en el procesamiento digital de se˜ales y se utilizar´n a menudo en a n a´ste y los siguientes cap´e ıtulos.DesplazamientoLa se˜al x(n) se desplaza k muestras sustituyendo la variable n por n − k. Si k > 0 la nse˜al se retarda k muestras y si k < 0 la se˜al se adelanta k muestras. n nEn la manipulaci´n fuera de l´ o ınea (off-line) ambos tipos de desplazamiento son posibles;sin embargo, en sistemas de tiempo real o en l´ ınea (on-line), solo el retraso de la funci´n oes realizable.Ejemplo 2.1 Utilizando desplazamientos exprese el escal´n unitario u(n) en t´rminos o ede una suma de impulsos δ(n) desplazados.Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 27. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 15 ∞ u(n) = δ(n) + δ(n − 1) + δ(n − 2) + . . . = δ(n − i) i=0 2.1Reflexi´n oConsiste en “plegar” la se˜al x(n) en el instante n = 0, sustituyendo la variable n por su ninverso aditivo −n.N´tese que las operaciones de reflexi´n y desplazamiento no son conmutativas, es decir, o ono es lo mismo reflejar una se˜al y luego retardarla k unidades que retardar la se˜al y n nluego reflejarla, puesto que: x((−n) − k) = x(−n − k) = x(−(n − k)) = x(−n + k) Desplazamiento, Reflexi´n, o Reflexi´n o DesplazamientoEscalado de variable o submuestreoEn el escalado de variable o submuestreo (en ingl´s downsampling) se sustituye la variable e +discreta n por κn con κ ∈ IN .Si la se˜al anal´gica original xa (t) fue muestreada de forma homog´nea con el intervalo n o ede muestreo T entonces x(n) = xa (nT ), de donde se deriva que x(κn) = xa (n(κT )).Esto implica que el submuestreo equivale a utilizar un intervalo de muestreo de mayorduraci´n, igual a κT . oSuma, multiplicaci´n y escalado de secuencias oTodas estas operaciones afectan la amplitud de las muestras de una secuencia. • Escalado de amplitud: y(n) = Ax(n) • Suma de secuencias: y(n) = x1 (n) + x2 (n) • Producto: y(n) = x1 (n)x2 (n)Ejemplo 2.2 Dadas las secuencias x1 (n) = ur (n) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} x2 (n) = (−1)n ur (n) = {0, −1, 2, −3, 4, −5, 6, . . .} x3 (n) = {0, 0, 1} c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 28. 16 2.1 Se˜ales de variable discreta nCalcule la secuencia x4 (n) = 2x3 (2 − n) − x1 (2n − 1) + x2 (4 − n)u(n)Soluci´n: El primer t´rmino 2x3 (2−n) corresponde a una reflexi´n seguida por un atraso o e o(de la reflexi´n), escalado por un factor 2. Esto resulta en o 2x3 (2 − n) = {2} ↑El segundo t´rmino representa un submuestreo retrasado: e x1 (2n − 1) = {0, 1, 3, 5, 7 . . .} ↑El primer factor del tercer t´rmino contiene una inversi´n atrasada: e o x2 (4 − n) = {. . . , 6, −5, 4, −3, 2, −1, 0} ↑y al multiplicarlo por el escal´n unitario u(n) se eliminan todas las muestras anteriores a on = 0: x2 (4 − n)u(n) = {4, −3, 2, −1, 0} ↑Finalmente, se deben combinar estos tres resultados parciales aditivamente: x4 (n) = {6, −4, −1, −6, −7, −9, −11, −13 . . .} ↑ 2.22.1.2 Clasificaci´n de se˜ ales de variable discreta o nLa tabla 2.1 presenta cinco propiedades que caracterizan a las se˜ales de variable discreta. n Tabla 2.1: Propiedades de se˜ales de variable discreta. n Propiedad Clasificaci´n o Energ´ ıa Se˜al de energ´ n ıa Se˜al n de potencia Periodicidad Se˜al peri´dica n o Se˜al n aperi´dica o Simetr´ ıa Se˜al sim´trica n e Se˜al n asim´trica e Acotaci´n o Se˜al acotada n Se˜al n no acotada Longitud Se˜al finita n Se˜al n infinita c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 29. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 17 v(t)v ∗ (t) |v(t)|2 p(t) = = p(t) = i(t)i∗ (t)R = |i(t)|2 R i(t) R R t t v (t) R e(t) = p(τ ) dτ e(t) = p(τ ) dτ −∞ −∞ t t 1 2 =R |i(τ )|2 dτ = |v(τ )| dτ −∞ R −∞ Figura 2.2: Potencia instant´nea p(t) y energ´ e(t) de una se˜al anal´gica. a ıa n oSe˜ ales de energ´ y potencia n ıaLa figura 2.2 muestra el c´lculo de potencia instant´nea p(t) y de energ´ disipada e(t) a a ıaen un circuito el´ctrico simple. El valor de resistencia R representa una constante que eunicamente repercutir´ en factores de escala de las funciones p(t) y e(t), es decir, el valor´ ade R no altera la forma de p(t) o e(t).Usualmente, a las funciones de forma |f (t)|2 se les denomina entonces funciones de poten- tcia de f (t) y a su integral hasta el instante t, −∞ |f (t)|2 dt, funci´n de energ´a de f (t), o ıpor la similitud con las funciones de energ´ y potencia en el circuito mostrado (asuma ıapor ejemplo R = 1 Ω).De forma an´loga, para una se˜al de variable discreta x(n) se define su energ´a total como a n ı ∞ ∞ ∗ E= x(n)x (n) = |x(n)|2 n=−∞ n=−∞donde el uso de la magnitud de la se˜al permite aplicar la definici´n a se˜ales de valor n o ncomplejo.Si E es finita entonces a x(n) se le denomina se˜al de energ´a. Muchas se˜ales de energ´ n ı n ıainfinita poseen potencia promedio finita: N 1 P = lim |x(n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−NEn caso de que P sea finita, se dice que x(n) es una se˜al de potencia. nSi se define la energ´ EN de x(n) en un intervalo finito como ıa N EN = |x(n)|2 n=−Nentonces E = lim EN N →∞y la potencia promedio puede entonces tambi´n expresarse como e 1 P = lim EN N →∞ 2N + 1con lo que se deriva que si E es finita entonces P = 0 y a su vez que si P > 0 entoncesE → ∞, o en otras palabras, toda se˜al de potencia tiene energ´ infinita. n ıa c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 30. 18 2.1 Se˜ales de variable discreta nEjemplo 2.3 Especifique si el escal´n unitario u(n), la rampa ur (n) y la se˜al expo- o n jω0 nnencial x(n) = Ae son se˜ales de energ´ o potencia. n ıaSoluci´n: o 1. Si x(n) = u(n) entonces N 1 P = lim |u(n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−N N 1 = lim 1 N →∞ 2N + 1 n=0 N +1 1 = lim = N →∞ 2N + 1 2 lo que implica que u(n) es una se˜al de potencia. n 2. Para la se˜al rampa unitaria ur (n) se tiene que n N 1 P = lim |ur (n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−N N 1 = lim n2 N →∞ 2N + 1 n=0 1 N (N + 1)(2N + 1) = lim =∞ N →∞ 2N +1 6 por lo que no es ni se˜al de energ´ ni se˜al de potencia al ser tanto E como P n ıa n infinitas. 3. La se˜al x(n) = Aejω0 n , A ∈ IR, tiene una potencia media n N 1 P = lim |u(n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−N N 1 = lim |A|2 N →∞ 2N + 1 n=0 1 |A|2 = lim (N + 1)|A|2 = N →∞ 2N + 1 2 y es por lo tanto una se˜al de potencia. n 2.3Se˜ ales acotadas y no acotadas nUna se˜al x(n) se dice ser acotada (en ingl´s bounded signal ) si existe un n´mero real n e upositivo finito M tal que |x(n)| < M para todo n. Por el contrario, si la magnitudde cualquier muestra es infinita, entonces la se˜al no es acotada. Esta propiedad es nfundamental para el concepto de estabilidad de sistemas, que se revisar´ con detalle aposteriormente. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 31. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 19Se˜ ales peri´dicas y aperi´dicas n o oUna se˜al es peri´dica con periodo N (N > 0) si y solo si n o x(n + N ) = x(n), para todo n (2.1)El valor m´s peque˜o de N para el que se cumple lo anterior se denomina periodo funda- a nmental . Si no existe ning´n N que satisfaga (2.1) la se˜al es entonces aperi´dica. u n oSe demostrar´ en la siguiente secci´n como ejemplo particular que la se˜al x(n) = a o n kcos(2πf0 n) es peri´dica si y solo si f0 es un n´mero racional f0 = N , donde si k y N o uson primos relativos entonces el periodo es exactamente N .Si una se˜al peri´dica no toma valores infinitos (es decir, es una se˜al acotada) entonces n o nes a su vez una se˜al de potencia, por ser su potencia promedio finita e igual al promedio nen un periodo: N −1 1 P = |x(n)|2 N n=0Se˜ ales pares e impares nUna se˜al es sim´trica o par si n e x(n) = x(−n) (2.2)Se dice ser asim´trica o impar si e x(−n) = −x(n) (2.3)en cuyo caso siempre debe cumplirse que x(0) = 0.As´mase que toda se˜al x(n) se puede expresar como la suma de una se˜al par xp (n) y u n notra se˜al impar xi (n), de forma que n x(n) = xp (n) + xi (n) (2.4)Considerando la naturaleza par e impar de las componentes se debe cumplir x(−n) = xp (−n) + xi (−n) = xp (n) − xi (n) (2.5)Sumando y restando (2.4) y (2.5) se despeja x(n) + x(−n) x(n) − x(−n) xp (n) = xi (n) = (2.6) 2 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 32. 20 2.1 Se˜ales de variable discreta nEjemplo 2.4 Dada una se˜al x(n) = {0, 1, 2} encuentre sus componentes par e impar. n ↑Soluci´n: oPara calcular la componente par se realiza la suma de la se˜al con su reflexi´n, y luego n ose divide por dos: x(n) = { 0, 0, 0, 1, 2 } ↑ x(−n) = { 2, 1, 0, 0, 0 } ↑ x(n) + x(−n) = { 2, 1, 0, 1, 2 } ↑ x(n)+x(−n) xp (n) = 2 = { 1, 1/2, 0, 1/2, 1 } ↑Para calcular la componente impar se le substrae la reflexi´n a la se˜al, y luego se divide o npor dos: x(n) = { 0, 0, 0, 1, 2 } ↑ x(−n) = { 2, 1, 0, 0, 0 } ↑ x(n) − x(−n) = { −2, −1, 0, 1, 2 } ↑ x(n)−x(−n) xi (n) = 2 = { −1, −1/2, 0, 1/2, 1 } ↑Se comprueba directamente que se cumple x(n) = xp (n) + xi (n). 2.4Se˜ ales herm´ n ıticas y anti-herm´ ıticasUna se˜al de valor complejo se denomina herm´ n ıtica (sim´trica conjugada o par conjugada) esi cumple x(n) = x∗ (−n) (2.7)de lo que se deduce que |x(n)| = |x(−n)| Re{x(n)} = Re{x(−n)}es decir, tanto la magnitud como la parte real de una se˜al herm´ n ıtica tienen simetr´ par. ıaPor otro lado arg x(n) = − arg x(−n) Im{x(n)} = − Im{x(−n)}lo que indica que el argumento (´ngulo o fase) y la parte imaginaria de una se˜al herm´ a n ıticason se˜ales impares. nLa se˜al es anti-herm´ n ıtica (asim´trica conjugada o impar conjugada) si cumple e x(n) = −x∗ (−n) (2.8) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 33. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 21de lo que se deduce que |x(n)| = |x(−n)| Im{x(n)} = Im{x(−n)}es decir, tanto la magnitud como la parte imaginaria de una se˜al anti-herm´ n ıtica tienensimetr´ par. Por otro lado ıa arg x(n) = π − arg x(−n)que no tiene exhibe ninguna simetr´ aunque si se multiplica ambos lados de la ecuaci´n ıa, opor dos se obtiene 2 arg x(n) = 2π − 2 arg x(−n) 2 arg x(n) = −2 arg x(−n)es decir, el doble del angulo tiene simetr´ impar. ´ ıaPara la parte real de la funci´n anti-herm´ o ıtica se cumple Re{x(n)} = − Re{x(−n)}es decir, tiene simetr´ impar. As´mase ahora que es posible realizar una descomposici´n ıa u olineal de cualquier funci´n x(n) de valor complejo en una componente herm´ o ıtica xh (n) yotra anti-herm´ ıtica x (n), de forma que x(n) = xh (n) + x (n) (2.9)Considerando la naturaleza herm´ ıtica y anti-herm´ ıtica de las componentes se debe cumplir x∗ (−n) = x∗ h (−n) + x∗ (−n) = xh (n) − x (n) (2.10)Sumando y restando (2.9) y (2.10) se despeja x(n) + x∗ (−n) x(n) − x∗ (−n) xh (n) = x (n) = (2.11) 2 22.2 Se˜ ales sinusoidales y el concepto de frecuencia nEl estudio cl´sico de se˜ales se basa en su representaci´n como combinaci´n de una serie a n o ode se˜ales elementales con un comportamiento conocido o predecible en los sistemas con nque se trabaja. En cursos anteriores se han introducido conceptos del an´lisis de Fourier, atransformada de Laplace, donde las se˜ales elementales se caracterizan por su frecuencia ny fase respecto a alguna referencia com´n. El concepto de frecuencia ser´ revisado en u alas siguientes secciones, donde se apreciar´n las diferencias que existen entre los dominios adiscreto y continuo. El punto de partida para el an´lisis ser´n la funciones sinusoidales, a acomo representantes espectrales “puras”. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 34. 22 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia n2.2.1 Se˜ al sinusoidal continua nUna oscilaci´n arm´nica simple se describe matem´ticamente a trav´s de la se˜al continua o o a e n[15]: xa (t) = A cos(Ωt + θ), −∞ < t < ∞ (2.12)donde el sub´ındice a indica que es una se˜al anal´gica. A representa la amplitud de n ola se˜al, Ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s) y θ es la fase en nradianes. Es tambi´n com´n utilizar la frecuencia F en ciclos por segundo o Hertz (Hz) e ucon Ω = 2πFcon lo que (2.12) se puede expresar como xa (t) = A cos(2πF t + θ), −∞ < t < ∞ .Si F es constante, entonces xa es peri´dica o xa (t + Tp ) = xa (t)con per´ ıodo fundamental Tp = 1/F (figura 2.3). x(t) A A cos θ 0 t Tp = 1/F Figura 2.3: Ejemplo de una se˜al anal´gica sinusoidal. n o2.2.2 Se˜ al sinusoidal discreta nLa se˜al sinusoidal en tiempo discreto se expresa como n x(n) = A cos(ωn + θ), −∞ < n < ∞ (2.13)con la variable entera n ∈ Z (tambi´n denominada n´mero de muestra), A la magnitud, e uω es la frecuencia en radiantes por muestra y θ la fase en radianes. De forma similar alcaso continuo, puede utilizarse ω = 2πf para reescribir (2.13) como x(n) = A cos(2π f n + θ), −∞ < n < ∞ . (2.14) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 35. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 23En este caso las dimensiones de la frecuencia son ciclos por muestra, y tal como estasunidades lo indican, usualmente tiene valores menores que la unidad. La figura 2.4 muestraun ejemplo con f = 1/12 y θ = π/3. x(n) n Figura 2.4: Ejemplo de una se˜al sinusoidal discreta (ω = π/6 y θ = π/3) [15]. nPeriodicidad de un sinusoide discretoPor definici´n una se˜al de variable discreta x(n) es peri´dica con periodo N (N > 0) si o n oy solo si x(n + N ) = x(n) para todo n (2.15)El menor valor de N para el que se cumple (2.15) se denomina periodo fundamental . Unase˜al sinusoidal de frecuencia f0 es peri´dica si n o cos (2π f0 (N + n) + θ) = cos (2π f0 n + θ)lo que se cumple solo si existe un entero k tal que 2π f0 N = 2kπo, en otros t´rminos e k f0 = (2.16) Nque es siempre un n´mero racional. Esto quiere decir, que una se˜al sinusoidal discreta u ncon un valor irracional de frecuencia no es peri´dica. oPara determinar el periodo fundamental de una se˜al sinusoidal se expresa su frecuencia ncomo en (2.16) y se simplifican los factores comunes de tal forma que k y N formenn´meros primos relativos. Por ejemplo si f1 = 5/32 = 0,15625 el periodo fundamental ues N = 32, pero si la frecuencia es f2 = 4/32 = 0,125 el periodo fundamental es N = 8(figura 2.5). Esto quiere decir que a´n cuando los valores de frecuencia se encuentren urelativamente cerca, sus periodos pueden cambiar radicalmente. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 36. 24 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia n x(n) x(n) n n (a) (b)Figura 2.5: Comparaci´n de dos frecuencias cercanas en se˜ales de variable discreta. (a) Fre- o n cuencia f = 5/32, periodo N = 32. (b) Frecuencia f = 4/32, periodo N = 8. La l´ ınea punteada denota una se˜al continua con frecuencia equivalente para simpli- n ficar la comparaci´n. oEquivalencia de frecuencias en sinusoides discretosConsid´rese de nuevo la se˜al sinusoidal cos(ω0 n + θ). Es f´cil de obtener que: e n a cos ((ω0 + 2π)n + θ) = cos(ω0 n + 2πn + θ) = cos(ω0 n + θ)por lo que todas las secuencias sinusoidales xk (n) = A cos(ωk n + θ), k = 0, 1, 2, . . .con ωk = ω0 + 2kπson id´nticas. Por otro lado, las secuencias de cualesquiera dos se˜ales sinusoidales discre- e n 1 1tas con frecuencias en el rango −π ≤ ω ≤ π (´ − 2 ≤ f ≤ 2 ) son diferentes. Combinando olos resultados anteriores se obtiene que cualquier secuencia sinusoidal de frecuencia |ω| > π 1 1(´ |f | > 2 ) tiene una se˜al equivalente con |ω| ≤ π (´ |f | ≤ 2 ). A las frecuencias |ω| ≤ π o n o 1(´ |f | ≤ 2 ) se les considera frecuencias fundamentales y a las frecuencias |ω| > π (´ o o 1|f | > 2 ) se les denomina alias.Equivalencia de frecuencias entre sinusoides continuos y discretosPara analizar la relaci´n entre frecuencias continuas y discretas as´mase que una se˜al o u nanal´gica xa (t) = cos(2πF t) se muestrea cada Ts unidades de tiempo para dar origen a la ose˜al en tiempo discreto x(n) = xa (nTs ) = cos(2πf n). La igualdad es posible solo si los nargumentos de las se˜ales cosenoidales son iguales, por lo que n ! 2πf n = 2πF nTs c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 37. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 25y definiendo la frecuencia de muestreo Fs = 1/Ts entonces F f= Fsde donde se deriva el nombre de frecuencia normalizada para f .De modo similar se deriva para las frecuencias angulares con Ωs = 2πFs que Ω ω = 2π ΩsTasa m´xima de oscilaci´n a oConsid´rese ahora la secuencia sinusoidal x0 (n) = cos(ω0 n) para el rango de frecuencias eω0 ∈ [0, π]. La figura 2.6 muestra algunos casos particulares como ejemplo. Se puedeapreciar que la tasa de oscilaci´n aumenta conforme la frecuencia aumenta. o x(n) x(n) x(n) n n n ω0 = 0 (f = 0) ω0 = π/6 (f = 1/12) ω0 = π/3 (f = 1/6) x(n) x(n) n n ω0 = π/2 (f = 1/4) ω0 = π (f = 1/2) Figura 2.6: Secuencia sinusoidal con diferentes frecuencias.Ahora, para analizar el caso de frecuencias angulares mayores que π consid´rese el caso eespecial de ω1 = 2π − ω0 . Si ω0 ∈ [0, π] entonces ω1 ∈ [π, 2π] de tal forma que si ω0aumenta ω1 disminuye. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 38. 26 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia nDebido a que x1 (n) = A cos(ω1 n) = A cos((2π − ω0 )n) = A cos(−ω0 n) = x0 (n)la frecuencia angular ω1 es un alias de ω0 . De aqu´ se concluye que si la frecuencia angular ıaumenta de π hacia 2π la tasa de oscilaci´n se reduce, al representar estos alias frecuencias oque bajan de π a 0.De forma similar al caso de senoides de variable continua puede utilizarse la identidad deEuler en el caso discreto para introducir el concepto de frecuencia negativa: A j(ωn+θ) A −j(ωn+θ) x(n) = A cos(ωn + θ) = e + e 2 2Debido a que las se˜ales sinusoidales de variable discreta con frecuencias separadas por nun entero m´ltiplo de 2π son id´nticas, entonces todas las frecuencias en un intervalo u e[ω0 , ω0 + 2π] representan todas las frecuencias existentes para estas se˜ales. En otras npalabras, el rango de frecuencias distinguibles para sinusoides de variable discreta esfinito con un ancho de banda de 2π. Usualmente se utilizan los rangos de frecuencias 1angulares ω ∈ [−π, π] (f ∈ [− 2 , 1 ]) o ω ∈ [0, 2π] (f ∈ [0, 1]) y reciben el nombre de rango 2fundamental .2.2.3 Exponenciales complejos relacionados arm´nicamente oLas se˜ales de variable continua n sk (t) = ejkΩ0 t = ej2πkF0 t k = 0, ±1, ±2, . . .se denominan se˜ales exponenciales relacionadas arm´nicamente. El periodo fundamen- n otal de la se˜al sk (t) es 1/(kF0 ) = Tp /k, lo que equivale a una frecuencia fundamental de nkF0 . Puesto que una se˜al peri´dica con periodo Tp /k es tambi´n peri´dica con periodo n o e ok(Tp /k) = Tp con k ∈ Z entonces todas las se˜ales sk (t) tienen como periodo com´n Tp . El n unombre proviene de la relaci´n de estas funciones con las oscilaciones de una cuerda, que otienen relaciones “arm´nicas” (mantienen los nodos externos fijos) cuando las frecuencias oson m´ltiplos enteros de una frecuencia fundamental. uEn este caso de variable continua, para k1 = k2 se cumple siempre que sk1 (t) = sk2 (t), o enotros t´rminos, existe un n´mero infinito de se˜ales complejas relacionadas arm´nicamente e u n o j2πF0 tcon e .Para el caso de se˜ales exponenciales complejas de variable discreta, puesto que son se˜ales n nperi´dicas solo si su frecuencia es racional, se escoge f0 = 1/N y se define el conjunto de ose˜ales relacionadas arm´nicamente como n o sk (n) = ejkω0 n = ej2πkf0 n k = 0, ±1, ±2, . . . (2.17)A diferencia del caso continuo se tiene para k1 = k + N (k+N ) kn kn sk+N (n) = ej2π N n = ej2π N ej2πn = ej2π N = sk (n) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 39. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 27Esto significa que en el caso discreto solo existen N se˜ales complejas relacionadas arm´ni- n ocamente, donde todos los miembros del conjunto descrito en (2.17) tienen como periodocom´n N muestras. u2.3 Sistemas en tiempo discretoA los dispositivos que operan sobre se˜ales de variable discreta (o tiempo discreto) se les ndenomina sistemas discretos. En general, reciben una se˜al de entrada x(n) para producir nuna se˜al de salida y(n). Se dice que el sistema transforma x(n) en y(n), lo que se expresa ncomo y(n) = T [x(n)]donde T [·] representa al operador de transformaci´n o procesamiento realizado por el osistema sobre x(n) para producir y(n).2.3.1 Descripci´n entrada-salida de sistemas oLa descripci´n de entrada-salida define la relaci´n entre x(n) y y(n). La estructura interna o odel sistema es desconocida o ignorada, es decir, el sistema se considera como una cajanegra cuyo funcionamiento interno no interesa, sino el comportamiento espec´ ıfico antecierta entrada (figura 2.7). Sistema x(n) y(n) Discreto Figura 2.7: Entrada-salida de un sistema discretoEjemplo 2.5 Determine la salida de los siguientes sistemas para la entrada 3 − |n| para − 2 ≤ n ≤ 2 x(n) = 0 en el resto 1. y(n) = x(n) 2. y(n) = x(n − 2) 3. y(n) = x(n + 1) 4. y(n) = 1 [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)] 3 5. y(n) = max {x(n + 1), x(n), x(n − 1)} 6. y(n) = n k=−∞ x(k)Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 40. 28 2.3 Sistemas en tiempo discreto 1. Al sistema y(n) = x(n) se le denomina identidad , pues su salida es id´ntica a la e entrada: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1} ↑ 2. El sistema y(n) = x(n − 2) retarda la entrada dos muestras: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1}. ↑ 3. El sistema y(n) = x(n + 1) adelanta la se˜al una unidad y solo puede ser realizado n fuera de l´ ınea, por ser imposible en un sistema de tiempo real determinar el valor de una muestra en el futuro: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1}. ↑ 4. El filtro de media mobil y(n) = 1 [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)] calcula el promedio 3 de tres muestras: y(n) = {1/3, 1, 2, 7/3, 2, 1, 1/3}. ↑ 5. El filtro de rango y(n) = max {x(n + 1), x(n), x(n − 1)} entrega el valor m´ximo a de la muestra actual, la anterior y la futura: y(n) = {1, 2, 3, 3, 3, 2, 1}. Este filtro ↑ puede considerarse como filtro paso bajos. 6. El acumulador y(n) = n k=−∞ x(k) realiza la “integraci´n” discreta de la entrada: o y(n) = {1, 3, 6, 8, 9, 9, . . .}. N´te que el acumulador puede reescribirse como o ↑ n n−1 y(n) = x(k) = x(k) + x(n) = y(n − 1) + x(n) k=−∞ k=−∞ y(n−1) 2.5En general, la salida y(n) en el instante n puede depender no solo de la muestra actualx(n), sino tambi´n de la se˜al en instantes anteriores y posteriores a n. Adem´s, la e n asalida de un sistema puede depender de un estado interno. Por ejemplo, en el acumuladory(n) = y(n − 1) + x(n) si una secuencia de entrada se aplica en dos instantes de tiempodistintos, las dos reacciones del sistema difieren, dependiendo de la historia anterior delsistema “y(n−1)”. Para determinar la salida del acumulador en un instante n0 es necesarioconocer y(n0 − 1). El c´lculo de la secuencia de salida y(n) para todo instante n > n0 atiene como condici´n inicial al valor y(n0 − 1), que en cierta forma resume todo el pasado odel sistema.Si todas las condici´nes iniciales son cero se dice que el sistema estaba en reposo. Siempre ose asume que en n = −∞ todo sistema estuvo en reposo. La salida de un sistema enreposo puede expresarse entonces utilizando unicamente la se˜al de entrada, puesto que ´ npor definici´n todas las salidas anteriores son cero. oEn la literatura se encuentra el t´rmino condiciones de reposo iniciales (IRC, Initial Rest eConditions) para indicar que se asume y(n) = 0 para n < n0 donde la entrada deja de sercero justo en n0 y x(n) = 0 para n < n0 . Adem´s, se utiliza el concepto de condiciones ade reposo finales (FRC, Final Rest Conditions) para indicar el caso contrario, es decir, seasume que y(n) = 0 para n > n0 , y la entrada se hace cero justo despu´s de n0 , es decir, ex(n) = 0 para n > n0 . c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 41. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 29Ejemplo 2.6 Determine la salida del sistema acumulador para la entrada x(n) = nu(n)con condici´n inicial y(−1) = α. oSoluci´n: o n −1 n n(n + 1) y(n) = x(k) = x(k) + k =α+ k=−∞ k=−∞ k=0 2 y(−1)=α n(n+1) 2Recuerde que n k=0 k = 1 + 2 + 3 + ... + n n k=0 k = n + n − 1 + n − 2 + ... + 1 n 2 k=0 k = n+1 + n + 1 + n + 1 + ... + n + 1 n 2 k=0 k = n(n + 1) n n(n+1) k=0 k = 2 2.62.3.2 Diagramas de bloquesEn el cap´ ıtulo anterior se indic´ que un sistema est´ conformado por subsistemas, es decir, o abloques de procesamiento de se˜al con tareas espec´ n ıficas dentro del sistema total. Esteconcepto se aplica recursivamente, de tal modo que un subsistema se descompone a suvez en otros subsistemas m´s sencillos, que a su vez pueden estar constituidos por otros asubsistemas, y as´ sucesivamente, hasta llegar a ciertos componentes elementales descritos ıa continuaci´n. oSumadorEl sumador es un bloque sin memoria, que se representa como lo indica la figura 2.8. Tal x1 (n) y (n) = x1 (n) + x2 (n) x2 (n) Figura 2.8: Diagrama de un sumador.y como lo indica su nombre, su tarea es sumar dos se˜ales o m´s se˜ales muestra por n a nmuestra. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 42. 30 2.3 Sistemas en tiempo discretoMultiplicador por constanteEl multiplicador por constante es un bloque sin memoria, que se representa como lo indicala figura 2.9. Se utiliza para escalar toda una secuencia por un mismo factor. x(n) a y (n) = ax(n) Figura 2.9: Diagrama de un multiplicador por constante.Multiplicador de se˜ al nEl multiplicador de se˜al es un bloque sin memoria, que se representa como lo indica la nfigura 2.10, y que genera una nueva secuencia a partir de los productos entre muestras de x1 (n) y (n) = x1 (n)x2 (n) x2 (n) Figura 2.10: Diagrama de un multiplicador de se˜ales. nlas se˜ales de entrada correspondientes a un mismo instante n. nRetardador de un elementoEl retardador es un bloque con memoria de longitud 1, representado como lo indicala figura 2.11. Es uno de los elementos de procesamiento digital m´s utilizados. Su a x(n) y (n) = x(n − 1) z −1 Figura 2.11: Diagrama de elemento retardador.s´ ımbolo est´ muy relacionado con las propiedades de la transformada z que se analizar´n a aposteriormente.Adelantador de un elementoEl adelantador no es realizable f´ısicamente y solo existe en sistemas de tratamiento dese˜ales fuera de l´ n ınea. Se representa como lo indica la figura 2.12. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 43. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 31 x(n) y (n) = x(n + 1) z Figura 2.12: Diagrama de elemento adelantador.Ejemplo 2.7 Realice el diagrama de bloques para 1 1 1 y(n) = y(n − 1) + x(n) + x(n − 1) 4 2 2Soluci´n: oN´tese primero que esta expresi´n puede reescribirse de la siguiente forma: o o 1 1 y(n) = y(n − 1) + (x(n) + x(n − 1)) (2.18) 4 2con lo que se deriva f´cilmente el diagrama mostrado en la figura 2.13. a 1 y (n) 2 x(n) z −1 1 z −1 4 Figura 2.13: Diagrama de bloques de la ecuaci´n 2.18. o 2.72.3.3 Clasificaci´n de los sistemas discretos oUn sistema se dice tener una determinada propiedad, si dicha propiedad se cumple paratodas las se˜ales de entrada posibles. Un contraejemplo basta para descartar que un sis- ntema posea una determinada propiedad. La tabla 2.2 resume las propiedades de sistemasdiscretos, que se detallan a continuaci´n. o Tabla 2.2: Propiedades de sistemas discretos. Propiedad Clasificaci´n o Memoria Sistema est´tico a Sistema din´mico a Varianza Sistema variante en el tiempo Sistema invariante en el tiempo Linealidad Sistema lineal Sistema no lineal Causalidad Sistema causal Sistema no causal Estabilidad Sistema estable Sistema inestable c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 44. 32 2.3 Sistemas en tiempo discretoSistemas est´ticos y din´micos a aEn un sistema est´tico, o sin memoria, la salida y(n) depende solo de la entrada x(n) en ael mismo instante n, y no de las entradas pasadas o futuras. Todos los otros casos sonsistemas din´micos. aSi la salida y(n) depende de las entradas de x(n − N ) a x(n) se dice que el sistema tienememoria de duraci´n N , donde N puede ser finita o infinita. oPor ejemplo, y(n) = ax(n) + nx2 (n) + bx3 (n) representa un sistema est´tico, mientras que a ny(n) = k=0 ak x(n − k) es un sistema din´mico. aSistemas variantes e invariantes en el tiempoUn sistema T en reposo es invariante en el tiempo o invariante al desplazamiento si y solosi T T x(n) → y(n) ⇒ x(n − k) → y(n − k)En el diagrama de bloques de la figura 2.14 el sistema T es invariante en el tiempo siy solo si la salida d(n) es cero para todas las entradas x(n) y para todos los valores deretardo k. T z −k x(n) d(n) −k T z Figura 2.14: Verificaci´n de la invarianza en el tiempo. oEjemplo 2.8 Determine si los siguientes sistemas son o no invariantes en el tiempo: 1. y(n) = x(n) − x(n − 1) 2. y(n) = x(n) cos(ω0 n)Soluci´n: oEl sistema y(n) = x(n) − x(n − 1) es invariante en el tiempo. Para demostrarlo secalcula la respuesta del sistema en reposo a la entrada desplazada x(n − k), que resultaen yk (n) = x(n − k) − x(n − k − 1). La respuesta a x(n), retrasada k muestras esy(n − k) = x(n − k) − x(n − k − 1). Como y(n − k) = yk (n) el sistema es invariante en eltiempo.El sistema modulador y(n) = x(n) cos(ω0 n) es variante en el tiempo, puesto que surespuesta yk (n) a x(n − k) es yk (n) = x(n − k) cos(ω0 n), y la repuesta a x(n), retardadak muestras es y(n − k) = x(n − k) cos(ω0 (n − k)) que es diferente a yk (n). 2.8 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 45. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 33Sistemas lineales y no linealesUn sistema es lineal si satisface el teorema de superposici´n, es decir, para cualesquiera odos constantes a1 , a2 y para toda se˜al x1 (n) y x2 (n) se cumple n T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 T [x1 (n)] + a2 T [x2 (n)] . (2.19)La figura 2.15 ilustra un esquema de verificaci´n de linealidad, donde el sistema es lineal osi y solo si para todo par de entradas x1 (n) y x2 (n) y para cualesquiera dos constantesa1 , a2 siempre la salidad d(n) es cero. a1 x1 (n) T a2 x2 (n) d(n) a1 T a2 T Figura 2.15: Verificaci´n de linealidad. oComo consecuencia de (2.19) todo sistema lineal cumple la propiedad multiplicativa o deescalado T [a1 x1 (n)] = a1 T [x1 (n)] (2.20)y la propiedad aditiva T [x1 (n) + x2 (n)] = T [x1 (n)] + T [x2 (n)] .El principio de superposici´n puede generalizarse para M se˜ales como o n M M T x(n) = ak xk (n) → y(n) = ak T [xk (n)] k=1 k=1De la propiedad de escalado se deduce adem´s que un sistema lineal en reposo con entrada acero (x(n) = 0, n ∈ Z) debe tener como salida una se˜al nula y(n) = 0. nSi para un sistema la propiedad de superposici´n no se cumple, entonces el sistema se odice ser no lineal.Ejemplo 2.9 Compruebe si los siguientes sistemas son lineales. 1. y(n) = nx(n) 2. y(n) = x(n2 ) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 46. 34 2.3 Sistemas en tiempo discreto 3. y(n) = x2 (n) 4. y(n) = Ax(n) + B 5. y(n) = ex(n)Soluci´n: o 1. Para el sistema 1 se obtiene primero la respuesta del sistema a una entrada igual a la suma ponderada de dos se˜ales x1 (n) y x2 (n), es decir, para una entrada total x(n) = n a1 x1 (n) + a2 x2 (n) y se obtiene yT (n) = n(a1 x1 (n) + a2 x2 (n)) = a1 nx1 (n) + a2 nx2 (n). Ahora, la suma ponderada de las salidas del sistema para x1 (n) y x2 (n) por separado es yS (n) = a1 y1 (n) + a2 y2 (n), con y1 (n) = nx1 (n) y y2 (n) = nx2 (n), lo que es igual a yS (n) = a1 nx1 (n) + a2 nx2 (n). Como yT (n) = yS (n) se puede afirmar que el sistema y(n) = nx(n) es lineal. 2. Para y(n) = x(n2 ) las salidas yT (n) = a1 x1 (n2 )+a2 x2 (n2 ) y yS = a1 x1 (n2 )+a2 x2 (n2 ) son id´nticas y por tanto el sistema es lineal. e 3. Para y(n) = x2 (n) la salida yT (n) = (a1 x1 (n) + a2 x2 (n))2 = a2 x2 (n) + a2 x2 (n) + 1 1 2 2 2 2 2 2 2a1 a2 x1 (n)x2 (n) y la salida yS (n) = a1 x1 (n) + a2 x2 (n) evidentemente son diferentes y por tanto el sistema no es lineal. 4. Para y(n) = Ax(n) + B la salida yT (n) = A(a1 x1 (n) + a2 x2 (n)) + B y la salida yS (n) = Aa1 x1 (n) + B + Ax2 (n) + B = Aa1 x1 (n) + Ax2 (n) + 2B difieren para todo B = 0 y por tanto el sistema, a pesar de su apariencia, no es lineal. 5. Para y(n) = ex(n) la salida yT = ea1 x1 (n)+a2 x2 (n) = ea1 x1 (n) ea2 x2 (n) y la salida yS = ea1 x1 (n) + ea2 x2 (n) son diferentes y por tanto el sistema tampoco es lineal. 2.9Sistemas causales y no causalesUn sistema es causal si y(n) depende unicamente de las entradas presentes y pasadas ´(x(n), x(n − 1), x(n − 2), . . .), y salidas pasadas (y(n − 1), y(n − 2), . . .), pero no de lasentradas o salidas futuras (x(n+1), x(n+2), . . .; y(n+1), y(n+2), . . .). En caso contrario,el sistema es no causal.Sistemas que funcionan “en l´ ınea” deben ser causales por la imposibilidad de determinarel valor de la entrada o la salida en el futuro.A una se˜al x(n) que es cero para n ≥ 0 y diferente de cero para n < 0 se le denomina nse˜al anticausal . Las implicaciones de la causalidad junto con la linealidad e invarianza nen el tiempo no son triviales, y se profundizar´ en ellas en los pr´ximos cap´ a o ıtulos.Sistemas estables e inestablesUn sistema arbitrario en reposo se denomina estable de entrada acotada - salida acotada(BIBO: bounded input – bounded output) si toda entrada acotada produce una salida c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 47. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 35acotada: T |x(n)| ≤ Mx < ∞ −→ |y(n)| ≤ My < ∞, ∀n ∈ ZBasta con que alguna entrada acotada produzca una salida no acotada (es infinita), paraque el sistema sea inestable.2.3.4 Interconexi´n de sistemas discretos oHay dos maneras fundamentales de interconectar sistemas discretos: interconexi´n en ocascada (o serie) e interconexi´n paralela (figura 2.16). La interconexi´n en cascada se o odescribe con sistemas de la forma: y(n) = T2 [T1 [x(n)]] = Tc [x(n)]En general, el orden de los bloques para la conexi´n en cascada es relevante. Sin embargo, osi los sistemas son lineales e invariantes en el tiempo entonces Tc es a su vez lineal einvariante en el tiempo, y T1 [T2 [·]] = T2 [T1 [·]]. La interconexi´n en paralelo se describe opor y(n) = T1 [x(n)] + T2 [x(n)] = Tp [x(n)] . y1 (n) T1 T1 T2 x(n) y1 (n) y (n) x(n) y (n) T2 y2 (n) (a) (b) Figura 2.16: Interconexi´n de sistemas discretos. (a) Cascada. (b) Paralelo o2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invarian- a tes en el tiempoEl an´lisis de sistemas se simplifica enormemente si estos son lineales e invariantes en el atiempo (LTI: Linear and Time Invariant).2.4.1 T´cnicas de an´lisis e aExisten dos m´todos b´sicos para el an´lisis del comportamiento de un sistema: e a a 1. Descomposici´n de la se˜al de entrada en se˜ales elementales, cuya respuesta es o n n conocida. 2. Soluci´n de la ecuaci´n de diferencias. o o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 48. 36 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo aLa soluci´n de la ecuaci´n de diferencias se revisar´ en la secci´n 2.5. o o a oEl concepto fundamental del an´lisis de sistemas lineales por descomposici´n es el si- a oguiente: sup´ngase que la entrada x(n) puede expresarse como una suma ponderada de ofunciones elementales {xk (n)} x(n) = ck xk (n) kdonde ck son los coeficientes de ponderaci´n o pesos de la descomposici´n de la se˜al x(n). o o nSi la respuesta del sistema en reposo a xk (n) es yk (n), es decir yk (n) = T [xk (n)]entonces con la propiedad de linealidad se obtiene y(n) = T [x(n)] = T ck xk (n) = ck T [xk (n)] = ck yk (n) k k kEn otras palabras, si el sistema es lineal, la respuesta y(n) del sistema a una entrada x(n)es igual a la suma ponderada de las repuestas yk (n) a cada una de las componentes xk (n)en que se puede descomponer x(n), donde adem´s los coeficientes ck de ponderaci´n de a olas salidas corresponden a los coeficientes de ponderaci´n de la entrada. oEn esta descomposici´n, la elecci´n de las funciones elementales depender´ de las carac- o o ater´ ısticas de las se˜ales a evaluar. Dos clases de funciones son usuales: impulsos (δ(n−k)) ny funciones exponenciales complejas ejωk n , esta ultima utiliz´ndose frecuentemente en el ´ allamado an´lisis frecuencial (ver cap´ a ıtulo 4). En los ultimos a˜os ha cobrado fuerza el uso ´ nde otras familias de funciones elementales caracterizadas a partir de la teor´ de wavelets, ıatema que sin embargo excede el marco de este curso.2.4.2 Descomposici´n de una se˜ al en impulsos o nUtilizando impulsos desplazados como funciones elementales puede expresarse cualquierse˜al x(n) como: n ∞ x(n) = x(k)δ(n − k) k=−∞Ejemplo 2.10 Descomponga la se˜al n x(n) = {0, 1, 2, −1, −1/2, 1} ↑en sus impulsos.Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 49. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 37Esta se˜al puede expresarse como n 1 x(n) = 1 · δ(n − 1) + 2 · δ(n − 2) − 1 · δ(n − 3) − · δ(n − 4) + 1 · δ(n − 5) 2 2.102.4.3 Convoluci´n oSi se denota con h (n, k) la respuesta del sistema a un impulso desplazado k unidadesδ(n − k) h (n, k) = T [δ(n − k)]entonces la salida de un sistema lineal puede calcularse con las repuestas elementales adichos impulsos desplazados: y(n) = ck yk (n) = x(k)h (n, k) k kdonde se han utilizado xk (n) = δ(n − k) como entradas elementales y por lo tanto loscoeficientes ck = x(k).Si el sistema es adem´s invariante en el tiempo, entonces con h(n) = T [δ(n)] se tiene que ah (n, k) = h(n − k) y por lo tanto ∞ y(n) = x(k)h(n − k) = x(n) ∗ h(n) k=−∞que se denomina sumatoria de convoluci´n. Se dice entonces que la respuesta del sistema oLTI y(n) a una entrada x(n) es igual a la convoluci´n de x(n) con la respuesta al impulso oh(n).Esto quiere decir que en un sistema LTI en reposo su respuesta a cualquier entrada puededeterminarse con solo conocer dicha entrada y la respuesta al impulso h(n).El c´lculo de la convoluci´n involucra cuatro pasos: a o 1. Reflexi´n de h(k) con respecto a k = 0 para producir h(−k). o 2. Desplazamiento del origen de h(−k) hacia el punto n que se desea calcular. 3. Multiplicaci´n de x(k) y h(n − k) para obtener la secuencia producto vn (k) = o x(k)h(n − k). 4. Suma de todos los valores de vn (k) para obtener y(n).Los pasos del 2 al 4 deben realizarse para todo instante n que se dese´ calcular. eEjemplo 2.11 Determine la respuesta a la se˜al de entrada n x(n) = {1, 2, 3, 1} ↑ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 50. 38 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo ade un sistema LTI con respuesta al impulso h(n) = {1, 2, 1, −1} ↑Soluci´n: oSiguiendo el procedimiento indicado, primero se calcula la reflexi´n de la respuesta al oimpulso h(−k) = {−1, 1, 2, 1} . ↑Los pasos siguientes se resumen en la tabla 2.3. Tabla 2.3: Ejemplo de convoluci´n de dos secuencias finitas. o 2. Desplazamiento 3. Multiplicaci´n o 4. Suma por x(k) = {1, 2, 3, 1} ↑ h(−1 − k)={−1, 1, 2, 1} v−1 ={0, 0, 0, 1, 0, 0, 0} y−1 =1 ↑ ↑ h(0 − k)={−1, 1, 2, 1} v0 ={0, 0, 2, 2, 0, 0} y0 =4 ↑ ↑ h(1 − k)={−1, 1, 2, 1} v1 ={0, 1, 4, 3, 0} y1 =8 ↑ ↑ h(2 − k)={−1, 1, 2, 1} v2 ={−1, 2, 6, 1} y2 =8 ↑ ↑ h(3 − k)={0, −1, 1, 2, 1} v3 ={0, −2, 3, 2} y3 =3 ↑ ↑ h(4 − k)={0, 0, −1, 1, 2, 1} v4 ={0, 0, −3, 1} y4 =-2 ↑ ↑ h(5 − k)={0, 0, 0, −1, 1, 2, 1} v5 ={0, 0, 0, −1} y5 =-1 ↑ ↑Con lo que resulta la se˜al de salida en n y(n) = {1, 4, 8, 8, 3, −2, −1} ↑ 2.11Ejemplo 2.12 Para el caso en que la entrada x(n) y la respuesta impulsional h(n) seande longitud finita, calcule la longitud de la salida en t´rminos de las longitudes de x(n) y eh(n).Soluci´n: oUna se˜al finita tiene longitud N si el intervalo m´s peque˜o con muestras diferentes de n a ncero tiene N muestras.Asuma que los ´ ındices menor y mayor de la entrada x(n) son ki y kf respectivamente, ylos de la respuesta impulsional h(n) son li y lf (figura 2.17).La longitud de x(n) es entonces Nx = kf − ki + 1, y la longitud de la respuesta impulsionales Nh = lf − li + 1. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 51. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 39 x(n) h(n) ki kf li lf Figura 2.17: ´ Indices de las se˜ales de entrada y repuesta impulsional. nEl desplazamiento menor nmin para el que puede haber salida es (figura 2.18): nmin = ki + li x(k) ki kf k h(n − k) −lf −li k nmin = ki + li Figura 2.18: Menor desplazamiento para el que puede haber salida.El desplazamiento mayor nmax para el que puede haber salida es (figura 2.19): nmax = kf + lfLa longitud de la se˜al de salida es entonces n Ny = nmax − nmin + 1 = (kf + lf ) − (ki + li ) + 1 + (1 − 1) = (kf − ki + 1) + (lf − li + 1) − 1 = Nx + Nh − 1es decir, el resultado de la convoluci´n tiene una longitud que es tan solo una muestra omenor que la suma de las longitudes de las dos se˜ales sobre las que ella opera. n 2.12En el ejemplo anterior se observa que para los valores nmin y nmax , es decir, los l´ ımites delintervalo de muestras donde existe salida no nula, es irrelevante qu´ funci´n representa la e oentrada y qu´ funci´n representa la respuesta al impulso del sistema. Esto indica cierta e o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 52. 40 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo a x(k) ki kf k h(n − k) −lf −li k nmax = kf + lf Figura 2.19: Mayor desplazamiento para el que puede haber salida.simetr´ en la convoluci´n. Con un simple cambio de variables es posible demostrar que ıa ola convoluci´n es de hecho totalmente conmutativa, y no solo el valor de sus ´ o ındices: ∞ ∞ y(n) = x(n) ∗ h(n) = x(k)h(n − k) = x(n − m)h(m) ↑ k=−∞ m=n−k m=−∞ ∞ = h(k)x(n − k) k=−∞ = h(n) ∗ x(n)Ejemplo 2.13 Encuentre a trav´s de la convoluci´n la respuesta de un sistema con e orespuesta exponencial al impulso: h(n) = an u(n), |a| < 1 .ante el escal´n unitario u(n). oSoluci´n: oObs´rvese que an = en ln a , con lo que se establece la relaci´n con los sistemas anal´gicos e o ode respuesta exponencial ha (t) = e−t/τ (figura 2.20). Para encontrar m´s detalles de esta arelaci´n as´mase que la se˜al ha (t) se discretiza en el tiempo con un intervalo de muestreo o u nT: ! T ha (nT ) = e−nT /τ = en ln a ⇒ ln a = − ⇒ a = e−T /τ τPuede observarse que este tipo de sistemas anal´gicos solo permiten a ≥ 0, mientras que olos sistemas discretos permiten adem´s a < 0 sin ninguna complejidad computacional aadicional.Para determinar la salida y(n) del sistema con la entrada escal´n unitario u(n) se utiliza o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 53. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 41 R vent (t) = δ(t) vsal (t) vsal = τ e−t/τ , 1 τ = RC C Figura 2.20: Circuito anal´gico con respuesta exponencial al impulso. ola sumatoria de convoluci´n: o ∞ ∞ y(n) = x(n − k)h(k) = u(n − k)h(k) (2.21) k=−∞ k=−∞Puesto que las secuencias producto son 0 para n < 0 entonces y(n) = 0 para n < 0.Evaluando entonces (2.21) para varios n se obtiene: y(0) = h(0) = 1 y(1) = h(0) + h(1) = 1 + a y(2) = h(0) + h(1) + h(2) = 1 + a + a2 . . . n n y(n) = h(k) = ak k=0 k=0Recordando n k k=0 a = 1 +a +a2 + . . . +an n k a k=0 a = a +a2 + . . . +an +an+1 (1 − a) n k=0 ak = 1 −an+1con lo que se deriva n 1 − an+1 ak = k=0 1−a 1Si |a| < 1 entonces lim an+1 = 0 lo que implica que y(∞) = 1−a . La figura 2.21 muestra n→∞un ejemplo de la respuesta para a = 0,9.N´tese la similitud con la respuesta del sistema anal´gico al escal´n continuo de la forma o o o −t/τk(1 − e ). M´s tarde en el curso se retomar´n estas similitudes. a a 2.13 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 54. 42 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo a x(n) 10 1 1−a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 n 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Figura 2.21: Respuesta al sistema exponencial con a = 0,9.2.4.4 Propiedades de la convoluci´n oConmutatividad y(n) = x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n) x(n) y (n) h(n) y (n) h(n) x(n) Figura 2.22: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de conmutatividad. o oAsociatividad [x(n) ∗ h1 (n)] ∗ h2 (n) = x(n) ∗ [h1 (n) ∗ h2 (n)] x(n) x(n) h1 (n) h2 (n) h1 (n) ∗ h2 (n) Figura 2.23: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de asociatividad. o oDistributividad x(n) ∗ [h1 (n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h1 (n) + x(n) ∗ h2 (n)Las tres propiedades pueden generalizarse para m´s de dos subsistemas. a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 55. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 43 h1 (n) x(n) y (n) x(n) y (n) h1 (n) + h2 (n) h2 (n) Figura 2.24: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de distributividad. o o2.4.5 Sistemas LTI causalesEn un sistema causal la salida en n = n0 depende solo de valores de entrada x(n) paran ≤ n0 , es decir, de valores pasados. Como ∞ ∞ −1 y(n0 ) = h(k)x(n0 − k) = h(k)x(n0 − k) + h(k)x(n0 − k) k=−∞ k=0 k=−∞ Muestras Muestras pasadas y futuras actualse deriva que h(k) = 0 para todo k ≤ −1, pues solo as´ la salida podr´ ser independiente ı ade entradas futuras. Dado que h(n) es la respuesta impulsional de un sistema LTI enreposo, h(n) = 0 para n < 0 es condici´n necesaria y suficiente para la causalidad. Un osistema es causal entonces si y solo si h(n) = 0, ∀n < 0.Si un sistema es causal entonces la convoluci´n puede simplificarse en o ∞ n y(n) = h(k)x(n − k) = x(k)h(n − k) k=0 k=−∞Generalizando, a una secuencia x(n) con x(n) = 0 para alg´n n < 0 se le denomina usecuencia no causal, y de lo contrario, secuencia causal. A secuencias con x(n) = 0para n ≥ 0 y con x(n) = 0 para alguna muestra con n < 0 se les denomina secuenciasanticausales.Si tanto la entrada x(n) como la respuesta impulsional son causales, entonces la convolu-ci´n se simplifica en: o n n y(n) = h(k)x(n − k) = x(k)h(n − k) k=0 k=0N´tese que esta respuesta es a su vez causal, es decir, y(n) = 0 para todo n < 0. o2.4.6 Estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempoUn sistema se dice estable si para toda entrada acotada su salida es tambi´n acotada: e |x(n)| ≤ Mx < ∞ → |y(n)| ≤ My < ∞ ∀n c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 56. 44 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo aDada la convoluci´n o ∞ y(n) = h(k)x(n − k) k=−∞y su valor absoluto ∞ ∞ ∞ |y(n)| = h(k)x(n − k) ≤ |h(k)||x(n − k)| ≤ |h(k)|Mx k=−∞ k=−∞ k=−∞ ∞ |y(n)| ≤ Mx |h(k)| k=−∞lo que implica que |y(n)| es acotada solo si ∞ Sh = |h(k)| ≤ ∞ k=−∞En consecuencia un sistema LTI es estable si su respuesta impulsional es absolutamentesumable. Esta condici´n es necesaria y suficiente. oSi h(n) no es absolutamente sumable entonces, derivado de lo anterior, deber´ existir al ıamenos una entrada que produce una salida no acotada y por tanto el sistema es inestable.Si para un sistema con respuesta al impulso h(n) se elige como entrada la se˜al n h∗ (−n) |h(−n)| para h(−n) = 0 x(n) = 0 para h(−n) = 0basta entonces con demostrar que existe alg´n valor de n para el que y(n) no est´ acotada u apara concluir inestabilidad. Por ejemplo, calc´lese y(0) u ∞ ∞ ∞ |h(k)|2 y(0) = x(−k)h(k) = = |h(k)| = Sh k=−∞ k=−∞ |h(k)| k=−∞Quiere decir que si h(n) no es absolutamente sumable (Sh → ∞) entonces la salida no esacotada y el sistema es inestable.La condici´n ∞ o k=−∞ |h(k)| < ∞ implica que h(n) tiende a cero cuando n → ∞, lo que asu vez implica que si la entrada x(n) es cero para todo n > n0 entonces la salida tiende acero para n → ∞: N −1 ∞ y(n0 + N ) = h(k)x(n0 + N − k) + h(k)x(n + N − k) k=−∞ k=N =0 (x(n)=0,n>n0 ) ∞ ∞ ∞ ⇒ |y(n0 + N )| = h(k)x(n + N − k) ≤ |h(k)||x(n + N − k)| ≤ Mx |h(k)| k=N k=N ≤Mx k=N c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 57. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 45 ∞Si N → ∞ entonces limN →∞ k=N |h(k)| = 0 y de ah´ que lim y(n0 + N ) = 0. ı N →∞Esto implica que en un sistema estable cualquier excitaci´n de duraci´n finita a la entrada o oproduce una respuesta transitoria, es decir, una respuesta cuya amplitud decrece y se anulacon el tiempo.Ejemplo 2.14 Determine el rango del par´metro a para el que el sistema LTI de res- a npuesta al impulso h(n) = a u(n) es estable.Soluci´n: oEl sistema es estable si ∞ ∞ |ak | = |a|k = 1 + |a| + |a|2 + . . . k=0 k=0converge. Esto ocurre si y solo si |a| < 1 y esta suma converge a ∞ 1 |ak | = k=0 1 − |a| 2.14Ejemplo 2.15 Determine el rango de valores de a y b para los cuales el sistema LTI derespuesta an n ≥ 0 h(n) = bn n < 0es estable.Soluci´n: oLa condici´n de estabilidad es o ∞ −1 ∞ ∞ n ∞ n n 1 |b| 1 |h(n)| = |b| + |a| = + |a|n = + n=−∞ n=−∞ n=0 n=1 b n=0 |b| − 1 1 − |a| Converge Converge si |b| > 1 si |a| < 1El sistema es estable si |a| < 1 y si |b| > 1. 2.152.4.7 Sistemas de respuesta finita e infinitaEs util distinguir los sistemas entre aquellos con una respuesta finita al impulso (FIR: ´Finite Impulse Response) y aquellos con respuesta infinita al impulso (IIR: Infinite Im-pulse Response) por las consideraciones pr´cticas que los distintos conceptos conllevan: a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 58. 46 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferenciasla implementaci´n de los primeros se puede realizar directamente, mientras que algunos ode los segundos pueden realizarse por medio de ecuaciones de diferencias.Para los sistemas causales FIR la convoluci´n se reduce a o M −1 y(n) = h(k)x(n − k), h(k) = 0, k < 0 ∧ k ≥ M (2.22) k=0El sistema se comporta como una “ventana” que solo permite ver M muestras paracalcular la salida. Se dice que el sistema FIR tiene memoria finita de M muestras.2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferenciasEl c´lculo de la convoluci´n: a o ∞ y(n) = h(k)x(n − k) k=−∞s´lo es posible para sistemas FIR, puesto que en el caso de sistemas IIR se requerir´ de o ıauna memoria infinita para almacenar h(n), y un n´mero infinito de multiplicaciones y uadiciones para calcular una sola muestra de la salida.Las llamadas ecuaciones de diferencias permiten trabajar con sistemas IIR.2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivosUn sistema es recursivo si su salida en el instante n depende de valores anteriores de lasalida, y(n − 1), y(n − 2), . . .: y(n) = F [y(n − 1), y(n − 2), . . . , y(n − N ), x(n), x(n − 1), . . . , x(n − M )]donde F [·] denota una funci´n cualquiera, y sus argumentos son las entradas y salidas opresentes y pasadas.El sistema es no recursivo si solo depende de las entradas presentes y pasadas, mas no desalidas pasadas: y(n) = F [x(n), x(n − 1), . . . , x(n − M )]N´tese que los sistemas LTI FIR causales, cuya salida se expresa como la suma finita de oconvoluci´n (2.22) no son recursivos. oEl lazo de realimentaci´n da origen a una diferencia fundamental en el c´lculo de la salida: o aLa salida recursiva debe determinarse en orden, pues para calcular y(n0 ) se necesitan todoslos N valores anteriores, mientras que en un sistema no recursivo las salidas anteriores noson necesarias y se puede calcular un valor directamente para cualquier n. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 59. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 47 x(n) y (n) F [x(n), x(n − 1), x(n − 2), ... , x(n − M)] Sistema no recursivo x(n) F [y (n − 1), ... , y (n − N) y (n) x(n), ..., x(n − M)] Sistema recursivo z −1 Figura 2.25: Diagrama de bloques de sistemas recursivos y no recursivos.Ejemplo 2.16 Determine una expresi´n recursiva para el sistema de media acumulativa. oSoluci´n: oEl sistema de media acumulativa n 1 y(n) = x(k) n+1 k=0es recursivo pues n (n + 1)y(n) = x(k) k=0 n−1 ⇒ ny(n − 1) = x(k) k=0 n−1 ⇒ (n + 1)y(n) = x(k) + x(n) = ny(n − 1) + x(n) k=0 n 1 y(n) = y(n − 1) + x(n) n+1 n+1 1 = (ny(n − 1) + x(n)) (2.23) n+1N´tense los coeficientes no constantes para la salida anterior y(n − 1) y la entrada actual o n 1x(n), que son n+1 y n+1 respectivamente; estos implican que el sistema es variante en eltiempo. La figura 2.26 muestra el diagrama de bloques correspondiente. 2.162.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantesLos sistemas descritos por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes son unasubclase de los sistemas recursivos y no recursivos. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 60. 48 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias 1 n+1 x(n) y (n) z −1 n Figura 2.26: Diagrama de bloques del sistema de media acumulativa.Consid´rese un sistema causal representado por (ver adem´s la figura 2.27) e a y(n) = ay(n − 1) + x(n) x(n) y (n) a z −1 Figura 2.27: Diagrama de bloques de un sistema LTI.que a pesar de su similitud con (2.23), difiere por la naturaleza de los coeficientes, lo quetiene implicaciones sobre la invarianza en el tiempo. En este ultimo caso, el coeficiente ´a es constante y el sistema es invariante en el tiempo. Para la media acumulativa, elcoeficiente es dependiente del tiempo y el sistema es entonces variante en el tiempo.Eval´ese ahora la respuesta de este sistema ante una entrada x(n) con x(n) = 0, n < 0, uy con una condici´n inicial y(−1): o y(0) = ay(−1) + x(0) y(1) = ay(0) + x(1) = a2 y(−1) + ax(0) + x(1) y(2) = ay(1) + x(2) = a3 y(−1) + a2 x(0) + ax(1) + x(2) . . . y(n) = an+1 y(−1) + an x(0) + an−1 x(1) + . . . + a0 x(n) n n+1 =a y(−1) + ak x(n − k), n ≥ 0 k=0 yzi (n) yzs (n)El t´rmino yzi (n) depende de las condiciones iniciales y se obtendr´ si la entrada fuese cero e ıa(zero input), como producto del estado inicial del sistema y de sus caracter´ ısticas propias.A yzi (n) se le denomina respuesta natural o libre del sistema, o tambi´n, respuesta a eentrada nula. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 61. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 49El t´rmino yzs (n) se obtiene cuando el estado del sistema es cero (zero state), es decir, con euna entrada x(n) cuando el sistema est´ en reposo, y se le denomina respuesta en estado anulo o respuesta forzada. N´tese que en el ejemplo yzs (n) puede interpretarse como la oconvoluci´n de x(n) con la respuesta impulsional: o h(n) = an u(n)donde los ´ ındices son finitos por la causalidad de ambas se˜ales x(n) y h(n). nEste ejemplo corresponde a una ecuaci´n de diferencias de primer orden, y es un caso oparticular de la ecuaci´n de diferencias: o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0o con a0 = 1: N M ak y(n − k) = bk x(n − k) k=0 k=0donde el entero N recibe el nombre de orden de la ecuaci´n de diferencias u orden del osistema.Las condiciones iniciales y(−1), . . . , y(−N ) resumen toda la historia pasada del sistema,y son necesarias para efectuar el c´lculo de las salidas presentes y futuras. aN´tese que la ecuaci´n de diferencias por s´ sola no describe un sistema, en el sentido de o o ıque una entrada x(n) no produce una unica salida: para cada conjunto de condiciones ´iniciales se obtiene una salida particular. De este modo, un sistema es caracterizado tantopor la ecuaci´n de diferencias como por las condiciones iniciales. oAnteriormente se introdujo la propiedad de escalado (2.20) de un sistema lineal, de la quese deduce que un sistema lineal con entrada cero debe tener una entrada nula, puesto quede otro modo aparece una inconsistencia de escalado: multiplicando cualquier entradacon cero, debe producir una salida multiplicada tambi´n por cero, que debe ser nula. Con eel esquema anterior compuesto de respuestas forzada y natural se nota que la respuestanatural de un sistema descrito con una ecuaci´n de diferencias produce una salida a pesar ode que la entrada es nula, y por tanto viola la propiedad de escalado lo que indica que laecuaci´n en el caso general representa a un sistema no lineal. oEl concepto de linealidad debe entonces replantearse como la satisfacci´n de tres requisi- otos: 1. La respuesta total es igual a la suma de las respuestas de entrada nula y en estado nulo (y(n) = yzi (n) + yzs (n)). 2. El principio de superposici´n se aplica a la respuesta en estado nulo (lineal en estado o nulo). c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 62. 50 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias 3. El principio de superposici´n se aplica a la respuesta a la entrada nula (lineal a o entrada nula).La redefinici´n del concepto para cada una de las componentes de la respuesta permite oresolver las inconsistencias introducidas por las condiciones iniciales.Ejemplo 2.17 Determine que un sistema descrito por la ecuaci´n de diferencias de oprimer orden es lineal.Soluci´n: o 1. n n+1 y(n) = ay(n − 1) + x(n) = a y(−1) + ak x(n − k) k=0 Con la entrada cero se obtiene: yzi (n) = an+1 y(−1) Con estado inicial cero se obtiene: n yzs (n) = ak x(n − k) ⇒ y(n) = yzi (n) + yzs (n) k=0 2. Para x1 (n), n yzs1 (n) = ak x1 (n − k) k=0 Para x2 (n), n yzs2 (n) = ak x2 (n − k) k=0 n n k yzs1 (n) + yzs2 (n) = a x1 (n − k) + ak x2 (n − k) k=0 k=0 n = ak (x1 (n − k) + x2 (n − k)) k=0 que equivale a la respuesta del sistema a x1 (n) + x2 (n) y, por lo tanto, el sistema es lineal en estado nulo. 3. Con yzi1 (n) = an+1 y1 (−1) y yzi2 (n) = an+1 y2 (−1), se obtiene yzi1 + yzi2 = an+1 y1 (−1) + an+1 y2 (−1) = an+1 (y1 (−1) + y2 (−1)) que equivale a la respuesta de entrada cero del sistema con condiciones iniciales y(−1) = y1 (−1) + y2 (−1), por lo que el sistema es lineal a entrada nula. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 63. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 51De forma similar, es posible demostrar que todo sistema descrito por una ecuaci´n de odiferencias con coeficientes constantes es lineal. Estos sistemas son a su vez invariantesen el tiempo, al ser sus coeficientes constantes.El estudio de estabilidad en sistemas de orden mayor a 1, requiere de otras t´cnicas que eser´n estudiadas posteriormente. a 2.172.5.3 Soluci´n de ecuaciones de diferencias con coeficientes cons- o tantesEl objetivo de solucionar la ecuaci´n de diferencias o N M ak y(n − k) = bk x(n − k) (2.24) k=0 k=0es encontrar la salida y(n) de un sistema para una determinada entrada x(n) dado unconjunto de condiciones iniciales (o finales). Se puede asumir que la ecuaci´n de diferencias ocorresponde a un sistema causal, o anticausal, para lo cual usualmente se plantea laecuaci´n de y(n) en t´rminos de salidas anteriores o futuras, respectivamente. En el o epresente documento se tratar´ el caso causal, que es el m´s usual. a aSi se tiene la ecuaci´n de diferencias m´s condiciones de reposo iniciales y(−1) = . . . = o ay(−N ) = 0, se asume que se tiene un sistema causal. Por otro lado, la misma ecuaci´n ode diferencias junto a condiciones de reposo finales y(0) = y(1) = . . . = y(N − 1) = 0caracterizan a un sistema anticausal.Utilizando el llamado m´todo directo, se asume que la soluci´n se compone de dos partes: e o y(n) = yh (n) + yp (n) (2.25)donde yh (n) es la soluci´n homog´nea o complementaria, y yp (n) es la soluci´n particular . o e oLa soluci´n homog´nea de una ecuaci´n de diferencias o e oPara solucionar la ecuaci´n (2.24) se asume primero una entrada nula x(n) = 0, para as´ o ıresolver: N ak y(n − k) = 0 (2.26) k=0De forma an´loga a la soluci´n de ecuaciones diferenciales, se asume que la soluci´n es de a o oforma exponencial: yh (n) = λn (2.27)Sustituyendo (2.27) como soluci´n tentativa en (2.26), se obtiene: o N ak λn−k = 0 k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 64. 52 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferenciasque se puede reescribir como: λn−N (λN + a1 λN −1 + a2 λN −2 + . . . + aN −1 λ + aN ) = 0 polinomio caracter´ ısticoEl t´rmino entre par´ntesis es llamado polinomio caracter´stico y tiene en general N e e ıra´ ıces, denotadas λ1 , λ2 , . . . , λN , que pueden ser reales o complejas, apareciendo en elultimo caso como pares complejos conjugados, siempre y cuando los coeficientes {ak }´sean reales. Algunas de las ra´ pueden ser id´nticas (de orden m´ltiple). ıces e uAsumiendo que las ra´ son distintas, la soluci´n m´s general a la ecuaci´n de diferencias ıces o a ohomog´nea es: e yh (n) = C1 λn + C2 λn + . . . + CN λn 1 2 Ncon los coeficientes de ponderaci´n Ck , que se calculan a partir de las condiciones iniciales oespecificadas para el sistema.Ejemplo 2.18 Determine la soluci´n homog´nea para la ecuaci´n de diferencias de o e oprimer orden: y(n) + a1 y(n − 1) = x(n) (2.28)Soluci´n: oCon x(n) = 0 y yh (n) = λn se obtiene: λn + a1 λn−1 = 0 λn−1 (λ + a1 ) = 0 ⇒ λ = −a1y la soluci´n ser´ o ıa: yh (n) = Cλn = C(−a1 )nSustituyendo en (2.28) para n = 0, junto con x(n) = 0, se obtiene: y(0) + a1 y(−1) = 0 ⇒ y(0) = −a1 y(−1)y con yh (0) = C = −a1 y(−1) yh (n) = −a1 y(−1)(−a1 )n = y(−1)(−a1 )n+1 = yzi (n), n ≥ 0que corresponde adem´s con la respuesta de entrada nula. a 2.18Ejemplo 2.19 Determine la respuesta a entrada nula del sistema descrito por la ecua-ci´n de diferencias homog´nea de segundo orden o e y(n) − 3y(n − 1) − 4y(n − 2) = 0 .Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 65. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 53Suponiendo yh (n) = λn , se obtiene: λn − 3λn−1 − 4λn−2 = λn−2 (λ2 − 3λ − 4) = λn−2 (λ − 4)(λ + 1)Por lo que la forma general de la soluci´n homog´nea es: o e yh (n) = C1 λn + C2 λn = C1 (−1)n + C2 (4)n 1 2Para la respuesta a entrada nula se plantea: y(0) = 3y(−1) + 4y(−2) = C1 + C2 (2.29) y(1) = 3y(0) + 4y(−1) = 3(3y(−1) + 4y(−2)) + 4y(−1) = 13y(−1) + 12y(−2) = −C1 + 4C2Sumando y(0) y y(1) resulta en 16y(−1) + 16y(−2) C2 = 5y considerando (2.29) se deriva adem´s a 3y(−1) + 4y(−2) − C2 = C1 16y(−1) + 16y(−2) 3y(−1) + 4y(−2) − = C1 5 4y(−2) − y(−1) ⇒ C1 = 5Finalmente 4y(−2) − y(−1) 16y(−1) + 16y(−2) n yzi (n) = (−1)n + 4 . 5 5 2.19Si λ1 es una ra´ de multiplicidad m, entonces: ız yh (n) = C1 λn + C2 nλn + C3 n2 λn + . . . + Cm nm−1 λn 1 1 1 1 + Cm+1 λn + . . . 2Ejemplo 2.20 Repita el ejemplo anterior para: y(n) − 4y(n − 1) + 4y(n − 2) = 0Soluci´n: oSuponiendo yh (n) = λn , resulta en el polinomio caracter´ ıstico λn−2 (λ2 − 4λ + 4) = λn−2 (λ − 2)2 = 0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 66. 54 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferenciaspor lo que la soluci´n general es o yh (n) = C1 λn + C2 nλn , 1 1 λ1 = 2Se deja como ejercicio al lector demostrar que yzi (n) = [y(−1) − y(−2)]2n+2 + [y(−1) − 2y(−2)]n2n+1 2.20La soluci´n particular de la ecuaci´n de diferencias o oLa soluci´n particular yp (n) debe satisfacer: o N M ak yp (n − k) = bk x(n − k), a0 = 1 k=0 k=0lo que generalmente depende de la forma de x(n).Ejemplo 2.21 Determine la soluci´n particular de o y(n) + a1 y(n − 1) = x(n), |a1 | < 1 (2.30)para x(n) = u(n)Soluci´n: oComo x(n) es constante para n ≥ 0, se asume que la soluci´n tambi´n es constante para o en ≥ 0. La soluci´n particular es entonces: o yp (n) = Ku(n)Sustituyendo esto en (2.30) se obtiene: Ku(n) + a1 Ku(n − 1) = u(n) (2.31)y para n ≥ 1 esto equivale a: K + a1 K = 1 K(1 + a1 ) = 1 1 K= 1 + a1lo que implica que la soluci´n particular es: o 1 yp (n) = · u(n) 1 + a1 2.21En el ejemplo anterior se asumi´ yp (n) como un escal´n porque la entrada ten´ esta o o ıaforma. Si x(n) fuera exponencial, yp (n) tambi´n lo ser´ Si x(n) fuera senoidal, entonces e ıa.yp (n) tambi´n lo ser´ La tabla 2.4 muestra algunas formas de soluci´n particular para e ıa. oentradas particulares. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 67. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 55Tabla 2.4: Forma general de la soluci´n particular para diversos tipos de se˜al de entrada o n Se˜al de entrada n Solucion particular x(n) yp (n) δ(n) 0 A(cte) K AM n KM n AnM K0 nM + K1 nM −1 + . . . + KM A n nM An (K0 nM + K1 nM −1 + . . . + KM ) A cos ω0 n K1 cos ω0 n + K2 sin ω0 n A sin ω0 nSoluci´n total a la ecuaci´n de diferencias o oPor la linealidad de los sistemas descritos por ecuaciones de diferencias con coeficientesconstantes, la soluci´n total se calcula como la suma de las soluciones homog´nea y o eparticular (2.25).Las constantes {Ck }, de la soluci´n homog´nea, sin embargo, deben recalcularse para o epoder satisfacer las condiciones iniciales.Ejemplo 2.22 Determine la soluci´n total y(n), n ≥ 0 de la ecuaci´n de diferencias o oy(n) + a1 y(n − 1) = x(n), con x(n) = u(n) y condici´n inicial y(−1). oSoluci´n: oDe los ejemplos anteriores se tiene: 1 yh (n) = C(−a1 )n , yp (n) = 1 + a1 1 y(n) = C(−a1 )n + 1 + a1Con n = −1 se obtiene: C 1 a1 y(−1) = − + ⇒ −a1 y(−1) + =C a1 1 + a1 1 + a1y por lo tanto: 1 − (−a1 )n+1 y(n) = (−a1 )n+1 y(−1) + 1 + a1N´tese que el valor de C depende no s´lo de las condiciones iniciales, sino tambi´n de la o o eentrada. 2.22 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 68. 56 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias2.5.4 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTIEn general, las condiciones iniciales de una ecuaci´n de diferencias adem´s de obligar a la o arevisi´n del concepto de linealidad, tienen efecto sobre la invarianza temporal del sistema. oEsto obliga entonces a redefinir el concepto de respuesta impulsional.La respuesta impulsional h(n) en sistemas recursivos es igual a la respuesta de estadocero del sistema cuando la entrada x(n) = δ(n), es decir, para la respuesta impulsionalsiempre se considera que el sistema est´ inicialmente en reposo. aPor ejemplo, en el sistema recursivo de primer orden tratado anteriormente, la respuestade estado cero es: n yzs (n) = ak x(n − k) k=0y con x(n) = δ(n), se obtiene: n yzs (n) = ak δ(n − k) k=0 n =a , n≥0As´ su respuesta impulsional es h(n) = an u(n), que coincide con lo calculado previamente. ı,En el caso general de sistemas recursivos LTI (considerados causales), la respuesta deestado cero en t´rminos de convoluci´n con una entrada causal se expresa como e o n yzs (n) = h(k)x(n − k) = h(n) ∗ x(n), n≥0 k=0Si la entrada es un impulso, lo anterior se reduce a: yzs (n) = h(n) ∗ δ(n) = h(n)Con la entrada δ(n), la soluci´n particular es cero, puesto que x(n) = 0 para n > 0. oConsecuentemente, la respuesta de un sistema a un impulso consiste en la soluci´n a la oecuaci´n homog´nea con los coeficientes Ck determinados para satisfacer las condiciones o einiciales.Ejemplo 2.23 Determine la respuesta impulsional h(n) del sistema y(n) − 3y(n − 1) − 4y(n − 2) = x(n) + 2x(n − 1) (2.32)Soluci´n: oEn el ejemplo 2.19 se obtuvo: yh (n) = C1 (−1)n + C2 (4)n , n≥0 (2.33) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 69. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 57que corresponde tambi´n a la respuesta impulsional h(n), debido a que para x(n) = eδ(n), yp (n) = 0. Sustituyendo (2.33) en (2.32), y considerando que el sistema est´ en areposo (y(−1) = y(−2) = 0): ! y(0) = 1 = C1 + C2 ! y(1) − 3y(0) = 2 ⇒ y(1) = 5 = −C1 + 4C2 6 1 ⇒ 5C2 = 6 ⇒ C2 = , C1 = − 5 5y finalmente 1 6 h(n) = − (−1)n + (4)n u(n) 5 5 2.23Cualquier sistema recursivo descrito por una ecuaci´n de diferencias lineal con coeficientes oconstantes es un sistema IIR, pero no todo sistema IIR LTI puede ser descrito con estasecuaciones.La respuesta impulsional de un sistema de orden N , descrito por una ecuaci´n de dife- orencias lineal de orden N : N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0se obtiene a trav´s de la soluci´n homog´nea: e o e N yh (n) = Ck λn = h(n) k k=1cuando las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son distintas, donde los coeficientes {Ck }se obtienen con las condiciones iniciales y(−1) = y(−2) = . . . = y(−N ) = 0Considerando que ∞ ∞ N N ∞ |h(n)| = Ck λn k ≤ |Ck | |λk |n n=0 n=0 k=1 k=1 n=0si |λk | < 1 para todo k, entonces ∞ |λk |n < ∞, y por lo tanto ∞ |h(n)| < ∞. Si uno n n=0o m´s de los |λk | > 1, entonces h(n) no es absolutamente sumable y en consecuencia el asistema es inestable.Por lo tanto, un sistema IIR causal descrito por una ecuaci´n de diferencias con coeficien- otes constantes, es estable si todas las ra´ del polinomio son menores que uno en valor ıcesabsoluto. Esto es as´ a´n con ra´ de multiplicidad m. ı u ıces c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 70. 58 2.6 Correlaci´n o2.6 Correlaci´n oLa correlaci´n es una operaci´n similar a la convoluci´n que se utiliza para medir la o o osimilitud entre dos secuencias. Se aplica en diversas areas de la ingenier´ como radar, ´ ıasonar, comunicaciones digitales, geolog´ etc. ıa,2.6.1 Autocorrelaci´n y correlaci´n cruzada o oLa correlaci´n cruzada de las secuencias x(n) e y(n), ambas reales y de energ´ finita, se o ıadefine como: ∞ rxy (n) = x(k)y(k − n), n = 0, ±1, ±2, . . . k=−∞o lo que es equivalente: ∞ rxy (n) = x(k + n)y(k), n = 0, ±1, ±2, . . . k=−∞El ´ ındice n es el par´metro de desplazamiento o retardo en el tiempo, y los sub´ a ındices xyindican cu´les se˜ales han sido correlacionadas. De esta forma se tiene entonces que: a n ∞ ∞ ryx (n) = y(k)x(k − n) = y(k + n)x(k) = rxy (−n) k=−∞ k=−∞Por lo tanto, ryx (n) es la correlaci´n rxy (n) reflejada con respecto a n = 0. oN´tese que exceptuando el paso de reflexi´n de una de las se˜ales, la correlaci´n es id´ntica o o n o econ la convoluci´n: se desplaza la segunda se˜al, se calcula la secuencia producto, y se o ndetermina su suma. El lector puede demostrar que: rxy (n) = x(n) ∗ y(−n)Si y(n) = x(n), entonces se obtiene la autocorrelaci´n de x(n), que se define como la osecuencia: ∞ ∞ rxx (n) = x(k)x(k − n) = x(k + n)x(k) k=−∞ k=−∞Si x(n) e y(n) son se˜ales causales finitas de longitud N (esto es, x(n) = y(n) = 0, ∀n < n0, n ≥ N ) la correlaci´n puede expresarse como: o N +min{0,n}−1 rxy (n) = x(k)y(k − n) k=max{n,0} c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 71. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 592.6.2 Propiedades de la correlaci´n oSean x(n) y y(n) dos se˜ales de energ´ finita. La energ´ de la se˜al: n ıa ıa n w(k) = ax(k) + by(k − n)es: ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 2 2 2 [ax(k) + by(k − n)] = a x (k) + b y (k − n) + 2ab x(k)y(k − n) k=−∞ k=−∞ k=−∞ k=−∞ 2 2 = a rxx (0) + b ryy (0) + 2abrxy (n)N´tese que rxx (0) = Ex es la energ´ de la se˜al x(n) y ryy (0) = Ey la energ´ de y(n). o ıa n ıaPuesto que la energ´ es una suma de valores positivos debe cumplirse que: ıa a2 rxx (0) + b2 ryy (0) + 2abrxy (n) ≥ 0y suponiendo que b = 0, se obtiene dividiendo por b2 : a 2 a rxx (0) + 2rxy (n) + ryy (0) ≥ 0 b bque se puede considerar como ecuaci´n cuadr´tica de variable (a/b) con coeficientes rxx (0), o a2rxy (n) y ryy (0), que para ser no negativa requiere que el discriminante sea no positivo: 2 4[rxy − rxx (0)ryy (0)] ≤ 0 ⇒ |rxy (n)| ≤ rxx (0)ryy (0) = Ex Eyy para y(n) = x(n): |rxx (n)| ≤ rxx (0) = Exes decir, la autocorrelaci´n alcanza su valor m´ximo para el retardo cero, cuando por o adecirlo as´ la se˜al es id´ntica a s´ misma. ı n e ıUn escalado de la se˜al por un escalar, escala la correlaci´n de la misma manera, y por n otanto carece en el an´lisis de importancia por ser m´s relevante la forma de la correlaci´n. a a oPor ello en la pr´ctica se normaliza la correlaci´n para producir as´ valores entre -1 y 1. a o ıLa autocorrelaci´n normalizada se define como: o rxx (n) ρxx (n) = rxx (0)y la correlaci´n cruzada como: o rxy (n) ρxy (n) = rxx (0)ryy (0)Como rxy (n) = ryx (−n), se cumple para la autocorrelaci´n rxx (n) = rxx (−n), es decir, es ouna funci´n par. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 72. 60 2.6 Correlaci´n oEjemplo 2.24 Calcule la autocorrelaci´n de la se˜al: o n x(n) = an u(n), 0<a<1Soluci´n: oPara n ≥ 0: ∞ ∞ ∞ k k−n −n k rxx (n) = x(k)x(k − n) = a a =a a2 k=n k=n k=ny puesto que lim αN +1 = 0 si α < 1 entonces N →∞ ∞ αn − αN +1 αn αk = lim = k=n N →∞ 1−α 1−α a2n an rxx (n) = a−n = 1 − a2 1 − a2para n < 0: ∞ ∞ ∞ k rxx (n) = x(k)x(k − n) = ak ak−n = a−n a2 k=0 k=0 k=0 −n |n| a a = = 1−a 2 1 − a2y combinando ambas partes se obtiene: a|n| rxx (n) = 1 − a2 1que es, como se predijo, una funci´n par rxx (n) = rxx (−n). Con rxx (0) = o 1−a2 se obtienela autocorrelaci´n normalizada: o rxx (n) ρxx (n) = = a|n| rxx (0) 2.242.6.3 Correlaci´n de secuencias peri´dicas o oLa correlaci´n anterior fue definida para se˜ales de energ´ Si las se˜ales x(n) e y(n) son o n ıa. nse˜ales de potencia, su correlaci´n cruzada se define como: n o M 1 rxy (n) = l´ ım x(k)y(k − n) M →∞ 2M + 1 k=−My la autocorrelaci´n de una se˜al de potencia como: o n M 1 rxx (n) = l´ ım x(k)x(k − n) M →∞ 2M + 1 k=−M c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 73. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 61Si las se˜ales son peri´dicas con periodo N , entonces este promedio puede calcularse en n oun solo periodo: N −1 1 rxy (n) = x(k)y(k − n) N k=0En la pr´ctica se utiliza la correlaci´n para encontrar periodicidades en se˜ales f´ a o n ısicasalteradas por interferencias aleatorias.Si por ejemplo y(n) = x(n) + ω(n), donde x(n) es peri´dica y ω(n) es una se˜al aleatoria, o nentonces la correlaci´n es: o M −1 1 ryy (n) = y(k)y(k − n) M k=0 M −1 1 = [x(k) + ω(k)][x(k − n) + ω(k − n)] M k=0 M −1 1 = [x(k)x(k − n)] + [x(k)ω(k − n)] + [ω(k)x(k − n)] + [ω(k)ω(k − n)] M k=0 = rxx (n) + rxω (n) + rωx (n) + rωω (n)considerando s´lo M muestras y asumiendo y(n) = 0 para n < 0, n ≥ M . oLa periodicidad de x(n) permite asumir que rxx (n) tambi´n es peri´dica y presenta picos e oen n = 0, N, 2N, etc.. Por la consideraci´n de tan solo M muestras, conforme N tiende a oM la magnitud de estos picos tiende a cero, por lo que debe escogerse M N y n nodebe evaluarse, como regla emp´ ırica, para n > M/2.Si ω(n) es aleatoria puede asumirse que rxω (n) y rωx (n) son muy peque˜as, por no estar nrelacionada con x(n). Por la naturaleza aleatoria de ω(n) puede asumirse adem´s quearωω (n) tiende r´pidamente a cero, por lo que en rωω (n) dominar´ rxx (n), lo que permite a adetectar el periodo.La figura 2.28 muestra un segmento de 701 muestras de una se˜al ac´stica representando n ula vocal “a”. La se˜al original tiene una longitud de 57000 muestras. La figura 2.29 nmuestra el resultado de la autocorrelaci´n, donde se aprecia claramente un periodo de oaproximadamente 100 muestras, lo que se puede corroborar con la se˜al original en la nfigura 2.28.2.6.4 Secuencias de correlaci´n de entrada-salida oSi se aplica la se˜al x(n) con autocorrelaci´n rxx (n) a un sistema con respuesta al impulso n oh(n), entonces: ∞ y(n) = h(n) ∗ x(n) = h(k)x(n − k) k=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 74. 62 2.6 Correlaci´n o 0.65 Senal 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1.2 Senal y ruido 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 700 800 900 1000 1100 1200 1300Figura 2.28: Se˜al ac´stica representando la vocal “a”, en la parte superior pura, y en la parte n u inferior con ruido. 5800 Autocorrelacion 5600 5400 5200 5000 4800 4600 4400 4200 4000 -300 -200 -100 0 100 200 300 Figura 2.29: Autocorrelaci´n de la se˜al con ruido en la figura 2.28. o nLa correlaci´n entre la salida y la entrada es o ryx (n) = y(n) ∗ x(−n) = [h(n) ∗ x(n)] ∗ x(−n) = h(n) ∗ rxx (n) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 75. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 63que depende solo de la respuesta impulsional h(n) y la autocorrelaci´n de la entrada orxx (n).La autocorrelaci´n de la salida es o ryy (n) = y(n) ∗ y(−n) = [h(n) ∗ x(n)] ∗ [h(−n) ∗ x(−n)] = [h(n) ∗ h(−n)] ∗ [x(n) ∗ x(−n)] = rhh (n) ∗ rxx (n)que equivale a la convoluci´n de la autocorrelaci´n de la respuesta impulsional rhh (n) con o ola autocorrelaci´n de la entrada rxx (n). o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 76. 64 2.7 Problemas2.7 ProblemasProblema 2.1. Encuentre expresiones algebraicas que permitan generar a partir de lase˜al x(n) las siguientes secuencias, utilizando para ello las operaciones fundamentales de nreflexi´n y desplazamiento. o x(n) = {. . . , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , a3 , . . .} ↑ 1. x1 (n) = {. . . , a−4 , a−3 , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 . . .} ↑ 2. x2 (n) = {. . . , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 . . .} ↑ 3. x3 (n) = {. . . , a4 , a3 , a2 , a1 , a0 , a−1 , a−2 . . .} ↑ 4. x4 (n) = {. . . , a−1 , a−2 , a−3 , a−4 , a−5 , a−6 , a−7 . . .} ↑Problema 2.2. Si x1 (n) = {4, 2, −1, 5, 1, 3} y x2 (n) = {1, −2, 3, −4, 5}, calcule ↑ 1. x3 (n) = x1 (n) + x2 (n) 2. x4 (n) = x1 (n)x2 (n) 3. x5 (n) = 3x1 (n)x2 (n)Problema 2.3. Sea f = k/N la frecuencia normalizada de una se˜al x(n) periodica nen tiempo discreto con periodo N muestras. Si se asume que k y N son n´meros primos urelativos, y se sabe que x(n) = xa (nT ) donde xa (t) es una se˜al anal´gica peri´dica de n o operiodo Ta que es muestreada entonces con un intervalo de muestreo T , encuentre eln´mero de veces que cabe el periodo de la se˜al anal´gica dentro del periodo de la se˜al u n o nmuestreada.Problema 2.4. Determine si cada una de las se˜ales siguientes es peri´dica, y de ser n oas´ determine su periodo fundamental. Asuma t ∈ IR y n ∈ Z. ı √ 1. xa (t) = 5 sen(4t + π/3) √ 2. x(n) = 5 sen(4n + π/3) 3. x(n) = 2ej(nπ/6−π) 4. x(n) = cos(n/8) cos(nπ/8) 5. x(n) = sen(πn/4) + sen(πn/8) + 3 cos(πn/2 + π/6)Problema 2.5. En la secci´n 2.2.3 se demostr´ que una se˜al exponencial compleja o o n jkω0 ndiscreta sk (n) = e solo tiene N − 1 se˜ales arm´nicamente relacionadas, cuando se n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 77. 2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta n 65cumple ω0 = 2π/N . Demuestre que si la frecuencia es ω0 = 2πM/N con M < N , M yN n´meros primos relativos, el n´mero de frecuencias arm´nicamente relacionadas sigue u u osiendo N .Problema 2.6.Genere y muestre las siguientes secuencias en GNU/Octave: 1. x1 (n) = 0,75 δ(n − 5) para 0 ≤ n ≤ 10 2. x2 (n) = 0,9 δ(n) para −7 ≤ n ≤ 7 3. x3 (n) = 1,5δ(n − 250) para −300 ≤ n ≤ 350 4. x4 (n) = 4,5δ(n + 7) para −10 ≤ n ≤ 0 5. x5 (n) = . . . , 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1 . . . para −5 ≤ n ≤ 9 ↑ π 6. x6 (n) = sen 17 n para 0 ≤ n ≤ 25 π 7. x7 (n) = sen 17 n para −15 ≤ n ≤ 25 8. x8 (n) = sen(3πn + π ) para −10 ≤ n ≤ 10 2 9. x9 (n) = cos( √π n) para 0 ≤ n ≤ 50 23Problema 2.7. Dada una se˜al x(n) = {−2, 3, 4, −1, 0, 2, 3, 2}. n ↑Represente esta se˜al en GNU/Octave y mu´strela gr´ficamente. n e aCalcule las componentes par e impar de esta se˜al xp (n) e xi (n). nVerfique que la suma de ambas componentes generan la se˜al de entrada original. nProblema 2.8. Genere y visualice en GNU/Octave una representaci´n para la se˜al o nh(n) = {2/7, 2/7, 3/14, 1/7, 1/14, 0}, y otra para la se˜al x(n) = {1, 0, 0, 0, 0, 1}. n ↑ ↑Calcule y visualice la convoluci´n de las se˜ales h(n) y x(n) utilizando el operador conv. o nPara una se˜al constante, ¿qu´ salida tiene un sistema con respuesta impulsional h(n)? n e¿Qu´ tipo de filtro es h(n)? eProblema 2.9. Genere y visualice en GNU/Octave una representaci´n para la se˜al o nh(n) = {1, −1}, y otra para la se˜al x(n) = {1, 0, 0, 0, 0, 1}. n ↑ ↑Calcule y visualice la convoluci´n de ambas se˜ales o nPara una se˜al constante, ¿qu´ salida tiene un sistema con respuesta impulsional h(n)? n e¿Qu´ tipo de filtro es h(n)? eProblema 2.10. Programe una funci´n de GNU/Octave que reciba dos se˜ales finitas o ny retorna su convoluci´n. oVerifique el funcionamiento de su funci´n compar´ndola con el operator conv. o a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 78. 66 2.7 ProblemasProblema 2.11. Genere una funci´n de GNU/Octave que reciba un vector con los ocoeficientes ak y otro vector con los coeficientes bk , adem´s de la se˜al de entrada, y que a nutilizando la expresi´n del sistema como ecuaci´n de diferencias genere la se˜al de salida o o npara un n´mero dado de muestras. Las condiciones iniciales deben poder darse en forma uopcional, asumiendo un valor de cero en todas ellas si se omiten. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 79. Cap´ ıtulo 3An´lisis de sistemas LTI discretos acon la transformada zLa transformada z es a los sistemas discretos lo que la transformada de Laplace es a lossistemas continuos. Ambas representan herramientas para el an´lisis de ciertas propieda- ades de las se˜ales, que en el dominio del tiempo s´lo pueden ser evaluadas con un mayor n on´mero de pasos. u3.1 La transformada z3.1.1 La transformada z directaLa transformada z directa de una se˜al x(n) se define como la serie de potencias: n ∞ X(z) ≡ x(n)z −n (3.1) n=−∞que mapea la se˜al x(n) en el dominio del tiempo discreto a la funci´n X(z) en el dominio n oz, lo que se denota como: X(z) ≡ Z {x(n)}La relaci´n entre ambos dominios se indica como: o x(n)   X(z) o ´ z x(n) ←→ X(z)Como la transformada z es una serie infinita de potencias, ´sta existe solo para los valores ede z para los que la serie converge. La regi´n de convergencia (ROC, region of convergence) ode X(z) es entonces el conjunto de valores de z para los que X(z) es finita.N´tese que siempre que se hable de la transformada z de una se˜al x(n), debe incluirse o nla ROC. 67
  • 80. 68 3.1 La transformada zSi se expresa z en su forma polar z = rejϕ , con r = |z| y ϕ = ∠z, entonces ∞ X(z) = x(n)r−n e−jϕn . n=−∞Puesto que dentro de la ROC de X(z) se debe cumplir |X(z)| < ∞, entonces: ∞ ∞ |X(z)| = x(n)r−n e−jϕn ≤ x(n)r−n (3.2) n=−∞ n=−∞es decir, |X(z)| es finita si y s´lo si x(n)r−n es absolutamente sumable. oPara encontrar la ROC se debe entonces encontrar el rango de valores de r para los quela secuencia x(n)r−n es absolutamente sumable.Ahora bien, la ecuaci´n (3.2) puede reescribirse como: o −1 ∞ ∞ ∞ −n −n |X(z)| = x(n)r + x(n)r = |x(−n)r | + n x(n)r−n n=−∞ n=0 n=1 n=0y ambas sumatorias deben converger si |X(z)| ha de ser finito. Para la primera suma,que corresponde a los elementos anticausales, deben existir valores de r suficientementepeque˜os para que x(−n)rn sea absolutamente sumable (r < r1 ) (figura 3.1). n Im{z} Plano z r1 ∞ ROC de |x(−n)r n | n=1 Re{z} Figura 3.1: Representaci´n gr´fica de la ROC para r suficientemente peque˜os. o a nPara la segunda suma, correspondiente a los elementos causales de x(n), se necesitanvalores de r suficientemente grandes para que x(n)r−n sea absolutamente sumable y portanto converja. Por ello, la ROC ser´n los puntos fuera de una circunferencia r > r2 a(figura 3.2).Como ambas sumas deben converger, la ROC de X(z) es la regi´n anular del plano z, or2 < r < r1 (figura 3.3).La figura 3.4 muestra un resumen de lo discutido hasta el momento en cuanto a la relaci´n ode la causalidad de una se˜al con respecto a la ROC de su transformada z. nLas propiedades de la transformada z se resumen en la tabla 3.1. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 81. a Tabla 3.1: Propiedades de la transformada z bilateral. Propiedad Dominio n Dominio z ROC Notaci´n o x(n) X(z) R = {z | r2 < |z| < r1 } x1 (n) X1 (z) R1 x2 (n) X2 (z) R2 Linealidad a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (z) + a2 X2 (z) por lo menos R1 ∩ R2 Desplazamiento en n x(n − k) z −k X(z) R {0} si k > 0 y R {∞} si k < 0 Escalado en z an x(n) X(a−1 z) |a|r2 < |z| < |a|r1 1 1 Reflexi´n en n o x(−n) X(z −1 ) r1 < |z| < r2 Rc 2005-2011 — P. Alvarado Conjugaci´n o x∗ (n) X ∗ (z ∗ ) 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z 1 Incluye R Parte real Re{x(n)} [X(z) + X ∗ (z ∗ )] 2 1 Incluye R Parte imaginaria Im{x(n)} 2 [X(z) − X ∗ (z ∗ )] dX(z) Derivaci´n en z o nx(n) r2 < |z| < r1 dz −z Convoluci´n o x1 (n) ∗ x2 (n) X1 (z)X2 (z) Por lo menos R1 ∩ R2 Teorema del valor inicial Si x(n) es causal x(0) = lim X(z) z→∞ 69
  • 82. 70 3.2 Transformadas z racionales Im{z} Plano z r2 Re{z} Figura 3.2: Representaci´n gr´fica de la ROC para r suficientemente grandes. o a Im{z} Plano z r1 r2 Re{z} Figura 3.3: Representaci´n gr´fica completa de la ROC. o a3.2 Transformadas z racionalesUna clase de transformadas z encontradas con frecuencia en sistemas digitales presentanuna forma racional, es decir, un cociente de polinomios en z −1 o z. La tabla 3.2 resume ´la transformada z de algunas funciones comunes con transformadas de este tipo.3.2.1 Polos y cerosLos ceros de la transformada z racional X(z) son aquellos valores de z para los queX(z) = 0, y los polos, aquellos z para los que X(z) = ∞ y la serie de Laurent centradaen z contiene un n´mero finito de t´rminos en su parte principal. Como X(z) es racional, u eentonces: M −k N (z) b0 + b1 z −1 + . . . + bM z −M k=0 bk z X(z) = = = N D(z) a0 + a1 z −1 + . . . + aN z −N k=0 ak z −kAsumiendo a0 = 0 y b0 = 0 y factorizando b0 z −M y a0 z −N para eliminar las potencias c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 83. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 71 Funciones de duraci´n finita o Causal z {0} n Anticausal z {∞} n Bilateral z {0, ∞} n Funciones de duraci´n infinita o Causal r2 < |z| n Anticausal |z| < r1 n Bilateral r2 < |z| < r1 n Figura 3.4: Familia de Se˜ales y sus ROC[15]. n c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 84. 72 3.2 Transformadas z racionales Tabla 3.2: Transformada z de algunas funciones comunes Se˜al x(n) n Transformada z, X(z) ROC δ(n) 1 Plano z 1 u(n) |z| > 1 1 − z −1 1 an u(n) |z| > |a| 1 − az −1 az −1 nan u(n) |z| > |a| (1 − az −1 )2 1 −(an )u(−n − 1) |z| < |a| 1 − az −1 az −1 −n(an )u(−n − 1) |z| < |a| (1 − az −1 )2 1 − z −1 cos ω0 cos(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 z −1 sen ω0 sen(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 1 − az −1 cos ω0 an cos(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2az −1 cos ω0 + a2 z −2 az −1 sen ω0 an sen(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2az −1 cos ω0 + a2 z −2negativas se obtiene: N (z) M b M −1 b0 z −M z + b1 z + . . . + bbM X(z) = = · 0 0 D(z) a0 z −N z N + a1 z N −1 + . . . + aN a0 a0Puesto que N (z) y D(z) son polinomios en z, y debido al teorema fundamental del ´lgebra, aX(z) se puede expresar como: M N (z) b0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zM ) k=1 (z − zk ) X(z) = = z N −M = Gz N −M N D(z) a0 (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pN ) k=1 (z − pk ) bdonde la constante G es igual a a0 ; los ceros {zk } y los polos {pk } corresponden a las 0ra´ıces de los polinomios N (z) y D(z) respectivamente, y hay N − M ceros en el origensi N > M , o M − N polos en el origen si M > N . Tambi´n se dice que hay un cero en einfinito si X(∞) = 0, o un polo si X(∞) = ∞. Si se cuentan estos ultimos, el n´mero de ´ upolos y ceros es siempre id´ntico. eX(z) puede representarse mediante un diagrama de polos y ceros en el plano complejo z,donde los ceros se denotan con “◦” y los polos con “×”. La multiplicidad se denota conun ´ ımbolo (por ejemplo, un polo de tercer orden se denota con ×3 ). ındice al lado del s´ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 85. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 73Evidentemente la ROC no puede contener ning´n polo, puesto que en ´l la funci´n no u e oconverge.Si los coeficientes de los polinomios son reales, entonces sus ra´ ser´n o reales, o apa- ıces arecer´n en pares complejos conjugados. De lo anterior se deriva que si un polinomio es ade orden impar, deber´ entonces tener al menos una ra´ real. Por otro lado, para la a ızfactorizaci´n de dicho polinomio se pueden agrupar las ra´ complejas conjugadas para o ıcesconformar t´rminos de segundo orden con coeficientes reales. eEjemplo 3.1 Determine el diagrama de polos y ceros de la se˜al x(n) = an u(n), para na real positivo.Soluci´n: o 1 zCon X(z) = 1−az−1 = z−a , ROC : |z| > |a|, se obtiene un cero en z = 0 y un polo enz = a (figura 3.5). Im{z} Plano z a Re{z} Figura 3.5: Diagrama de polos y ceros del ejemplo 3.1. 3.1Ejemplo 3.2 Determine la transformada z de an , 0 ≤ n ≤ M − 1 x(n) = 0 en el restocon a real positivo.Soluci´n: o ∞ M −1 M −1 −n n −n X(z) = x(n)z = a z = (az −1 )n n=−∞ n=0 n=0 M −1 1−αMPuesto que n=0 αn = 1−α , entonces: M z M −aM 1 − (az −1 )M 1− a z zM z M − aM X(z) = = = = 1 − (az −1 ) 1− az z−a z z M −1 (z − a) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 86. 74 3.2 Transformadas z racionalescon a = a · 1 = a · ej2kπ , z M − aM = 0 ⇒ z M = aM = aM ej2kπ de donde se deduce quez = aej2πk/M . Es decir, z M − aM tiene M ra´ aej2kπ/M , k = 0, . . . , M − 1. En resumen, ıcesX(z) tiene un polo en z = 0 con multiplicidad M − 1 y otro polo en z = a, que se cancelacon el cero en a, y M − 1 ceros distribuidos en un c´ ırculo de radio |a| (figura 3.6). Im{z} Plano z M−1 a Re{z} Figura 3.6: Diagrama de polos y ceros del ejemplo 3.2 con M = 4. 3.2Ejemplo 3.3 Determine la transformada z y la se˜al correspondiente al diagrama de npolos y ceros de la figura 3.7. Im{z} ROC p1 z1 ω0 z2 ω0 Re{z} r p2 Figura 3.7: Diagrama de polos y ceros para el ejemplo (3.3).Soluci´n: oLa transformada tiene dos ceros y dos polos: z1 = 0, z2 = r cos ω0 , p1 = r(cos ω0 +j sen ω0 ) = rejω0 , p2 = r(cos ω0 − j sen ω0 ) = re−jω0 . (z − z1 )(z − z2 ) z(z − r cos ω0 ) X(z) = G =G (z − p1 )(z − p2 ) (z − rejω0 )(z − re−jω0 ) −1 1 − rz cos ω0 =G , ROC: |z| > r 1 − 2rz −1 cos ω0 + r2 z −2De la tabla 3.2 se obtiene x(n) = G(rn cos ω0 n)u(n) 3.3 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 87. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 753.2.2 Localizaci´n de los polos y el comportamiento en el domi- o nio de n para se˜ ales causales nSi una se˜al real tiene una transformada z con un solo polo, este tiene que ser real, y la nse˜al correspondiente es entonces la exponencial real: n X(z) = 1 1 − az −1 = z z−a , ROC : |z| > |a| ¡ x(n) = an u(n) ¡que tiene adem´s un cero en z = 0. N´tese que X2 (z) = z−a , corresponde a X(z)z −1 y 1 a opor tanto la se˜al correspondiente a X2 (z) n x2 (n) = x(n − 1) que sigue siendo unaexponencial real. x(n) x(n) Plano z Plano z 1 1 n n -1 1 -1 1 -1 -1 x(n) x(n) Plano z Plano z 1 1 n n -1 1 -1 1 -1 -1 10 x(n) 10 x(n) Plano z Plano z 5 5 n n -1 1 -1 1 -5 -5 -10 -10 Figura 3.8: Comportamiento de la se˜al en relaci´n con la posici´n de un polo real. n o oLa figura 3.8 muestra el comportamiento de la se˜al en relaci´n con la posici´n del polo n o oreal, incluyendo su magnitud y signo.De la tabla 3.2, se obtiene que: X(z) = az −1 (1 − az −1 )2 = −2 az −1 z (z − a) 2 = az (z − a)2 , ROC: |z| > |a| ¡ x(n) = nan u(n)es una funci´n con un polo en z = a de multiplicidad dos y un cero en z = 0. Su ocomportamiento se muestra en la figura 3.9.N´tese que si |a| = 1 y el polo es simple, la se˜al correponde a la respuesta al impulso de o nun sistema, ´ste es entonces condicionalmente estable, pero no as´ si el polo es de mayor e ımultiplicidad.Un par de polos complejos conjugados simples conducen a una se˜al discreta sinusoidal, nmultiplicada por una envolvente exponencial discreta cuya forma est´ determinada por la a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 88. 76 3.2 Transformadas z racionales x(n) x(n) Plano z Plano z 1 1 2 2 n n -1 1 -1 1 -1 -1 10 x(n) 10 x(n) Plano z Plano z 5 5 2 2 n n -1 1 -1 1 -5 -5 -10 -10 100 x(n) 100 x(n) Plano z Plano z 50 50 2 2 n n -1 1 -1 1 -50 -50 -100 -100Figura 3.9: Comportamiento de la se˜al esi su transformada tiene un polo doble real, de n acuerdo con la posici´n del polo. o x(n) Plano z 1 2 n -1 1 -1 x(n) Plano z 2 1 2 n -1 1 -1 -2 70 x(n) Plano z 35 2 n -1 1 -35 -70Figura 3.10: Se˜ales en relaci´n con la ubicaci´n de un par de polos simples conjugados en su n o o transformada z.magnitud de los polos (figura 3.10). Las se˜ales reales causales con polos reales simples o npares de polos simples complejos conjugados que est´n dentro de la circunferencia unitaria ason acotadas en magnitud. Una se˜al con polos cerca del origen decrece m´s r´pidamente n a aque otra con polos m´s cercanos a la circunferencia unitaria. El efecto de la posici´n de a olos ceros no es tan determinante como la posici´n de los polos. Por ejemplo, en el caso o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 89. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 77de las se˜ales senoidales, s´lo afectan la fase. n o3.2.3 La funci´n de transferencia de un sistema LTI oEn el cap´ ıtulo 2 se encontr´ que la salida y(n) de un sistema LTI con respuesta impulsional oh(n) y entrada x(n) est´ dada por la convoluci´n y(n) = h(n) ∗ x(n), que ya se demostr´y h(n)   a oen el dominio z ser equivalente a Y (z) = H(z)X(z), con y(n) Y (z), x(n) X(z) H(z). A H(z), la transformada z de la respuesta impulsional, se le denomina o    funci´n de transferencia del sistema. N´tese que conociendo H(z) y la transformada z de o ola entrada X(z) es posible calcular f´cilmente la transformada z de la salida del sistema, apor medio de su producto. Sin embargo, es tambi´n posible, conociendo Y (z) y X(z), eobtener la funci´n de transferencia con: o Y (z) H(z) = X(z)a partir de la cual se puede determinar la respuesta impulsional por medio de la transfor-mada z inversa.Con la ecuaci´n de diferencias del sistema o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0se obtiene transformando al dominio z ambos lados: N M −k Y (z) = − ak Y (z)z + bk X(z)z −k k=1 k=0 N M = −Y (z) ak z −k + X(z) bk z −k k=1 k=0 N M Y (z) 1 + ak z −k = X(z) bk z −k k=1 k=0 M bk z −k Y (z) k=0 H(z) = = N X(z) 1+ ak z −k k=1Lo que implica que un sistema lineal descrito por una ecuaci´n de diferencias lineal con ocoeficientes constantes tiene una funci´n de transferencia racional. oSi ak = 0 para k ∈ [1, N ] (sistema no recursivo), entonces M M −k 1 H(z) = bk z = M bk z M −k k=0 z k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 90. 78 3.2 Transformadas z racionaleses decir, el sistema tiene un polo en el origen de multiplicidad M y M ceros determinadospor los par´metros {bk }. Dado que el sistema contiene M polos triviales en z = 0 y M aceros no triviales, se le denomina sistema de todos ceros. Un sistema as´ es evidentemente ıFIR y se le denomina sistema de media ponderada m´vil. oSi bk = 0 para k ∈ [1, M ] el sistema es recursivo y: b0 b0 z N ! H(z) = N = N , a0 = 1 1+ ak z −k ak z N −k k=1 k=0que tiene un cero trivial en z = 0 de orden N y N polos determinados por los coeficientes{ak }. A este sistema se le denomina sistema de todos polos, que siempre corresponde aun sistema IIR.La forma general se denomina sistema de polos y ceros, con N polos y M ceros. Lospolos y ceros en z = 0 y z = ∞, usualmente no se consideran de forma expl´ ıcita. Por lapresencia de polos, este sistema es tambi´n IIR. eEjemplo 3.4 Determine la funci´n de transferencia y la respuesta impulsional del sis- otema descrito por: 1 y(n) = y(n − 1) + 2x(n) 2Soluci´n: o 1 Y (z) = Y (z)z −1 + 2X(z) 2 1 Y (z) 1 − z −1 = 2X(z) 2 Y (z) 2 2z H(z) = = 1 −1 = X(z) 1 − 2z z−1 2 1que tiene un polo en z = 2 y un cero en z = 0. Utilizando la tabla de transformadas se ¡obtiene: n 1 H(z) h(n) = 2 u(n) 2 3.4Ejemplo 3.5 As´mase que un sistema se rige por el diagrama de polos y ceros mostrado uen la figura 3.7. Encuentre la ecuaci´n de diferencias que lo realiza. oSoluci´n: oEn el diagrama se observa una regi´n de convergencia externa al c´ o ırculo de radio r, lo queimplica que el sistema es causal. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 91. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 79Utilizando los resultados del ejemplo 3.3 se obtiene que la funci´n de transferencia equi- ovalente al diagrama de polos y ceros corresponde a: Y (z) (z − z1 )(z − z2 ) H(z) = =G X(z) (z − p1 )(z − p2 ) 1 − r cos ω0 z −1 =G , ROC: |z| > r 1 − 2r cos ω0 z −1 + r2 z −2y por tanto Y (z) 1 − 2r cos ω0 z −1 + r2 z −2 = X(z)G 1 − r cos ω0 z −1 Y (z) − 2r cos ω0 Y (z)z −1 + r2 Y (z)z −2 = GX(z) − Gr cos ω0 X(z)z −1   y(n) − 2r cos ω0 y(n − 1) + r2 y(n − 2) = Gx(n) − Gr cos ω0 x(n − 1)y finalmente y(n) = 2r cos ω0 y(n − 1) − r2 y(n − 2) + Gx(n) − Gr cos ω0 x(n − 1) 3.53.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z a3.3.1 Respuesta de sistemas con funci´n de transferencia racio- o nalSea un sistema dado por la ecuaci´n de diferencias: o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0 B(z)Su funci´n de transferencia H(z) es racional de la forma H(z) = o A(z) , donde el polinomioB(z) determina los ceros y A(z) los polos de H(z).Si se asume adem´s que el sistema est´ en reposo, esto es, y(−1) = y(−2) = . . . = a ay(−N ) = 0, y que la entrada X(z) tambi´n puede representarse en forma racional como e N (z)X(z) = Q(z) , entonces se tiene que la transformada de la funci´n de salida es de la forma: o B(z)N (z) Y (z) = A(z)Q(z) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 92. 80 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z aSup´ngase ahora que A(z) = N (1 − pk z −1 ), Q(z) = L (1 − qk z −1 ) y pk = qm , ∀k, m, o k=1 k=1y que ning´n cero coincide con los polos, entonces se cumple que: u N L Ak Qk Y (z) = −1 + k=1 1 − pk z k=1 1 − qk z −1y por lo tanto su transformada inversa ser´: a N L y(n) = Ak pn u(n) k + n Qk qk u(n) k=1 k=1 respuesta natural respuesta forzadaEsta secuencia se compone de dos partes: las respuestas natural y forzada. La respuestanatural depende de los polos {pk } del sistema y es influenciada por la entrada x(n) atrav´s de los coeficientes {Ak }. La respuesta forzada depende de los polos de la entrada e{qk } y es influenciada por el sistema a trav´s de los coeficientes {Qk }. eSi X(z) o H(z) tienen polos m´ltiples o polos en com´n, entonces la respuesta Y (z) tendr´ ´ u u a m 1t´rminos de la forma l=1 (1−pk z−1 )l , donde m es el orden del polo, lo que conducir´ a e a l−1 nt´rminos en y(n) de la forma n pk u(n). e3.3.2 Condiciones iniciales no nulasPara calcular la respuesta de un sistema a una entrada causal x(n) con condiciones inicialesno nulas, se utiliza la transformada z unilateral: N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=1 ¡   N k M  k    Y + (z) = − ak z −k Y + (z) + y(−n)z n + bk z −k X + (z) +  x(−n)z n   k=1 n=1 k=1  n=1  =0 por causalidadPuesto que x(n) es causal, entonces X + (z) = X(z) y se tiene: N M N k + −k + −k −k Y (z) 1 + ak z = X (z) bk z − ak z y(−n)z n , k=1 k=0 k=1 n=1de donde se despeja: M −k N k k=0 bk z ak z −k y(−n)z n Y + (z) = N X(z) − k=1 N n=1 1+ −k ak z −k k=1 ak z 1+ k=1 N0 (z) = H(z)X(z) + A(z) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 93. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 81La salida del sistema consta entonces de dos partes, la respuesta de estado nulo Yzs (z) = H(z)X(z)y la respuesta de entrada nula que depende de las condiciones iniciales + N0 (z) Yzi (z) = A(z) + +puesto que Y + (z) = Yzs (z)+Yzi (z) ¡zu y(n) = yzs (n)+yzi (n). Al ser A(z) el denominadorde Yzi (z) sus polos ser´n {pk }, y la respuesta a entrada nula tendr´ la forma: a a N yzi = Dk pn u(n) k k=1lo que puede a˜adirse a la respuesta natural y combinarse para dar: n N L y(n) = Ak pn u(n) + k n Qk qk u(n), con Ak = Ak + Dk k=1 k=1En resumen, las condiciones iniciales alteran la respuesta natural del sistema modificandolos factores de escala {Ak }. No se introducen nuevos polos ni se modifica la respuestaforzada.Ejemplo 3.6 Determine la respuesta al escal´n u(n) del sistema dado por o y(n) = 0,9y(n − 1) − 0,81y(n − 2) + x(n)para las condiciones iniciales: 1. y(−1) = y(−2) = 0 2. y(−1) = y(−2) = 1Soluci´n: La funci´n de transferencia est´ dada por: o o a 1 H(z) = 1 − 0,9z −1 + 0,81z −2 πcuyos polos son complejos conjugados: p1,2 = 0,9e±j 3 x(n) = u(n)   1 1 − z −1Con lo que se obtiene directamente: 1 Yzs (z) = π π (1 − − 0,9e−j 3 z −1 )(1 − z −1 ) 0,9ej 3 z −1 )(1 0,542 − j0,049 0,542 + j0,049 1,099 = j π −1 + −j π −1 + 1 − 0,9e 3 z 1 − 0,9e 3 z 1 − z −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 94. 82 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z aPor lo que: π yzs (n) = 1,099 + 1,088(0,9)n cos n − 5.2◦ u(n) 3Para 1. y(n) = yzs (n)Para 2., con las condiciones iniciales se obtiene: N k −k N0 = − ak z y(−n)z n k=1 n=1 = −(a1 z {y(−1)z} + a2 z −2 {y(−1)z + y(−2)z 2 }) −1 = −(a1 y(−1) + a2 y(−1)z −1 + a2 y(−2)) = −(−0,9 + 0,81 + 0,81z −1 ) = 0,09 − 0,81z −1 N0 (z) 0,09 − 0,81z −1 Yzi (z) = = A(z) 1 − 0,9z −1 + 0,81z −2 0,026 + j0,4936 0,026 − j0,4936 = j π −1 + π 1 − 0,9ze 3 z 1 − 0,9ze−j 3 z −1y por tanto: π yzi (n) = 0,988(0,9)n cos n + 87◦ u(n) 3y Y (z) = Yzs (z) + Yzi (z) 1,099 0,568 + j0,445 0,568 − j0,442 Y (z) = + j π −1 + π 1−z −1 1 − 0,9ze 3z 1 − 0,9ze−j 3 z −1que equivale a: π y(n) = 1,099u(n) + 1,44(0,9)n cos n + 38◦ u(n) 3 3.63.3.3 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente eSi para todos los polos del sistema {pk } se cumple que |pk | < 1, entonces la respuestanatural del sistema: N ynr (n) = Ak pn u(n) k k=1decae si n tiende a infinito, y se le denomina respuesta transitoria. Su tasa de decaimientodepender´ de qu´ tan cerca est´n los polos de la circunferencia unidad. Si los polos {qk } a e ede la respuesta forzada tienen magnitudes |qk | < 1, la respuesta a la entrada tambi´n edecae. Si la entrada es sinusoidal implica que hay polos en la circunferencia unitaria, y larespuesta forzada tambi´n tendr´ esos polos y ser´ sinusoidal, y la respuesta se denomina e a ade estado permanente. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 95. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 833.3.4 Causalidad y EstabilidadUn sistema es causal si h(n) = 0 para n < 0, lo que implica que su ROC es el exterior deuna circunferencia. El sistema es estable si: ∞ |h(n)| < ∞ n=−∞lo que ocurre s´lo si |z| = 1 est´ dentro de la ROC, o de otro modo, si los polos se o aencuentran dentro de la circunferencia unitaria, puesto que ∞ H(z) = h(n)z −n n=−∞ ∞ |H(z)| ≤ |h(n)||z −n | n=−∞y evaluando en |z| = 1 ∞ |H(z)||z|=1 ≤ |h(n)| n=−∞Un sistema LTI ser´ entonces estable s´lo si |z| = 1 est´ en la ROC de H(z). Esta a o acondici´n tambi´n se cumple para sistemas anticausales, es decir, la ROC deber´ ser el o e ainterior de una circunferencia que contenga |z| = 1.3.3.5 Cancelaci´n polo-cero oLos efectos de un polo del sistema pueden cancelarse o reducirse con un cero ya sea delmismo sistema o de la entrada. Sin embargo, posibles efectos como la estabilizaci´n de un osistema inestable por medio de ceros en la entrada deben evitarse, porque la posici´n de olos polos y ceros no puede alcanzarse con precisi´n arbitraria en sistemas digitales reales. o3.3.6 Polos de orden m´ ltiple y estabilidad uUn sistema con polos en la circunferencia unitaria es inestable pues basta encontrar unaentrada con un polo en el mismo sitio para producir una salida no acotada.Ejemplo 3.7 Determine la respuesta al escal´n de: o y(n) = y(n − 1) + x(n)Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 96. 84 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z a 1 1Con H(z) = 1−z −1 y X(z) = 1−z −1 se obtiene: Y (z) = H(z)X(z) = 1 (1 − z −1 )2 ¡ y(n) = (n + 1)u(n + 1)que contiene un polo doble en z = 1, y equivale a una rampa no acotada.Esto se explica por el hecho de que si Y (z) contiene polos m´ltiples, entonces y(n) tendr´ u at´rminos de la forma: e Ak nb (pk )n u(n)que son acotados s´lo si |pk | < 1. o 3.73.3.7 Estabilidad de sistemas de segundo ordenLos sistemas de segundo orden (con dos polos) se utilizan como bloque b´sico para la aconstrucci´n de sistemas de mayor orden, y por ello requieren de un poco de atenci´n. o oConsid´rese entonces el sistema: e y(n) = −a1 y(n − 1) − a2 y(n − 2) + b0 x(n)con a1 , a2 ∈ IR. Su funci´n de transferencia es o Y (z) b0 b0 z 2 H(z) = = = 2 X(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 z + a1 z + a2 2 b0 z b0 z 2 = = 2 (z − p1 )(z − p2 ) z − (p1 + p2 )z + p1 p2Este sistema tiene dos ceros en el origen y dos polos en a1 a2 − 4a2 1 p1,2 = − ± 2 4El sistema es estable BIBO si |p1,2 | < 1. Puesto que se cumple que a1 = −(p1 + p2 ) ya2 = p1 p2 , se debe cumplir que |a2 | = |p1 p2 | = |p1 ||p2 | < 1y |a1 | < 1 + a2 ⇒ a2 > |a1 | − 1En el plano a1 , a2 estas inecuaciones delimitan una regi´n triangular (figura 3.11). oPara obtener estas ecuaciones se sabe que |p1,2 | < 1. Primero as´mase que los polos son u a1 2 2reales, es decir, 2 ≥ a2 , que equivale a la parte inferior de la par´bola a2 = a21 . En a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 97. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 85 2 a2 a2 a2 = 4 1 1 Polos complejos a1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 Polos reales -1 a2 = a1 − 1 a2 = −a1 − 1Figura 3.11: Tri´ngulo de estabilidad en el plano de coeficientes (a1 , a2 ) para un sistema de a segundo orden. a1 2 a1 2 2 − a2 2 − a2 − a1 2 Figura 3.12: Desplazamiento de los polos a la izquierda y a la derecha.esta regi´n, los polos est´n centrados en − a21 , con un desplazamiento hacia la izquierda y o a a1 2derecha de 2 − a2 (figura 3.12).Por lo tanto, debe cumplirse que: |a1 | a1 2 1− > − a2 2 2Elevando al cuadrado ambos lados y considerando que a1 ∈ IR se obtiene: 2 |a1 | a1 2 1 − |a1 | + > − a2 ⇒ 1 + a2 > |a1 | 2 2En caso de que p1,2 sean complejos (n´tese que a2 es positivo puesto que debe ser mayor o 2que (a1 /2) ), entonces: 2 a1 a1 2 a1 2 a1 2 |p1,2 |2 = − ± j a2 − = + a2 − = a2 2 2 2 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 98. 86 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z ay por tanto, para que |p1,2 | < 1, entonces 0 < a2 < 1, lo que confirma la anterior condici´n o|a2 | < 1.Los pares (a1 , a2 ) en la parte superior a la par´bola conducen entonces a polos complejos aconjugados, y bajo la par´bola a polos reales y distintos. Los pares (a1 , a2 ) en la par´bola a a a1 2 2 = a2 conducen a un polo de orden 2.Las funciones de transferencia y sus equivalentes en el dominio del tiempo se resumen enla tabla 3.3, con p = rejω0 , por lo que a1 = −2r cos ω0 , a2 = r2 . Tabla 3.3: Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales Polos Condici´n o H(z) h(n) p1 p2 Reales y distintos a2 > 4a2 1 b0 p1 −p2 1−p1 z −1 − 1−p2 z −1 b0 p1 −p2 pn+1 − pn+1 u(n) 1 2 b0 Reales e iguales a2 = 4a2 1 (1−pz −1 )2 b0 (n + 1)pn u(n) b0 e jω0 e−jω0 n b0 r Complejos conjugados a2 < 4a2 1 j2 sen ω0 1−rejω0 z −1 − 1+re−jω0 z−1 sen ω0 sen[(n + 1)ω0 ]u(n) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 99. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 873.4 ProblemasProblema 3.1. Grafique las siguientes funciones e indique cualitativamente qu´ regiones ede convergencia (ROC) tiene su transformada z: 1. x(n) = sen(ωn)u(n) 4. x(n) = ur (n) − 2ur (n − 5) + ur (n − 10) 1 −|n| 2. x(n) = u(n + 4) − u(n − 2) 5. x(n) = − 2 3. x(n) = u(−n − 2) 6. x(n) = ur (n + 5)u(−n − 5)Problema 3.2. Encuentre las regiones del plano z donde las siguientes series convergen: ∞ n+2 ∞ −n+2 1 −n 1 1. z 3. zn n=−2 3 n=2 3 ∞ ∞ |n| 1 + (−1)n −n 1 π 2. z 4. cos n zn 2 n=−∞ 3 4 n=0Problema 3.3. Encuentre la transformada z de u(n − 2) x(n) = 4ncon su correspondiente ROC.Problema 3.4. Sea x(n) = (−1)n u(n) + αn u(−n − n0 )Encuentre para qu´ valores de α y n0 es la ROC de la transformada z de x(n) e 1 < |z| < 2Problema 3.5. Encuentre la transformada z de 1 n π 2 cos 4 n n≤0 x(n) = 0 n>0Indique los polos, ceros y ROC.Problema 3.6. Para las siguientes expresiones identifique los ceros y polos finitos einfinitos. z −1 1 − 1 z −1 2 z −2 (1 − z −1 ) 1. 3. 1 − 3 z −1 1 − 1 z −1 1 4 1 − 1 z −1 1 + 4 z −1 4 1 (1 − z −1 ) (1 − 2z −1 ) 2. (1 − 3z −1 ) (1 − 4z −1 ) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 100. 88 3.4 ProblemasProblema 3.7. Si x(n) es absolutamente sumable y tiene transformada z racional, conun polo en 1/2, entonces ¿podr´ x(n) ser ıa 1. una se˜al finita? n 3. una se˜al derecha? n 2. una se˜al izquierda? n 4. una se˜al bilateral? nProblema 3.8. Sea 1 − 1 z −2 4 X(z) = 1 + 1 z −2 4 1 + 4 z −1 + 3 z −2 5 8Indique cu´ntas y cu´les regiones de convergencia son posibles para X(z). a aProblema 3.9. Encuentre para todas las se˜ales discretas x(n) mostradas en la tabla 3.2 nla transformada z correspondiente utilizando la definici´n. oProblema 3.10. Sea x(n) una se˜al con transformada z racional X(z), que tiene un npolo en z = 1/2. Se sabe adem´s que a n 1 x1 (n) = x(n) 4es absolutamente sumable, pero n 1 x2 (n) = x(n) 8no es absolutamente sumable. Con esta informaci´n indique si x(n) es izquierda, derecha, obilateral o finita.Problema 3.11. Encuentre las funciones en tiempo discreto equivalentes a las trans-formadas z indicadas en la tabla 3.2 utilizando la definici´n integral de la transformada oz inversa.Problema 3.12. Utilizando la definici´n de la transformada z inversa, encuentre la osecuencia en el tiempo discreto equivalente a 1 − 3 z −1 1 X(z) = , ROC: |z| > 2 (1 − z −1 )(1 + 2z −1 )Problema 3.13. Encuentre por divisi´n polinomial la transformada z inversa de o 1 + z −1 X(z) = 1 + 1 z −1 3para ROC: |z| > 1/3 y para ROC: |z| < 1/3. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 101. 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 89Problema 3.14. Encuentre la transformada inversa de 1 − 1 z −1 3 X(z) = −1 )(1 + 2z −1 ) (1 − zpara todas las posibles regiones de convergencia por medio de descomposici´n en fracciones oparciales.Problema 3.15. Encuentre la transformada z inversa de 1 256 − z −8 X(z) = 1 , ROC: |z| > 0 256 1 − 2 z −1Problema 3.16. Para la ventana rectangular 1 0≤n≤k x(n) = 0 en el restosea g(n) = x(n) − x(n − 1) 1. Encuentre una expresi´n para g(n) y su transformada z. o 2. Encuentre la transformada z de x(n) considerando que n x(n) = g(k) k=−∞Problema 3.17. Para las siguientes funciones de transferencia de sistemas discretos,si se sabe que estos son estables indique si adem´s son causales: a 1 − 3 z −1 + 2 z −2 4 1 1. z −1 1 − 1 z −1 1 − 3 z −1 2 1 1 z−2 2. z2 + 1 z − 2 3 16 z+1 3. z + − 2 z −2 − 2 z −3 14 3 3Problema 3.18. Un sistema LTI tiene funci´n de transferencia H(z) y respuesta al oimpulso h(n). Se sabe 1. h(n) es real 2. h(n) es derecha c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 102. 90 3.4 Problemas 3. lim H(z) = 1 z→∞ 4. H(z) tiene dos ceros ırculo |z| = 3/4 5. H(z) tiene uno de sus polos en una ubicaci´n no real en el c´ o¿Es el sistema causal? ¿Es estable?Problema 3.19. Encuentre la transformada z unilateral de las siguientes se˜ales. n n 1 1. x1 (n) = u(n + 5) 4 2. x2 (n) = δ(n + 3) + δ(n) + 2n u(−n) |n| 1 3. x3 (n) = 2Problema 3.20. Un sistema de entrada x(n) y salida y(n) se rige por la ecuaci´n de odiferencias: y(n − 1) + 2y(n) = x(n) 1. Determine la respuesta de entrada cero al sistema si su condici´n inicial es y(−1) = o 2. 2. Encuentra la respuesta de estado cero si su entrada es x(n) = (1/4)n u(n). 3. Determine la salida del sistema para n ≥ 0 si y(−1) = 2 y x(n) = (1/4)n u(n) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 103. Cap´ ıtulo 4An´lisis frecuencial aEl cursos anteriores se deriv´ la descomposici´n de una funci´n peri´dica en componentes o o o osinusoidales (o exponenciales complejos). La importancia de esta descomposici´n es que oen sistemas LTI unicamente las se˜ales sinusoidales y exponenciales complejas conservan ´ nsu forma y su frecuencia (son funciones propias). Tan solo magnitud y fase de cadacomponente son alteradas por estos sistemas.El an´lisis frecuencial proporciona entonces mecanismos para la extracci´n de esas com- a oponentes. El t´rmino espectro se utiliza para referirse al contenido de frecuencias de una ese˜al. En la pr´ctica, puesto que no se conoce toda la se˜al en su extensi´n infinita, pa- n a n osada y futura, debe utilizarse la estimaci´n espectral , para la que se utilizan instrumentos oy algoritmos denominados analizadores espectrales.4.1 Espectro de se˜ ales continuas n4.1.1 Espectro de se˜ ales continuas peri´dicas n oLas se˜ales continuas peri´dicas se analizan por medio de la serie de Fourier. Para la n os´ ıntesis de la se˜al se utiliza n ∞ x(t) = ck ejΩ0 kt k=−∞y para el an´lisis: a t0 +Tp 1 ck = x(t)e−jΩ0 kt dt Tp t0Si la se˜al peri´dica tiene potencia media finita Px entonces n o t0 +Tp 1 Px = |x(t)|2 dt Tp t0 91
  • 104. 92 4.1 Espectro de se˜ales continuas ny puesto que |x(t)|2 = x(t)x∗ (t) se cumple que t0 +Tp t0 +Tp 1 1 Px = |x(t)|2 dt = x(t)x∗ (t) dt Tp t0 Tp t0 t0 +Tp ∞ 1 = x(t) ck ∗ e−jΩ0 kt dt Tp t0 k=−∞ ∞ t0 +Tp 1 = ck ∗ x(t)e−jΩ0 kt dt k=−∞ Tp t0 ∞ ∞ ∗ = ck ck = |ck |2 k=−∞ k=−∞que se conoce como la relaci´n de Parseval, e implica que la potencia media de la se˜al o nequivale a la suma de las potencias medias de cada uno de sus componentes frecuenciales,tambi´n llamados arm´nicos. A la gr´fica de |ck |2 para cada frecuencia kF0 (con la e o afrecuencia fundamental F0 = Ω0 /2π) se le denomina densidad espectral de potencia,espectro de la densidad de potencia o simplemente espectro de potencia. Si x(t) es real,puesto que |c−k | = |ck ∗ | = |ck | entonces la densidad espectral de potencia es una funci´n ode simetr´ par. ıaAl par de gr´ficas de |ck | vs. kF0 y θk = ∠ck vs. kF0 se le denomina espectro de tensi´n. a oPuesto que para funciones reales θ−k = ∠ck ∗ = −∠ck = −θk , la fase es impar.Ejemplo 4.1 La serie de Fourier de un tren peri´dico de pulsos rectangulares de ancho oτ en tiempo continuo (figura 4.1a) tiene como coeficientes Aτ sen(πkF0 τ ) ck = . Tp πkF0 τAnalice el efecto del periodo Tp y el ancho del pulso τ en el espectro de la se˜al. nSoluci´n: La distancia entre dos l´ o ıneas espectrales correspondientes a ck y ck+1 es F0 =1/Tp y el t´rmino τ , adem´s de determinar el ancho del pulso temporal, indica qu´ tan e a eextensa resulta la funci´n sen(x)/x. Las figuras 4.1(b) y (c) permiten comparar que si ose modifica el ancho del pulso temporal manteniendo el periodo, la distancia entre cadal´ ınea espectral se mantiene, mientras que el espectro se contrae (si τ aumenta). Por otrolado, si Tp aumenta (o lo que es equivalente, la frecuencia fundamental F0 baja), pero semantiene el ancho del pulso τ , la misma funci´n en la frecuencia sen(πkF0 τ )/(πkF0 τ ) es omuestreada m´s a menudo (la densidad de l´ a ıneas espectrales aumenta). 4.1La tabla 4.1 resume algunas propiedades de la serie de Fourier. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 105. 4 An´lisis frecuencial a 93 x(t) ck 1 t k −Tp −τ 2 τ 2 Tp -15 -10 -5 0 5 10 15 (a) (b) ck ck k k -15 -10 -5 0 5 10 15 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 (c) (d)Figura 4.1: Secuencia peri´dica de pulsos rectangulares en tiempo continuo. (a) Represen- o taci´n temporal. (b) L´ o ıneas espectro de (a) con τ = 1 y Tp = 5. (c) L´ ıneas espectrales de (a) con τ = 2 y Tp = 5. (d) L´ ıneas espectrales de (a) con τ = 1 y Tp = 10.4.1.2 Espectro de se˜ ales continuas aperi´dicas n oLa distancia entre dos l´ ıneas espectrales en el caso de se˜ales peri´dicas es F0 = 1/Tp , lo n oque implica que a mayor periodo, las l´ıneas espectrales se acercan (compare por ejemplola figura 4.1b con 4.1d). Retomando el c´lculo de los coeficientes de la serie de Fourier autilizando como t0 = Tp /2 se tiene que Tp /2 1 ck = x(t)e−j2πF0 kt dt . (4.1) Tp −Tp /2Dejando crecer el periodo Tp se puede alcanzar una frecuencia F0 arbitrariamente peque˜a, nque puede entonces reemplazarse por ∆F0 de tal forma que si Tp → ∞ (se˜al aperi´dica) n oentonces ∆F0 se transforma en un diferencial dF y k∆F0 se convierte en una variable devalor continuo F . La transformada de Fourier se obtiene con estos conceptos eliminando c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 106. 94 4.1 Espectro de se˜ales continuas n Tabla 4.1: Propiedades de la Serie de Fourier Propiedad Se˜al en el tiempo n Coeficientes x(t) ck x1 (t) c1k x2 (t) c2k Linealidad α1 x1 (t) + α2 x2 (t) α1 c1k + α2 c2k Tp 2 2 Simetr´ par ıa x(t) = x(−t) ck = x(t) cos(ω0 kt) dt Tp 0 ck ∈ IR Tp 2j 2 Simetr´ impar ıa x(t) = −x(−t) ck = − x(t) sen(ω0 kt) dt Tp 0 ck ∈ jIR Funci´n real o x(t) ∈ IR ck = c∗ −k Desplazamiento temporal x(t − τ ) e−jω0 kτ ck Conjugaci´n o x∗ (t) c∗ −k Inversi´n en el tiempo o x(−t) c−k Escalamiento en el tiempo x(αt), α > 0 ck Convoluci´n peri´dica o o x1 (τ )x2 (t − τ ) dτ Tp c1k c2k Tp ∞ Multiplicaci´n o x1 (t)x2 (t) c1l c2k−l l=−∞ dx(t) Diferenciaci´n o jkω0 ck dt t ck Integraci´n o x(t) dt, c0 = 0 −∞ jkω0 t0 +Tp ∞ 1 2 Relaci´n de Parseval o |x(t)| dt = |ck |2 Tp t0 k=−∞ 1el factor Tp y haciendo Tp → ∞: ∞ X(F ) = x(t)e−j2πF t dt (4.2) −∞y est´ relacionada directamente por lo tanto con los coeficientes de la serie a trav´s de a e X(F ) = lim Tp ck Tp →∞En t´rminos de la frecuencia angular Ω = 2πF esta transformaci´n equivale a e o ∞ X(Ω) = x(t)e−jΩt dt −∞Puede demostrarse adem´s [1] que la transformada inversa de Fourier est´ dada por: a a ∞ x(t) = X(F )ej2πF t dF −∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 107. 4 An´lisis frecuencial a 95 x(t) t (a) xp (t) t −Tp Tp (b) Figura 4.2: Una funci´n finita x(t) y su extensi´n peri´dica xp (t) o o oo con dΩ = 2πdF ∞ 1 x(t) = X(Ω)ejΩt dΩ . 2π −∞Si x(t) es una se˜al de extensi´n finita entonces existe una extensi´n peri´dica xp (t) de n o o operiodo Tp mayor a la extensi´n de x(t), como lo muestra la figura 4.2. En este caso se opueden comparar las ecuaciones (4.1) y (4.2) y se obtiene que 1 ck = X(kF0 ) Tpes decir, la extensi´n peri´dica de una se˜al aperi´dica conduce al muestreo del espectro o o n ode la transformada de Fourier con una tasa F0 .Las condiciones de Dirichlet para la existencia de la transformada de Fourier son equi-valentes a las ya mencionadas en las series de Fourier de se˜ales peri´dicas continuas, n oexcepto que la se˜al debe ser ahora absolutamente integrable en todo t y no solo en un nperiodo: ∞ |x(t)|dt < ∞ −∞lo que se deduce del hecho que ∞ ∞ ∞ |X(F )| = x(t)e−j2πF t dt ≤ |x(t)| e−j2πF t dt = |x(t)| dt < ∞ −∞ −∞ −∞De forma similar a las se˜ales peri´dicas puede demostrarse que n o ∞ ∞ 2 Ex = |x(t)| dt = |X(F )|2 dF −∞ −∞que es la relaci´n de Parseval para se˜ales aperi´dicas de energ´ finita. La cantidad o n o ıa 2Sxx (F ) = |X(F )| representa la distribuci´n de energ´ de la se˜al en funci´n de la o ıa n ofrecuencia, por lo que a Sxx se le denomina densidad espectral de energ´a. ıPara se˜ales reales se tiene que |X(−F )| = |X(F )| y ∠X(−F ) = −∠X(F ) por lo que nSxx (−F ) = Sxx (F ). c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 108. 96 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto nEjemplo 4.2 Calcule la transformada de Fourier de (figura 4.3a) A |t| ≤ τ /2 x(t) = 0 |t| > τ /2Utilizando la ecuaci´n (4.2) se obtiene (figura 4.3b): o τ /2 Aτ sen πF τ X(F ) = Ae−j2πF t dt = −τ /2 πF τ x(t) X(F ) A −τ 2 τ 2 t   3 −τ 2 −τ 1 −τ 0 1 τ 2 τ 3 τ F (a) (b) Figura 4.3: Pulso de ancho temporal τ (a) y su transformada de Fourier (b). 4.2N´tese que mientras x(t) sea m´s localizada en el tiempo, es decir, mientras m´s peque˜o o a a nsea τ , mucho m´s amplio es su espectro puesto que 1/τ crece. Este llamado principio ade incertidumbre es general para todas la se˜ales, e indica que algo muy localizado en el ntiempo no puede ser localizado con precisi´n en el dominio de la frecuencia, y algo con ofrecuencias muy puntuales no tiene una ubicaci´n espec´ o ıfica en el tiempo.La tabla 4.2 resume algunas propiedades de la Transformada de Fourier.4.2 Espectro de se˜ ales en tiempo discreto nEn la secci´n anterior se present´ que el espectro de se˜ales continuas abarca frecuencias de o o n−∞ a ∞, donde en el caso de se˜ales peri´dicas solo se encontrar´n frecuencias “discretas” n o am´ltiplos de F0 = 1/Tp , donde Tp es el periodo fundamental de la se˜al. En cap´ u n ıtulosanteriores se demostr´ que, sin embargo, para se˜ales de naturaleza discreta solo existe o nunicidad para frecuencias normalizadas en el intervalo ] − 1/2; 1/2], ´ [0; 1[. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 109. 4 An´lisis frecuencial a 97 Tabla 4.2: Propiedades de la Transformada de Fourier Propiedad Se˜al en el tiempo Transformada n x(t) X(jω) x1 (t) X1 (jω) x2 (t) X2 (jω) Linealidad α1 x1 (t) + α2 x2 (t) α1 X1 (jω) + α2 X2 (jω) ∞ Simetr´ par ıa x(t) = x(−t) 2 x(t) cos(ωt) dt 0 X(jω) ∈ IR ∞ Simetr´ impar ıa x(t) = −x(−t) −2j x(t) sen(ωt) dt 0 X(jω) ∈ jIR Funci´n real o x(t) ∈ IR X(jω) = X ∗ (−jω) Dualidad X(jt) 2πx(−ω) Desplazamiento temporal x(t − τ ) e−jωτ X(jω) Desplazamiento en frecuencia ejω0 t x(t) X(jω − jω0 ) 1 1 Modulaci´n o cos(ω0 t)x(t) 2 X(jω − jω0 ) + 2 X(jω + jω0 ) Conjugaci´no x∗ (t) X ∗ (−jω) Inversi´n en el tiempo o x(−t) X(−jω) 1 jω Escalamiento en el tiempo x(at) X |a| a Convoluci´n o x1 (t) ∗ x2 (t) X1 (jω)X2 (jω) 1 Multiplicaci´n o x1 (t)x2 (t) X1 (jω) ∗ X2 (jω) 2π dx(t) Diferenciaci´n o jωX(jω) dt d tx(t) j X(jω) dω t 1 Integraci´n o x(t) dt X(jω) + πX(0)δ(ω) −∞ jω ∞ ∞ 1 Relaci´n de Parseval o |x(t)|2 dt = |X(jω)|2 dω −∞ 2π −∞4.2.1 Espectro de se˜ ales discretas peri´dicas n oUna se˜al discreta peri´dica con periodo fundamental N puede tener componentes fre- n ocuenciales separadas por ω = 2π/N radianes o f = 1/N ciclos, que se representan por losexponenciales complejos arm´nicamente relacionados: o sk (n) = ej2πkn/N , k = 0...N − 1Utilizando la serie generalizada de Fourier con estas se˜ales como base se obtiene para la n c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 110. 98 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto ns´ ıntesis de una se˜al: n N −1 x(n) = ck ej2πkn/N (4.3) k=0y considerando que  N N −1 a=1 an = 1 − aN n=0  a=1 1−ase puede afirmar para las exponenciales complejas N −1 N k = 0, ±N, ±2N, . . . ej2πkn/N = n=0 0 en el restotomando a = ej2πk/N por lo que aN = 1.Multiplicando (4.3) por e−j2πln/N y sumando de 0 a N − 1. N −1 N −1 N −1 −j2πln/N x(n)e = ck ej2πkn/N e−j2πln/N n=0 n=0 k=0 N −1 N −1 = ck ej2π(k−l)n/N k=0 n=0 = N cly finalmente N −1 1 cl = x(n)e−j2πln/N , l = 0, 1, . . . , N − 1 N n=0N´tese que en esta serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS, discrete time Fourier oseries) el coeficiente ck representa la amplitud y fase de la componente frecuencial sk (n) =ej2πkn/N = ejωk n con frecuencia angular normalizada ωk = 2πk/N (o lo que es equivalentefk = k/N ). Puesto que sk (n) es peri´dica al ser fk un n´mero racional (sk (n) = sk (n+N )), o uentonces los coeficientes ck tambi´n son peri´dicos con periodo fundamental N : e o N −1 N −1 1 −j2π(k+N )n/N 1 ck+N = x(n)e = x(n)e−j2πkn/N e−j2πn = ck N n=0 N n=0Por conveniencia se utiliza para ck normalmente el intervalo k = 0 . . . N − 1.La relaci´n de Parseval es en este caso o N −1 N −1 1 2 |x(n)| = |ck |2 N n=0 k=0es decir, la potencia media de la se˜al es igual a la suma de las potencias medias de cada ncomponente en el dominio de la frecuencia. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 111. 4 An´lisis frecuencial a 994.2.2 Espectro de se˜ ales discretas aperi´dicas n oLa transformada de Fourier de una se˜al de energ´ finita en tiempo discreto x(n) se n ıadefine como: ∞ X(ω) = x(n)e−jωn n=−∞N´tese que X(ω) = X(ω + 2πk), lo que implica que el rango de frecuencias unicas se o ´limita a [0, 2π[, o de forma equivalente a ] − π, π], que contrasta con el rango [−∞, ∞] delas se˜ales continuas. nComo la se˜al x(n) es discreta, una sumatoria reemplaza la integral del caso continuo. nPuede demostrarse adem´s que a π 1 x(n) = X(ω)ejωn dω . 2π −πLa transformada de Fourier converge si ∞ ∞ −jωn |X(ω)| = x(n)e ≤ |x(n)| < ∞ n=−∞ n=−∞es decir, si la se˜al es absolutamente sumable. nLa relaci´n de Parseval en este caso es: o ∞ π 1 Ex = |x(n)|2 = |X(ω)|2 dt n=−∞ 2π −πPara se˜ales reales, el espectro X(ω) tiene magnitud par y fase impar, es decir, se cumple nque X(ω) = X ∗ (−ω), por lo que usualmente basta determinar el espectro para ω ∈ [0, π],pues la contraparte puede generarse por simetr´ıa.Debe notarse en los cuatro casos anteriores la correspondencia entre periodicidad en undominio y la naturaleza discreta de la representaci´n en el dominio complementario. Es odecir, si la se˜al es peri´dica, su espectro ser´ discreto y si el espectro es peri´dico, es n o a oporque la se˜al es discreta. Si la distancia entre las muestras o la l´ n ıneas espectrales es αentonces la periodicidad en el otro dominio ser´ 1/α. a peri´dico ←→ discreto o aperi´dico ←→ continuo oPor ejemplo, una se˜al continua peri´dica tendr´ un espectro aperi´dico discreto; una n o a ose˜al discreta aperi´dica tendr´ un espectro peri´dico continuo. n o a o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 112. 100 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n4.2.3 Relaci´n entre las transformadas de Fourier y z oLa transformada z de la secuencia x(n) se ha definido como ∞ X(z) = x(n)z −n , ROC : r2 < |z| < r1 (4.4) n=−∞Expresando z como z = rejω (r = |z|, ω = ∠z), entonces (4.4) se puede reescribir como ∞ X(z)|z=rejω = x(n)r−n e−jωn n=−∞que equivale a la transformada de Fourier de la secuencia x(n)r−n . Para el caso especialde r = 1 se obtiene ∞ X(z)|z=ejω = X(ω) = x(n)e−jωn n=−∞es decir, la transformada de Fourier de x(n) equivale a su transformada z evaluada en lacircunferencia unitaria z = ejω . La figura 4.4 muestra como ejemplo la magnitud de latransformada z de una secuencia x(n) y a la derecha la misma funci´n “recortada” en o|z| = 1. La silueta formada en |z| = 1 corresponde entonces a X(ω). 7 7 6 6 5 5 4 4 |X(z)| |X(z)| 3 3 2 2 1 1 1 1 0 Im{z} 0 Im{z} 1 1 0.5 0.5 0 0 –1 –0.5 –1 –0.5 –1 Re{z} –1 Re{z} (a) (b)Figura 4.4: Correspondencia entre X(ω) y X(z) para una funci´n con un par de polos com- o ◦ plejos conjugados en z = 0,95e±j30 y un cero en z = 0. (a) |X(z)|. (b) |X(z)| para |z| < 1.Si X(z) no converge en |z| = 1 entonces la transformada de Fourier no existe. Por otrolado, existen funciones con transformada de Fourier, que no tienen transformada z. Por c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 113. 4 An´lisis frecuencial a 101 sen ωc nejemplo, x(n) = πn tiene transformada de Fourier 1 |ω| ≤ ωc X(ω) = 0 ωc < |ω| < π ∞ sen ωc n −nmas no posee transformada z, puesto que para la serie n=−∞ πn z no existe ningunaregi´n de convergencia. oAlgunas secuencias con polos en |z| = 1 en su transformada z pueden tener una trans-formada de Fourier si se extiende la definici´n de transformada para utilizar impulsos de oDirac ∞ ∞ ω=0 δ(ω) = δ(ω) dω = 1 0 ω=0 −∞Ejemplo 4.3 Determine la transformada de Fourier de las se˜ales n 1. x1 (n) = u(n) 2. x2 (n) = (−1)n u(n) 3. x3 (n) = cos(ω0 n)u(n) 1 z 1. La transformada de x1 (n) es X1 (z) = −1 = con una ROC |z| > 1, pues 1−z z−1 tiene un polo en z = 1. Con z = ejω se obtiene ejω ejω/2 1 ω−π X1 (ω) = = jω/2 = ej 2 ; ω = 2πk, k ∈ Z ejω − 1 e − e−jω/2 2 sen(ω/2) cuya magnitud y fase se muestran en la figura 4.5. |X1 (ω)| 3.5 X1 (ω) π 3 2 2.5 2 ω 1.5 −π 0 π 1 0.5 0 ω −π 2 −π 0 π (a) (b)Figura 4.5: Espectros de magnitud y fase para la funci´n escal´n u(n). (a) Espectro de mag- o o nitud. (b) Espectro de fase. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 114. 102 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n Puesto que solo en ω = 2kπ X1 (ω) est´ indefinido, se sustituye all´ la transformada a ı por πδ(ω), donde la constante π se obtiene de un desarrollo matem´tico riguroso a 1 que excede el contexto de estas notas. 1 z 2. X2 (z) = = con un polo en z = −1 = ejπ . La transformada de Fourier 1 + z −1 z+1 ejω/2 es entonces X2 (ω) = , con ω = 2πk + π, k ∈ Z. Donde se agregan los 2 cos(ω/2) impulsos en las frecuencias ω = −π y ω = π (figura 4.6). |X2 (ω)| 3.5 X2 (ω) π 3 2 2.5 2 ω 1.5 −π 0 π 1 0.5 0 ω −π 2 −π 0 π (a) (b)Figura 4.6: Espectros de magnitud y fase para la funci´n (−1)n u(n). (a) Espectro de magni- o tud. (b) Espectro de fase. 1 − z −1 cos ω0 3. X3 (z) = , ROC |z| > 1 puesto que tiene dos polos complejos 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 conjugados en e±jω0 . Por lo tanto, la transformada de Fourier es 1 − e−jω cos ω0 X3 (ω) = (1 − e−j(ω−ω0 ) )(1 − e−j(ω+ω0 ) ) con ω = ±ω0 + 2πk (figura 4.7). 4.34.2.4 El teorema del muestreoDerivaci´n conceptual por an´lisis de Fourier o aLa funci´n puente pT (t) mostrada en la figura 4.8 se utiliza para modelar la toma de omuestras con el intervalo T de la se˜al anal´gica xa (t). La se˜al muestreada xs (t) se n o nmodela a trav´s del producto de la se˜al xa (t) y pT (t) (figura 4.9): e n xs (t) = xa (t)pT (t) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 115. 4 An´lisis frecuencial a 103 |X3 (ω)| 3.5 X3 (ω) π 3 2.5 π 2 2 ω 1.5 −π 0 π 1 −π 2 0.5 0 ω −π −π 0 π (a) (b)Figura 4.7: Espectros de magnitud y fase para la funci´n cos(πn/3). (a) Espectro de magnitud. o (b) Espectro de fase. pT (t) t −T T 2T 3TFigura 4.8: Funci´n puente utilizada para tomar muestras peri´dicas en el tiempo de se˜ales o o n continuas.Puesto que la funci´n puente pT (t) es peri´dica, se puede expresar por medio de una serie o ode Fourier con coeficientes Pn : ∞ 2π pT (t) = Pn ejnΩ0 t ; Ω0 = = 2πF n=−∞ T 1 ∞ El desarrollo parte del hecho que −∞ ejωt dω = 2πδ(t), o haciendo un cambio de variable ∞ −∞ ejωt dt = 2πδ(ω). xa (t) t −T T 2T 3T xs (t) t −T T 2T 3T Figura 4.9: Muestreo de se˜al utilizando la funci´n puente. n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 116. 104 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto nde modo que se cumple ∞ xs (t) = xa (t) Pn ejnΩ0 t n=−∞Aplicando la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuaci´n y utilizando la pro- opiedad de linealidad se obtiene ∞ ∞ Xs (jΩ) = F {xs (t)} = F xa (t) Pn ejnΩ0 t = Pn F xa (t)ejnΩ0 t n=−∞ n=−∞y considerando la propiedad de desplazamiento en frecuencia, lo anterior equivale a ∞ Xs (jΩ) = Pn Xa (jΩ − jnΩ0 ) n=−∞ ∞ = P0 Xa (jω) + Pn Xa (jΩ − jnΩ0 ) n=−∞ n=0de donde se deduce que con el muestreo se producen r´plicas del espectro original de ela se˜al Xa (jΩ), separadas en el dominio de la frecuencia por Ω0 = 2π/T y pondera- ndas por los coeficientes de la representaci´n de la funci´n puente como serie de Fourier o o(figura 4.10). x(t) X (jΩ) t Ω −2πB 2πB (a) xs (t) Xs (jΩ) t Ω T −2πFs −2πB 2πB Ω0 (b) Figura 4.10: Replicaci´n del espectro por medio del muestreo. oSi el espectro original Xa (jΩ) es de banda limitada, es decir, si a partir de cierta frecuencia2πB (donde B es el llamado ancho de banda) se cumple Xa (jω) = 0, entonces eligiendoel periodo de muestreo suficientemente alto es posible evitar que las r´plicas se traslapen econ el espectro original. Si xa (t) es real, entonces la magnitud de su espectro es par, ypor tanto para evitar el traslape la siguiente r´plica se deber´ posicionar al menos en e aΩ0 > 4πB lo que es equivalente a afirmar que la frecuencia de muestreo fs debe ser almenos el doble del ancho de banda B del espectro Xa (jΩ) para evitar que las replicas setraslapen. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 117. 4 An´lisis frecuencial a 105Se puede demostrar que si no hay traslape entonces es posible rescatar a partir de la se˜al nmuestreada xs (t) la se˜al original xa (t) utilizando un filtro paso-bajos que permita pasar nunicamente el rango de frecuencias angulares desde −2πB hasta 2πB.´Estos principios se resumen en el llamado teorema del muestreo que establece que paramuestrear una se˜al anal´gica sin p´rdidas de informaci´n se requiere una tasa de muestreo n o e ode al menos el doble del ancho de banda del espectro de la se˜al. nEn los ultimos a˜os han tomado fuerza nuevas propuestas2 para requerir a´n menos mues- ´ n utras que las establecidas por este teorema, aunque su funcionamiento parte de requisitosadicionales impuestos a la funci´n xa (t), donde la posici´n de las muestras deja de ser o oregular, y el comportamiento matem´tico pasa a ser m´s basado en procesos estoc´sticos a a aque deterministas.Derivaci´n algebraica oEn la secci´n 2.2.2 se revis´ el hecho de que la m´xima frecuencia normalizada repre- o o a Fmax 1sentable en una se˜al muestreada es fmax = Fs = 2 . Puesto que la representaci´n de n oFourier de la se˜al discreta es n x(n)   X(ω) = ∞ n=−∞ x(n)e−jωn , ω ∈] − π, π]y X(ω) es peri´dico con periodo fundamental 2π, se obtiene que la frecuencia m´ o ınimade muestreo Fs debe ser elegida de tal modo que sea al menos el doble de la frecuenciam´xima de la se˜al(figura 4.11). a n X (ω) ω −2π −π π 2π f −1 −1 2 0 1 2 1 F −Fs − Fs −B 2 0 B Fs 2 Fs Figura 4.11: Espectro de se˜al discreta con banda limitada sin aliasing. nDe otro modo existir´ entre las repeticiones peri´dicas del espectro de la se˜al anal´gica a o n oun traslape, denominado aliasing. Sea xa (t) la se˜al anal´gica muestreada peri´dicamente n o ocada T segundos para producir la se˜al en tiempo discreto x(n): n x(n) = xa (nT ), −∞ < n < ∞ . 2 El lector interesado puede buscar entre otros los temas de compressive sampling y el finite rate ofinnovation. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 118. 106 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto nSi xa (t) es aperi´dica de energ´ finita, entonces se cumple para su espectro: o ıa Xa (F ) = −∞ ∞ xa (t)e−j2πF t dt ¡ xa (t) = ∞ −∞ Xa (F )ej2πF t dFEn el dominio discreto se tiene: X(f ) = ∞ n=−∞ x(n)e −j2πf n ¡ x(n) = 1 2 −1 2 X(f )ej2πf n dfPuesto que para la se˜al muestreada se tiene n n t = nT = Fsentonces se cumple que ∞ 1/2 ! x(n) = xa (nT ) = Xa (F )ej2πnF/Fs dF = X(f )ej2πf n df −∞ −1/2Considerando que f = F/Fs y df = dF/Fs se obtiene entonces Fs /2 ∞ 1 j2πnF/Fs X(F/Fs )e dF = Xa (F )ej2πnF/Fs dF Fs −Fs /2 −∞El lado derecho se puede segmentar en bloques de ancho Fs de la siguiente manera: ∞ ∞ (k+1/2)Fs j2πnF/Fs Xa (F )e dF = Xa (F )ej2πnF/Fs dF −∞ k=−∞ (k−1/2)FsCon un cambio de variable en la integral F = F − kFs , dF = dF , se obtiene undesplazamiento del k-´simo bloque al intervalo [−Fs /2, Fs /2]: e (k+1/2)Fs Fs /2 F +kFs Xa (F )ej2πnF/Fs dF = Xa (F + kFs )ej2πn Fs dF (k−1/2)Fs −Fs /2 Fs /2 = Xa (F + kFs )ej2πnF/Fs dF −Fs /2por lo que Fs /2 ∞ Fs /2 1 F j2πnF/Fs X e dF = Xa (F + kFs )ej2πnF/Fs dF Fs −Fs /2 Fs k=−∞ −Fs /2 Fs /2 ∞ = Xa (F + kFs ) ej2πnF/Fs dF −Fs /2 k=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 119. 4 An´lisis frecuencial a 107es decir ∞ F X = X(f ) = Fs Xa ((f − k)Fs ) Fs k=−∞N´tese que el espectro de la se˜al discreta X(f ) es igual a la repetici´n peri´dica con o n o operiodo Fs del espectro escalado Fs Xa (F ).Si el espectro de la se˜al anal´gica es de banda limitada, es decir, Xa (F ) = 0 si |F | ≥ B, n oentonces si se elige Fs mayor a 2B se cumple para el rango de frecuencias unicas |F | ≤ ´Fs /2: F X = Fs Xa (F ), |F | ≤ Fs /2 . FsEn este caso no existe aliasing y los espectros de las se˜ales continua y discreta son nid´nticos en el intervalo de frecuencias |F | ≤ Fs /2, exceptuando el factor de escala Fs e(figura 4.12). xa (t) Xa (F ) t ω −B B (a) F x(n) X Fs n 1 F T −Fs −B B Fs = T (b) F x(n) X Fs n F T −Fs Fs (c)Figura 4.12: Se˜al anal´gica de espectro finito y los efectos de diferentes frecuencias de mues- n o treo. (a) Se˜al anal´gica xa (t) y su espectro. (b) Muestreo con Fs > 2B. n o (c) Muestreo con Fs < 2B.Si Fs < 2B entonces el solapamiento espectral impide que la se˜al original pueda ser nrecuperada a partir de las muestras. Si no hay solapamiento, entonces  1X F |F | ≤ Fs /2 Xa (F ) = Fs Fs 0 |F | > Fs /2y puesto que ∞ F X = x(n)e−j2πF n/Fs Fs n=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 120. 108 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto ny adem´s a Fs /2 xa (t) = Xa (F )ej2πF t dF −Fs /2se tiene que Fs /2 ∞ 1 xa (t) = x(n)e−j2πF n/Fs ej2πF t dF Fs −Fs /2 n=−∞ ∞ Fs /2 1 n = x(n) ej2πF (t− Fs ) dF Fs n=−∞ −Fs /2Para t = n/Fs se cumple Fs /2 Fs /2 n ej2πF (t− Fs ) dF = dF = Fs −Fs /2 −Fs /2y puesto que para t = n/Fs se tiene Fs /2 n n n Fs /2 j2πF ( n t− F ) dF = ej2πF (t− Fs ) ejπFs (t− Fs ) − e−jπFs (t− Fs ) e s = n n −Fs /2 j2π t − Fs j2π t − Fs −Fs /2 n n sen πFs t − Fs Fs sen πFs t − Fs = = n n π t− Fs πFs t − Fscon lo que se cumple para todo t Fs /2 n n ej2πF (t− Fs ) dF = Fs sa πFs t − −Fs /2 Fsentonces ∞ n xa (t) = x(n) sa πFs t − n=−∞ Fs ∞ = xa (nT ) sa (πFs [t − nT ]) n=−∞que es la interpolaci´n de las muestras utilizando el interpolador ideal o t sen π T t g(t) = t = sa π . (4.5) πT TN´tese que g(t) es cero para t = kT , k ∈ Z 0. En otras palabras, si xa (t) es de obanda limitada B y x(n) = xa (nT ) es muestreada con Fs ≥ 2B entonces xa (t) puede serreconstruida completamente y de forma unica utilizando el interpolador g(t) dado en (4.5). ´Debe advertirse, sin embargo, que g(t) tiene extensi´n infinita y no es causal, por lo que en oaplicaciones pr´cticas suele aproximarse con interpoladores finitos. La figura 4.13 muestra aun ejemplo de interpolaci´n de una secuencia finita de muestras x(n) = {0, 3, 2, −1, 1, 0}. oSe aprecia que la funci´n interpolada atraviesa todas las muestras, mientras que para ovalores de t no enteros todas las muestras contribuyen al valor interpolado. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 121. 4 An´lisis frecuencial a 109 x(n), xa (t) 4 3 2 1 0 n, t -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 Figura 4.13: Ejemplo de iterpolaci´n ideal para una secuencia de muestras finita. o4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ ales discretas nSimetr´ ıa: Anteriormente se discuti´ el hecho de que cualquier se˜al puede representarse o ncomo la suma de una componente par y otra impar. Esto se puede aplicar tanto a la partereal como a la imaginaria del espectro y de su se˜al. Se puede demostrar que la relaci´n n oentre estas componentes es la siguiente: x(n) = [xe (n) + R jxe (n)] I + [xo (n) R + jxo (n)] I ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ e e o o X(ω) = [XR (ω) + jXI (ω)] + [jXI (ω) + XR (ω)]Si x(n) es real, entonces X(−ω) = X ∗ (ω)Linealidad: Si x1 (n)   X1 (ω) y x2 (n)   X2 (ω), entonces: a1 x1 (n) + a2 x2 (n)   a1 X1 (ω) + a2 X2 (ω)Desplazamiento temporal: x(n)   X(ω) ⇒ x(n − k)   e−jωk X(ω)Reflexi´n temporal: o x(n)   X(ω) ⇒ x(−n)   X(−ω) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 122. 110 4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ales discretas n    Teorema de la Convoluci´n: o   x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) x1 (n) ∗ x2 (n) X1 (ω)X2 (ω)Teorema de la Correlaci´n: o       x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) rx1 x2 (n) Sx1 x2 (ω) = X1 (ω)X2 (−ω)Si la se˜al es real, puesto que X(−ω) = X ∗ (ω) entonces: n rxx (n)   X(ω)X(−ω) = X(ω)X ∗ (ω) = |X(ω)|2 = Sxx (ω)que se conoce como el teorema de Wiener-Khinchin.Desplazamiento frecuencial: x(n)   X(ω) ⇒ ejω0 n x(n)   X(ω − ω0 )Teorema de modulaci´n: o x(n)   X(ω) ⇒ x(n) cos(ω0 n)   1 2 {X(ω + ω0 ) + X(ω − ω0 )}    Teorema de Parseval: x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) ∞ π 1 ⇒ x1 (n)x2 ∗ (n) = X1 (ω)X2 ∗ (ω)dω n=−∞ 2π −πDemostraci´n: o π π ∞ 1 ∗ 1 X1 (ω)X2 (ω)dω = x1 (n)e−jωn X2 ∗ (ω)dω 2π −π 2π −π n=−∞ ∞ π 1 = x1 (n) X2 ∗ (ω)e−jωn dω n=−∞ 2π −π ∞ = x1 (n)x2 ∗ (n)Para el caso x1 (n) = x2 (n) = x(n)   n=−∞ X(ω): ∞ π π 1 1 Ex = |x(n)|2 = |X(ω)|2 dω = Sxx (ω)dω n=−∞ 2π −π 2π −π c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 123. 4 An´lisis frecuencial a 111Teorema del enventanado (multiplicaci´n de secuencias): o       x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) π 1 ⇒ x3 (n) = x1 (n)x2 (n) X3 (ω) = X1 (λ)X2 (ω − λ)dλ = X1 (ω) ∗ X2 (ω) 2π −πdonde el s´ ımbolo ∗ a la derecha, denota la convoluci´n peri´dica en el dominio de la o ofrecuencia.Diferenciaci´n en el dominio de la frecuencia: o x(n)   X(ω) ⇒ nx(n)   j dX(ω) dω4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia4.4.1 La funci´n de respuesta en frecuencia oEn el cap´ıtulo 2 se demostr´ que la respuesta de cualquier sistema LTI en reposo a una ose˜al de entrada x(n), est´ determinada por la convoluci´n con la respuesta impulsional n a oh(n): ∞ y(n) = h(k)x(n − k) k=−∞Para analizar este sistema en el dominio de la frecuencia se analiza su respuesta a unase˜al exponencial compleja x(n) = Aejωn . Se obtiene como salida: n ∞ ∞ y(n) = h(k)Ae jω(n−k) = Ae jωn h(k)e−jωk = AH(ω)ejωn k=−∞ k=−∞ ∞N´tese que H(ω) existe si el sistema es estable, puesto que o n=−∞ |h(n)| < ∞.La respuesta del sistema LTI a una entrada exponencial compleja es entonces otra se˜al nexponencial compleja de la misma frecuencia, pero con una nueva amplitud y fase deter-minadas por H(ω). Puesto que H(ω) = |H(ω)|ej∠H(ω) entonces es claro que la magnitud ¡cambia de acuerdo a |H(ω)| y la fase de acuerdo a ∠H(ω).Puesto que h(n) es discreta, entonces H(ω) h(n) es peri´dica y se cumple entonces: o π 1 h(n) = H(ω)ejωn dω 2π −πAdem´s, por las propiedades de simetr´ si h(n) es real, entonces H(ω) tiene simetr´ a ıa, ıa ∗herm´ıtica, es decir H(−ω) = H (ω), lo que implica que |H(ω)| = |H(−ω)| (simetr´ ıapar), ∠H(ω) = −∠H(−ω) (impar), Re{H(ω)} = Re{H(−ω)} (par), Im{H(ω)} =− Im{H(−ω)} (simetr´ impar). ıa c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 124. 112 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuenciaA H(ω) se le denomina respuesta en frecuencia del sistema. Esta funci´n determina la oamplitud y fase para cada se˜al exponencial compleja de entrada. Adem´s, puesto que n a ejωn +e−jωncos(ωn) = 2 , entonces la respuesta del sistema LTI con respuesta impulsionalh(n) ante la entrada x(n) = A cos(ωn), ser´: a A y(n) = H(ω)ejωn + H(−ω)e−jωn 2 A = |H(ω)| ej(ωn+∠H(ω)) + |H(−ω)| e−j(ωn−∠H(−ω)) 2 A = |H(ω)| ej(ωn+∠H(ω)) + e−j(ωn+∠H(ω)) 2 = A|H(ω)| cos(ωn + ∠H(ω))Es decir, |H(ω)| determina la atenuaci´n o amplificaci´n de la componente frecuencial de o ola entrada con frecuencia angular ω, y por ende se le denomina respuesta en magnitud ,mientras que ∠H(ω) determina la fase a la salida de la misma componente (respuesta enfase).Ejemplo 4.4 Para el sistema descrito por la ecuaci´n: o y(n) = ay(n − 1) + bx(n), 0<a<1 ∧ a, b ∈ IR 1. Determine H(ω) 2. Elija b de tal modo que |H(ω)| sea a lo sumo 1 y grafique |H(ω)| y ∠H(ω) para a = 0,9 3. Determine la salida para x(n) = 5 + 12 sen( π n) − 20 cos πn + π ¡ 2 4 Y (z) 1. Puesto que Y (z) = aY (z)z −1 + bX(z) ⇒ X(z) = b 1−az −1 = H(z) h(n) = ban u(n) b H(ω) = 1 − ae−jω |b| |b| |H(ω)| = −jω | = |1 − ae |1 − a(cos ω − j sen ω)| |b| = (1 − a cos ω)2 + (a sen ω)2 |b| |b| =√ =√ 1 − 2a cos ω + a 2 cos2 ω + a2 sen2 ω 1 − 2a cos ω + a2 a sen ω ∠H(ω) = ∠b − arctan 1 − a cos ω 2. |H(ω)| es m´ximo si el denominador es m´ a ınimo, y esto ocurre, puesto que a ∈ [0, 1] cuando cos ω es m´ximo, es decir, cuando ω = 0: a |b| |b| |H(0)| = √ = ⇒ |b| = 1 − a 1 − 2a + a2 1−a Eligiendo b = 1 − a se obtienen las gr´ficas en la figura 4.14. a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 125. 4 An´lisis frecuencial a 113 1.2 |H(ω)| 3.14159 θ(ω) 1 0.8 1.5708 0.6 0 ω 0.4 0 0.785398 1.5708 2.35619 3.14159 0.2 -1.5708 0 ω 0 1.5708 3.14159 -3.14159 -0.2 (a) (b) Figura 4.14: Respuestas de magnitud y fase para el sistema en el ejemplo (4.4). 3. Asumiendo a = 0,9, se requiere H(0), H( π ), H(π) 2 H(0) = 1∠0◦ π 1−a 0,1 H =√ =√ = 0,074 2 1 + a2 1,81 π ∠H = − arctan a = −42◦ 2 1−a 0,1 |H(π)| = = = 0,053 ∠H(π) = 0 1+a 0,9 entonces π π π y(n) = 5 + 12 H sen n + ∠H 2 2 2 π − 20|H(π)| cos πn + + ∠H(π) 4 π π = 5 + 0,888 sen n − 42◦ − 1,06 cos πn + 2 4 4.44.4.2 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente a entradas e sinusoidalesLa secci´n anterior analiz´ la respuesta de sistemas LTI a una entrada cosenoidal o ex- o oponencial compleja “eterna”, es decir, aplicadas al sistema en n = −∞. La respuestaobservada es entonces en r´gimen permanente, y no hay respuesta transitoria. eTodo sistema LTI estable BIBO excitado por una se˜al exponencial compleja en n = 0 nu otro tiempo finito, tendr´ una respuesta transitoria que tiende a cero a medida que n atiende a infinito. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 126. 114 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuenciaEjemplo 4.5 Determine las respuestas transitoria y de estado permanente para: x(n) = Aejωn u(n)del sistema y(n) = ay(n − 1) + x(n)En la secci´n 2.5.2 se demostr´ que la respuesta de este sistema con condiciones iniciales o ono nulas es: n y(n) = an+1 y(−1) + ak x(n − k), n ≥ 0 k=0 jωnSustituyendo x(n) = Ae u(n) se obtiene: n n+1 y(n) = a y(−1) + A ak ejω(n−k) k=0 n = an+1 y(−1) + A ak e−jωk ejωn k=0 1 − an+1 e−jω(n+1) jωn = an+1 y(−1) + A e 1 − ae−jω an+1 e−jω(n+1) jωn ejωn = an+1 y(−1) − A e +A 1 − ae−jω 1 − ae−jωEl sistema es estable si a < 1, con lo que se obtiene para n → ∞ la respuesta de estadopermanente (steady state): A yss (n) = lim y(n) = ejωn n→∞ 1 − ae−jωLa respuesta transitoria est´ dada por los otros t´rminos: a e Ae−jω(n+1) jωn ytr (n) = an+1 y(−1) − e 1 − ae−jω Ae−jω = an+1 y(−1) − 1 − ae−jωy tiende a cero para n → ∞. 4.54.4.3 Respuesta en r´gimen permanente a se˜ ales de entrada e n peri´dicas oSea x(n) una se˜al peri´dica, con periodo fundamental N , definida en el rango −∞ < n on < ∞, por lo que la respuesta de un sistema LTI estable ser´ la respuesta en r´gimen a epermanente. La se˜al x(n) puede entonces expresarse por medio de una serie de Fourier: n N −1 n x(n) = ck ej2πk N k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 127. 4 An´lisis frecuencial a 115 nPuesto que la respuesta a xk (n) = ck ej2πk N es: 2π n yk (n) = ck H k ej2πk N Nentonces, utilizando la linealidad del sistema se obtiene: N −1 N −1 2π n n y(n) = ck H k ej2πk N = dk ej2πk N k=0 N k=0con dk = ck H( 2π k). La respuesta tiene entonces el mismo periodo de la entrada, pero Notra forma de se˜al debido a los cambios de amplitud y fase aportados por los coeficientes ndk .4.4.4 Respuesta a se˜ ales de entrada aperi´dicas n oPuesto que la salida de un sistema LTI en tiempo discreto es: y(n) = h(n) ∗ x(n)se obtiene en el dominio de la frecuencia: Y (ω) = H(ω)X(ω)donde se deriva: |Y (ω)| = |H(ω)||X(ω)| ∠Y (ω) = ∠H(ω) + ∠X(ω)La respuesta en magnitud |H(ω)| indica cu´les frecuencias se amplifican y cu´les se a aaten´an. N´tese adem´s que la salida de un sistema LTI no puede tener frecuencias u o aque no est´n presentes en la entrada y en la respuesta en frecuencia; s´lo sistemas no e olineales o variantes en el tiempo pueden generar nuevas frecuencias.A pesar de que la salida y(n) se puede obtener de la respuesta en frecuencia: π 1 y(n) = Y (ω)ejωn dω 2π −πno es usual emplear la transformada inversa de Fourier por ser relativamente m´s simple ael tratamiento con la transformada z. La relaci´n entre las densidades espectrales de la oentrada Sxx (ω) y de la salida Syy (ω) se obtiene f´cilmente con: a Syy (ω) = |Y (ω)|2 = |H(ω)|2 |X(ω)|2 = |H(ω)|2 Sxx (ω)La energ´ de la salida es entonces: ıa π π 1 1 Ey = Syy (ω)dω = |H(ω)|2 Sxx (ω)dω 2π −π 2π −π c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 128. 116 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia4.4.5 Relaciones entre la funci´n de transferencia y la respuesta o en frecuenciaSi la ROC de la funci´n de transferencia contiene a la circunferencia unitaria, entonces: o ∞ H(ω) = H(z)|z=ejω = h(n)e−jωn n=−∞ B(z)Si H(z) es racional, H(z) = A(z) y asumiendo que h(n) es real, entonces: M −jωk M B(ω) k=0 bk e k=1 (1 − zk e−jω ) H(ω) = = N = b0 N A(ω) 1+ k=1 ak e −jωk k=1 (1 − pk e−jω )con los coeficientes reales {ak } y {bk }, y los ceros {zk } y polos {pk } que pueden sercomplejos. Si h(n) es real, entonces H(−ω) = H ∗ (ω) y as´ ı: |H(ω)|2 = H(ω)H ∗ (ω) = H(ω)H(−ω) = H(z)H(z −1 ) z=ejω (4.6) = Z {rhh (n)} |z=ejω ¡ (4.7) ¡ ¡lo que confirma el teorema de Wiener-Khinchin |H(ω)|2 rhh (n).Sea D(z) = B(z)B(z −1 ) b(n) ∗ b(−n) y C(z) = A(z)A(z −1 ) a(n) ∗ a(−n). Puededemostrarse que: N −|n| c(n) = a(k)a(k + n), −N ≤ n ≤ N, a(k) = ak k=0 M −|n| d(n) = b(k)b(k + n), −M ≤ n ≤ M, b(k) = bk k=0que corresponden a la autocorrelaci´n de a(n) y b(n), los coeficientes de denominador y onumerador de la funci´n de transferencia. Puesto que A(ω) = N a(k)e−jωk y B(ω) = o k=0 N −jωk k=0 b(k)e , ck = c−k y dk = d−k : M d0 + 2 k=1 dk cos kω |H(ω)|2 = N c0 + 2 k=1 ck cos kωdonde con cos kω = k βm (cos ω)m , entonces |H(ω)|2 es una funci´n racional de poli- m=0 onomios de cos ω. Esto implica que la densidad espectral de energ´ es continua, suave y ıasi se indefine, o se hace cero, lo hace en puntos finitos aislados.4.4.6 C´lculo de la respuesta en frecuencia aPara evaluar el efecto de los polos y ceros de la funci´n de transferencia en la respuesta oen frecuencia, eval´ese entonces: u M M k=1 (1 − zk e−jω ) k=1 (e jω − zk ) H(ω) = b0 N = b0 ejω(N −M ) N k=1 (1 − pk e−jω ) k=1 (e jω − pk ) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 129. 4 An´lisis frecuencial a 117y con ejω − zk = Vk (ω)ejθk (ω) , ejω − pk = Uk (ω)ejφk (ω) , Vk (ω) = |ejω − zk |, θk (ω) =∠ (ejω − zk ), Uk (ω) = |ejω − pk |, φk (ω) = ∠ (ejω − pk ), se obtiene: V1 (ω) . . . VM (ω) |H(ω)| = |b0 | U1 (ω) . . . UM (ω) ∠H(ω) = ∠b0 + ω(N − M ) + θ1 (ω) + . . . + θM (ω) − [φ1 (ω) + . . . + φN (ω)]N´tese que (ejω − pk ) puede interpretarse geom´tricamente como el fasor que va del polo o e jωpk al punto e que se encuentra en la circunferencia unitaria con el angulo ω. El mismo ´concepto se aplica a los ceros. Im{z} e jω − pk e jω pk ω 1 Re{z} Figura 4.15: Interpretaci´n geom´trica del factor ejω − pk . o eLa respuesta en frecuencia H(ω) se har´ muy peque˜a si z = ejω pasa cerca de un cero, a no se har´ muy grande si pasa cerca de un polo. aN´tese que si la magnitud de H(ω) se expresa en decibelios, entonces: o M N |H(ω)|dB = 20 log10 |b0 | + 20 log10 Vk (ω) − 20 log10 Uk (ω) k=1 k=14.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuenciaFiltro es un caso particular de sistema que discrimina alg´n atributo de los objetos o use˜ales aplicados a su entrada, y permite o suprime el paso de dichos objetos o se˜ales n nsi y solo si estos presentan ese atributo. As´ filtros de aire y aceite permiten que estas ı,sustancias los atraviesen, evitando que otras impurezas como polvo alcancen su salida;filtros de luz (por ejemplo, luz infraroja) permiten el paso de s´lo una parte del espectro oelectromagn´tico. En las secciones anteriores se present´ la propiedad de los sistemas e oLTI de filtrar diferentes componentes en frecuencia de su se˜al de entrada, caracterizada npor la respuesta en frecuencia H(ω). Es por ello que los t´rminos sistema LTI y filtro se eutilizan con frecuencia como sin´nimos. oEligiendo la posici´n de los polos y ceros en la funci´n de transferencia se eligen los o ocoeficientes ak y bk para obtener una determinada forma de la respuesta en frecuencia c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 130. 118 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuenciaH(ω), que puede considerarse como funci´n de ponderaci´n o conformaci´n espectral, o o opues la salida del sistema es Y (ω) = H(ω)X(ω).Los sistemas LTI en estas funciones de filtrado selectivo de frecuencias o conformaci´n oespectral se utilizan de varias maneras: como eliminadores de ruido, conformaci´n espec- otral para igualaci´n de canales de comunicaci´n, detecci´n de se˜ales en radar y sonar, o o o nan´lisis espectral, etc. En esta secci´n se revisaran algunos conceptos b´sicos, que ser´n a o a aretomados en el cap´ ıtulo 7 con mayor detalle.4.5.1 Filtros idealesComo filtro ideal se conoce un sistema LTI con respuesta en frecuencia Ce−jωn0 ω1 < ω < ω2 H(ω) = 0 en caso contrarioes decir, una ganacia constante C en la banda de paso, y cero en la banda eliminada.Algunos filtros selectivos se muestran en la figura 4.16. |H(ω)| |H(ω)| |H(ω)| B −π B B π ω −π −ωc ωc π ω −π −ω0 ω0 π ω Paso Bajo Paso Alto Paso Banda |H(ω)| |H(ω)| −π −ω0 ω0 π ω ω Supresor de Banda Paso Todo Figura 4.16: Respuesta en magnitud de algunos filtros ideales selectivos en frecuencia.La respuesta de fase lineal permite que se˜ales de entrada con componentes frecuenciales nconfinadas en el intervalo ω ∈ [ω1 , ω2 ] sean simplemente escaladas y trasladadas en eltiempo, pues: Y (ω) = H(ω)X(ω) ¡ = Ce−jωn0 X(ω) = CX(ω)e−jωn0 y(n) = Cx(n − n0 )El retardo no es considerado como una distorsi´n grave de la se˜al y es usualmente o ntolerado, tal y como el escalado en amplitud. En estos filtros la derivada de la fase tiene c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 131. 4 An´lisis frecuencial a 119unidades de retardo, y a la magnitud dθ(ω) τg (ω) = − , θ(ω) = ∠H(ω) dωse le denomina retardo de envolvente o retardo de grupo del filtro. En el caso de los filtrosideales, puesto que θ(ω) = −ωn0 , entonces τg (ω) = n0 y es constante. En general, τg (ω)indica el retardo temporal que experimenta la componente de frecuencia ω cuando pasaa trav´s del sistema. Entonces, en los filtros ideales todas las componentes se retrasan. eLos filtros ideales no son realizables. Por ejemplo, la respuesta impulsional del filtro pasobajo es: sen(ωc πn) hlp (n) = , −∞ < n < ∞ πnque es anticausal, infinita y no es absolutamente sumable, por lo que el sistema es ines-table.Algunos filtros digitales b´sicos pueden dise˜arse colocando polos y ceros en el plano z, a ncerca de la circunferencia unitaria, de tal forma que se obtenga la forma de la respuesta enmagnitud deseada, donde los polos deben estar en el interior de la circunferencia unidad,y si hay polos o ceros complejos, deben presentarse entonces en pares conjugados.4.5.2 Filtros paso alto, paso bajo y paso bandaEn el dise˜o de filtros paso bajo, los polos deben situarse cerca de los puntos de la ncircunferencia unidad correspondientes a las bajas frecuencias (cerca de ω = 0) y los ceroscerca de los puntos de la circunferencia unidad correspondientes a las altas frecuencias(cerca de ω = π). El caso contrario es para filtros paso alto.Ejemplo 4.6 Dise˜e un filtro paso bajo con |H(0)| = 1 y n 1. un solo polo en p1 = 0,9 2. un polo y un cero en p1 = 0,9 y z1 = −1 1. En general, un sistema LTI tiene la forma: M −k M k=0 bk z k=1 (1 − zk z −1 ) H(z) = N = b0 N 1+ −k − pk z −1 ) k=0 ak z k=1 (1 Un filtro de primer orden sin ceros tendr´ la funci´n de transferencia a o b0 b0 b0 H1 (z) = = ⇒ H1 (ω) = 1 − p1 z −1 1 − 0,9z −1 1 − 0,9e−jω b0 0,1 Puesto que |H1 (0)| = 1 = 0,1 ⇒ b0 = 0,1; H(π) = 1,9 = 0,0526. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 132. 120 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia 2. En este caso b0 (1 − z1 z −1 ) 1 + z −1 1 + e−jω H2 (ω) = = b0 ⇒ H2 (ω) = b0 1 − p1 z −1 1 − 0,9z −1 1 − 0,9e−jω y H2 (0) = b0 1+1 = 20b0 ⇒ b0 = 0,1 1 20 , H2 (π) =0 1.2 |H1 (ω)| |H2 (ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2Figura 4.17: Respuesta en magnitud de (1) filtro paso bajo de un polo, (2) filtro paso bajo de un polo y un cero; H1 (z) = (1 − a)/(1 − az −1 ), H2 (z) = [(1 − a)/2][(1 + z −1 )/(1 − az −1 )] y a = 0,9. 4.6Reflejando los polos y ceros con respecto al eje imaginario, se obtienen filtros paso alto: b0 b0 (1 − e−jω ) H1 (ω) = , H2 (ω) = 1 + 0,9e−jω 1 + 0,9e−jωPara filtros paso banda, se debe escoger un par de polos complejos conjugados cerca dela circunferencia unidad en la vecindad de la banda de paso.Ejemplo 4.7 Dise˜e un filtro paso banda de segundo orden con banda de paso en ω = π , n 2con |H(0)| = |H(π)| = 0, H( 4π ) = √2 , H( π ) = 1. 9 1 2 πSoluci´n: Los polos deben estar en p1,2 = re±j 2 = ±rj, 0 < r < 1, y los ceros en z1 = 1 o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 133. 4 An´lisis frecuencial a 121 1.2 |H1 (ω)| |H2 (ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2Figura 4.18: Respuesta en magnitud de un filtro paso alto H1 (z) = (1−a)/(1+az −1 ), H2 (z) = [(1 − a)/2][(1 − z −1 )/(1 + az −1 )] y a = 0,9.y z2 = −1, por lo que: (z − 1)(z + 1) z2 − 1 e2jω − 1 H(z) = b0 = b0 2 ⇒ H(ω) = b0 2jω (z − jr)(z + jr) z + r2 e + r2 π −2 ! 2 1 − r2 H = b0 = 1 ⇒ b0 = 1 ⇒ b0 = 2 1 − r2 1 − r2 2 2 2 2 2 − 2 cos 98π 4π 1−r ! 1 H = 8π = 9 2 1 + r4 + 2r2 cos 9 2La soluci´n resulta en r2 = 0,7 (figura 4.19). o 4.7Otra manera de convertir un filtro paso bajos en uno paso altos es aplicar el desplaza-miento en frecuencia la respuesta H(ω) π radianes: Hhp = Hlp (ω − π)con Hhp (ω) la respuesta del filtro paso alto (hp: high pass) y Hlp (ω) la respuesta del filtropaso bajo (lp: low pass). N´tese que la respuesta impulsional ser´ o ıa n hhp (n) = ejπ hlp (n) = (−1)n hlp (n)Ahora interesa observar qu´ le ocurre a los coeficientes de la ecuaci´n de diferencias con e o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 134. 122 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia 1.2 |H(ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2 Figura 4.19: Respuesta en magnitud de filtro paso banda; 0,15[(1 − z −2 )/(1 + 0,7z −2 )].este desplazamiento en frecuencia. Puesto que: N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0 M −jωk k=0 bk e Hlp (ω) = 1 + N ak e−jωk k=1Sustituyendo ω por ω + π se obtiene: M k −jωk k=0 (−1) bk e Hhp (ω) = N 1+ k −jωk k=1 (−1) ak eque equivale a: N M y(n) = − (−1)k ak y(n − k) + (−1)k bk x(n − k) k=1 k=0y por lo tanto el unico cambio debe hacerse a los coeficientes ak y bk con k impar, quienes ´cambian su signo.4.5.3 Resonadores digitalesUn resonador digital es un filtro paso banda con un par de polos complejos conjugados,que determinan con su posici´n angular la frecuencia de resonancia del filtro y con un om´ximo de dos ceros que se sit´an en el origen o en z = ±1 (figura 4.20). a u c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 135. 4 An´lisis frecuencial a 123 |H(ω)| H(ω) r = 0,8 r = 0,8 1 r = 0,95 π r = 0,95 2 0.8 π 4 0.6 r 0 ω ω0 −π −π 2 0 π 2 π 0.4 −ω0 r −π 4 0.2 0 ω −π 2 −π −π 2 0 π 2 π Figura 4.20: Resonadores digitales todo-polos.Para el caso con los ceros en el origen, se obtiene como funci´n de transferencia: o b0 b0 H(z) = jω0 z −1 )(1 = (1 − re − re−jω0 z −1 ) 1 − (2r cos ω0 )z −1 + r2 z −2Dado que las bandas de paso se encuentran centradas en ω0 o cerca de ω0 , b0 se elige detal modo que |H(ω0 )| = 1 b0 b0 H(ω0 ) = = (1 − rejω0 e−jω0 )(1 − re−jω0 e−jω0 ) (1 − r)(1 − re−j2ω0 ) b0 |H(ω0 )| = √ =1 (1 − r) 1 + r2 − 2r cos 2ω0 ⇒ b0 = (1 − r) 1 + r2 − 2r cos 2ω0 b0Si se expresa |H(ω)| como U1 (ω)U2 (ω) y θ(ω) como 2ω − φ1 (ω) − φ2 (ω), donde (1 − p1 z −1 ) =(1 − rejω0 z −1 ) = U1 (ω)ejφ1 (ω) , (1 − p2 z −1 ) = (1 − re−jω0 z −1 ) = U2 (ω)ejφ2 (ω) entonces U1 (ω) = 1 + r2 − 2r cos(ω − ω0 ), U2 (ω) = 1 + r2 − 2r cos(ω + ω0 ) ınimo en ω = ω0 (U1 (ω0 ) = 1 − r) y U2 en ω = −ω0 (U2 (−ω0 ) = 1 − r).U1 alcanza su m´Sin embargo, su producto U1 (ω)U2 (ω) alcanza su m´ ınimo en (figura 4.21): 1 + r2 ωr = cos−1 cos ω0 , lim ωr = ω0 2r r→1Puede demostrarse que el ancho de banda de −3 dB es aproximadamente ∆ω = 2(1 − r)para r → 1.Si los ceros se sit´an en ω = 0 y ω = π, la funci´n de transferencia es: u o (1 − z −1 )(1 + z −1 ) (1 − z −2 ) H(z) = G =G (1 − rejω0 z −1 )(1 − re−jω0 z −1 ) 1 − (2r cos ω0 )z −1 + r2 z −2La presencia de ceros cambia la posici´n de la frecuencia de resonancia (figura 4.22): es oahora m´s cercana a ω0 . Adem´s, su ancho de banda es usualmente menor. a a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 136. 124 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia 3 2.5 2 ωr 1.5 1 0.5 0 1 0.8 3 0.6 2.5 r 0.4 1.5 2 0.2 1 ω0 0.5 0 0Figura 4.21: Posici´n de la frecuencia de resonancia con respecto al radio y al ´ngulo de los o a polos. |H(ω)| H(ω) r = 0,8 r = 0,8 1 r = 0,95 π r = 0,95 2 0.8 π 4 0.6 0 ω −π −π 2 0 π 2 π 0.4 −π 4 0.2 0 ω −π 2 −π −π 2 0 π 2 π Figura 4.22: Resonadores digitales con ceros en ω = 0 y ω = π.4.5.4 Filtros ranuraUn filtro ranura o muesca, es un filtro con uno o m´s cortes profundos, idealmente ceros aperfectos en su respuesta en frecuencia. Para crear ´stos en la frecuencia ω0 , se introduce eun par de ceros complejos conjugados en la circunferencia unitaria con angulo ω0 . Es ´ ±jω0decir, z1,2 = e , lo que resulta en: H(z) = b0 (1 − ejω0 z −1 )(1 − e−jω0 z −1 ) = b0 (1 − 2 cos ω0 z −1 + z −2 )El problema de esta configuraci´n es que el corte tiene un ancho de banda relativamente ogrande. Esto puede ser atenuado situando polos complejos conjugados en p1,2 = re±jω0 ,que introducen resonancia en la vecindad del cero, y por tanto reducen el ancho de bandade la banda suprimida. La funci´n de transferencia resultante ser´: o a 1 − 2 cos ω0 z −1 + z −2 H(z) = b0 1 − 2r cos ω0 z −1 + r2 z −2 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 137. 4 An´lisis frecuencial a 125 |H(ω)| 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 ω -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2 Figura 4.23: Caracter´ ıstica de respuesta en frecuencia de un filtro ranura. 1.2 |H1 (ω)| |H2 (ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2Figura 4.24: Caracter´ıstica de respuesta en frecuencia de un filtro ranura con un cero en ω = π ; 4 1−2 cos ω z −1 +z −2 Hi (z) = Gi 1−2r cos ω 0z −1 +r2 z −2 , para r1 = 0,85 y r2 = 0,95 i 0 i4.5.5 Filtros peineUn filtro peine puede verse como un filtro ranura en el que los ceros aparecen peri´dicamente oen toda la banda de frecuencias. Se utilizan por ejemplo en el rechazo de arm´nicos en ol´ ıneas de potencia y en la separaci´n de componentes solares y lunares de las medidas oionosf´ricas de la concentraci´n de electrones. e o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 138. 126 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuenciaLa forma m´s sencilla de filtro peine es el filtro de media m´vil (FIR): a o M 1 y(n) = x(n − k) M +1 k=0con funci´n de transferencia o M 1 1 − z −(M +1) H(z) = z −k = M +1 k=0 1 − z −1y respuesta de frecuencia M e−jω 2 sen ω M2 +1 H(ω) = M + 1 sen ω 2 2kπDe H(z) se deduce con 1 − z −(M +1) = 0 ⇒ 1 = e2kπ = z M +1 ⇒ z = e M +1 , k = 1, 2, . . . , M .N´tese que el polo en z = 1 se cancela con el cero en z = 1 (k = 0), por lo que el unico o ´polo est´ en z = 0. a |H(ω)| 1 0 ω -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 4.25: Ejemplo de filtro peine FIR con M = 6.Otra manera de generar filtros peine es a partir de cualquier filtro FIR con al menos un ceroen cierta frecuencia ω0 . Si este filtro tiene funci´n de transferencia H(z) = M h(k)z −k o k=0y se reemplaza z por z L , con L ∈ Z, L > 0, entonces el nuevo filtro FIR tiene funci´n de otransferencia M HL (z) = h(k)z −kL k=0Si la respuesta en frecuencia correspondiante a H(z) es H(ω), entonces: M HL (ω) = h(k)e−jkLω = H(Lω) k=0es decir, una repetici´n de orden L de H(ω) en el rango 0 ≤ ω ≤ π, donde H(ω) se ocomprime para que todas las repeticiones ocupen dicho intervalo. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 139. 4 An´lisis frecuencial a 127Ejemplo 4.8 Dise˜e un filtro peine a partir del filtro FIR n 1 y(n) = (x(n) + x(n − 1)) 2 πtal que suprima las frecuencias ω = 4 + k π . 2 1 2 x(n) z −1 y (n) Figura 4.26: Diagrama de bloques del ejemplo (4.8).La funci´n de transferencia es: o 1 + z −1 H(z) = 2y por lo tanto (figura 4.27) ω ω ω 1 + e−jω e−j 2 (e+j 2 + e−j 2 ) ω ω H(ω) = = = e−j 2 cos 2 2 2 replacemen |H(ω)| π H(ω) 1 2 0.8 0.6 0 ω 0.4 −π −π 2 0 π 2 π 0.2 0 ω −π −π 2 0 π 2 π −π 2 Figura 4.27: Respuesta en frecuencia de y(n) = (x(n) + x(n − 1))/2. 1+z −4Utilizando L = 4 se obtiene HL (ω) = e−j2ω cos(2ω), proveniente de H(z) = 2 (figu-ra 4.28). |H(ω)| π H(ω) 2 1 0.8 0.6 0 ω −π −π 2 0 π 2 π 0.4 0.2 0 ω −π −π 2 0 π 2 π −π 2 Figura 4.28: Respuesta en frecuencia de y(n) = (x(n) + x(n − 1))/2. 4.8 ω0 +2πkN´tese entonces que si H(ω) tiene un cero en ω0 , HL (ω) tendr´ ceros en o a L , k =0, 1, 2, . . . , L − 1. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 140. 128 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia4.5.6 Filtros paso todoUn filtro paso todo tiene una respuesta en magnitud constante para todas las frecuencias: |H(ω)| = 1, 0≤ω≤πEl ejemplo m´s simple es el registro de desplazamiento: a |H(ω)| = 1 H(z) = z −k ⇒ H(ω) = e−jkω ⇒ ∠H(ω) = −kωOtro caso est´ dado por filtros con funciones de transferencia: a N −N A(z −1 ) H(z) = z , con el polinomio A(z) = ak z −k , a0 = 1 , A(z) k=0es decir, aN + aN −1 z −1 + . . . + a1 z −N +1 + z −N H(z) = 1 + a1 z −1 + . . . + aN z −Ncon el resultado de (4.6) en la p´gina 116, a A(z −1 ) A(z) |H(ω)|2 = H(z)H(z −1 ) z=ejω = z −N +N = 1. A(z) A(z −1 ) z=ejω j 1 p3 1 p3 p1 p1 −1 p2 1 1 p2 p1 p3 1 p1 1 −j p3 Figura 4.29: Correspondencia entre polos y ceros de un filtro pasa-todoN´tese que si z0 es un cero, entonces z10 es un polo, lo que quiere decir que si alg´n polo o uo cero est´ dentro del c´ a ırculo unitario, la contraparte estar´ fuera (figura 4.29). aSi este filtro paso todo tiene polos reales αk y polos complejos βk entonces puede expresarsecomo: NR N z −1 − αk C (z −1 − βk )(z −1 − βk ∗ ) Hap (z) = k=1 1 − αk z −1 k=1 (1 − βk z −1 )(1 − βk ∗ z −1 ) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 141. 4 An´lisis frecuencial a 129donde hay NR polos y ceros reales, y NC pares de polos y ceros complejos conjugados. Si elsistema es causal y estable, entonces |αk | < 1 y |βk | < 1. Para analizar el comportamientode la fase y retardo de grupo puede tomarse uno de los t´rminos anteriores y con αk = rejθ : e z −1 − αk ∗ Hapk (z) = ⇒ 1 − αk z −1 e−jω − re−jθ 1 − rej(ω−θ) Hapk (ω) = = e−jω 1 − rejθ e−jω 1 − rej(θ−ω) 1 − r cos(ω − θ) − jr sen(ω − θ) = e−jω 1 − r cos(ω − θ) + jr sen(ω − θ) r sen(ω − θ) θap (ω) = ∠(Hapk (z)) = −ω − 2 arctan 1 − r cos(ω − θ) ∂ 1y con ∂x arctan(x) = 1+x2 se obtiene para el retardo de grupo: ∂θap (ω)τ (ω) = − ∂ω 1 r cos(ω − θ)(1 − r cos(ω − θ)) − r sen(ω − θ)r sen(ω − θ) = +1 + 2 r2 sen2 (ω−θ) 1+ (1 − r cos(ω − θ))2 (1−r cos(ω−θ))2 (r cos(ω − θ) − r2 cos2 (ω − θ) − r2 sen2 (ω − θ)) = +1 + 2 1 − 2r cos(ω − θ) + r2 cos2 (ω − θ) + r2 sen2 (ω − θ) (r cos(ω − θ) − r2 ) = +1 + 2 1 − 2r cos(ω − θ) + r2 1 + r2 − 2r cos(ω − θ) + 2r cos(ω − θ) − 2r2 = 1 + r2 − 2r cos(ω − θ) 1 − r2 = > 0, ∀r < 1, r > 0 1 + r2 − 2r cos(ω − θ)Un sistema pasotodo con varios polos y ceros tendr´ siempre un retardo de grupo positivo, apor estar conformado el retardo total por la suma de t´rminos como el anterior, que ser´n e asiempre positivos.Este tipo de filtros se utilizan como “igualadores de fase”, coloc´ndolos en cascada con aun sistema de respuesta en fase no deseada, de tal modo que se compensa la fase totaldel sistema para obtener un comportamiento lineal.4.5.7 Osciladores digitalesLos osciladores son el caso extremo de un resonador digital, donde los polos complejosconjugados se encuentran sobre la circunferencia unidad. El sistema de segundo orden: b0 H(z) = −1 + 1 + a1 z a2 z −2 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 142. 130 4.6 Sistemas inversoscon a1 = −2r cos ω0 , a2 = r2 , tiene polos complejos conjugados en p = re±jω0 y respuestaimpulsional: b0 r n h(n) = sen((n + 1)ω0 )u(n) sen ω0Para el caso r = 1 entonces: b0 r n h(n) = sen((n + 1)ω0 )u(n) = A sen((n + 1)ω0 )u(n) sen ω0 bcon A = sen0ω0 . Es decir, cuando el sistema se alimenta con δ(n), oscila indefinidamente.La ecuaci´n de diferencias: o y(n) = −a1 y(n − 1) − y(n − 2) + b0 δ(n) = 2 cos ω0 y(n − 1) − y(n − 2) + A sen ω0 δ(n)se puede realizar con el sistema mostrado en la figura 4.30. (A sen ω0 )δ(n) y (n) = A sen(n + 1)ω0 z −1 −a1 a1 = −2 cos ω0 z −1 a2 = 1 −a2 Figura 4.30: Generador digital de sinusoides.N´tese que el mismo resultado puede obtenerse con entrada cero, pero con y(n − 1) = 0 oy y(n − 2) = −A sen ω0 .4.6 Sistemas inversosPor medio de la convoluci´n, los sistemas LTI transforman una se˜al x(n) en la salida o ny(n). En ciertos casos se desconocen exactamente las caracter´ ısticas del sistema y se desea,teniendo y(n), determinar x(n). Esto ocurre por ejemplo cuando se desea contrarrestarlos efectos de distorsi´n que produce un canal de transmisi´n de datos. Se desea entonces o odise˜ar un sistema que en cascada con el sistema original, produzca la se˜al de entrada. n n x(n) y (n) x(n) T T −1 Figura 4.31: Sistema T en cascada con su inverso T −1 .A este segundo sistema se le denomina sistema inverso y a la operaci´n que toma y(n) y oproduce x(n) se le denomina deconvoluci´n. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 143. 4 An´lisis frecuencial a 131La determinaci´n del sistema inverso requiere conocimiento sobre la respuesta impulsional oh(n) o la respuesta en frecuencia H(ω), que se obtienen en un proceso llamado “identifi-caci´n del sistema”. Para esto se alimenta al sistema desconocido con se˜ales de entrada o nconocidas (por ejemplo, senoidales de frecuencia y amplitud conocidas) y se revisan lassalidas.4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTIUn sistema es invertible si existe una correspondencia biun´ ıvoca entre sus se˜ales de nentrada y de salida. Esto quiere decir que si se conoce la salida y(n) para todo n, entoncesse puede inferir la entrada x(n). El sistema inverso se denota con T −1 y se cumple que: y(n) = T [x(n)], x(n) = T −1 [y(n)] = T −1 [T [x(n)]]Para sistemas LTI, as´mase que el sistema T tiene una respuesta impulsional h(n), y uhI (n) es la respuesta del sistema inverso T −1 . Se debe cumplir entonces que: h(n) ∗ hI (n) = δ(n)   H(z)HI (z) = 1de donde se obtiene 1 HI (z) = H(z)Para un sistema con H(z) racional, si: B(z) H(z) = A(z)entonces A(z) HI (z) = B(z)lo que quiere decir que los ceros de H(z) se convierten en los polos de HI (z) y viceversa.Esto a su vez implica que si H(z) es todo ceros (FIR), entonces HI (z) es todo polos (IIR)y viceversa.Ejemplo 4.9 Determine el sistema inverso de h(n) = u(n). H(z) = 1 1 − z −1 ⇒ HI (z) = 1 − z −1 ¡ hI (n) = δ(n) − δ(n − 1) 4.9Ejemplo 4.10 Determine el sistema inverso del sistema con respuesta impulsionalh(n) = δ(n) − δ(n − 1). Con 1 H(z) = 1 − z −1 ⇒ HI (z) = 1 − z −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 144. 132 4.6 Sistemas inversosque tiene dos posibles soluciones hI (n) = u(n) o ´ hI (n) = −u(−n − 1) 4.10Otra manera m´s “algor´ a ıtmica” de obtener la respuesta impulsional hI (n) se basa en laconvoluci´n. Si se asume que h(n) y su inverso son causales, entonces: o n h(n) ∗ hI (n) = h(k)hI (n − k) = δ(n) (4.8) k=0 1Para n = 0 se cumple h(0)hI (0) = 1 ⇒ hI (0) = h(0) , y puesto que para n > 0: n n h(k)hI (n − k) = h(0)hI (n) + h(k)hI (n − k) = 0 k=0 k=1 n h(k)hI (n − k) k=1 ⇒ hI (n) = − h(0)lo que se puede programar directamente. Si h(0) es cero, entonces debe introducirse unretardo en (4.8) sustituyendo δ(n) por δ(n − m), donde para n = m, h(n) = 0 y h(n) = 0si n < m. Este m´todo tiene, sin embargo, el problema de que conforme n crece, el error enum´rico acumulado crece. eEjemplo 4.11 Determine el inverso causal del sistema de respuesta impulsional h(n) =δ(n) − αδ(n − 1). Con h(0) = 1, h(1) = −α y h(n) = 0 para n ≥ 2, entonces: 1 hI (0) = =1 h(0) h(1)h(0) hI (1) = − =α h(0) hI (2) = −(h(1)hI (1) + h(2)hI (0)) = −(−αα) = α2 hI (3) = −(h(1)hI (2) + h(2)hI (1) + h(3)hI (0)) = α3 . . . hI (n) = αn 4.114.6.2 Sistemas de fase m´ ınima, fase m´xima y fase mixta aSean los sistemas H1 (z) = 1 + α1 z −1 y H2 (z) = α2 + z −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 145. 4 An´lisis frecuencial a 133 1H1 (z) tiene un cero en z = −α1 y H2 (z) en z = − α2 . Puede demostrarse que si α1 =α2 = α, entonces las respuestas en magnitud |H1 (ω)| = |H2 (ω)| son ambas id´nticas a e√ 1+α 2 + 2α cos ω. Para la fase de H (ω) se tiene que: 1 H1 (z) = 1 + α1 z −1 = z −1 (z + α1 ) ⇒ ∠H1 (ω) = arg(e−jω (ejω + α1 )) sen(ω) ∠H1 (ω) = −ω + arctan α1 + cos ωy para ∠H2 (ω) se tiene que: H2 (z) = α2 + z −1 = z −1 (α2 z + 1) ⇒ ∠H2 (ω) = arg(e−jω (α2 ejω + 1)) α2 sen(ω) sen ω ∠H2 (ω) = −ω + arctan = −ω + arctan 1 1 + α2 cos ω α2 + cos ω sen(ω)El t´rmino arctan e α+cos ω se comporta de la siguiente manera:   ω, si α → 0 sen ω ω arctan ≈ , si α → 1 α + cos ω  sen ω 2 α , si α 1La figura 4.32 muestra este ultimo componente en funci´n de α y ω. El lado derecho de ´ ola misma figura presenta la fase ∠Hi (z), que es igual al lado izquierdo menos el aporteigual a ω del factor exponencial. 3 3 2 2 1 1 sen ω arctan α+cos ω 0 Hi (z) 0 –1 –1 –2 –2 –3 –3 3 3 2 3 2 3 1 2.5 1 2.5 2 2 ω 0 1.5 ω 0 1.5 –1 –2 1 α –1 –2 1 α 0.5 0.5 –3 0 –3 0 (a) (b)Figura 4.32: Comportamiento de la fase de Hi (z) = 1 + αz −1 . (a) Componente sen ω sen ω arctan α+cos ω . (b) Fase ∠H(ω) = −ω + arctan α+cos ωEn las expresiones anteriores el denominador α + cos ω corresponde a la parte real delsegundo factor de la fase (α1 + ejω o 1 + α2 ejω ). Si se asumen ahora frecuencias cercanaspero menores a ω = π entonces sen ω/(α + cos ω) tiende a cero y puesto que para x ≈ 0 secumple arctan x ≈ x entonces para α > 1 se cumple que el aporte en fase de este t´rmino eaproximadamente cero. Si la parte real es negativa, es decir, si α < 1, entonces el t´rmino eaportar´ una fase cercana a π. a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 146. 134 4.6 Sistemas inversosPara un valor constante de α con α < 1, se observa entonces que la fase inicia con cero enω = −π, luego oscila cruzando una sola vez cero, para nuevamente alcanzarlo en ω = π.Por otro lado, si α > 1 entonces la fase inicia con un valor de π en ω = −π y bajamonot´nicamente hasta alcanzar −π en ω = π. Esto quiere decir que el cambio neto de ofase θ1 (π) − θ1 (0) para un α particular es cero si α1 < 1, mientras que es π si α1 > 1. Elprimer caso se conoce entonces como sistema de fase m´nima y el segundo como sistema ıde fase m´xima. aUn sistema FIR de longitud M + 1 tiene M ceros y su respuesta en frecuencia se puedeexpresar como: H(ω) = b0 (1 − z1 e−jω )(1 − z2 e−jω ) . . . (1 − zM e−jω )Si todos los ceros se encuentran dentro de la circunferencia unitaria, el cambio de faseneto ser´ entonces tambi´n de cero entre ω = 0 y ω = π, por lo que al sistema se le a edenomina de fase m´ ınima. Si todos los ceros se encuentran fuera de la circunferenciaunidad, el cambio neto de fase ser´ ∠H(π) − ∠H(0) = M π, y el sistema se denomina de afase m´xima. aUn sistema es entonces de fase mixta si algunos de los ceros est´n dentro de la circun- aferencia unitaria y otros fuera, y si el sistema tiene en total M ceros se cumple que elcambio de fase neto ser´ menor a M π radianes, entre ω = 0 y ω = π. aPuesto que la derivada de la funci´n de fase representa en cierta medida el retraso de ocada componente frecuencial, un sistema de fase m´ınima implica una funci´n de retardo om´ınima, mientras que un sistema de fase m´xima implica un retardo m´ximo. a aUn sistema IIR descrito por la funci´n de transferencia racional: o B(z) H(z) = A(z)se denomina de fase m´ ınima si todos sus polos y ceros se encuentran dentro de la cir-cunferencia unitaria, lo que implica adem´s que el sistema es estable y causal. Si en un asistema causal y estable todos los ceros est´n fuera de |z| = 1, entonces el sistema es de afase m´xima, y si s´lo algunos de sus ceros est´n fuera de |z| = 1, entonces el sistema es a o ade fase mixta. A(z)Puesto que el inverso de H(z) es H −1 (z) = B(z) , entonces se deduce de lo anterior queel inverso de un sistema de fase m´ınima estable es tambi´n un sistema de fase m´ e ınimaestable. En general, la fase m´ ınima de H(z) asegura la estabilidad de su sistema inverso −1H (z), y la estabilidad de H(z) asegura la fase m´ ınima de H −1 (z). Los sistemas de fasemixta o m´xima tienen entonces sistemas inversos inestables. a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 147. 4 An´lisis frecuencial a 135Descomposici´n de sistemas de polos y ceros de fase no m´ o ınimaCualquier sistema de funci´n de transferencia racional y de fase no m´ o ınima puede des-componerse en la cascada de un sistema de fase m´ınima y un filtro pasa todos. H(z) = Hmin (z)Hap (z)Sea H(z) = B(z) . El numerador B(z) se puede factorizar como B(z) = B1 (z)B2 (z), donde A(z) ıces dentro de |z| = 1 y B2 (z) todas sus ra´B1 (z) tiene todas sus ra´ ıces fuera. Esto a su −1vez implica que B2 (z ) tiene todas sus ra´ dentro de |z| = 1. De esta forma: ıces B1 (z)B2 (z −1 ) B2 (z) Hmin (z) = , Hap (z) = A(z) B2 (z −1 )N´tese que Hap (z) es estable puesto que todos los polos de B2 (z −1 ) se encuentran dentro de ola circunferencia unitaria. Adem´s, es un filtro paso todo como los descritos anteriormente, ay es de fase m´xima al estar todos sus ceros fuera de la circunferencia unitaria. aEste sistema H(z) de fase no m´ ınima tiene el retardo de grupo min ap τg (ω) = τg (ω) + τg (ω) apPuesto que τg (ω) ≥ 0 para 0 ≤ ω ≤ π, entonces se puede concluir que entre todos lossistemas con igual respuesta en magnitud, el menor retardo de grupo lo tiene el sistemade fase m´ ınima.4.6.3 Identificaci´n de sistemas oSup´ngase que se observa una secuencia de salida y(n) cuando se excita a un sistema ode respuesta desconocida con la entrada x(n). Se desea ahora determinar la respuestaimpulsional del sistema.Si existen formas cerradas en el dominio z para x(n) y y(n), entonces h(n) se obtiene  f´cilmente con a Y (z) h(n) H(z) = X(z)Otro m´todo trata directamente la convoluci´n en el dominio del tiempo, asumiendo que e oh(n) es causal: n y(n) = h(k)x(n − k), n ≥ 0 k=0 y(0) ⇒ y(0) = h(0)x(0) ⇒ h(0) = x(0) n−1 y(n) = h(k)x(n − k) + h(n)x(0) k=0 n−1 y(n) − k=0h(k)x(n − k) ⇒ h(n) = ,n ≥ 1 (4.9) x(0) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 148. 136 4.7 Transformada Discreta de FourierAqu´ se ha asumido que x(0) = 0. El problema se torna num´ricamente inestable para ı en 1.Un tercer m´todo utiliza la correlaci´n cruzada entrada-salida: e o ryx (n) = y(n) ∗ x(−n) = h(n) ∗ x(n) ∗ x(−n) = h(n) ∗ rxx (n) ∞ = h(k)rxx (n − k) ¡ k=0 Syx (ω) = H(ω)Sxx (ω) = H(ω)|X(ω)|2 Syx (ω) Syx (ω) ⇒ H(ω) = = Sxx (ω) |X(ω)|2Se puede aplicar entonces la f´rmula de deconvoluci´n (4.9) para determinar h(n) o la o otransformada inversa de Fourier de H(ω). Este m´todo tiene la ventaja de que el uso de elas correlaciones puede eliminar t´rminos de ruido en la identificaci´n, que podr´ alterar e o ıanlos resultados de los otros m´todos. e4.7 Transformada Discreta de FourierEn las secciones anteriores se observ´ que se˜ales discretas aperi´dicas, como se˜ales o n o ndigitales de audio, se˜ales digitales s´ n ısmicas, se˜ales m´dicas, etc., tienen un espectro n eperi´dico pero cont´ o ınuo, que no tiene una representaci´n directa para ser manejado por omedios digitales. En esta secci´n se estudia la transformada discreta de Fourier (DFT, oDiscrete Fourier Transform) que representa un mecanismo para el estudio frecuencial pormedios digitales para las mencionadas se˜ales. n4.7.1 Muestreo en el dominio de la frecuenciaToda se˜al aperi´dica x(n) de energ´ finita tiene un espectro cont´ n o ıa ınuo ∞ X(ω) = x(n)e−jωn . n=−∞Si X(ω) se muestrea peri´dicamente (figura 4.33) con un espaciado frecuencial δω = 2π o Nsolo se necesitar´n N muestras puesto que el espectro, por corresponder a una se˜al a ndiscreta, es a su vez peri´dico con periodo 2π. Las muestras en ω = k δω = 2π k son o Nentonces ∞ 2π X k = x(n)e−j2πkn/N k = 0, 1, . . . , N − 1 N n=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 149. 4 An´lisis frecuencial a 137 x(n) |X(ωk )| |X(ωk )| 1 1 1 0 n 0 ωk 0 ωk -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (a) (b) (c) Figura 4.33: Se˜al discreta aperi´dica, su espectro cont´ n o ınuo, y su espectro muestreado.donde descomponiendo la sumatoria en subintervalos de N elementos y haciendo un cam-bio de variable para trasladar cada subintervalo al origen se modifica en ∞ lN +N −1 N −1 ∞ 2π −j2πkn/N X k = x(n)e = x(n − lN ) e−j2πkn/N N l=−∞ n=lN n=0 l=−∞ xp (n)con k = 0, 1, . . . , N − 1.La se˜al n ∞ xp (n) = x(n − lN ) l=−∞se obtiene repitiendo peri´dicamente x(n) cada N muestras, y por ser peri´dica puede o ocalcularse su serie de Fourier como N −1 xp (n) = ck ej2πkn/N , n = 0, 1, . . . , N − 1 k=0con los coeficientes N −1 1 1 2π ck = xp (n) e−j2πkn/N = X k N n=0 N NCon esta serie, xp (n) puede ser reconstruido del espectro muestreado con N −1 1 2π xp (n) = X k ej2πkn/N , n = 0, 1, . . . , N − 1 N k=0 NLa se˜al x(n) puede recuperarse de xp (n) si y solo si no hay aliasing en el dominio del ntiempo, es decir, si la longitud L de x(n) es menor que el periodo N de xp (n) (figura 4.34): xp (n), 0 ≤ n ≤ N − 1 x(n) = 0, en el resto c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 150. 138 4.7 Transformada Discreta de Fourier x(n) n xp (n), L < N n xp (n), L > N nFigura 4.34: Extensi´n peri´dica por muestreo del espectro. a) Se˜al original, b) Extensi´n o o n o con L < N , c) Extensi´n con L > N . oSi no hay aliasing en el tiempo (L < N ) entonces N −1 1 2π x(n) = xp (n) = X k ej2πkn/N , 0≤n≤N −1 N k=0 Ncon espectro N −1 N −1 N −1 −jωn 1 2π X(ω) = x(n)e = X k ej2πkn/N e−jωn n=0 n=0 N k=0 N N −1 N −1 2π 1 2πk = X k e−j (ω− N )n k=0 N N n=0 N −1 2π 2πk = X k P ω− k=0 N Ndonde N −1 1 1 1 − e−jωN P (ω) = e−jωn = N n=0 N 1 − e−jω 1 sen(ωN/2) −jω(N −1)/2 = e (4.10) N sen(ω/2) c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 151. 4 An´lisis frecuencial a 139es la funci´n de interpolaci´n que sustituye en este caso a sen(θ)/θ con una versi´n de o o opropiedades similares pero peri´dica (figura 4.35): o 2π 1 k=0 P k = N 0 k = 1, 2, . . . , N − 1 P (ω) 1 0 ω −2π −π 0 π 2π Figura 4.35: Interpolador ideal P (ω) para espectro muestreado con N = 5.Ejemplo 4.12 Determine el aliasing de la secuencia x(n) = an u(n), |a| < 1, si elespectro se muestrea a las frecuencias ωk = 2πk/N .El espectro es ∞ 1 X(ω) = an e−jωn = n=0 1 − ae−jω 2π 1Las muestras est´n dadas por X(ωk ) = X a N k = 1−ae−j2πk/NLa secuencia peri´dica xp (n) representada por este espectro discreto es o ∞ 0 ∞ n−lN n 1 xp (n) = x(n − lN ) = a =a alN = an , 0≤n≤N −1 l=−∞ l=−∞ l=0 1 − aN 1donde la constante 1−aN representa el aliasing y tiende a uno si N → ∞, como es deesperar. 4.124.7.2 La transformada discreta de FourierEn la secci´n anterior se demostr´ que el espectro muestreado de una se˜al x(n) de o o nlongitud finita L no representa a x(n) directamente sino a su extensi´n peri´dica xp (n) o oobtenida de ∞ xp (n) = x(n − lN ) l=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 152. 140 4.7 Transformada Discreta de FourierSi no hay aliasing temporal, entonces xp (n) es simplemente la concatenaci´n peri´dica de o ox(n) de longitud L , que se expande con ceros para alcanzar la longitud N > L: x(n) 0 ≤ n ≤ L − 1 xp (n − lN ) = 0 L≤n≤N −1N´tese que el efecto de rellenar con ceros x(n) produce un muestreo m´s detallado de su o aespectro X(ω) que tendr´ N y no L muestras. Para todo N > L las muestras no proveen amayor informaci´n que el caso N = L, solo una “mejor” representaci´n (figura 4.36). o o |X(ω)| 1 x(n) -3 -2 -1 |X(ω)| 0 0 1 2 3 ω ¡ N n 1 xp (n) -3 -2 -1 |X(ω)| 0 0 1 2 3 ω ¡ N n 1 xp (n) -3 -2 -1 0 0 1 2 3 ω ¡ N n Figura 4.36: Efecto de extensi´n de se˜al con ceros y la DFT resultante. o nLa transformaci´n de x(n) hacia su espectro muestreado o L−1 2π X(k) = X k = x(n)e−j2πkn/N N n=0 N −1 = x(n)e−j2πkn/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 153. 4 An´lisis frecuencial a 141se conoce como transformada discreta de Fourier DFT y a la reconstrucci´n de x(n) de olas muestras espectrales N −1 1 x(n) = X(k)ej2πkn/N , n = 0, 1, . . . , N − 1 N k=0se le conoce como transformada discreta de Fourier inversa (IDFT).Estas transformaciones se expresan a menudo como N −1 kn DFT: X(k) = x(n)WN k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 N −1 1 −kn IDFT: x(n) = X(k)WN n = 0, 1, . . . , N − 1 N k=0donde WN = e−j2π/N es una ra´ N -´sima de la unidad. N´tese que para cada k, X(k) ız e ose puede expresar como el producto punto de la entrada x(n) y un vector que consiste en k 2k (N −1)k 1, WN , WN , . . . , WN , o, si se interpreta X(k) tambi´n como vector, entonces e      X(0) 1 1 ··· 1 x(0)  X(1)  1 WN ··· WN −1 N  x(1)       X(k) ≡ XN =  .  = . . .. .  .   . .  . . . . . . .  . .  (N −1)(N −1) X(N − 1) 1 WN −1 · · · WN N x(N − 1)o en forma compacta XN = WN xNde donde se deduce −1 1 ∗ xN = WN XN = W N XN N4.7.3 Relaci´n de la DFT con otras transformadas oSeries de FourierLa secuencia xp (n) por ser peri´dica con periodo N tiene una representaci´n en series de o oFourier N −1 xp (n) = ck ej2πnk/N , −∞ < n < ∞ k=0 N −1 1 ck = xp (n)e−j2πnk/N k = 0, 1, . . . , N − 1 N n=0Esto es X(k) = N ck . c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 154. 142 4.7 Transformada Discreta de FourierTransformada de Fourier de secuencias aperi´dicas oYa se verific´ la relaci´n entre la DFT X(k) como muestras del espectro continuo X(ω) o o X(k) = X(ω)|ω= 2π k Nque a su vez corresponden con los coeficientes de la DFT de xp (n), la extensi´n peri´dica o ode x(n). Ambas secuencias son id´nticas para n = 0, 1, . . . , L − 1 si no hay aliasing etemporal, es decir, si x(n) es finita de longitud L y N > L.Transformada zSi la regi´n de convergencia de la transformada z de x(n) incluye la circunferencia unitaria, oentonces ∞ X(k) = X(z)|z=ej2πk/N = x(n)e−j2πnk/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=−∞que representa al muestreo de la transformada z sobre el c´ ırculo unitario con angulos ´distribuidos homog´neamente. Sin aliasing temporal se cumple entonces, con x(n) de elongitud finita N N −1 N −1 N −1 −n 1 X(z) = x(n)z = X(k)ej2πkn/N z −n n=0 n=0 N k=0 N −1 N −1 1 n = X(k) ej2πk/N z −1 N k=0 n=0 −N N −1 1−z X(k) X(z) = N k=0 1 − ej2πk/N z −1que es la reconstrucci´n de X(z) a partir de la muestras X(k) de la DFT. Evaluando en ola circunferencia unitaria se obtiene para la transformada de Fourier N −1 1 − e−jωN X(k) X(ω) = 2πk N k=0 1 − e−j (ω− N )que es otra forma de interpolaci´n de las muestras X(k) equivalente a la expresada ante- oriormente con P (ω) (ver ecuaci´n 4.10 en la p´gina 138). o a4.7.4 Propiedades de la DFTSea x(n) una secuencia de longitud L < N y X(k) su correspondiente DFT de longitudN . Se cumple que N −1 kn DFT: X(k) = n=0 x(n)WN k = 0, 1, . . . , N − 1 1 N −1 −kn IDFT: x(n) = k=0 X(k)WN n = 0, 1, . . . , N − 1 N c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 155. 4 An´lisis frecuencial a 143con WN = e−j2π/N .La relaci´n entre x(n) y su DFT X(k) se denota con o DF T x(n) ←→ X(k) N ´ o x(n)   N X(k)LinealidadSi x1 (n)   X1 (k) y x2 (n)   X2 (k) entonces   N N a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (n) + a2 X2 (n) NSimetr´ circular ıaPuesto que la DFT de N puntos de una secuencia finita x(n) de longitud L ≤ N esequivalente a la DFT de N puntos de una secuencia peri´dica xp (n) de periodo N obtenida ocomo (figura 4.37) ∞ xp (n) = x(n − lN ) l=−∞ x(n) es equivalente a 3 2 4 0 1 2 3 4 0 1 Figura 4.37: Secuencia circular equivalente a x(n).entonces un desplazamiento de xp (n) k unidades hacia la derecha equivale a un desplaza-miento circular (figura 4.38). xp (n − k)  ¡ N · N x(n − k mod N ) ≡ x((n − k))NUna secuencia es circularmente par si es sim´trica con respecto al punto cero de la cir- ecunferencia (figura 4.39): x(N − n) = x(n), 1≤n≤N −1La secuencia es circularmente impar si es antisim´trica con respecto al punto cero (figu- era 4.40): x(N − n) = −x(n), 1≤n≤N −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 156. 144 4.7 Transformada Discreta de Fourier xp (n) es equivalente a 3 2 4 0 1 2 3 4 0 1 Figura 4.38: Secuencia circular equivalente a xp (n − 2). -2 5 -1 4 0 3 1 2 Figura 4.39: Simetr´ circular par ıaLa reflexi´n temporal circular se obtiene con o x((−n))N = x(N − n), 0≤n≤N −1Utilizando xp (n) en vez de x(n) se tiene par: xp (n) = xp (−n) = xp (N − n) impar: xp (n) = −xp (−n) = −xp (N − n) herm´ ıtica: xp (n) = x∗ p (N − n) (conjugada par) anti-herm´ ıtica: xp (n) = −x∗ p (N − n) (conjugada impar)La secuencia se puede descomponer en xp (n) = xpe (n) + xpo (n) 1 xpe (n) = [xp (n) + x∗ p (N − n)] 2 1 xpo (n) = [xp (n) − x∗ p (N − n)] 2 -2 5 -1 4 0 3 1 2 Figura 4.40: Simetr´ circular impar ıa c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 157. 4 An´lisis frecuencial a 145Si x(n) = xR (n) + jxI (n), 0 ≤ n ≤ N − 1, y X(k) = XR (k) + jXI (k) entonces se obtienecon la definici´n de la DFT. o N −1 2πkn 2πkn XR (k) = xR (n) cos + xI (n) sen n=0 N N N −1 2πkn 2πkn XI (k) = − xR (n) sen − xI (n) cos n=0 N N N −1 1 2πkn 2πkn xR (n) = XR (k) cos − XI (k) sen N k=0 N N N −1 1 2πkn 2πkn xI (n) = XR (k) sen + XI (k) cos N k=0 N NSi x(n) es real, entonces X(N − k) = X ∗ (k) = X(−k) ⇒ |X(N − k)| = |X(k)|, ∠X(N − k) = −∠X(k)Si x(n) es real y par entonces x(n) = x(N − n), para 0 ≤ n ≤ N − 1, y la DFT se torna N −1 2πk X(k) = x(n) cos n ,0 ≤ k ≤ N − 1 n=0 Nque tambi´n es real y par. Puesto que XI (k) = 0 entonces e N −1 1 2πkn x(n) = X(k) cos , 0≤n≤N −1 N k=0 NSi x(n) es real e impar entonces x(n) = −x(N − n), 0≤n≤N −1 N −1 2πkn X(k) = −j x(n) sen , 0≤k ≤N −1 n=0 Ny puesto que XR (k) = 0 entonces N −1 j 2πkn x(n) = X(k) sen , 0≤n≤N −1 N k=0 N c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 158. 146 4.7 Transformada Discreta de FourierConvoluci´n circular oSean x1 (n) y x2 (n) dos secuencias de duraci´n finita, ambas de longitud N , y sus respec- otivas DFT de N puntos N −1 X1 (k) = x1 (n)e−j2πnk/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 N −1 X2 (k) = x2 (n)e−j2πnk/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0Si X3 = X1 (k)X2 (k), k = 0, 1, . . . , N − 1 entonces N −1 1 x3 (m) = X3 (k)ej2πkm/N N k=0 N −1 1 = X1 (k)X2 (k)ej2πkm/N N k=0 N −1 N −1 N −1 1 −j2πkn/N = x1 (n)e x2 (l)e−j2πkl/N ej2πkm/N N k=0 n=0 l=0 N −1 N −1 N −1 1 = x1 (n) x2 (l) ej2πk(m−n−l)/N N n=0 l=0 k=0y con a = ej2π(m−n−l)/N en N −1 N si a = 1 ⇔ m − n − l = pN ⇒ l = ((m − n))N ak = 1−aN k=0 1−a = 0 si a = 1, puesto que aN = 1por lo que N −1 x3 (m) = x1 (n)x2 ((m − n))N , m = 0, 1, . . . , N − 1 = x1 (m) N x2 (m) n=0operaci´n denominada convoluci´n circular. N´tese que esta funci´n es para los elementos o o o ox3 (m) con m = 0, 1, . . . , N − 1 equivalente a la convoluci´n de x1 (n) con la extensi´n o operi´dica con periodo N de x2 (n). oOtras propiedades se resumen en la tabla 4.3.4.7.5 Filtrado lineal basado en la DFTLa existencia de algoritmos eficientes para extraer la DFT (llamados FFT del ingl´s Fast eFourier Transform) hace posible que sea en ocasiones m´s eficiente calcular el efecto de aun filtro en el dominio de la frecuencia que directamente en el dominio del tiempo. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 159. 4 An´lisis frecuencial a 147 Tabla 4.3: Propiedades de la DFT Propiedad Dominio temporal Dominio frecuencial Notaci´n o x(n), y(n) X(k), Y (k) Periodicidad x(n) = x(n + N ) X(k) = X(k + N ) Linealidad a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (k) + a2 X2 (k) Reflexi´n temporal o x(N − n) X(N − k) Desplazamiento temporal circular x((n − l))N X(k) e−j2πkl/N Desplazamiento frecuencial circular x(n)ej2πln/N X((k − l))N Conjugaci´n compleja o x∗ (n) X ∗ (N − k) Convoluci´n circular o x1 (n) N x2 (n) X1 (k)X2 (k) Correlaci´n circular o x(n) N y ∗ (−n) X(k)Y ∗ (k) 1 Multiplicaci´n de dos secuencias o x1 (n)x2 (n) X (k) N X2 (k) N 1 N −1 N −1 ∗ 1 Teorema de Parseval x(n)y (n) X(k)Y ∗ (k) n=0 N k=0Sea la entrada x(n) de longitud L y un filtro FIR con respuesta impulsional h(n) delongitud M . As´mase adem´s que ambas secuencias son causales, es decir u a x(n) = 0, n < 0, n ≥ L h(n) = 0, n < 0, n ≥ MLa salida del filtro puede calcularse en el dominio del tiempo con la convoluci´n o M −1 y(n) = h(k)x(n − k) = h(n) ∗ x(n) k=0que por la naturaleza finita de x(n) y h(n) tambi´n es finita. En el ejemplo 2.12 (p´g. 38) e ase determin´ que la salida tendr´ longitud M + L − 1. o aEn el dominio de la frecuencia la salida es Y (ω) = X(ω)H(ω)Si se desea representar y(n) a trav´s de muestras de Y (ω) se necesitan entonces al menos eN ≥ M + L − 1 muestras para evitar as´ el aliasing temporal y se obtiene con la DFT: ı Y (k) = Y (ω)|ω=2πk/N = X(ω)H(ω)|ω=2πk/N = X(k)H(k)donde X(k) y H(k) representan entonces la DFT de las secuencias x(n) y h(n) que hansido extendidas con ceros para alcanzar la longitud N .N´tese que la compensaci´n de longitud de x(n) y y(n) logra que la convoluci´n circular o o osea equivalente a la convoluci´n lineal. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 160. 148 4.7 Transformada Discreta de Fourier 1 1 1Ejemplo 4.13 Calcule la respuesta del filtro con respuesta impulsional h(n) = , , 4 2 4ante la entrada x(n) = {4, 2, 2, 4}.La longitud de x(n) es L = 4 y la de h(n) es M = 3, por lo que la salida necesita al menosL + M − 1 = 6 muestras. Se utilizar´ N = 8 por simplicidad y porque los algoritmos de a kFFT usualmente requieren N = 2 muestras, con k ∈ IN. As´ ı 7 X(k) = x(n)ej2πkn/8 n=0 π π 3π = x(0) + x(1)e−j 4 k + x(2)e−j 2 k + x(3)e−j 4 k 3π π π = 4(1 + e−j 4 k ) + 2(e−j 4 k + e−j 2 k )con lo que se obtiene X(0) = 12 √ √ X(1) = 4 − 2 − j(2 + 3 2) X(2) = 2 + j2 √ √ X(3) = 4 + 2 + j(2 − 3 2) X(4) = 0 √ √ X(5) = 4 + 2 − j(2 − 3 2) = X ∗ (3) X(6) = 2 − j2 = X ∗ (2) √ √ X(7) = 4 − 2 + j(2 + 3 2) = X ∗ (1)De forma similar 7 H(k) = h(n)e−j2πkn/8 n=0 π π = h(0) + h(1)e−j 4 k + h(2)e−j 2 k 1 π 1 π = 1 + e−j 2 k + e−j 4 k 4 2con lo que se obtiene H(0) = 1 √ √ 1+ 2 1+ 2 H(1) = −j = H ∗ (7) 4 4 −j ∗ H(2) = − = H (6) 2√ √ 1− 2 1− 2 H(3) = +j = H ∗ (5) 4 4 H(4) = 0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 161. 4 An´lisis frecuencial a 149El producto de ambas secuencias es Y (0) = 12 √ √ 3+ 2 5+2 2 Y (1) = − −j = Y ∗ (7) 2 2 Y (2) = 1 − j = Y ∗ (6) √ √ 2−3 5−2 2 Y (3) = +j = Y ∗ (5) 2 2 Y (4) = 0Y con la IDFT se obtiene finalmente 7 y(n) = Y (k)ej2πkn/8 , n = 0, 1, . . . , 7 k=0 5 5 5 5 = 1, , , , , 1, 0, 0 2 2 2 2 4.134.7.6 Filtrado de secuencias de larga duraci´n oEn aplicaciones reales, la secuencia de entrada puede ser muy larga o incluso de longitudimpredecible, por lo que el tratamiento, tanto por limitantes de espacio de memoria comopor limitaciones en el retardo de la respuesta, debe realizarse separando en bloques esase˜al de entrada. nAqu´ se analizar´n dos m´todos que dividen la se˜al de entrada en bloques de longitud L ı a e ny aplican por medio de la DFT el filtro h(n) de longitud M en el dominio de la frecuencia.La salida, de forma equivalente a la aplicaci´n del filtro al bloque completo de la entrada, ose obtiene por medio de la concatenaci´n adecuada de cada bloque obtenido para cada obloque de entrada. Sin p´rdida de generalidad se asume la longitud de la entrada mucho emayor que la del filtro (L M ).M´todo de solapamiento y almacenamiento eEn el m´todo de solapamiento y almacenamiento (overlap-save) la entrada se separa en ebloques de N = L + M − 1 muestras donde cada bloque contiene M − 1 muestras delbloque de entrada anterior seguidas por L muestras nuevas. La respuesta impulsional delfiltro se aumenta con L − 1 ceros para alcanzar as´ la longitud N . La longitud de las DFT ıe IDFT es entonces N , y la salida para cada bloque se calcula a trav´s de su producto. ePuesto que el bloque de entrada tiene longitud N y el filtro longitud M , en el tiempodiscreto la salida de la convoluci´n deber´ tener N + M − 1 muestras (ver ejemplo 2.12), o ıapor lo que es de esperar que las primeras M − 1 muestras de la salida est´n distorsionadas e c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 162. 150 4.7 Transformada Discreta de Fourierpor aliasing, por lo que se descartan (figura 4.41). La salida para el m-´simo bloque se eobtiene con ym (n) ˆ   ˆ Ym (k) = H(k)Xm (k), k = 0, 1, . . . , N − 1 N M −1 L L L L x(n) 0 M −1 x1 (n) M −1 x2 (n) M −1 x3 (n) y (n) y1 (n) M −1 M −1 x4 (n) y2 (n) M −1 y3 (n) M −1 y4 (n) Figura 4.41: M´todo de solapamiento y almacenamiento. eLa salida total se obtiene concatenando las ultimas L muestras de cada bloque de salida. ´M´todo de solapamiento y suma eEn este m´todo la DFT se aplica a L muestras de la entrada, a las que se concatenan eM − 1 ceros. Los bloques de salida deben entonces traslaparse y sumarse para obtener elresultado final (figura 4.42).4.7.7 An´lisis espectral de se˜ ales usando la DFT a nPara calcular el espectro exacto de una se˜al, indiferentemente si esta es continua o ndiscreta, es necesario contar con informaci´n de todo instante de tiempo, en el intervalo ot ∈ ]−∞, ∞[. En aplicaciones reales esto es imposible y se debe utilizar un intervalo finitode muestras que tendr´ repercusiones en la medici´n espectral. a oEl procedimiento para el an´lisis espectral de una se˜al anal´gica xa (t) involucra primero a n olimitar el ancho de banda B con un filtro antialias seguido por el muestreo a una tasa c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 163. 4 An´lisis frecuencial a 151 L L L L x(n) M −1 x1 (n) 0 M −1 x2 (n) 0 M −1 x3 (n) 0 y (n) y1 (n) M −1 + x4 (n) 0 y2 (n) + y3 (n) + y4 (n) Figura 4.42: M´todo de solapamiento y suma. eFs ≥ 2B, que asegura que la mayor frecuencia ser´ Fs /2, equivalente a la frecuencia anormalizada f = 1/2. Adem´s, es necesario limitar la longitud temporal de la se˜al a L a nmuestras, lo que implica que T0 = LT es la duraci´n del bloque de se˜al analizado. No o nse estudia entonces la se˜al x(n) sino otra obtenida por enventanado n x(n) = x(n)w(n) ˆcon la ventana de longitud L 1 0≤n≤L−1 w(n) = 0 en el restoPara el caso particular de una componente espectral x(n) = cos(ω0 n) con espectro X(ω) =12 [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] la se˜al enventanada tendr´ espectro: n a x(n) ˆ   ˆ 1 X(ω) = [W (ω − ω0 ) + W (ω + ω0 )] 2donde W (ω) es el espectro de la ventana que para el caso de la ventana rectangular es(figura 4.43) sen ω L −jω(L−1)/2 2 W (ω) = e sen ω 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 164. 152 4.7 Transformada Discreta de Fourier ˆ X(ω) ω −π −π 2 0 π 2 πFigura 4.43: Espectro del producto de una se˜al cosenoidal de frecuencia ω = π/2 con una n ventana rectangular de longitud L = 25.N´tese que el espectro no se concentra en ±ω0 , como la se˜al original, sino que ha ocurrido o nun derrame o fuga de la potencia de la se˜al a todo el intervalo de frecuencias (en ingl´s n eleakage). Este derrame impide adem´s distinguir l´ a ıneas espectrales que se encuentrenmuy cerca. Por ejemplo, con x(n) = cos(ω0 n) + cos(ω1 n) + cos(ω2 n)y ω0 = 0,2π, ω1 = 0,22π y ω2 = 0,6π se obtienen las respuestas en magnitud de lafigura 4.44. ˆ |X(ω)| ˆ |X(ω)| ˆ |X(ω)| ω ω ω −π −π 2 0 π 2 π −π −π 2 0 π 2 π −π −π 2 0 π 2 π (a) (b) (c)Figura 4.44: Respuestas en magnitud para una superposici´n de tres se˜ales cosenoidales con o n (a) L = 25, (b) L = 50 y (c) L = 100.Los l´bulos laterales pueden reducirse utilizando otras ventanas diferentes a las rectangu- olares, como la de Hanning: 1 2π 2 1 − cos L−1 n 0≤n≤L−1 w(n) = 0 en el restoa costa del mayor ancho del l´bulo central. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 165. Cap´ ıtulo 5Conversi´n anal´gica/digital y o odigital/anal´gica oTal y como se describi´ en la figura 1.2, para tratar se˜ales anal´gicas por medios digitales o n oes necesario poder convertir entre representaciones anal´gicas y digitales. oConceptualmente en la conversi´n de una se˜al anal´gica a una representaci´n digital o n o ointervienen tres pasos (figura 5.1): 1. Muestreo es la conversi´n de una se˜al de variable continua a otra de variable o n discreta que es el resultado de tomar “muestras” de la se˜al de variable continua en n ciertos instantes. Si xa (t) es la entrada al bloque de muestreo, entonces la salida es xa (nT ), donde a T se le denomina el intervalo de muestreo. 2. Cuantificaci´n es la conversi´n de la se˜al de variable discreta y valores continuos a o o n otra se˜al de variable discreta pero con valores discretos. El valor de cada muestra n es aproximado entonces con un valor de un conjunto finito de posibles valores. A la diferencia entre el valor continuo y su aproximaci´n se le denomina error de o cuantificaci´n. o 3. Codificaci´n consiste en la asignaci´n de una representaci´n usualmente binaria para o o o los valores cuantificados. Convertidor A/D xa (t) x(n) xq (n) c(n) Muestreo Cuantificaci´n o Codificaci´n o Se˜al n Se˜al de n Se˜al n Se˜al n Anal´gica o Variable Discreta Cuantificada Digital Figura 5.1: Pasos b´sicos en la conversi´n anal´gica/digital. a o o 153
  • 166. 154 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas n oEstos pasos en la pr´ctica se realizan en un solo bloque operacional. aLa conversi´n digital/anal´gica es necesaria en todos aquellos casos en los que la represen- o otaci´n propiamente digital no tiene significado para el usuario final. Por ejemplo, la salida odigital de un decodificador de voz debe ser convertida a una se˜al anal´gica ac´stica para n o upoder ser comprendida por los usuarios. Este proceso de conversi´n debe interpolar la ose˜al discreta. n5.1 Muestreo de se˜ ales anal´gicas n oExisten diversas posibilidades de seleccionar las muestras de una se˜al anal´gica en la fase n ode muestreo. En el an´lisis cl´sico se utiliza el llamado muestreo peri´dico o uniforme por a a olas facilidades que este brinda al an´lisis matem´tico, lo cual ha hecho que sea el tipo de a amuestreo m´s utilizado en aplicaciones reales. En el muestreo peri´dico la relaci´n entre a o ola se˜al anal´gica y la se˜al de variable discreta est´ dada por n o n a x(n) = xa (nT ) −∞<n<∞donde la secuencia x(n) contiene entonces muestras de la se˜al anal´gica xa (t) separadas n opor un intervalo T (figura 5.2). Se˜al n xa (t) x(n) = xa (nT ) Se˜al n Anal´gica o de variable Fs = 1/T discreta Muestreo xa (t) x(n) xa (t) x(n) = xa (nT ) t n Figura 5.2: Muestreo peri´dico de una se˜al anal´gica. o n oLas variables t y n de las se˜ales de variable continua y discreta respectivamente est´n n arelacionadas a trav´s del intervalo de muestreo T e t = nT = n/Fsdonde a Fs se le denomina tasa de muestreo.En la secci´n 2.2.2 se demostr´ que la relaci´n entre las frecuencias de las se˜ales en los o o o ndominios continuo y discreto est´ dada por a ω = ΩT c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 167. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 155o lo que es equivalente F f= (5.1) Fspor lo que a f se le denomina tambi´n frecuencia normalizada. Con esto queda claro que ela frecuencia f puede corresponder con las unidades de frecuencia de F (por ejemplo, enHertz) si y solo si se conoce la frecuencia de muestreo Fs .En las secciones anteriores se obtuvo adem´s que el rango para la frecuencia F es pr´cticamente a a 1 1infinito, mientras que el rango de la frecuencia f es finito ([− 2 , 2 ]). Utilizando (5.1) seobtiene 1 1 − <f ≤ 2 2 1 F 1 − < ≤ 2 Fs 2 Fs Fs − <F ≤ 2 2El muestreo peri´dico de la se˜al de variable continua representa entonces un mapeo del o nrango infinito de frecuencias F a un rango finito de frecuencias f . Puesto que la mayor 1frecuencia de f es f = 2 puede concluirse que con la tasa de muestreo Fs como m´ximo ase podr´ representar a Fs 1 Fmax = = 2 2T π Ωmax = πFs = TEn cap´ıtulos anteriores se demostr´ que las frecuencias f son unicas dentro de un rango o ´finito: el rango fundamental, y que todas las frecuencias fuera de ese rango son alias dealguna frecuencia fundamental. Se demostr´ adem´s que para una se˜al sinusoidal la o a nfrecuencia angular ω y ω + 2kπ son equivalentes para todo k ∈ Z, lo que implica que f + kes un alias de f . Con (5.1) se tiene que F f +k = ⇒ f Fs + kFs ≡ F Fso en otras palabras f Fs + kFs es un alias de F = f Fs . Con esto, la relaci´n entre las ofrecuencias de las se˜ales de variable continua y discreta puede graficarse como lo muestra nla figura 5.3.La figura 5.4 muestra un ejemplo con las frecuencias F1 = 2/7 Hz y su alias F2 = −5/7 Hzpara una tasa de muestreo de Fs = 1 Hz. Aqu´ se aprecia con claridad que las muestras ıtomadas para las dos se˜ales coinciden, por lo que estas muestras por si solas no pueden ndeterminar de cu´l de las dos se˜ales fue muestreada. a nLa frecuencia Fs /2 corresponde entonces a la frecuencia m´xima representable en forma a 1discreta con una tasa de muestreo Fs , que corresponde entonces a f = 2 . La frecuenciafundamental correspondiente a un alias de frecuencia mayor a Fs /2 se puede terminarutilizando Fs /2 como pivote para reflejar el alias dentro del rango fundamental. A Fs /2(o ω = π) se le denomina entonces frecuencia de plegado,o en ingl´s folding frequency. e c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 168. 156 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas n o f ω 1 2 π F −Fs − Fs 2 Fs 2 Fs 1 − 2 −πFigura 5.3: Relaci´n entre las frecuencias de se˜ales de variable discreta y continua para el o n caso de muestreo uniforme. x(n) F2 = − 5 Hz 7 t[s] 2 F1 = 7 Hz Figura 5.4: Muestreo de una se˜al sinusoidal y de un alias. n5.1.1 Muestreo de se˜ ales pasa-bajos nComo se˜al pasabajos se considera aquella cuyo espectro tiene componentes de frecuencia ndiferentes de cero para un valor dado de frecuencia F < B. La figura 4.11 ilustra unespectro de se˜al pasabajos. nTal y como se ha demostrado en la secci´n 4.2.4, no hay p´rdida de informaci´n si una o e ose˜al se muestrea con Fs > 2B, pues las r´plicas del espectro original inducidas por el n emuestreo, y ubicadas cada Fs , no se traslapan y permiten la recuperaci´n del espectro ooriginal por medio de un interpolador ideal aplicado a las muestras.5.1.2 Muestreo de se˜ ales pasa-banda nUna se˜al pasa-banda es aquella cuyo espectro es cero para |F | < Fc − B/2 y para n|F | > Fc + B/2. A Fc se le conoce como frecuencia central de la banda o frecuenciaportadora y a B como ancho de la banda. La figura 5.5 ilustra un ejemplo de espectro paso-banda de una se˜al real. Seg´n el teorema de muestreo es posible reconstruir la se˜al si se n u n c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 169. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 157 |H(Ω)| −Fc Fc F B Figura 5.5: Se˜al pasa-banda nutiliza como frecuencia de muestreo al menos el doble de la frecuencia m´xima encontrada aen la se˜al, es decir, Fs > 2Fc + B. En aplicaciones donde la frecuencia portadora es nsuperior a la disponibilidad de muestreo de convertidores anal´gico digital comerciales, oo la capacidad de procesamiento requerida no da abasto con el n´mero de muestras ucapturado por intervalo de tiempo, es posible re-interpretar el teorema de muestreo parautilizar r´plicas espectrales en secciones de menor frecuencia y as´ utilizar submuestreo, o e ımuestreo sub-Nyquist.La figura 5.6 ilustra un caso de muestreo de la se˜al con ancho de banda B montada sobre nuna portadora en Fc utilizando como frecuencia de muestreo Fs = Fc − B/2. |H(Ω)| −Fc Fc F Fs Fs Fs Fs Fs Fs Fs Fs Figura 5.6: Muestreo de se˜al pasa-banda sin aliasing nRespetando el teorema del muestreo, enunciado ahora como Fs > 2B, es posible elegirla frecuencia de muestreo de tal modo que las r´plicas de las bandas no se traslapen, eevitando as´ que ocurran efectos de aliasing. ıLa figura 5.7 ilustra un caso particular en el que se logran situar seis r´plicas entre las ebandas de una se˜al anal´gica. n oObs´rvese que en el rango 2Fc − B, existente entre las dos bandas de la se˜al, deben caber e nexactamente m r´plicas, por lo que se debe cumplir e mFs = 2Fc − B c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 170. 158 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas n o 2Fc − B |H(Ω)| −Fc −2Fs −Fs Fs 2Fs Fc F 2Fc − B |H(Ω)| −Fc Fc F 2Fc + B |H(Ω)| −Fc −2Fs −Fs Fs 2Fs Fc FFigura 5.7: Muestreo de se˜al pasa-banda sin aliasing. Arriba se utiliza Fs = (2Fc /B)/6; al n medio se muestrea con Fs < Fs ; abajo se utiliza la menor frecuencia posible.y por tanto 2Fc − B Fs = (5.2) mdonde el n´mero natural m estar´ limitado adem´s por la restricci´n Fs > 2B. u a a oSi la frecuencia de muestreo Fs se incrementa, las r´plicas se separar´n entre s´ causando e a ı,un traslape y por tanto aliasing en la se˜al muestreada. Si Fs se reduce, las r´plicas se n eacercar´n entre s´ y Fs puede reducirse hasta que ahora en el rango extendido que cubre a ı,a las dos bandas originales (2Fc +B) quepan entonces m+1 r´plicas distribuidas de forma ehomog´nea: e (m + 1)Fs = 2Fc + By por tanto 2Fc + B Fs = (5.3) m+1Si se reduce Fs aun m´s, de nuevo ocurrir´ un traslape entre las bandas. a aResumiendo lo anterior, se debe cumplir para la frecuencia de muestreo Fs 2Fc + B 2Fc − B ≤ Fs ≤ (5.4) m+1 mdonde, de nuevo, m es un n´mero natural que debe adem´s asegurar que Fs > 2B. u a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 171. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 159Def´ ınase r como la raz´n entre la mayor componente de frecuencia Fc + B/2 y el ancho ode banda B de la se˜al a muestrear. Reescribiendo (5.4) se obtiene n 2Fc + B 2Fc − B ≤ Fs ≤ m+1 m Fc + B2 2Fc − B + B − B 2 ≤ Fs ≤ m+1 m Fc + B B 2 B Fc + B − B 2 2 ≤ Fs ≤ 2 m+1 m 2Br Br − B ≤ Fs ≤ 2 m+1 m 2r Fs 2(r − 1) ≤ ≤ m+1 B mLa figura 5.8 ilustra la frecuencia de muestreo normalizada con el ancho de banda B enfunci´n del radio r. La zona sombreada representa configuraciones inv´lidas. o a 10 8 6 m=1 m=2 Fs m=3 B 4 2 0 r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Figura 5.8: Rangos v´lidos de frecuencias de sub-muestreo, en funci´n del radio entre la fre- a o cuencia espectral m´xima y el ancho de banda. aDebe notarse que si m es impar, la r´plicas cercanas a cero se invertir´n, en el sentido que la e ar´plica de la banda original en frecuencias positivas se encontrar´ en frecuencias negativas e ay la r´plica de la banda original en frecuencias negativas se encontrar´ en frecuencias e apositivas. Si la aplicaci´n requiere contar con el espectro sin invertir, es necesario utilizar om par.Al igual que en el caso de se˜ales pasa-bajo, para aplicaciones reales es necesario dejar nun margen entre las bandas con el fin de poder utilizar un filtros que rescaten las r´plicas einferiores, con las cuales usualmente se desea trabajar. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 172. 160 5.2 Cuantificaci´n de se˜ales de amplitud continua o n5.2 Cuantificaci´n de se˜ ales de amplitud continua o nLa cuantificaci´n de una se˜al de amplitud continua consiste en asignar a cada valor con- o ntinuo otro valor tomado de un conjunto finito. El reemplazar los valores continuos porlos valores cuantificados introduce el llamado error de cuantificaci´n o ruido de cuan- otificaci´n. Si x(n) es la secuencia de valores continuos entonces la secuencia de valores ocuantificados ser´ xq (n) = Q[x(n)] donde Q representa un operador de cuantificaci´n. La a osecuencia de errores de cuantificaci´n est´ dada entonces por o a eq (n) = xq (n) − x(n)Para analizar el error de cuantificaci´n consid´rese la se˜al sinusoidal de variable continua o e nmostrada en la figura 5.9. Es posible apreciar que alrededor de cada nivel de cuantificaci´no x(t) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t Figura 5.9: Se˜al sinusoidal de variable continua cuantificada. nla se˜al anal´gica se puede aproximar de forma lineal. En t´rminos estad´ n o e ısticos este hechose describe diciendo que el ruido de cuantificaci´n sigue una distribuci´n uniforme, donde o olos valores de error estar´n distribuidos con las mismas probabilidades entre −∆/2 y ∆/2, adonde ∆ es igual al cuanto, es decir la distancia entre dos niveles de cuantificaci´n. oEsta aproximaci´n lineal se esquematiza en la figura 5.10, donde se ha asumido que los o“saltos” hacia los otros cuantos de esta se˜al ocurren en −τ y τ . nLa potencia media del error cuadr´tico Pq es a τ τ 1 1 Pq = e2 (t) dt = q e2 (t) dt q 2τ −τ τ 0que considerando la aproximaci´n lineal del error eq (t) ≈ (∆/2τ )t para t ∈ [−τ, τ ] resulta oen 2 1 τ ∆ ∆2 Pq = t2 dt = (5.5) τ 0 2τ 12 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 173. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 161 eq (t) ∆/2 ∆ ∆/2 τ −τ 0 t −∆/2 −τ 0 τ t Figura 5.10: Error de cuantificaci´n eq (t) = xa (t) − xq (t). oSi el cuantificador utiliza b bits de precisi´n y todo el rango posible con ellos para repre- osentar la amplitud de 2A, entonces se puede calcular el cuanto como ∆ = 2A/2b , lo queimplica que A2 /3 Pq = 2b (5.6) 2La potencia media de la se˜al xa (t) se calcula como n Tp 1 A2 Px = (A cos(Ω0 t))2 dt = . Tp 0 2Con estos dos t´rminos es posible entonces aproximar la relaci´n se˜al a ruido de cuanti- e o nficaci´n (SQNR signal to quantization noise ratio) como: o Px 3 SQNR = = · 22b Pq 2y expresada en decibels (dB) SQNR(dB) = 10 log10 SQNR = (1,76 + 6,02b) dBlo que implica que por cada bit a˜adido a la palabra, y si se utiliza todo el rango, es decir, nsi se duplica la cantidad de cuantos utilizados, la calidad de la se˜al mejora en 6 dB. El nfactor 3/2 en la raz´n de potencias es espec´ o ıfico para se˜ales sinusoidales. En un caso nm´s general, si se asume que la se˜al de entrada es generada por un proceso aleatorio de a n 2media cero y con potencia Px = σx , entonces la raz´n SQNR es o Px σ2 σ2 SQNR = = A2x = x 3 · 22b Pq /3 2b A2 2y en decibels 2 σx SQNR(dB) = 10 log10 + 10 log10 3 + 2b log10 2 A2 2 σx = 10 log10 + 4, 77 dB + 6, 02b dB (5.7) A2de donde se observa que el t´rmino (6,02b) dB se mantiene. e c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 174. 162 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados oEjemplo 5.1 El sistema de audio digital utilizado en CD comerciales utiliza una fre-cuencia de muestreo de 44,1 kHz con 24 bits por muestra. Determine la frecuencia m´xima arepresentable por este sistema y el valor m´ximo de la relaci´n de se˜al a ruido de cuan- a o ntificaci´n SQNR alcanzable para un tono puro. o¿Cu´ntos bits son estrictamente necesarios por muestra si la aplicaci´n require para un a otono puro una SQNR de al menos 100 dB?Soluci´n: oCon 44,1 kHz de frecuencia de muestreo es posible representar a lo sumo frecuencias de22,05 kHz.Los 24 bits por muestra permiten, si el convertidor A/D cubre exactamente el rangodin´mico de la se˜al, un SQNR=(1,76+6,02×24)=146,24 dB, asumiendo un tono sinusoi- a ndal.Si se requirieran 100 dB entonces bastar´ para reproducir un tono puro (se˜al sinusoidal) ıan n17 bits por muestra. 5.15.3 Codificaci´n de los valores cuantificados oEl proceso de codificaci´n asigna un n´mero binario unico a cada nivel de cuantificaci´n. o u ´ oSi se disponen de L niveles entonces ser´n necesarios al menos b = log2 (L) bits. Los aconvertidores A/D disponibles comercialmente usualmente utilizan precisiones de 8 a 16bits.Dos familas de codificaci´n se utilizan con frecuencia: coma fija y coma flotante. o5.3.1 N´ meros codificados con coma fija uEn las representaciones con coma fija el peso de cada bit en la representaci´n es cons- otante. Dos codificaciones frecuentemente utilizadas consisten en los enteros sin signo y elcomplemento a dos.Enteros sin signoSea x un n´mero entero sin signo de N -bits u N −1 x= bn 2n n=0donde bn ∈ {0, 1} es el n-´simo d´ e ıgito de x. El rango representable es entonces desde 0 Nhasta 2 − 1. El d´ ıgito b0 es el menos significativo (LSB, least significant bit) y su pesorelativo es igual a uno. El d´ıgito bN −1 es el m´s significativo (MSB, most significant bit) a N −1y tiene un peso relativo de 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 175. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 163Coma fija sin signoSea x un n´mero sin signo de N -bits u N −1 1 x= bn 2n M n=0donde bn ∈ {0, 1} es el n-´simo d´ e ıgito de x y M es una constante de normalizaci´n elegida o m Nusualmente como 2 . El rango representable es entonces desde 0 hasta (2 − 1)/M . Eld´ ıgito b0 es el menos significativo (LSB, least significant bit) y su peso relativo es igual a1/M . El d´ ıgito bN −1 es el m´s significativo (MSB, most significant bit) y tiene un peso a N −1relativo de 2 /M .Complemento a dosLa representaci´n de N bits de un n´mero entero con signo en complemento a dos est´ o u adada por N −2 N x = −bN −1 2 + bn 2n n=0lo que permite representar n´meros en el rango desde −2N −1 hasta 2N −1 − 1. El d´ u ıgitob0 es el menos significativo (LSB, least significant bit) y su peso relativo es igual a uno.El d´ıgito bN −2 es el m´s significativo (MSB, most significant bit) y tiene un peso relativo a N −2de 2 . El ultimo bit bN −1 codifica al signo. ´El uso del complemento a dos es quiz´ el m´s difundido de todas las representaciones a ade n´meros con signo. Esto se debe a que es posible sumar varios n´meros con signo, y u usiempre que el resultado final se encuentre en el rango de representaci´n, es irrelevante osi resultados intermedios producen desbordamiento. Por ejemplo, sup´ngase que se debe ohacer la secuencia de operaciones 2 + 3 − 2 con n´meros de 3 bits. La secuencia de uadiciones es entonces (xi )10 (xi )2 ( xi )2 ( xi )10 210 010 010 210 310 011 101 −310 −210 110 011 310donde el resultado intermedio 5 fue representado por el n´mero −3, sin afectar el resultado ufinal. Otra ventaja de esta representaci´n es que permite encontrar el m´dulo con respecto o o La un n´mero 2 utilizando unicamente los L bits menos significativos, lo que simplifica la u ´implementaci´n de b´feres anulares. Por ejemplo, para el caso N = 4 y L = 2 se obtiene o u c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 176. 164 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados o (xi )10 (xi )2 (xi mod 4)2 (xi mod 4)10 −810 1000 00 010 −710 1001 01 110 −610 1010 10 210 −510 1011 11 310 −410 1100 00 010 −310 1101 01 110 −210 1110 10 210 −110 1111 11 310 010 0000 00 010 110 0001 01 110 210 0010 10 210 310 0011 11 310 410 0100 00 010 510 0101 01 110 610 0110 10 210 710 0111 11 310Coma fija con signoLa representaci´n de N bits de un n´mero con signo en complemento a dos est´ dada por o u a N −2 1 N x= −bN −1 2 + bn 2n M n=0con la constante de normalizaci´n M elegida usualmente como 2m . El rango representable o N −1ser´ entonces desde −2 a /M hasta (2N −1 − 1)/M .Un caso frecuentemente utilizado permite representar n´meros de valor absoluto igual o uinferior a uno empleando M = 2N −1 con lo que se obtiene N −2 x = −2bN −1 + bn 2n−N +1 n=05.3.2 N´ meros codificados con coma flotante uLa representaci´n en coma flotante permite ampliar el rango de representaci´n num´rica. o o eLas representaciones de 32 y 64 bits m´s frecuentemente utilizadas han sido estandarizadas apor la IEEE (est´ndar 754 en su versi´n original de 1985 y su m´s reciente versi´n de a o a o2008). Las unidades de manejo de coma flotante integradas en algunos procesadoresDigitales de Se˜al avanzados (por ejemplo, la familia C674x de Texas Instruments) as´ n ıcomo algunos m´dulos disponibles gratuita y/o comercialmente en HDL (Verilog o VHDL) odan soporte a dicho est´ndar. La flexibilidad del hardware reconfigurable permite sin a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 177. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 165embargo utilizar formatos de coma flotante adecuados para cada aplicaci´n espec´ o ıfica sinafectar el desempe˜o. nUn n´mero codificado con el est´ndar consiste en un bit de signo s, el exponente e con u aE bits y la mantisa m normalizada (fraccionaria) de M bits, y se codifica como s Exponente e Mantisa mDe forma algebraica, el n´mero representado es u x = (−1)s × 1, m × 2e−biascon bias = 2E−1 − 1N´tese que la mantisa se completa con un 1 oculto (en el sentido de que no se indica oexpl´ ıcitamente en la representaci´n), mientras que los bits especificados en la mantisa orepresentan solo la parte fraccionaria.Ejemplo 5.2 Indique cu´l es la representaci´n en coma flotante del n´mero 10, 12510 a o uen un formato de 14 bits que utiliza E = 6 bits y M = 7 bits.Soluci´n: oPrimero, el bias est´ dado por a bias = 2E−1 − 1 = 25 − 1 = 31y para la mantisa 10, 12510 = 1010, 00102 = 1, 01000102 × 23El exponente corregido se obtiene con e = 3 + bias = 3410 = 1000102Finalmente, la representaci´n del n´mero es: o u s Exponente e Mantisa m 0 1000102 01000102 5.2Ejemplo 5.3 Encuentre qu´ n´mero decimal es representado por el c´digo de coma e u oflotante con E = 6 bits y M = 7 bits: s Exponente e Mantisa m 1 0111102 10000002 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 178. 166 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados oSoluci´n: oEl n´mero representado est´ dado por u a −1 × 1, 10000002 × 230−bias = −1, 12 × 2−1 = −0, 112 = −0, 7510 5.3La tabla 5.1 muestra las especificaciones del est´ndar IEEE 754. Adem´s de la estructura a a Tabla 5.1: Est´ndar de coma flotante IEEE 754-2008 a Simple Doble Ancho de palabra 32 64 Mantisa 23 52 Exponente 8 11 Bias 127 1023 Rango 2128 ≈ 3, 4 × 1038 21024 ≈ 1, 8 × 10308de representaci´n de los n´meros reales, el est´ndar especifica adem´s detalles como modos o u a ade redondeo, denormalizaciones, y representaciones de n´meros inv´lidos o infinitos (ver u atablas 5.2 y 5.3). Tabla 5.2: Algunos n´meros especiales en precisi´n simple u o Nombre s e m Hex 11 . . . 11 FFFFFFFFH -NaN (Quiet) 1 11 . . . 11 . . . . . . 10 . . . 01 FFC00001H 01 . . . 11 FFBFFFFFH -NaN (Signal) 1 11 . . . 11 . . . . . . 00 . . . 01 FF800001H −∞ 1 11 . . . 11 00 . . . 00 FF800000H −0 1 00 . . . 00 00 . . . 00 80000000H +0 0 00 . . . 00 00 . . . 00 00000000H +∞ 0 11 . . . 11 00 . . . 00 7F800000H 00 . . . 01 7F800001H +NaN (Signal) 0 11 . . . 11 . . . . . . 01 . . . 11 7FBFFFFFH 10 . . . 01 7FC00000H +NaN (Quiet) 0 11 . . . 11 . . . . . . 11 . . . 11 7FFFFFFFH c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 179. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 167 Tabla 5.3: Algunos n´meros especiales en precisi´n doble u o Nombre s e m Hex 11 . . . 11 FFFFFFFFFFFFFFFFH -NaN (Quiet) 1 11 . . . 11 . . . . . . 10 . . . 01 FFC0000000000001H 01 . . . 11 FFF7FFFFFFFFFFFFH -NaN (Signal) 1 11 . . . 11 . . . . . . 00 . . . 01 FFF8000000000001H −∞ 1 11 . . . 11 00 . . . 00 FFF0000000000000H −0 1 00 . . . 00 00 . . . 00 8000000000000000H +0 0 00 . . . 00 00 . . . 00 0000000000000000H +∞ 0 11 . . . 11 00 . . . 00 7FF0000000000000H 00 . . . 01 7FF0000000000001H +NaN (Signal) 0 11 . . . 11 . . . . . . 01 . . . 11 7FF7FFFFFFFFFFFFH 10 . . . 01 7FF8000000000000H +NaN (Quiet) 0 11 . . . 11 . . . . . . 11 . . . 11 7FFFFFFFFFFFFFFFH5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o oDiferentes estrategias para la conversi´n anal´gica a digital se han propuesto, cada una o ode ellas adecuada a factores como potencia, velocidad o precisi´n, que caracterizar´n a o acada aplicaci´n en particular. La selecci´n del convertidor anal´gico digital es parte del o o odise˜o de un sistema de procesamiento digital. n5.4.1 Circuito de muestreo y retenci´n oEl circuito de muestreo y retenci´n (o sample and hold ) es utilizado como etapa previa oal circuito convertidor propiamente dicho para estabilizar el valor a ser muestreado. Elperiodo total de muestreo Ts = 1/Fs se divide en el tiempo de muestreo ts en el quela salida de tensi´n U2 del retenedor se estabiliza siguiendo a la tensi´n de entrada U1 o o(figura 5.11), y el tiempo de retenci´n tH donde se mantiene el ultimo valor de tensi´n de o ´ ola entrada del tiempo ts . Durante el tiempo de retenci´n la salida U2 es constante y es oconvertida a una palabra digital en el proceso de cuantificaci´n. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 180. 168 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o S/H Entrada U1 U1 U2 Salida U2 tS tH Figura 5.11: Muestreo y retenci´n o5.4.2 ContadorUna primera estrategia de conversi´n anal´gica a digital utiliza el esquema ilustrado en la o ofigura 5.12. Durante cada fase de retenci´n del circuito S/H, una se˜al con forma diente o n Fs Contador Registro w bits w bits S/H xa (t) Figura 5.12: Conversi´n con contador ode sierra s(t) recorre todo el rango de valores anal´gicos representables y en paralelo un ocontador digital es reinicializado e inicia una cuenta ascendente sincronizada con la se˜al ns(t). En el instante en que s(t) supere a la salida del retenedor, el valor del contador esalmacenado en un registro y utilizado como representaci´n digital de la se˜al. o nEsta t´cnica es utilizada para bajas frecuencias de muestreo (menores a 50 kHz) debido ea la cantidad de ciclos de reloj requeridos por el contador para recorrer todo el rango devalores. Por las mismas razones, tampoco es posible utilizar un n´mero elevado de bits. uLa precisi´n de este m´todo est´ limitada por la precisi´n de generaci´n de la se˜al s(t), o e a o o n c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 181. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 169as´ como la precisi´n de la sincronizaci´n de esta se˜al con los contadores. ı o o n5.4.3 Aproximaciones sucesivasEn la conversi´n por aproximaciones sucesivas se sigue la estrategia ilustrada en la figu- ora 5.13. El registro de aproximaci´n sucesiva (RAS) consiste en un sistema que verifica o Fs S/H Registro w bits w bits RAS xa (t) DAC Figura 5.13: Conversi´n por aproximaciones sucesivas oe inicializa los bits del c´digo digital del m´s significativo al menos significativo. En un o aprimer paso, a dicho bit se le asigna el valor de 1, y esa representaci´n se convierte a un ovalor anal´gico con el DAC. Si la tensi´n a la salida del DAC es menor que la salida del o oretenedor, eso indica que el bit m´s significativo debe ser uno, o de otra manera debe ser acero. El valor de dicho bit se almacena y se procede de igual forma con el siguiente bit demenor peso relativo. De esta manera, en un n´mero de pasos w igual al n´mero de bits u ude la representaci´n digital se realiza la conversi´n. Este proceso comparativo se ilustra o oen la figura 5.14. Uref /2 Uref MSB < ≥ < ≥ ≥ < < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ LSB < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ Figura 5.14: Registro de aproximaciones sucesivasCon una resoluci´n de 12 bits se alcanzan frecuencias de muestreo de hasta 1 MHz. Ma- oyores resoluciones de hasta 16 bits se encuentran disponibles pero a menores frecuenciasde muestreo.Obs´rvese que la precisi´n de este m´todo depende de qu´ tan exacto sea el convertidor e o e edigital anal´gico (DAC). o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 182. 170 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o5.4.4 Convertidor paraleloLa figura 5.15 muestra un m´todo directo de conversi´n denominado convertidor flash o e oconvertidor paralelo. En este m´todo, la salida del retenedor es comparada con 2w − 1 etensiones de referencia obtenidas por una red resistiva. La salida de los comparadores seinterpreta como una secuencia de 2w − 1 bits que pueden ser codificados para obtener unc´digo de w bits. o Fs S/H xa (t) R/2 D Q Uref 2w − 1 R D Q w bits 2w − 2 R Codec D Q 2 R D Q 1 R/2 Comparadores Figura 5.15: Convertidor paraleloLas tasas de muestreo obtenibles con estos convertidores oscilan entre 1 y 500 MHz pararesoluciones de hasta 10 bits. Sin embargo, las tolerancias alcanzables en la fabricaci´n ode la red resistiva (por ejemplo 1023 resistencias en un convertidor de 10 bits) afectar´ adirectamente la linealidad del convertidor, o en otras palabras, la homogeneidad del anchoanal´gico de tensi´n asignado al bit menos significativo en todo el rango de conversi´n es o o odif´ de alcanzar con convertidores de este tipo. ıcil c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 183. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 1715.4.5 Convertidor en subrangosUna manera de reducir el n´mero de resistencias requeridas en el convertidor anterior uconsiste en partir el problema en dos subproblemas con la mitad del n´mero de bits, tal uy como lo ilustra la figura 5.16. En un primer paso un convertidor flash se utiliza para Fs m bits S/H m bit ADC xa (t) w bits L´gica m bit o DAC m bits m bit ADC 2m Figura 5.16: Convertidor half-flashobtener los m bits m´s significativos de la tensi´n a la salida del retenedor. A partir de a oellos se obtiene una tensi´n que aproxima a la entrada redondeada a solo m bits. La salida ode convertidor DAC utilizado para generar dicha aproximaci´n se substrae de la salida odel retenedor para obtener la fracci´n faltante, la cual es amplificada por un factor 2m y otransformada con otro convertidor flash para obtener los m bits menos significativos.El esquema anterior (denominado half-flash) puede ser simplificado en una estructura deconversi´n en subrangos como se ilustra en la figura 5.17. Con este esquema, solo se outiliza un convertidor flash. Las tasas de conversi´n alcanzan entre 100 kHz y 40 MHz con o Fs m bits S/H m bit ADC xa (t) 2m w bits L´gica o m bit DAC Figura 5.17: Convertidor en subrangosresoluciones de hasta 16 bits.5.4.6 Convertidor delta-sigmaEl convertidor delta-sigma (∆Σ) utiliza una estrategia completamente diferente a todoslos circuitos ilustrados anteriormente. Los sistemas anteriores trabajan en frecuenciascercanas al l´ımite de Nyquist (Fs > 2B) y por eso se les denomina convertidores ADC c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 184. 172 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o ´en tasa de Nyquist. Estos requieren estructuras electr´nicas complejas que determinan la olinealidad de la conversi´n, y su resoluci´n est´ determinada por el n´mero de niveles en o o a uel cuantificador. Los sistemas ∆Σ operan por el contrario con sobre-muestreo (Fs 2B)utilizando una resoluci´n baja, t´ o ıpicamente de un unico bit, por lo que se les denomina ´“convertidores de un bit”. Para reducir el error de cuantificaci´n se utilizan t´cnicas del o eprocesamiento digital de se˜ales. nLa figura 5.18 ilustra cualitativamente el compromiso entre ancho de banda y resoluci´n ode los diferentes tipos de conversi´n, donde se aprecia que a pesar de utilizar un unico bit o ´ ∆Σ Aprox. Sucesivas Resoluci´n o Subrango Flash Ancho de banda de se˜al n Figura 5.18: Compromiso entre ancho de banda y resoluci´n. opara la conversi´n, esta estrategia es la que brinda mayor resoluci´n. Los convertidores o o∆Σ son utilizados por tanto en aplicaciones de voz (B =4 kHz) y audio (B = 20 − 24 kHz)con resoluciones de hasta 18 bits. En v´ ıdeo se encuentran con m´s frecuencia convertidores aflash para B = 5 MHz y resoluciones de 8 bits.SobremuestreoSe demostr´ anteriormente que un cuantificador de b bits introduce un ruido de cuantifi- ocaci´n uniformemente distribuido con potencia o ∆ A2 /3 Pq = = 2b 12 2 Es evidente que dicha potencia no cambia si b se mantiene constante, aunque la frecuenciade muestreo Fs aumente considerable sobre el l´ ımite de Nyquist Fsn = 2B. Sin embargo,al ser el ruido de cuantificaci´n blanco, su energ´ se distribuye en todo el rango v´lido de o ıa afrecuencias. Por otro lado, la relaci´n de Parseval indica que la potencia en el tiempo y oen la frecuencia son equivalentes, por lo que el area bajo la curva de la densidad espectral ´de potencia debe mantenerse constante independientemente de la frecuencia de muestreo c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 185. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 173utilizada (figura 5.19), de modo que Fsn /2 Fso /2 Pqn (F ) dF = Pqo (F ) dF = Pq −Fsn /2 −Fso /2de donde se deriva Pq Pq Pqn (F ) = = Fsn 2B Pq Pqo (F ) = FsoPor lo anterior, solo una fracci´n de la potencia total del error de cuantificaci´n coincide o ocon la banda de frecuencia de la se˜al de entrada [−B, B]. La potencia fuera de ese rango npuede ser atenuada utilizando un filtro paso-bajos, dise˜ado para dejar pasar unicamente n ´la se˜al de entrada. Siguiendo a este filtro, y debido a que su salida est´ limitada en n abanda, es posible sub-muestrear o diezmar la se˜al. La figura 5.20 ilustra el concepto de nsobremuestreo, donde Fso = 1/Tso = L · 2B.La potencia del ruido de cuantificaci´n Pqo correpondiente al intervalo de frecuencias o[−B, B] de la se˜al sobremuestreada se obtiene con n B 2B Pq Pqo = Pqo (F ) dF = Pq = −B Fso Ldonde L = Fso /Fsn y B = Fsn /2. 2Si se asume que la se˜al de entrada tiene potencia Px = σx y pasa por el filtro pasa-bajos ninalterada, entonces su potencia seguir´ siendo Px a la salida del filtro y la relaci´n se˜al a o na ruido de la se˜al sobremuestreada y filtrada es n Px Px Fso SN RQ = 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 (5.8) Pqo Pq 2B Pq (F ) Fsn Fso F 2 2Figura 5.19: Densidad espectral de potencia del ruido de cuantificaci´n para la tasa Nyquist o Fsn y una tasa de sobremuestreo Fso = 3Fsn . c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 186. 174 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o Procesamiento Procesamiento anal´gico o digital e(n) Tso L x(t) x(n) y (n) Anti Filtro Diezmado Aliasing Cuantificador pasabajas Figura 5.20: Sistema de conversion con sobremuestreo.donde el primer t´rmino ya fue analizado en (5.7) y el segundo t´rmino otorga mayor e ecalidad de se˜al conforme mayor sea la frecuencia de sobremuestreo con respecto al ancho nde banda B de la se˜al. Si se elige por ejemplo el muestreo de Nyquist con Fso = 2B nentonces (5.8) se reduce a (5.7). Si se elige L = 2r entonces (5.8) se puede expresar como Px SN RQ = 10 log10 + 3, 01r dB (5.9) Pqde donde se observa que cada duplicaci´n de la frecuencia de muestreo equivale a una omejora de medio bit.Si bien es cierto este esquema de sobre-muestreo permite obtener m´s resoluci´n aumen- a otando la frecuencia de muestreo, la tasa requerida para alcanzar resoluciones altas es muyelevada para las aplicaciones pr´cticas. aModulaci´n delta-sigma oEl modelo del cuantificador como combinaci´n lineal del ruido de cuantificaci´n e(n) con o ola se˜al de entrada (figura 5.20) se ha expresado matem´ticamente en el dominio del n atiempo discreto como y(n) = x(n) + e(n)que transformado al dominio z equivale a Y (z) = X(z) + E(z) (5.10)Dicho modelo puede generalizarse utilizando subsistemas para modificar la entrada y elruido de cuantificaci´n de la siguiente forma: o Y (z) = Hx (z)X(z) + He (z)E(z) (5.11)donde Hx (z) es la funci´n de transferencia de la se˜al y He (z) es la funci´n de transferencia o n odel ruido de cuantificaci´n. En la secci´n anterior se utiliz´ Hx (z) = He (z) = 1, pero o o oeligiendo otras configuraciones es posible manipular el ruido de cuantificaci´n tal que se opuedan alcanzar mejores resoluciones que con el simple sobremuestreo. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 187. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 175La estrategia a utilizar ser´ entonces modificar el espectro del ruido de cuantificaci´n de a otal modo que la mayor parte de la energ´ se coloque fuera del ancho de banda de la se˜al ıa ny sea eliminado al aplicar el filtro pasobajas.La figura 5.21 muestra un convertidor ADC delta-sigma de primer orden, que consiste enun modulador delta-sigma seguido por una etapa de filtrado y diezmado. Procesamiento Procesamiento anal´gico o digital e(n) Integrador discreto Tso v (n) y (n) z −1 L x(t) x(n) Anti ya (n) Filtro Diezmado Aliasing Cuantificador pasabajas DAC Modulador delta-sigma Figura 5.21: Conversion delta-sigma de primer orden.La se˜al a cuantificar no es la entrada x(n) sino la salida de un integrador discreto cuya nentrada es la diferencia entre x(n) y una representaci´n anal´gica ya (n) de la salida. La o ointegraci´n se realiza con la funci´n de transferencia z /(1 − z −1 ). Dicho integrador o o −1se realiza en circuitos reales con tecnolog´ de capacitores conmutados, que permiten ıaimplementar sistemas anal´gicos en tiempo discreto. oA la salida del cuantificador, usualmente de 1 bit, se cuenta con las representacionesdigitales de m´ximo y m´ a ınimo valor representables.Asumiendo que el convertidor DAC es ideal, su funci´n de transferencia es unitaria, y se ocumple para la salida Y (z) del modulador Y (z) = X(z)z −1 + E(z)(1 − z −1 )de modo que Hx (z) = z −1 y He (z) = 1−z −1 . La salida del modulador equivale a la entradaretrasada una muestra m´s el ruido modificado con un filtro pasa altos (o diferenciador adiscreto). La respuesta en frecuencia de He (f ) se obtiene con z = ejω = ej2πf y se ilustraen la figura 5.22. Se observa que el ruido de cuantificaci´n para el nivel CC es incluso ocero.Para que el sistema anterior trabaje correctamente el DAC debe ser tan lineal como seaposible. Puesto que convertidores de 1 bit son perfectamente lineales, son los utilizadospreferentemente en este tipo de circuitos, con la ventaja adicional que su implementa-ci´n consiste en un comparador, que se acopla directamente a la cuantificaci´n de 1 bit o ogeneralmente utilizada. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 188. 176 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o 2 |H(f )| 20 |H(f )| (dB) 1.8 1.6 Primer orden Sobremuestreo 0 f 1.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.2 1 -20 0.8 0.6 0.4 -40 Primer orden Sobremuestreo 0.2 0 f 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -60Figura 5.22: Respuesta en frecuencia de la funci´n de transferencia de ruido He (z) en funci´n o o de la frecuencia normalizada f = F/Fso .Utilizando la relaci´n de Parseval se obtiene que la potencia del ruido de cuantificaci´n o oluego de pasar por el filtro He (z) y por el filtro pasabajas estar´ dada por a B Pe = Pqo (F )|He (F )|2 dF −B B B Pq Pq = |He (F )|2 dF = 2 |He (F )|2 dF Fso −B Fso 0 B Pq =2 |1 − ej2πF/Fso |2 dF Fso 0 B Pq πF =2 4 sen2 dF Fso 0 Fsoy asumiendo que Fso B y que sen(x) ≈ x para x ≈ 0 se tiene B 2 3 Pq πF π2 2B Pe = 8 dF = Pq Fso 0 Fso 3 FsoEn decibelios π2 Fso SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 10 log10 + 30 log10 3 2B = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 5, 17 dB + 30 log10 Ly si L = 2r entonces SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 5, 17 dB + 9, 03r dBlo que equivale a 1,5 bits por cada duplicaci´n de la frecuencia de sobremuestreo. oA pesar de que ha mejorado con este modulador la ganancia obtenida por cada dupli-caci´n de frecuencia, no es a´n suficiente para aplicaciones reales. Por ello, se utilizan o umoduladores de mayor orden, como el ilustrado en la figura 5.23. El lector puede de- c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 189. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 177 e(n) Integrador discreto Integrador discreto z −1 x(n) y (n) −1 z Cuantificador DAC Figura 5.23: Modulador delta-sigma de segundo orden.mostrar que la funci´n de transferencia para el ruido es en este caso He (z) = (1 − z −1 )2 . oSiguiendo un desarrollo similar al anterior se obtiene que π4 Fso SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 10 log10 + 50 log10 5 2B = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 12, 89 dB + 50 log10 Ly con L = 2r SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 12, 89 dB + 15, 05r dBlo que implica que con este modulador se obtienen 2,5 bits por cada duplicaci´n de la ofrecuencia de muestreo.La figura 5.24 presenta la respuesta en frencuencia de la funci´n de transferencia del error ode cuantificaci´n para el sistema de sobremuestreo, y los sistemas de primer, segundo oy tercer orden de modulaci´n delta-sigma. Se aprecia como la atenuaci´n energ´tica en o o ebajas frecuencias es compensada con una amplificaci´n a altas frecuencias. o 8 |H(f )| 20 |H(f )| (dB) 7 6 0 f Primer orden Segundo orden 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tercer orden 5 Sobremuestreo 4 -20 3 2 -40 Primer orden Segundo orden 1 Tercer orden Sobremuestreo 0 f 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -60Figura 5.24: Respuesta en frecuencia de la funci´n de transferencia de ruido He (z) en funci´n o o de la frecuencia normalizada f = F/Fso para tres ´rdenes de modulaci´n delta- o o sigma. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 190. 178 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica o o5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica o oLos principios utilizados para la conversi´n de una representaci´n digital a una se˜al o o nanal´gica se basan en t´cnicas de conversi´n directas, lo que permite altas velocidades de o e oconversi´n. oEn secciones anteriores se determin´ que en la conversi´n ideal de una se˜al digital a o o nuna anal´gica interviene el interpolador ideal sa(t) = sen(πt)/πt. Este interpolador tiene ola propiedad de reconstruir a la perfecci´n se˜ales con un espectro limitado en banda o nmuestreadas con una tasa superior a dos veces dicho ancho de banda; sin embargo, la nocausalidad y la infinita extensi´n de dicho interpolador obliga a utilizar simplificaciones, ocomo el retenedor de orden cero presentado anteriormente (circuito S/H).5.5.1 Fuentes de tensi´n conmutadas o o o ´La conversi´n con fuentes de tensi´n conmutadas se ilustra en la figura 5.25. Esta se realiza Fs Decodificador Usal S/H MSB 1 0 1 0 1 0 LSB 1 0 1 0 1 0 1 0 Uref R R R R R R R R 2w −1 ... 6 5 4 3 2 1 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref Figura 5.25: Fuentes de tensi´n conmutadas outilizando una tensi´n de referencia Uref conectada a una red resistiva de 2w resistencias ode igual valor y conmutada por etapas a trav´s de un decodificador que logra llevar a la esalida del retenedor la tensi´n equivalente. oUna obvia desventaja de esta estrategia est´ en el tama˜o de la red resistiva, y del a ndecodificador, que crecen exponencialmente con el n´mero de bits a convertir. u5.5.2 Resistencias conmutadasLa figura 5.26 ilustra otra estrategia de conversi´n basada en la conmutaci´n de corrientes, o odonde se observa que la corriente correspondiente al bit bi es siembre el doble de la corriente c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 191. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 179 o ´del bit bi−1 . Sea U1 la tensi´n a la salida del amplificador operacional. Esta tensi´n se o MSB LSB Uref R 2R 22 R 23 R 24 R ... 2w R S/N Usal Figura 5.26: Conversi´n digital-anal´gica con resistores ponderados o oobtiene con b0 b1 bw−1 U1 = RI = R wR + w−1 R + ... Uref 2 2 2R = b0 2−w + b1 2−w+1 + . . . + bw−1 2−1 UrefSi bien es cierto esta estrategia utiliza menos resistencias que las fuentes de tensi´n conmu- otadas, su exacta calibraci´n en un reto en el dise˜o del circuito integrado. Otra desventaja o nes claramente el consumo de potencia presente en todas las resistencias. Si bien es cierto´ste puede reducirse utilizando valores mayores de R, usualmente esto ir´ acompa˜ado dee a nuna reducci´n en la raz´n se˜al a ruido. o o n5.5.3 Condensadores conmutadosLa conversi´n digital anal´gica con condensadores conmutados se muestra en la figu- o ora 5.27. En este caso la conversi´n requiere varios pasos. En el primer paso (denotado o Uref 1 C C C C C C 2 4 8 2w −1 2w −1 S/N 1 U1 Usal Figura 5.27: Conversi´n digital-anal´gica con condensadores ponderados o o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 192. 180 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica o ocon 1 en la figura), todos los condensadores se descargan conectando los bornes de todosellos a referencia. En el segundo paso, el terminal positivo del seguidor de tensi´n se des- oconecta de tierra y cada uno de los bits con valor 1 se conectan a la tensi´n de referencia oUref , mientras que los bits 0 permanecen conectados a la tierra. La carga acumulada esentonces C C Uref Q = bw−1 C + bw−2 + . . . + b0 w−1 2 2En el ultimo paso de la conversi´n, la carga Q acumulada en los condensadores corres- ´ opondientes a bits 1 es repartida entre la capacitancia total del circuito conmutando losinterruptores a la referencia, como se ilustra en la figura 5.27. Dicha capacitancia es 2Cgracias al condensador terminal de valor C/2w−1 , por lo que Q = 2CU1con U1 la tensi´n a la salida del seguidor de tensi´n. Combinando las dos ecuaciones o oanteriores se deriva U1 = bw−1 2−1 + bw−2 2−2 + . . . b1 2−w+1 + b0 2−w Uref5.5.4 Redes resistivas R − 2ROtra manera de lograr conmutaci´n de corrientes es a trav´s de redes resistivas R − o e2R como la ilustrada en la figura 5.28. A diferencia de la estructura de resistenciasconmutadas, solo se requieren aqu´ dos valores de resistencias con una raz´n de valor 2:1. ı oObs´rvese que en cada nodo la corriente que entra divide en dos tantos iguales, de modo e R R R 2R 2R 2R 2R 2R Uref R MSB LSB S/N Usal Figura 5.28: Conversi´n digital-anal´gica con redes R-2R o oque la tensi´n U1 a la salida del amplificador operacional es o bw−1 bw−2 b1 b0 U1 = −RI = −R + + . . . w−1 + w Uref 2R 4R 2 2 = −Uref bw−1 2−1 + bw−2 2−2 + . . . + b1 2−w+1 + b0 2−w c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 193. 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 1815.5.5 Conversi´n DAC delta-sigma oLos principios de modulaci´n y conversi´n delta sigma se pueden aplicar en sentido inverso, o ocomo lo muestra la figura 5.29. En este caso se traslada la se˜al digital con c´digos de n ow bits a una secuencia con LFs de sobremuestreo de bits simples. Un filtro pasabajosanal´gico recupera la se˜al anal´gica. o n o Procesamiento Procesamiento Digital Anal´gico o L H(z) DAC Digital Anal´gico o Figura 5.29: Conversi´n DAC delta-sigma. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 194. 182 5.6 Problemas5.6 ProblemasProblema 5.1. Investigue qu´ circuitos se utilizan para realizar la conversi´n de una e ose˜al digital a una anal´gica. n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 195. Cap´ ıtulo 6Implementaci´n de sistemas odiscretosHasta ahora se ha visto el an´lisis de sistemas LTI descritos mediante ecuaciones de adiferencias lineales de coeficientes constantes y el an´lisis por convoluci´n, en el dominio a odel tiempo (o de variable) discreto y en el dominio de la frecuencia.En la pr´ctica, el dise˜o y la implementaci´n de sistemas digitales se tratan conjuntamen- a n ote, y se deben considerar aspectos de costo, tama˜o, hardware, potencia, etc. Algunos nesquemas b´sicos de implementaci´n se revisar´n aqu´ a o a ı.6.1 N´ mero de Condici´n u oLos sistemas de procesamiento digital son implementados en computadores digitales queutilizan representaciones num´ricas de precisi´n limitada. Estas limitaciones afectan el e odesempe˜o de los sistemas y obliga a revisar con detalle su comportamiento num´rico. n eEn el ´rea de an´lisis num´rico, el n´mero de condici´n de una funci´n con respecto a un a a e u o oargumento indica, para el peor caso posible, cu´nto puede cambiar el valor de la funci´n a ocon respecto a un cambio dado del argumento. Se dice entonces que un problema esmal condicionado (en ingl´s ill-conditioned ) si el n´mero de condici´n es alto, es decir, e u osi una peque˜a perturbaci´n del argumento produce cambios grandes en la salida. Si el n on´mero de condici´n es peque˜o (cercano a uno) entonces se habla de un problema bien u o ncondicionado (en ingl´s, well-conditioned ). eEl n´mero de condici´n es una propiedad de cada problema particular, y por tanto un u oproblema puede ser inherentemente bien condicionado o mal condicionado. Por ejemplo,el pron´stico del tiempo es un problema inherentemente mal condicionado al depender ono solo de un elevado n´mero de variables en tiempo y espacio (presi´n atmosf´rica, u o ehumedad relativa, temperatura, velocidades de viento, etc.), sino que el resultado essensible a cambios leves en los valores de dichas variables. 183
  • 196. 184 6.2 Estructuras directasLa soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales expresado como el sistema matricial o Ax = b (6.1)donde A es una matriz cuadrada de N × N y x y b son vectores N -dimensionales, tendr´ aun n´mero de condici´n dependiente totalmente de la matriz A que determina cu´nto u o aafecta un error en los valores b los valores encontrados para x. Si la determinante de Aes un n´mero peque˜o, entonces el problema es mal condicionado. u nNo solo el problema es bien o mal condicionado, sino tambi´n el algoritmo particular edesarrollado para dar soluci´n al problema. Si un problema es mal condicionado, ning´n o ualgoritmo podr´ cambiar esa condici´n. El cuidado debe tenerse en que un algoritmo mal a ocondicionado puede producir errores considerables en la soluci´n de problemas inherente- omente bien condicionados. Para el caso de algoritmos, el n´mero de condici´n se redefine u oentonces como la raz´n de salida/entrada pero utilizando el algoritmo concreto. Por ejem- oplo, en la soluci´n del sistema lineal de ecuaciones (6.1) pueden utilizarse algoritmos como ola eliminaci´n gaussiana (mal condicionado), la eliminaci´n de Gauss-Jordan, descompo- o osici´n de valores singulares (SVD), o la descomposici´n QR (bien condicionados), entre o ootros.El problema que compete directamente en ´ste cap´ e ıtulo es encontrar las ra´ ıces zi de unpolinomio expresado a trav´s de sus coeficientes ci : e N P (z) = ci z i = c0 + c1 z + c2 z 2 + . . . + cN z N (6.2) i=0es decir, encontrar los valores zi para los que se cumple P (zi ) = 0, para poder expresaral polinomio de la forma N P (z) = (z − zi ) = (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zN ) (6.3) i=1Este problema es en general mal condicionado, en el sentido de que peque˜os cambios nen los valores de ci pueden producir grandes cambios en la posici´n de las ra´ o ıces zi ,hecho que empeora conforme aumenta el orden del polinomio. Las consecuencias delmal condicionamiento de ´ste problema en el procesamiento digital tienen que ver con el eposicionamiento de polos y ceros en la implementaci´n de un sistema utilizando ecuaciones ode diferencias que tratan ya sea (6.2) o (6.3).6.2 Estructuras directasConsid´rese el sistema de primer orden: e y(n) = −a1 y(n − 1) + b0 x(n) + b1 x(n − 1)y su “realizaci´n directa” (figura 6.1). o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 197. 6 Implementaci´n de sistemas discretos o 185 x(n) v (n) y (n) b0 b1 −a1 −1 z z −1Figura 6.1: Realizaci´n directa del sistema de primer orden y(n) = −a1 y(n − 1) + b0 x(n) + o b1 x(n − 1).que se puede interpretar como la serie de dos sistemas LTI: v(n) = b0 x(n) + b1 x(n − 1)y y(n) = −a1 y(n − 1) + v(n) .Como la conexi´n en serie de sistemas LTI es conmutativa, se puede reemplazar el sistema oanterior por el indicado en la figura 6.2, donde se cumplen las ecuaciones: ω(n) = x(n) − a1 ω(n − 1) y(n) = b0 ω(n) + b1 ω(n − 1) x(n) y (n) ω(n) b0 −a1 b1 −1 −1 z z Figura 6.2: Reemplazo del sistema de la figura 6.1.Adicionalmente, se observa que los dos retardadores tienen la misma entrada ω(n) y porlo tanto la misma salida ω(n − 1), y se pueden agrupar en uno solo seg´n se muestra en ula figura 6.3. x(n) y (n) b0 z −1 −a1 b1 Figura 6.3: Simplificaci´n del sistema de la figura 6.2. oA esta estructura se le denomina forma directa II y utiliza s´lo un elemento retardador, oen lugar de los dos utilizados en la forma directa I (figura 6.1). c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 198. 186 6.2 Estructuras directasN´tese que esto puede generalizarse para la ecuaci´n de diferencias: o o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) (6.4) k=1 k=0compuesta de un sistema no recursivo: M v(n) = bk x(n − k) k=0y un sistema recursivo: N y(n) = − ak y(n − k) + v(n) k=1mostrados en la figura 6.4. Invirtiendo el orden y combinando los retardadores se obtiene, x(n) v (n) y (n) b0 b2 −a1 z −1 z −1 b2 −a2 z −1 z −1 . . . . . . . . . bM−1 −aN−1 z −1 z −1 bM −aN Figura 6.4: Forma directa I.con M < N , el diagrama mostrado en la figura 6.5. N´tese que esta estructura requiere omax{N, M } retardadores y M + N + 1 multiplicaciones, que contrastan con los N + Mretardadores de la forma directa, aunque el n´mero de multiplicaciones es el mismo. A esta uforma II, por poseer el m´ ınimo de retardadores, se le denomina tambi´n forma can´nica. e oAl caso especial no recursivo con ak = 0, k = 1 . . . N : M y(n) = bk x(n − k) k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 199. 6 Implementaci´n de sistemas discretos o 187 x(n) ω(n) y (n) b0 z −1 −a1 ω(n − 1) b1 z −1 −a2 ω(n − 2) b2 z −1 −a3 ω(n − 3) b3 . . . . . . . . . −aN−2 ω(n − M) bM z −1 −aN−1 z −1 −aN ω(n − N) Figura 6.5: Forma directa II.se le denomina sistema de media ponderada m´vil o sistema MWA (moving weighted oaverage), que es un sistema FIR de respuesta impulsional: bk , 0 ≤ k ≤ M h(k) = 0, en otro casoCon M = 0, el sistema de la ecuaci´n (6.4) se torna puramente recursivo: o N y(n) = − ak y(n − k) + b0 x(n) k=1y calcula la combinaci´n lineal de las ultimas N salidas y la entrada actual. o ´ c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 200. 188 6.3 Grafos de flujo de se˜al y estructuras transpuestas n6.2.1 Estructuras directas para filtros FIR sim´tricos eEl caso particular de filtros FIR de longitud M cuyos coeficientes presentan condicionesde simetr´ o antisimetr´ ıa ıa h(n) = ±h(M − 1 − n)tiene aplicaciones particularmente en el caso de filtros de fase lineal. Este tipo de simetr´ ıapermite reducir el n´mero de productos requeridos de una implementaci´n convencional u ode M a M/2 o a (M − 1)/2 para M par o impar respectivamente.Las figuras 6.6 y 6.7 ilustran las estructuras en forma directa para estos filtros. x(n) z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 M−3 M−1 h(0) h(1) h(2) h 2 h 2 y (n) Figura 6.6: Filtro FIR sim´trico con M impar. e x(n) z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 M M h(0) h(1) h(2) h(3) h 2 −2 h 2 −1 y (n) Figura 6.7: Filtro FIR sim´trico con M par. e6.3 Grafos de flujo de se˜ al y estructuras transpues- n tasUna representaci´n alternativa de los diagramas de bloques utilizados hasta ahora son olos diagramas de flujo de se˜al, caracterizados por ramas con transmitancias espec´ n ıficas ynodos en donde convergen y se distribuyen las se˜ales. Los nodos suman todas las se˜ales n nque convergen en ellos y distribuyen la misma se˜al en todas las ramas que salen de ellos. nUn nodo que solo distribuye la misma se˜al (es decir, un nodo en el que no converge nninguna se˜al) recibe el nombre de nodo fuente, y uno a donde solo convergen se˜ales (es n n c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 201. 6 Implementaci´n de sistemas discretos o 189decir, no sale ninguna se˜al) se denomina nodo sumidero. La figura 6.8 ilustra el grafo nde flujo de se˜al correspondiente al diagrama de bloques de un sistema de segundo orden nilustrado en la parte superior, en donde se muestra que y(n) llega a un nodo sumidero yx(n) parte de un nodo fuente. x(n) b0 y (n) z −1 −a1 b1 z −1 −a2 b2 x(n) b0 y (n) z −1 −a1 b1 −1 z −a2 b2Figura 6.8: Diagrama de bloques de sistema de segundo orden y su correspondiente grafo de flujo de se˜al. nLa representaci´n de sistemas con una topolog´ de grafos permite aplicar principios como o ıael llamado teorema de transposici´n, que especifica una forma de transformar el grafo de omodo que la relaci´n entre entrada y salida no cambie. El teorema de transposici´n o oespecifica que si se invierten las direcciones de todas las transmitancias de rama y seintercambia la entrada con la salida en el grafo, la funci´n de transferencia del sistema ono cambia. La transposici´n del sistema de segundo orden de la figura 6.8 se ilustra en ola figura 6.9.Obs´rvese que en la transposici´n los nodos se convierten en sumadores y los sumadores e oen nodos.Ejemplo 6.1 Encuentre las formas directas I y II y la forma transpuesta II para elsistema b0 + b1 z −1 + b2 z −2 H(z) = 1 + a1 z −1 + a2 z −2Soluci´n: o 6.1 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 202. 190 6.4 Muestreo en frecuencia y (n) b0 x(n) z −1 −a1 b1 z −1 −a2 b2 x(n) b0 y (n) z −1 b1 −a1 z −1 b2 −a2 Figura 6.9: Grafo de flujo de se˜al transpuesto y el diagrama de bloques derivado. n6.4 Muestreo en frecuenciaDado un conjunto de frecuencias ωk espaciadas de forma homogenea 2π M −1 ωk = (k + α), k = 0, 1, . . . , , M impar M 2 M k = 0, 1, . . . , − 1, M par 2 1 α=0o ´ 2Se sabe que la respuesta en frecuencia H(ω) est´ dada por la transformada de Fourier en atiempo discreto de la respuesta al impulso h(n): M −1 H(ω) = h(n)ejωn n=0y los valores de H(ω) en las frecuencias ωk son entonces M −1 ! 2π H(k + α) = H (k + α) = h(n)e−j2π(k+α)n/M , k = 1, 2, . . . , M − 1 M n=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 203. 6 Implementaci´n de sistemas discretos o 191 x(n) b0 y (n) z −1 z −1 Forma directa I b1 −a1 y(n) = b0 x(n) + b1 x(n − 1) + b2 x(n − 2) −a1 y(n − 1) − a2 y(n − 2) z −1 z −1 b2 −a2 x(n) w (n) b0 y (n) Forma directa regular II z −1 w (n − 1) w(n) = −a1 w(n − 1) − a2 w(n − 2) + x(n) −a1 y(n) = b0 w(n) + b1 w(n − 1) + b2 w(n − 2) b1 z −1 w (n − 2) −a2 b2 x(n) b0 y (n) Forma directa transpuesta II z −1 w1 (n) b1 y(n) = b0 x(n) + w1 (n − 1) −a1 w1 (n) = b1 x(n) + a1 y(n) + w2 w(n − 1) w2 (n) = b2 x(n) − a2 y(n) z −1 w2 (n) b2 −a2 b0 +b1 z −1 +b2 z −2Tabla 6.1: M´dulos de segundo orden con funci´n de transferencia H(z) = o o 1+a1 z −1 +a2 z −2 para sistemas en tiempo discreto.Obs´rvese que si α = 0 entonces la ecuaci´n anterior corresponde a la DFT de M puntos e ode h(n). Utilizando los mismos principios de derivaci´n de la IDFT se despeja: o M −1 1 h(n) = H(k + α)ej2π(k+α)n/M , k = 1, 2, . . . , M − 1 (6.5) M k=0que equivale a la IDFT si α = 0.Se sabe que la funci´n de transferencia del filtro est´ dada por o a M −1 H(z) = h(n)z −n n=0y utilizando (6.5) se obtiene M −1 M −1 1 H(z) = H(k + α)ej2π(k+α)n/M z −n n=0 M k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 204. 192 6.5 Sistemas en cascadae intercambiando el orden de las sumatorias M −1 M −1 1 n H(z) = H(k + α) ej2π(k+α)/M z −1 k=0 M n=0 −M j2πα M −1 1−z e H(k + α) = M k=0 1 − ej2π(k+α)/M z −1que est´ expresada enteramente por las muestras del espectro H(ω). La anterior ecua- aci´n se interpreta como la cascada de dos sistemas: un filtro todo ceros del tipo peine ocaracterizado por 1 H1 (z) = 1 − z −M ej2πα Mdonde los ceros se encuentran equiespaciados sobre la circunferencia unitaria en zk = ej2π(k+α)/M , k = 0, 1, . . . , M − 1El otro elemento de la cascada es un banco de filtros de primer orden, cada uno con unsolo polo en pk = ej2π(k+α)/M , k = 0, 1, . . . , M − 1Obs´rvese que los polos coinciden en su posici´n con los ceros. e oLa figura 6.10 muestra la realizaci´n de un filtro FIR por muestreo en frecuencia. oCuando la respuesta en frecuencia deseada es de banda angosta, la mayor parte de loscoeficientes H(ωk ) son cero, y la estructura se simplifica. Adem´s, si se requiere una arespuesta impulsional real, entonces debido a la simetr´ herm´ ıa ıtica de H(ω) la estructurapuede simplificarse aun m´s combinando pares de filtros de primer orden en filtros de asegundo orden.6.5 Sistemas en cascadaLas formas directas I y II utilizan los coeficientes de los polinomios en el numerador ydenominador de la funci´n de transferencia racional que implementan. Puesto que el oposicionamiento de las ra´ polinomiales es un problema mal condicionado, la ubicaci´n ıces ode los polos y ceros, considerando las precisiones finitas con las que los coeficientes puedenser representados, pueden variar considerablemente, convirtiendo por ejemplo sistemasestables en inestables.Los sistemas en cascada persiguen una utilizaci´n directa de los valores de polos y ceros, oque hacen m´s predecible el efecto de cuantificaci´n en sus representaciones digitales. a oPara ello se parte de una factorizaci´n de los polinomios en el numerador y denominador ode la funci´n de transferencia del sistema o M −k M1 −1 M2 k=0 bk z k=1 (1 − fk z ) k=1 (1 − gk z −1 )(1 − g ∗ k z −1 ) H(z) = N =A N1 N2 −k −1 − dk z −1 )(1 − d∗ k z −1 ) k=0 ak z k=1 (1 − ck z ) k=1 (1 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 205. 6 Implementaci´n de sistemas discretos o 193 H(α) z −1 e j2πα/M H(1 + α) z −1 j2π(1+α)/M e H(2 + α) 1 M x(n) z −1 j2π(2+α)/M e −M z −e j2πα 1 H(M − 1 + α) α=0o 2 y (n) z −1 j2π(M−1+α)/M e Figura 6.10: Realilzaci´n de filtro FIR por muestreo en frecuencia odonde M = M1 + 2M2 y N = N1 + 2N2 . Si ak y bk son reales entonces fk y ck tambi´n loeson, mientras que gk y dk son complejos y aparecen junto a sus pares complejos conjugadosg ∗ k y d∗ k .Usualmente se combinan pares de factores reales o complejos cojugados en estructuras desegundo orden, de modo que Ns b0k + b1k z −1 + b2k z −2 H(z) = (6.6) k=1 1 − a1k z −1 + a2k z −2con Ns = (N + 1)/2 . Aqu´ se ha asumido que M ≤ N . En caso de que hubiese un ın´mero impar de de ceros (o polos) reales, entonces uno de los t´rminos b2k (o a2k ) ser´ u e acero. Para cada uno de estos t´rminos puede utilizarse la forma directa II, aunque se eacostumbra utilizar una reducci´n en el n´mero de multiplicadores necesarios utilizando o ula factorizaci´n o Ns 1 + ˜1k z −1 + ˜2k z −2 b b H(z) = b0 −1 + a z −2 (6.7) k=1 1 − a1k z 2kLa forma (6.6) tiene sin embargo la ventaja sobre la forma (6.7) de que el valor de b0 queda c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 206. 194 6.6 Sistemas paralelosdistribuido en todos los t´rminos de la cascada, lo que es conveniente en implementaciones een punto fijo. La figura 6.11 ilustra los conceptos presentados. x(n) = x1 (n) x2 (n) xK (n) y (n) H1 (z) H2 (z) HK (z) y1 (n) y2 (n) xK (n) b0 yk (n) = xk+1 (n) z −1 −a1 w (n − 1) b1 z −1 w (n − 2) −a2 b2 Figura 6.11: Estructura en cascada de sistemas de segundo orden.6.6 Sistemas paralelosDe forma alternativa a la factorizaci´n en t´rminos de segundo orden, utilizando descom- o eposici´n en fracciones parciales es posible expresar la funci´n de transferencia como o o Np N1 N −k Ak 2 Bk (1 − ek z −1 ) H(z) = Ck z + + k=0 k=1 1 − ck z −1 k=1 (1 − dk z −1 )(1 − d∗ k z −1 )donde N = N1 + 2N2 . El primer t´rmino est´ presente solo si H(z) es una funci´n e a oracional impropia, es decir, si M ≥ N en cuyo caso Np = M − N . Si los coeficientes ak ybk son reales, tambi´n lo son Ak , Bk , ek y dk . Esta expresi´n puede interpretarse como la e ocombinaci´n en paralelo de sistemas IIR de primer y segundo orden, m´s una cadena de o aNp retardadores. Agrupando tambi´n los polos reales en pares, la funci´n de transferencia e ose puede expresar como Np N2 −k e0k − e1k z −1 H(z) = Ck z + k=0 k=1 1 − a1k z −1 − a2k z −2La figura 6.12 resume los conceptos presentados. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 207. 6 Implementaci´n de sistemas discretos o 195 C x(n) bk0 yk (n) H1 (z) z −1x(n) −ak1 bk1 H2 (z) z −1 −ak2 y (n) HK (z) Figura 6.12: Estructura en paralelo de sistemas de primer y segundo orden. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 208. 196 6.6 Sistemas paralelos c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 209. Cap´ ıtulo 7Introducci´n al dise˜ o de filtros o ndigitalesPor convenci´n, cuando se utiliza el t´rmino “filtro digital” impl´ o e ıcitamente se hace refe-rencia a sistemas LTI. Cuando se trata de sistemas no lineales, o sistemas variantes en eltiempo se hace menci´n expresa de esa condici´n. o oEn general, el dise˜o de filtros se compone de cuatro fases: n 1. Especificaci´n: En esta etapa se eval´a la aplicaci´n concreta y se levanta la lista o u o de requisitos que debe cumplir el filtro, como factores de ganancia, frecuencias de corte, bandas pasantes, rizado en las bandas pasantes y de rechazo, etc. 2. Dimensionamiento: De acuerdo a las especificaciones se dimensiona el filtro, se- leccionando orden y tipo de filtro, el dominio de dise˜o (anal´gico con transforma- n o ci´n o directamente digital, por optimizaci´n, etc.), decisi´n si utilizar FIR o IIR, o o o consideraciones de las implicaciones de causalidad, etc. 3. Realizaci´n: Se establece aqu´ la estructura a utilizar, forma directa I o II, estruc- o ı tura en cascada, en paralelo, as´ como optimizaciones algor´ ı ıtmicas permitidas por la aplicaci´n espec´ o ıfica. 4. Implementaci´n: Se ocupa de aspectos de lenguaje de programaci´n (C, ensam- o o blador, etc.), plataforma de prototipado (MatLab, LabVIEW), sistemas integrados de desarrollo (p. ej. Code Composer Studio), sistemas empotrados, etc. En cier- tas aplicaciones es necesario el desarrollo de circuitos para hardware reconfigurable (FPGA, CPLD, etc.) o incluso el dise˜o de ASIC, si las restricciones de velocidad n lo hacen necesario.La complejidad del dimensionamiento y realizaci´n de los filtros llega a ser de similar ocomplejidad que su implementaci´n. Los tiempos requeridos para la implementaci´n o odependen del nivel de abstracci´n del dise˜o. Mientras m´s abstracto sea el nivel de o n adise˜o (por ejemplo, con herramientas de prototipado r´pido), menor ser´ el tiempo de n a a 197
  • 210. 198 7.1 Causalidad y sus implicacionesdise˜o y mayor la flexibilidad, aunque el tiempo de ejecuci´n es menos controlable. En n oel mercado laboral de PDS, es usual encontrar compa˜´ que elaboran las secciones nıascr´ ıticas del procesamiento digital en lenguaje ensamblador, o que utilizan FPGA paradicho procesamiento. Esto requiere mayores tiempos en su desarrollo (lo que hace alproceso m´s caro), y usualmente la flexibilidad de cambios es menor comparada a las aherramientas de prototipado r´pido, o lenguajes de programaci´n gen´ricos. a o eEn general, el dise˜o de filtros digital se concentra en el dise˜o de un sistema que cumpla n nciertos requisitos para su respuesta en magnitud. La fase queda determinada por lasconsideraciones de estabilidad (particularmente en filtros IIR) o consideraciones de faselineal (en filtros FIR).7.1 Causalidad y sus implicacionesSea h(n) la respuesta impulsional de un filtro paso bajo ideal con respuesta en frecuencia 1 |ω| ≤ ωC H(ω) = 0 ωC < ω < π     ωC  n=0 π h(n) = ωC sen(ωC n)   en otro caso π ωC nque obviamente no es causal y por tanto no realizable. Pero ¿c´mo debe ser H(ω) para oque h(n) sea causal? Esta pregunta la responde el Teorema de Paley-Wiener que afirma:si h(n) tiene energ´ finita y es causal (h(n) = 0, n < 0) entonces ıa π | ln |H(ω)| | dω < ∞ −πSi esta ecuaci´n se cumple para |H(ω)| entonces puede buscarse una respuesta de fase oasociada Θ(ω) tal que H(ω) = |H(ω)|ejΘ(ω) represente una se˜al causal. nN´tese que de acuerdo a este teorema la funci´n |H(ω)| puede ser cero en frecuencias o opuntuales aisladas, pero no en una banda finita, puesto que la integral se har´ infinita. ıaPor lo tanto, ning´n filtro ideal es causal. uPuesto que h(n) se puede separar en componentes par e impar: h(n) = he (n) + ho (n) 1 he (n) = [h(n) + h(−n)] 2 1 ho (n) = [h(n) − h(−n)] 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 211. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 199si h(n) es causal entonces se tiene adem´s a h(n) =2he (n)u(n) − he (0)δ(n) = 2ho (n)u(n) + h(0)δ(n) he (n) =ho (n), n>0y si h(n) es absolutamente sumable (estable BIBO) entonces H(ω) = HR (ω) + jHI (ω)y puesto que h(n) es causal y real entonces     he (n) HR (ω) ho (n) HI (ω)con lo que se deduce que HR (ω) es suficiente para establecer H(ω). En otras palabrasHR (ω) y HI (ω) son interdependientes y no se pueden especificar libremente para sistemascausales.Para establecer la relaci´n entre las partes real e imaginaria de la respuesta en frecuencia ose plantea utilizando el teorema del enventanado H(ω) = HR (ω) + jHI (ω) = F {2he (n)u(n) − he (0)δ(n)} = 2 [HR (ω) ∗ U (ω)] − he (0) 1 π = HR (λ)U (ω − λ) dλ − he (0) π −πque con u(n)   U (ω) = πδ(ω) + 1 1 − e−jω 1 1 ω = πδ(ω) + − j cot , −π < ω < π 2 2 2es equivalente a π π 1 1 1 H(ω) = HR (λ)πδ(ω − λ) dλ + HR (λ) dλ π −π π −π 2 HR (ω) he (0) π 1 j ω−λ + HR (λ) cot dλ − he (0) π −π 2 2y puesto que π j ω−λ HR (ω) + jHI (ω) = HR (ω) − HR (λ) cot dλ 2π −π 2 π 1 ω−λ HI (ω) = − HR (λ) cot dλ 2π −π 2denominada Transformada de Hilbert discreta de HR (ω). c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 212. 200 7.1 Causalidad y sus implicaciones |H(ω)| Rizado de Banda de Paso 1 + δ1 1 1 − δ1 Rizado de Banda de Rechazo δ2 ω ωP ωS π Banda de Paso Banda Banda de Rechazo de Transici´n o Figura 7.1: Respuesta real de filtro pasa bajas.La causalidad adem´s tiene otras consecuencias aqu´ no demostradas, como por ejemplo a ıque |H(ω)| no puede ser constante en ning´n rango finito de frecuencias y la transici´n u ode la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser infinitamente abrupta. Por estasrazones, las respuestas en magnitud de filtros reales solo pueden ser aproximaciones delas versiones ideales, tal y como lo muestra la figura 7.1. La frecuencia angular ωP defineel l´ ımite superior de la banda de paso y as´ el ancho de banda del filtro. La frecuencia ıangular ωS indica el inicio de la banda de rechazo. El ancho de banda de transici´n es oentonces ωS −ωP . Los rizados de las bandas de paso y rechazo son δ1 y δ2 respectivamente.En aplicaciones reales se debe especificar entonces antes de dise˜ar el filtro n 1. M´ximo rizado permitido en la banda de paso δ1 a 2. M´ximo rizado permitido en la banda de rechazo δ2 a 3. Frecuencia de corte de la banda de paso ωP 4. Frecuencia de corte de la banda de rechazo ωS .donde las dos ultimas se escogen usualmente en t´rminos de potencia mitad. ´ eEl grado en que H(ω) acata las especificaciones depende en parte de los criterios utilizadospara seleccionar {ak } y {bk }, as´ como del n´mero de polos y ceros utilizados. ı uGeneralmente el dise˜o de filtros se concentra en el tipo pasa bajos, para lo que existen ngran variedad de t´cnicas. Algunas de ellas se muestran en la figura 7.2 y se ilustran con em´s detalle en [15]. Existen m´todos para transformar los filtros pasa bajos a otros tipos a ecomo paso altos o paso banda. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 213. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 201 Dise˜o de n Filtros Digitales FIR IIR Muestreo ´ Ventanas Optimos Anal´gicos o Directos en frecuencia Aproximaci´n o Aproximaci´n o de derivadas de Pad` e Invarianza M´ ınimos impulsional cuadrados Transformaci´n o Dominio de bilineal frecuencia Transformada z adaptada Figura 7.2: Taxonom´ de m´todos para el dise˜o de filtros. ıa e n7.2 Filtros de respuesta de impulso finitaPara un filtro FIR de longitud M la relaci´n de entrada salida est´ dada por la convoluci´n o a oy es M −1 M −1 y(n) = bk x(n − k) = h(k)x(n − k) = h(n) ∗ x(n) k=0 k=0y la funci´n de transferencia es o M −1 M −1 −k 1 H(z) = h(k)z = h(k)z M −1−k k=0 z M −1 k=0cuyas ra´ son los ceros del filtro. Este filtro tiene fase lineal si su respuesta impulsional ıcessatisface las simetr´ ıas: h(n) = ±h(M − 1 − n), n = 0, 1, . . . , M − 1que para la transformada z de h(n), H(z) implica los siguientes casos. • Para M par M 2 −1 −(M −1)/2 H(z) = z h(k) z (M −1−2k)/2 ± z −(M −1−2k)/2 k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 214. 202 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita y con z = ejω y asumiendo simetr´ circular par h(n) = h(M − 1 − n) entonces ıa M 2 −1 −jω(M −1)/2 2 H(ω) = e h(k) ejω(M −1−2k)/2 + e−jω(M −1−2k)/2 k=0 2 M 2 −1 −jω(M −1)/2 ω =e 2 h(k) cos (M − 1 − 2k) k=0 2 −jω(M −1)/2 =e Hr (ω) donde Hr (ω) es una funci´n real por corresponder a una suma ponderada con coe- o ficientes reales h(k) y t´rminos cosenoidales con argumentos reales. De forma equi- e valente, para el caso antisim´trico circular h(n) = −h(M − 1 − n): e M 2 −1 −1 −jω M2 2j H(ω) = e h(k) ejω(M −1−2k)/2 − e−jω(M −1−2k)/2 k=0 2j M 2 −1 −1 ω M2 − π −j ( )2 ω =e 2 h(k) sen (M − 1 − 2k) k=0 2 −1 ω M2 − π = e−j ( 2 ) H (ω) r • Para M impar:  M −3   M −1 2 M −1−2k M −1−2k  H(z) = z −(M −1)/2 h + h(k) z 2 ± z− 2  2  k=0 Con simetr´ circular par h(n) = h(M − 1 − n) lo anterior, en el domino de la ıa frecuencia, conduce a  M −3  2 M −1 M − 1 − 2k  H(ω) = e−jω(M −1)/2 h +2 h(k) cos ω 2 k=0 2 = e−jω(M −1)/2 Hr (ω) M −1 y con antisimetr´ circular h(n) = −h(M − 1 − n), que adem´s implica h ıa a 2 = 0: M −3 2 −1 −j (ω M2 − π ) M − 1 − 2k H(ω) = e 2 2 h(k) sen ω k=0 2 −1 ω M2 − π = e−j ( 2 ) H (ω) rN´tese que se cumple adem´s o a z −(M −1) H(z −1 ) = ±H(z)lo que implica que si zk es un cero, entonces z ∗ k , 1/zk y 1/z ∗ k tambi´n lo son (figura 7.3). eLa tabla 7.1 resume las posibilidades brindadas por las diferentes simetr´ para filtros ıasFIR de fase lineal. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 215. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 203 j 1 z3 1 z3 z1 z1 −1 z2 1 1 z2 z1 z3 1 z1 1 −j z3 Figura 7.3: Posici´n de los ceros en un filtro FIR de fase lineal. o Tabla 7.1: Simetr´ en filtros FIR de fase lineal ıas Simetr´ ıa Sim´trica h(n) = h(M − 1 − n) e Antisim´trica h(n) = −h(M − 1 − n) e M 2 −1 M par Hr (0) = 2 h(k) Hr (0) = 0 k=0 no apto como filtro paso bajos M −3 2 M −1 M impar Hr (0) = h +2 h(k) Hr (0) = Hr (π) = 0 2 k=0 no apto como filtro paso bajos o altos7.2.1 Dise˜ o de filtros FIR por el m´todo de ventanas n eSea Hd (ω) la respuesta en frecuencia deseada, que usualmente sigue la forma de un filtroideal. En general, la respuesta impulsional correspondiente hd (n) es infinita y dada porla transformada inversa de Fourier π 1 hd (n) = Hd (ω)ejωn dω 2π −πEl filtro FIR se obtiene truncando hd (n) por medio de una ventana, como por ejemplo laventana rectangular 1 n = 0, 1, . . . , M − 1 w(n) = 0 en otro casoes decir, hd (n) n = 0, 1, . . . , M − 1 h(n) = hd (n)w(n) = 0 en otro caso c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 216. 204 7.2 Filtros de respuesta de impulso finitaEn el dominio de la frecuencia H(ω) = Hd (ω) ∗ W (ω), donde M −1 W (ω) = w(n)ejωn n=0Puesto que W (ω) tiene generalmente un l´bulo central y l´bulos laterales, el efecto de la o oconvoluci´n es suavizar la respuesta Hd (ω). oPara reducir el efecto de los l´bulos laterales se utilizan ventanas diferentes a la rectan- ogular, caracterizadas por no tener cambios abruptos en el dominio del tiempo, lo queconduce a l´bulos menores en el dominio de la frecuencia. Algunas ventanas t´ o ıpicas y suscaracter´ ısticas se presentan en la tabla 7.2. Tabla 7.2: Funciones utilizadas como ventanas. Ventana h(n), 0 ≤ n ≤ M − 1 Ancho Pico l´bulo o lobular lateral [dB] Rectangular 1 4π/M −13 −1 2 n − M2 Bartlett (triangular) 1− 8π/M −27 M −1 2πn Hamming 0,54 − 0,46 cos 8π/M −32 M −1 1 2πn Hanning 1 − cos 8π/M −43 2 M −1Las ventanas se ilustran en el dominio temporal en la figura 7.4, y en el dominio de lafrecuencia, con su magnitud espectral en las figuras 7.5 y 7.6.Ejemplo 7.1 Dise˜e un filtro pasa bajos de longitud M que aproxime n ejω(M −1)/2 0 ≤ |ω| ≤ ωC Hd (ω) = 0 en el restoSe obtiene con la transformada inversa de Fourier ωC M −1 hd (n) = 1 ejω(n− M −1 2 ) dω = sen ωC n − 2 −1 2π −ωC π n − M2Para el filtro FIR se toman solo M muestras: −1 sen ωC n − M2 h(n) = −1 , 0≤n≤M −1 π n − M2 7.1El truncamiento de hd (n) conduce a un comportamiento oscilatorio cerca del l´ımite dela banda de paso denominado fen´meno de Gibbs. N´tese que este m´todo no permite o o emayor control sobre el valor de los par´metros δ1 , δ2 , ωS y ωP resultantes. a c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 217. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 205 1 Rectangular Hanning Hamming Bartlett 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 800 1000 Figura 7.4: Ventanas en el dominio del tiempo. Rectangular Hanning 1 Hamming Bartlett 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Figura 7.5: Ventanas en el dominio de la frecuencia (normalizado). c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 218. 206 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita 0 Rectangular Hanning Hamming Bartlett -20 -40 -60 -80 -100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Figura 7.6: Ventanas en el dominio de la frecuencia (en dB).Dise˜ o de filtros FIR de fase lineal por el m´todo de muestreo de frecuencia n e MEn este m´todo se muestrea la respuesta en frecuencia deseada en e 2 puntos equiespa-ciados 2π M −1 ωk = (k + α) k = 0, 1, . . . , M impar M 2 M k = 0, 1, . . . , − 1 M par 2 1 α=0´ o 2y se calcula la respuesta impulsional h(n) correspondiente, donde para reducir los l´bulos olaterales se utilizan m´todos num´ricos de optimizaci´n que sit´an las muestras en la e e o ubanda de transici´n. oPuesto que M −1 2π H(k + α) = H (k + α) = h(n)e−j2π(k+α)n/M , k = 0, 1, . . . , M − 1 M n=0y haciendo uso de la ortogonalidad de la exponencial compleja se cumple adem´s a M −1 1 h(n) = H(k + α)ej2π(k+α)n/M , n = 0, 1, . . . , M − 1 M k=0Con α = 0 estas ecuaciones equivalen a la DFT e IDFT respectivamente. Si h(n) es real, c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 219. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 207entonces H(k + α) = H ∗ (M − k − α) Mlo que justifica la utilizaci´n de o 2 muestras en vez de M . Utilizando la simetr´ se ıaobtiene 2π H(k + α) = Hr (k + α) ej[βπ/2−2π(k+α)(M +1)/2M ] Mdonde β = 0 si h(n) es sim´trica y β = 1 si h(n) es antisim´trica. Con e e 2π G(k + α) = (−1)k Hr (k + α) k = 0, 1, . . . , M − 1 Mse obtiene H(k + α) = G(k + α)ejπk ej[βπ/2−2π(k+α)(M +1)/2M ]Respuesta impulsional h(n) = ±h(M − 1 − n)Simetr´ circular par ıa   H(k) = G(k)ejπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1       G(k) = (−1)k Hr 2πk  G(k) = −G(M − k)  Ma = 0:       M −1     2  h(n) = 1 G(0) + 2  G(k) cos 2πk n+ 1   M M 2    k=1    H k + 1 = G k + 1 e−j π ejπ(2k+1)/2M   2   2 2     1 1 1 G k+ =G M −k−a= : 2 2 2    M −1   2 2 1 2π 1 1     h(n) = G k+ sen k+ n+ M k=0 2 M 2 2Simetr´ circular impar ıa   H(k) = G(k)ejπ/2 ejπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1       G(k) = (−1)k H 2πk  G(k) = G(M − k)   r   M    M −1a = 0: 2 2 2πk 1  h(n) = − M  G(k) sen M n+ 2 M impar      k=1    M    2 −1   h(n) = 1 (−1)n+1 G(M/2) − 2  G(k) sen 2πk n+ 1 M par    M k=1 M 2  c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 220. 208 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita   H k + 1 = G k + 1 ejπ(2k+1)/2M    2 2       G k + 1 = (−1)k H 2π k + 1   r  2 M 2 1 a= : 1 1 2 G k+  = −G M − k − ; G(M/2) = 0 para M impar   2 2     M   2 −1   2 1 2π 1 1   h(n) = G k+ cos k+ n+ M k=0 2 M 2 2Ejemplo 7.2 Dise˜e un filtro de longitud M = 15 con respuesta impulsional h(n) nsim´trica y respuesta en frecuencia condicionada a e  1  k = 0, 1, 2, 3 2πk  Hr = 0,4 k = 4 15   0 k = 5, 6, 7 2πkSoluci´n: h(n) es sim´trica y en este caso α = 0. Con G(k) = (−1)k Hr o e 15 , k =0, 1, . . . , 7 y las ecuaciones anteriores se obtiene h(0) = h(14) = −0,014112893 h(1) = h(13) = −0,001945309 h(2) = h(12) = 0,04000004 h(3) = h(11) = 0,01223454 h(4) = h(10) = −0,09138802 h(5) = h(9) = −0,1808986 h(6) = h(8) = 0,3133176 h(7) = 0,52 7.27.2.2 Dise˜ o de filtros ´ptimos n oEl dise˜o de filtros se denomina ´ptimo si el error de aproximaci´n entre la respuesta en n o ofrecuencia deseada y la actual se distribuye equitativamente a lo largo de las bandas depaso y rechazo.Dadas las frecuencias de corte para las bandas de paso y rechazo ωP y ωS respectivamente,el filtro debe satisfacer adem´s a 1 − δ1 ≤Hr (ω) ≤ 1 + δ1 |ω| ≤ ωP −δ2 ≤Hr (ω) ≤ δ2 |ω| > ωSpor lo que δ1 representa el rizado de la banda de paso y δ2 la atenuaci´n o rizado en la obanda de rechazo. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 221. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 209Utilizando los filtros sim´tricos y antisim´tricos de fase lineal puede demostrarse que e e Hr (ω) = Q(ω)P (ω)con Q(ω) y P (ω) dados en la tabla 7.3.El error de aproximaci´n se define entonces como o E(ω) = W (ω)[Hdr (ω) − Hr (ω)] = W (ω)[Hdr (ω) − Q(ω)P (ω)] Hdr (ω) = W (ω)Q(ω) − P (ω) Q(ω)donde W (ω) es una funci´n de ponderaci´n de error que usualmente se define como o o δ1 δ2 ω en la banda de paso W (ω) = 1 ω en la banda de rechazoy Hdr (ω) la respuesta ideal del filtro deseada que es 1 en la banda de paso y cero en la derechazo. Con ˆ W (ω) = W (ω)Q(ω) ˆ Hdr (ω) Hdr (ω) = Q(ω)el error se puede reescribir como ˆ ˆ E(ω) = W (ω) Hdr (ω) − P (ω) .El dise˜o del filtro consiste entonces en buscar los par´metros {α(k)} = {a(k)}, {b(k)}, {c(k)} n ao {d(k)} que conducen al menor valor m´ximo de |E(ω)|.´ a L ˆ ˆ arg min max |E(ω)| = arg min max W (ω) Hdr − α(k) cos ωk {α(k)} ω∈S {α(k)} ω∈S k=0donde S representa el conjunto (disjunto) de bandas sobre las que se realiza la optimiza-ci´n. Este problema de optimizaci´n requiere tambi´n m´todos num´ricos de optimizaci´n o o e e e o(por ejemplo el algoritmo de intercambio de Remez) basados en el teorema de la alterter-nancia, que establece que la funci´n de error E(ω) debe exhibir al menos L + 2 frecuencias oextremas en S, es decir, deben existir al menos L + 2 frecuencias {ωi } en S tales queω1 < ω2 < . . . < ωL+2 , E(ωi ) = −E(ωi−1 ) y |E(ωi )| = max |E(ω)|, i = 1, 2, . . . , L + 2 para ω∈S L ˆque P (ω) = k=0 α(k) cos ωk sea la mejor y unica aproximaci´n ponderada de Hdr (ω). ´ oEl nombre del teorema se debe a la alternancia de signo entre dos extremos consecutivos. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 222. Tabla 7.3: Descomposici´n de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). o7.2 Filtros de respuesta de impulso finita Sim´trico e Antisim´trico e h(n) = h(M − 1 − n) h(n) = −h(M − 1 − n) M Impar Caso 1 Caso 3 Q(ω) = sen(ω) (M −3)/2 P (ω) = c(k) cos ωk ˜ Q(ω) = 1 k=0 (M −1)/2 M −3 c ˜ = 2h(0) P (ω) = a(k) cos ωk 2 k=0 M −5 c ˜ = 4h(1) c 2005-2011 — P. Alvarado M −1 h 2 k=0 2 a(k) = 2h M −1 −k −1 k = 1, 2, . . . , M2 M −1 M −5 2 c(k − 1) − c(k + 1) = 4h ˜ ˜ −k , 2≤k≤ 2 2 1 M −3 c(0) + c(2) = 2h ˜ ˜ 2 2 M Par Caso 2 Caso 4 ω ω Q(ω) = cos Q(ω) = sen 2 2 M M 2 −1 2 −1 P (ω) = ˜ cos(ωk) b(k) P (ω) = ˜ d(k) cos(ωk) k=0 k=0 ˜ =h M ˜ M − 1 = 4h(0) b(0) −1 d 2 2 ˜ M M M M b(k) = 4h − k − ˜ − 1), b(k 1≤k≤ −2 ˜ ˜ d(k − 1) − d(k) = 4h −k , 2≤k≤ −1 2 2 2 2 ˜ M −1 b = 4h(0) ˜ 1˜ d(0) − d(1) = 2h M −1210 2 2 2
  • 223. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 2117.3 Dise˜ o de filtros de respuesta impulsional infinita n a partir de filtros anal´gicos oPuesto que el dise˜o de filtros anal´gicos es un campo maduro y bien desarrollado, puede n ohacerse uso de sus resultados transformando filtros anal´gicos, descritos en el dominio de ofrecuencia compleja s = σ + jΩ como M k B(s) k=0 βk s Ha (s) = = N (7.1) A(s) k=0 αk s ka filtros digitales utilizando alg´n mapeo adecuado entre las variables s y z. La fun- uci´n de transferencia Ha (s) se relaciona con la respuesta impulsional h(t) a trav´s de la o eTransformada de Laplace ∞ Ha (s) = h(t)e−st dt −∞que teniendo una forma racional como en (7.1) est´ relacionada con la ecuaci´n diferencial a o N M dk y(t) dk x(t) αk = βk (7.2) k=0 dtk k=0 dtkdonde x(t) representa la entrada del filtro y y(t) su salida.Puesto que el sistema descrito por Ha (s) es estable si sus polos se encuentran al ladoizquierdo del eje σ = 0 entonces el mapeo de s a z debe 1. Transformar s = jΩ en la circunferencia unitaria en el plano z. 2. El semiplano izquierdo (LHP) de s debe corresponder con el interior de la circunfe- rencia unitaria.En la secci´n anterior se mencion´ que un filtro tiene fase lineal si o o H(z) = ±z −N H(z −1 ) .Con filtros FIR esto se utiliza para ubicar los ceros, pero con filtros IIR esto implica quecada polo dentro de la circunferencia unitaria en z tiene otro polo correspondiente fuerade ella, lo que implica que el filtro ser´ inestable. En otras palabras, si se requiere un afiltro de fase lineal, debe utilizarse un filtro FIR como los tratados en la secci´n anterior. oCon filtros IIR usualmente se enfoca el dise˜o a la respuesta en magnitud, dejando que nlas interrelaciones existentes entre fase y magnitud determinen la fase, seg´n corresponda ucon la metodolog´ de dise˜o utilizada. ıa n c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 224. 212 7.3 Dise˜o de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos n o7.3.1 Dise˜ o por aproximaci´n de derivadas n oSi se cuenta con la ecuaci´n diferencial del filtro (7.2), se pueden aproximar las derivadas ohaciendo uso de dy(t) y(nT ) − y(nT − T ) y(n) − y(n − 1) ≈ = dt t=nT T Tcon el intervalo de muestreo T . Transformando al dominio s y z se tiene 1 − z −1 s= . TPuede deducirse de forma similar que la k-´sima derivada resulta en la relaci´n e o k k 1 − z −1 s = Tpor lo que la aproximaci´n para el filtro IIR digital es o H(z) = Ha (s)|s= 1−z−1 TLa equivalencia entre s y z se puede derivar de 1 z= 1 − sTmapeo que se ilustra en la figura 7.7. Im{z} 2 jΩ 1 0 Re{z} -2 -1 0 1 2 σ -1 -2 Figura 7.7: Mapeo entre el plano s y el plano z para la aproximaci´n de derivadas. oN´tese que los polos del filtro digital solo se ubicar´n en frecuencias peque˜as, lo que o a nrestringe la utilidad de este m´todo a solo filtros paso bajo y paso banda con frecuencias eresonantes relativamente bajas. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 225. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 2137.3.2 Dise˜ o por invarianza impulsional nEste m´todo consiste en buscar una respuesta impulsional del filtro digital que corresponda ea la respuesta impulsional muestreada del filtro anal´gico: o h(n) = h(t)|t=nT , n = 0, 1, . . .En cap´ıtulos anteriores se analiz´ el hecho de que el muestreo en el tiempo conduce a una oextensi´n peri´dica que consiste en la superposici´n del espectro anal´gico desplazado por o o o om´ltiplos de la frecuencia de muestreo Fs = 1/T . u ∞ H(ω) = Fs Ha (ωFs − 2πFs k) k=−∞El aliasing que ocurre a altas frecuencias hace este m´todo inapropiado para el dise˜o de e nfiltros paso alto.En este caso puede demostrarse que la equivalencia entre los dos dominios es z = esT =eσ+jΩ T = eσT ejΩT = rejω con r = eσT y ω = ΩT , lo que implica que el semiplano izquierdo(LHP) corresponde al interior de la circunferencia unitaria (r < 1). N´tese que todos los o π πintervalos de frecuencia (2k − 1) T ≤ Ω ≤ (2k + 1) T se proyectan en la circunferencia, loque hace de esta correspondencia una relaci´n inyectiva que proviene del efecto de aliasing odebido al muestreo (ver secci´n 2.2.2). o Im{z} 3 jΩ 2 1 0 Re{z} -3 -2 -1 0 1 2 3 σ -1 -2 -3 Figura 7.8: Mapeo entre el plano s y el plano z para la invarianza impulsional.Puede demostrarse que el filtro anal´gico o M M ck ck Ha (s) = equivale a H(z) = k=1 s − pk k=1 1 − epk T z −1y aunque los polos siguen la relaci´n zk = epk T , esto no se satisface para los ceros. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 226. 214 7.3 Dise˜o de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos n o7.3.3 La transformada z adaptadaDe forma similar al dise˜o por invarianza impulsional, se utiliza aqu´ el mapeo z = esT , n ıpero tanto para polos como para ceros. As´ transformaci´n z adaptada se le denomina a ı, o aT −1la equivalencia entre (s − a) y (1 − e z ). De esta forma M M (s − zk ) 1 − ezk T z −1 k=1 k=1 H(s) = N es equivalente a H(z) = N (s − pk ) 1 − epk T z −1 k=1 k=1Con este m´todo debe seleccionarse T lo suficientemente peque˜o para evitar el aliasing. e n7.3.4 Dise˜ o por transformaci´n bilineal n oEn este m´todo se utiliza la relaci´n e o 2 1 − z −1 s= T 1 + z −1denominada relaci´n bilineal y derivada de la f´rmula trapezoidal para integraci´n num´rica. o o o eEste m´todo es apto para transformar filtros paso alto y paso banda por tener una repre- esentaci´n biyectiva entre ω y Ω. Con o Ts + 2 z=− Ts − 2se obtiene el mapeo mostrado en la figura 7.9. Im{z} 2 jΩ 1 0 Re{z} -2 -1 0 1 2 σ -1 -2 Figura 7.9: Mapeo bilineal entre el plano s y el plano z. c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 227. 7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales o n 2157.3.5 Filtros Anal´gicos oEstas transformaciones pueden aplicarse para derivar filtros digitales, por ejemplo, filtrosButterworth, filtros Chebyshev (tipos I y II), filtros el´ ıpticos y filtros Bessel (tabla 7.4). Tabla 7.4: Caracter´ ısticas de Filtros Paso Bajo Anal´gicos o Filtro Funci´n de Transferencia o Caracter´ ısticas 1 Butterworth |H(Ω)|2 = |H(Ω)| mon´tona en las bandas de paso o 1 + (Ω/ΩC )2N (todo-polos) y rechazo. ΩC : frecuencia de corte 1 |H(Ω)|2 = 2T 2 Ω 1+ N ΩP Chebyshev, Rizado constante en la banda de paso y TN : polinomio de Chebyshev Tipo I (todo- caracter´ ıstica mon´tona en la banda de o polos) T0 (x) = 1 rechazo. T1 (x) = x TN +1 (x) = 2xTN (x) − TN −1 (x) 1 Chebyshev, Ti- |H(Ω)|2 = 2 ΩS Rizado constante en la banda de recha- TN ΩP 1+ 2 po II (polos y 2 TN ΩS zo y caracter´ ıstica mon´tona en la ban- o Ω ceros) da de paso. TN : polinomio de Chebyshev 1 |H(Ω)|2 = El´ ıptico o ´ 1+ 2U Ω N ΩP Rizado constante tanto en la banda de Cauer (polos y UN : funci´n el´ o ıptica Jacobiana paso como en la de rechazo. ceros) de orden N 1 H(s) = BN (s) BN (s): funciones de Bessel Respuesta de fase lineal en la banda de Bessel (todo- paso (aunque se destruye en la conver- polos) B0 (s) = 1 si´n a digital). o B1 (s) = s + 1 BN (s) = (2N − 1)BN −1 (s) + s2 BN −2 (s)7.4 Transformaci´n de Frecuencia oHay dos maneras de obtener un filtro digital paso bajo, paso alto, paso banda o supresorde banda a partir de un filtro paso bajo anal´gico: o 1. Transformar en el dominio anal´gico al filtro deseado, y luego usar uno de los mapeos o c 2005-2011 — P. Alvarado
  • 228. 216 7.4 Transformaci´n de Frecuencia o de s a z presentados anteriormente para transformarlo al dominio digital. 2. Transformar el filtro paso bajo a un equivalente paso bajo digital, para luego hacer la transformaci´n al filtro deseado en el dominido digital. oPara el primer caso se utilizan las transformaciones mostradas en la tabla 7.5. Para elsegundo se presentan las modificaciones en la tabla 7.6. Tabla 7.5: Transformaciones de frecuencia para filtros