Vibraciones amortiguadas

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Vibraciones amortiguadas

  1. 1. VIBRACIONES AMORTIGUADASPartimos de un sistema en el que hay una masa y un muelle entre la masa y una pared (ejeY). A este sistema se le llama sistema resonante de 2º orden. Existen muchos ejemplos más,pero nos vamos a centrar en éste por lo inmediato que resulta comprobar lo aquí mostrado,cualquiera pude coger una goma y un peso y hacerlo oscilar. Se pueden coger diferentestipos de gomas y se puede ver que el comportamiento de las oscilaciones no es el mismo, aligual que si variamos el peso.Este sistema puede representar un altavoz, es una masa móvil (cono) y un muelle(suspensión). Muchos de los lectores tendrán algo de experiencia con el diseño de cajasacústicas y conocerán las cajas cerradas. Una caja cerrada, aparte de evitar el cortocircuitoacústico, es capaz de modificar los parámetros del altavoz, de manera que este decomportará de manera diferente según sea la caja.Hay infinidad de sistemas que se comportan igual, no sólo mecánicos, sino como veremosal final eléctricos.Si su nivel de matemáticas no le permite seguir la deducción, al final de cada apartado hayun párrafo con las conclusiones en lenguaje no matemático.Todas las derivadas serán respecto del tiempo.La posición de la masa es x, su masa M y K la constante elástica del muelle, y el muelle sehalla parcialmente extenido.Tenemos: (Ley de Hooke)Por la ley de acción y reacción (2ª de Newton), el módulo de la fuerza que ejerce el muellesobre la masa es la misma que recibe la masa (de cajón), y el sentido el opuesto. Osea:
  2. 2. Para resolver de manera sencilla la ecuación se hace, y de la ecuación caracteristica se deduce que la solución es de la forma:Aplicando las condiciones iniciales desale que la solución es(x0 posición inicial).Osea, que el sistema resonante vibra de manera armónica y permanece así indefinidamentesi nada lo frena. Esto, como veremos a continuación, en el mundo real no es posible, ya quesiempre hay pérdidas de esa energía que le hace vibrar.La frecuencia a la que vibra el sistema se conoce como frecuencia de resonancia delsistema (Fs), y viene dada por:
  3. 3. CONCEPTO DE AMORTIGUAMIENTOEn el mundo real esto no es posible. En todo proceso físico hay pérdidas por el motivo quesea, no existe el movimiento continuo (a excepción de las ideas de Einstein al respecto), yen este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónicosimple:El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo sonlas fuerzas de rozamiento con fluídos (aire, agua...) y por ello la fórmula es la misma. c esun coeficiente de rozamiento viscoso.F=c*v = c*x(Cuando el cono está parado no se mueve, por lo que o no hay fuerza o está compensada),la ecuación se hace:Para que resolver la ecuación característica sea más fácil, hacemosytenemos:La ecuación característica es:Las raíces son: (ec 1)
  4. 4. Esto muestra tres casos posibles, en los que las raíces son diferentes, iguales o complejas.Estamos llegando a la compresión del fenómeno del amortiguamiento.TRES CASOS:CASO 1Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MAYOR QUE LACAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Por lo tanto,... y tenemos dos raíces reales. La solución esdonde m1 y m2 son negativos. La gráfica de esto es unaexponencial que decrece, y que se puede ver a la derecha:El eje vertical corresponde a la posición del cono y elhorizontal al tiempo. La masa tenderá a su posición dereposo cada vez más lentamente.A este caso se le llama MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADOCASO 2Si las dos raíces m1 y m2 son iguales,yEsto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LACAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raíz doble, m1=-a. La solución es
  5. 5. La gráfica de esto es como un lado de una campana deGauss. La masa también tenderá a su posición de reposocada vez más lentamente, pero la velocidad al principiocrece lentamente.Este es el caso del MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. Suimportancia radica en que es el estado límite entre el comportamiento anterior (sobreamortiguado) y el siguiente, el subamortiguado.CASO 3En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LACAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas yconjugadas.Para simplificar las ecuaciones, haremos:Transformando la solución mediante la fórmula de Euler de las exponenciales de númeroscomplejos, tenemos una solución de la forma:Aplicando las condiciones iniciales calculamos C1 y C2, y tendremosY con un último cambio,tendremos la solución que nos indica cómo será el movimiento de una manera más sencillaque la anterior.
  6. 6. Es decir, es una onda senoidal con un desfase determinado,modulada por una exponencial que decrece con el tiempo yuna constante.La masa tenderá a su posición de reposo pero habrá lafuerza amortiguadora no es lo suficientemente fuerto comopara frenerlo antes de que llegue al punto x=0 (punto dereposo). Como se puede ver a la derecha, se pasará delpunto de reposo.Luego volverá en la otra direción, se pasará de nuevo delcentro y volverá a pasarse cuando vuelva, cada vez laoscilación será menor, así hasta en infinito dondeteóricamente se detendrá.En la gráfica de la derecha se puede ver el movimiento untanto exagerado (para lo que sería un altavoz), y laexponencial como módulo de la función coseno.Este tipo de movimiento se llama MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADOEn dos primeros casos el sistema resonante no llega a completar un sólo ciclo, por lo que notiene sentido hablar de frecuencias, pero en este último caso, el sistema si tiene unafrecuencia de resonancia que viene dada por alfa, el coeficiente que acompaña al tiempo enla función periódica coseno, que es:Vemos como cuando la viscosidad del medio (amortiguamiento) se hace próximo a cero lafórmula tiende a la del caso donde no había amortiguamiento:Es de imaginar también que cuanto menor es el amortiguamiento más se parecerá la últimafórmula a una función coseno, es decir: la vibración durará más tiempo cuanto menosamortiguada esté.

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