Metodo de integración POR PARTES.
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  • 1. UNIVERSIDAD DE CARTAGENA PROGRAMAS DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA CREAD PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II SEMESTRE: II AÑO LECTIVO 2010 TUTOR: INTEGRANTE JOSE FELIPE RHENALS ALMANZA
  • 2. INTEGRACIÓN POR PARTES Como ya hemos visto, algunas integrales pueden hallarse de manera inmediata aplicando las propiedades básicas. Otras las hemos desarrollado haciendo un cambio de variables y sustituyendo la integral original. Este último proceso indica que la integral debe poderse convertir a la forma ʃ f(g(x)g´(x)dx para hacer la sustitución adecuada. Sin embargo, muchas integrales no pueden resolverse por ninguno de los métodos anteriores. A continuación deduciremos un método de integración, llamado integración por partes, que nos ayudara a solucionar otras integrales. Sea u y v funciones derivables de x. en estas condiciones, d (uv) = u dv + v du u dv= d (uv) – v du Para aplicar en la práctica, se separa el intervalo en dos partes; una de ellas se iguala a u y la, junto con dx, a dv. (Por esta razón este método se denomina integración por partes.)Es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes: (a) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable (b) no debe ser más complicada que Ejemplo calcular Hacemos u=x2 y dv = Fórmulas de reducción: las formulas de reducción permite simplificar el cálculo se haya de aplicar la integración por partes varias veces consecutiva. En general una formula de reducción es aquella que da lugar a una nueva integral de la misma forma que la original pero con un exponente mayor o menor. Una formula de reducción es útil si, finalmente conduce a una integral que se pueda calcular fácilmente. Algunas de las formulas más corrientes de reducción son: a) b) c)
  • 3. EJEMPLO 1 Halla ʃ x cos x dx Solución Si hacemos u=x y dv = cos x dx, entonces: Du = dx y v= sen x, ya que la integral de cos x dx es sen x Por tanto ʃ x cos x dx, se puede expresar de la forma: ʃ udv = uv -ʃ vdu Entonces ʃ x cos x dx = x sen x - ʃ sen x dx Pero ʃ sen x dx = -cos x +c Por tanto ʃ x cosx dx = x sen x + cs x +c EJEMPLO 2 Halla ʃ sen x dx Si hacemos u= x y dv = sen x dx entonces: Du = dx y v = -cos x Por tanto ʃ x sen x dx se puede expresar de la forma ʃ udv = uv -ʃ vdu Entonces ʃ x sen x dx = x –cos x - ʃ - cos x dx Pero ʃ - cos x dx = sen x + c Por tanto ʃ x sen x dx = -x cos x + sen x + c EJERCICIOS PROPUESTOS:   
  • 4.            INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Antes de comenzar a calcular las integrales de las funciones trigonométricas debemos recordar cuales son las funciones: PRIMER TEOREMA Ejemplos.
  • 5. SEGUNDO TEOREMA Ejemplos. TERCER TEOREMA Ejemplos. CUARTO TEOREMA Ejemplos. QUINTO TEOREMA Ejemplos. SEXTO TEOREMA Ejemplos.
  • 6. EJERCICIOS PROPUESTOS - ∫ cos x sen x dx - ∫ sec x. tan x – csc² x dx SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA En este tipo de integradas se presentan tres casos: 1. a2 − x2 ⇒ x = a.senθ 2. a2 + x2 ⇒ x = a. tan θ 3. x2 − a2 ⇒ x = a. sec θ Algunas identidades a utilizar: 1  sen2θ = senθ . cos θ 2 1 1  sec θ = sec θ . tan θ + Ln sec θ + tan θ 3 2 2 Ejemplos: Primer Caso 9 − x2 ∫ dx sea x = 3sen θ x2 dx = 3 cos θdθ 9 − x = 9 − 9 sen 2 2 = 9(1 − sen 2θ ) = 3 1 − sen 2θ = 3 cos 2 θ = 3 cos θ
  • 7. 3 cos θ ∫ (3senθ ) 2 (3 cos θ dθ ) 3 cos θ = ∫ (9sen θ ) (3 cos θ dθ ) 2 cos 2 θ ∫ sen 2θ dθ ⇒ ∫ cot θ dθ 2 = ∫ ( csc θ −1)dθ 2 = = ∫ csc θ dθ − ∫ 1dθ 2 = − cot θ − θ + c Segundo Caso x = a tan θ a 2 + a 2 tan 2 θ a 2 (1 + tan 2 θ ) a 1 + tan 2 θ Identidad 1 + tan 2 θ = sec 2 θ a sec 2 θ a sec θ ∫ x 2 + 5 dx Sea x = 5 tan θ dx = 5 sec 2 θ dθ Reemplazamos x 2 + 5 = 5 tan θ + 5
  • 8. = 5(tan 2 θ + 1) = 5 tan 2 = 5 sec 2 = 5 sec θ ∫ x 2 + 5 dx = ∫ 5 sec θ ( 5 sec 2 θ dθ ) =∫ ( 5) 2 sec3 θ = 5∫ sec 3 1 1  = 5 sec θ . tan θ + Ln sec θ + tan θ  + c 2 2  5 5 = sec θ . tan θ + Ln sec θ + tan θ + c 2 2 Tercer Caso x2 − a2 ( x = a sec θ ) dx ∫x 3 x2 − 9 Sea x = 3 sec θ dx = 3 sec θ tan θ x2 − 9 Reemplazamos (3 sec θ ) 2 − 9 9 sec 2 θ − 9 Factorizamos 9(1 − sec 2 θ = 3 1 − sec 2 θ = 3 tan θ ⇒ 3 tan θ Reemplazamos 3 sec θ tan θ dθ 3 sec θ tan θ dθ ∫ (3 secθ ) (3 tan θ ) ⇒ ∫ 27 sec 3 3 θ (3 tan θ )
  • 9. 1 1 1 1 ⇒∫ dθ ⇒ ∫ sec 2 θ dθ ⇒ 27 ∫ cos θ dθ 2 27 sec θ 2 27 1 1 27 ∫ 27 ∫ ⇒ (1 + cos 2θ )dθ ⇒ 1dθ + ∫ cos 2θdθ 1 1 ⇒ θ + sen2θ + c ⇒ 27 2 EJERCICIOS PROPUESTOS dx 1. ∫x 2 4 − x2 dx 2. ∫x x2 − 4 x 3. ∫ x − 25 − dx INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES La integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de integración más fácil, donde la forma a seguir está dada por unos criterios. Se llama función racional a toda función de tipo donde son polinomios con coeficientes reales y grado. CASO: 1= FACTORES LINEALES DISTINTO: A cada factor lineal, AX+B de denominador de una fracción racional propia, el denominador se puede descomponer, le corresponde a una fracción de la forma siendo una constante para determinar. EJEMPLO: NOS QUEDA UNA IGUALDAD 1=(A+B) X+2 A- 2B A+B=0 2 A – 2 B =1 CASO: 2= FACTORES LINEALES IGUALES FACTOR LINEAL: AX+B QUE FIGURE N DE VECES EN EL DENOMINADOR DE UNA FRACION RACIONAL PROPIA, LE CORRESPONDE A UNA SUMA DE N FRACCIONES DE LA FORMA. EJEMPLO: CALCULEMOS LA SIGUIENTE INTEGRAL PERO TENDREMOS AMPLIFICANDO POR LAS SOLUCIONES. CASO: 3= FACTORES CUADRATICO DISTINTO ACADA FACTOR CUADRATICO REDUCIBLE, QUE FIGURE EN EL DENOMINADOR DE UNA FRACCION RACIONAL PROPIA, LE CORRESPONDE UNA FRACCION DE LA FORMA SIENDO AYB CONSTANTE A DETERMINAR VALORES A ENCONTRAR SON: A=0, B=1, C=1,D,=0
  • 10. CASO: 4 = FACTORES CUADRATICO IGUALES: A CADADFACTOR CUADRATICO IRREDUCIBLE, QUE SE REPITA N VECES EN EL DENOMINAR DE UNA FRACCION RACIONAL PROPIA LE CORRESPONDE LA SUMA DE N FRACCIONES DE LA FORMA. SIENDO LOS VALORES DE A Y B CONSTANTE REALES. MULPTIPLICANDO A AMBOS LADO DE LA IGUALDAD POR EL MINIMO COMUN DENOMINADOR. DONDE LOS VALORES DE LAS CONSTANTE SON: A = 0+B=2, C=0, B=1 DE DONDE REMPLAZANDO E INTEGRANDO A PRIMITIVAS. ES EL COCIENTE DE LO POLINOMIO SE DENOMINA FUNCION RACIONAL LA DERIVACION DE UNA FUNCION RCIONAL CONDUCE UNA NUEVA FUNCION RACIONAL QUE PUEDE OBTENERSE POR LA REGLA DERIVADA DE UN COCIENTE. POR OTRA PARTE. LA INTEGRACION DE UNA FUNCION RACIONAL PUEDES CONDUCIRNOS A FUNCIONES QUE NO SON RACIONALES, LA INTEGRACION RACIONAL PUEDE EXPRESARSE SIEMPRE POR MEDIOS POLINOMIO FUNCIONES RACIONALES, ALGO TANGENTES Y LOGARITMOS. LA FUNCION RACIONAL ES DESCOMPONERCE EN FRACCIONES SIMPLE. Q= ES UN POLINOMIO R(X)=ES EL COCIENTE DE LA DIVISION G(X)=GRADODEL RESTO ES MENOR QUE EL DIVISOR SE PUEDE DECIR DE TODA FORMA ES UNA FRACCION RACIONAL SE PUEDE ESCRIBIR COMO LA SUMA DE UN POLINOMION CON UNA FUNCION RACIONAL PROPIA. TODA FUNCION RACIONAL PROPIA SE PUEDE DESCOMPONER EN SUMA DE FRACCIONES DE LA FORMA.
  • 11. Integral indefinida de una función. Propiedades.
  • 12. Propiedades de la integral indefinida: Primera propiedad ∫ f ( x )dx + g ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx Ejemplo 1 ∫ [ 2x + cos x ] dx = ∫ 2xdx + ∫ cos xdx = x + senx 2 Ejemplo 2 ∫ (x ) x6 5 + cos x − e x dx = ∫ x 5 .dx + ∫ cos x.dx − ∫ e x .dx = + senx − e x + c 6 Demostración de la propiedad: Por la definición ∫ f ( x )dx = F(x) + C ⇒ ( ∫ f ( x )dx ) ' = ( F ( x ) + C ) ' = F'(x) = f(x) Por otro lado, queremos demostrar que ∫ [ f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx es decir, que si derivamos el segundo miembro nos tiene que salir f ( x) + g( x) , por lo tanto: [ ] [ ] [ ] ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ' = ∫ f ( x )dx ' + ∫ g ( x )dx ' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x) Segunda propiedad ∫ k.f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx Ejemplo 1 1 1 ∫ 5. x dx = 5.∫ x dx = 5.Lnx Ejemplo 2 4 • sen 4 x 1 1 ∫ sen 4 xdx = ∫ 4 dx = ∫ 4 • sen 4 x dx = ( − cos 4 x ) 4 4 Demostración de la propiedad: Queremos demostrar que ( k • ∫ f ( x )dx )' = k • f ( x) ( k • ∫ f ( x )dx )' = k · ( ∫ f ( x )dx )' = k · F'(x) = k· f(x) Tercera propiedad. Para todo número real n ≠ 1 entonces x n +1 ∫ kx n dx = k ∫ x n .dx = k n +1 +c
  • 13. Ejemplo 1 3x 6 ∫ 3.x dx = 3∫ x dx = 6 + c 5 5 Ejemplo 2 x −3 1 ∫ x dx = − −4 +c = − 3 +c 3 x Ejemplo 3 3 1 x2 2 3 ∫ x dx = 2 3 2 + c = .x 2 + c 3 k dx Cuarta propiedad ∫ x .dx = k ∫ x = k . ln x + c Ejemplo 1 9 dx ∫ x .dx = 9∫ x = 9. ln x + c Integración de Funciones Trigonométricas: En esta etapa veremos como se pueden integrar potencias y productos de potencias de funciones trigonométricas, para ello recordaremos algunas expresiones básicas de la trigonometría.- cos 2 x + sen 2 x = 1 cos 2 x − sen 2 x = cos 2 x Si sumamos estas dos expresiones tendremos: 1 + cos 2 x 2 cos 2 x = 1 + cos 2 x ⇒ cos 2 x = 2 Si restamos las dos expresiones dadas en 1 − cos 2 x 2 sen 2 x = 1 − cos 2 x ⇒ sen 2 x = 2
  • 14. Veremos cuatro casos que se pueden presentar: 1° Caso: Potencia Impar de Seno o Coseno Ejemplo 1: ∫ sen 3 x.dx = ∫ senx.sen 2 x.dx = ∫ ( ) senx 1 − cos 2 x .dx = ∫ ∫ senx.dx − senx. cos 2 x.dx      I1 I2 Vemos en este caso que la integral I1 es de integración inmediata, pero la integral I 2 no lo es y podemos resolverla por otro método: I1 = ∫ senx.dx = − cos x + C1 I2 = ∫ senx. cos 2 x.dx En este caso podemos resolver por sustitución adoptando: u = cos x   du Reemplazando tendremos: du = − senx.dx → dx = − senx  u3 ∫ ∫ du 2 2 I 2 = − senx.u . = − u .du = − + C2 Retornamos a la variable original: senx 3 cos 3 x I2 = − + C2 3 Reemplazando en (I) los resultados obtenidos de de I1 y I 2 obtendremos como resultado final: cos 3 x ∫ 3 sen x.dx = − cos x + 3 + C Donde adoptamos: C = C1 + C 2
  • 15. Ejemplo 2: ∫ sen 5 x.dx = ∫ senx.sen 4 x.dx = ∫ ( )2 ∫ ( senx. sen 2 x .dx = senx 1 − cos 2 x .dx = )2 ∫ sen 5 x.dx = ∫ ( ) senx. 1 − 2 cos 2 x + cos 4 x .dx = ∫ ∫ ∫ senx.dx − 2 senx. cos 2 x.dx + senx. cos 4 x.dx       I1 I2 I3 Resolvemos cada una de estas integrales: I1 = ∫ senx.dx = − cos x + C1 cos 3 x I2 = ∫ senx. cos 2 x.dx = − 3 + C2 (Resuelta en el ejemplo anterior) I3 = ∫ senx. cos 4 x.dx Se resuelve por sustitución: u = cos x   du du = − senx.dx → dx = − senx  u5 cos 5 x ∫ ∫ du 4 4 I 3 = − senx.u . = − u .du = − + C3 → I3 = − + C3 senx 5 5 Si rearmamos la integral original tendremos: cos 5 x ∫ 2 sen 5 x.dx = − cos x + cos 3 x − +C 3 5 2° Caso: Potencia par de seno o coseno: Ejemplo 1: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 − cos 2 x  1 cos 2 x  1 cos 2 x 1 1 sen 2 x.dx = .dx =  − .dx = .dx − .dx = dx − cos 2 x.dx 2 2 2  2 2 2 2     I1 I2 ∫ 1 1 I1 = dx = x + C1 (Es una integral inmediata)} 2 2
  • 16. ∫ 1 I2 = cos 2 x.dx Resolvemos por sustitución haciendo: 2 u = 2 x   du du = 2.dx → dx = 2  ∫ ∫ 1 du 1 1 1 I2 = cos u. = cos u.du = .senu + C 2 → I 2 = .sen2 x + C 2 2 2 4 4 4 Luego: ∫ 1 1 sen 2 x.dx = x − sen2 x + C 2 4 Ejemplo 2: (cos 2 x )2 .dx =∫  1 + cos 2 x  ∫( ) 2 ∫ ∫ 1 cos 4 x.dx = .dx = 1 + 2. cos 2 x + cos 2 2 x .dx 2 4 ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 cos 4 x.dx = dx + cos 2 x.dx + cos 2 2 x.dx 4 2 4        I1 I2 I3 ∫ 1 1 I1 = dx = .x + C1 (Es de integración inmediata) 4 4 u = 2 x ∫ 1  I2 = cos 2 x.dx Por sustitución, adoptamos:  du 2 du = 2.dx → dx = 2  ∫ ∫ 1 du 1 1 1 I2 = cos u. = cos u.du = senu + C 2 → I 2 = sen2 x + C 2 2 2 4 4 4 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1  1 + cos 4 x  1  1 1 I3 = cos 2 2 x.dx =  .dx =  dx + cos 4 x.dx  = dx + cos 4 x.dx 4 4  2  8   8  8 1 1 I 3 = .x + sen4 x + C 3 8 32 Reemplazamos en la integral original: ∫ ∫ x sen2 x x sen 4 x 3 x sen2 x sen 4 x cos 4 x.dx = + + + +C cos 4 x.dx = + + +C 4 4 8 32 8 4 32
  • 17. ° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar: ∫ ∫ ∫ ( sen 2 x. cos 3 x.dx = sen 2 x. cos x. cos 2 x.dx = sen 2 x. cos x. 1 − sen 2 x .dx = ) ∫ sen 2 x. cos 3 x.dx = ∫ ∫ sen 2 x. cos x.dx − cos x.sen 4 x.dx   I1 I2 u = senx ∫ 2  I1 = sen x. cos x.dx Por sustitución:  du du = cos x.dx → dx = cos x  u3 sen 3 x ∫ ∫ du I1 = u 2 . cos x. = u 2 .du = + C1 → I1 = + C1 cos x 3 3 u = senx ∫ 4  I2 = cos x.sen x.dx Por sustitución:  du du = cos x.dx → dx = cos x  u5 sen 5 x ∫ ∫ du I4 = u 4 . cos x. = u 4 .du = + C2 → I2 = + C2 cos x 5 5 sen 3 x sen 5 x ∫ sen 2 x. cos 3 x.dx = 3 + 5 +C 4° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con los dos exponentes pares ∫ ∫ ∫( )  1 − cos 2 x  1 + cos 2 x  1 sen 2 x. cos 2 x.dx =   .dx = 1 − cos 2 2 x .dx  2  2  4 ∫ ∫ ∫ 1 1 sen 2 x. cos 2 x.dx = dx − cos 2 2 x.dx 4 4       I1 I2 ∫ 1 1 I1 = dx = .x + C1 4 4 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1  1 + cos 4 x  1  1 1 I3 = cos 2 2 x.dx =  .dx =  dx + cos 4 x.dx  = dx + cos 4 x.dx 4 4  2  8   8  8 1 1 I3 = .x + sen4 x + C 2 8 32 Finalmente la integral a calcular queda:
  • 18. ∫ 1 1 sen 2 x. cos 2 x.dx = x− sen4 x + C 8 32 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) ∫ (2 ) x − 3 x − x 4 dx 2) 3) 4) 3 x 5) ∫  x − 3 dx   6) cos( ax + b ) dx 7) ∫ 8) 9) ∫ tgx dx 10) 11) 12) 13)