• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Intersticios
 

Intersticios

on

  • 589 views

cristalografia estructural , intersticios

cristalografia estructural , intersticios

Statistics

Views

Total Views
589
Views on SlideShare
589
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
6
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Intersticios Intersticios Document Transcript

    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 1 TEMA 1 ESTRUCTURA DE LOS MATERIALES CRISTALINOS
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 2 1.- Estructura atómica y enlaces en los sólidos. Según la mecánica cuántica el átomo se compone de un núcleo con carga positiva, constituido por neutrones y protones, rodeado de una nube de electrones de carga negativa, que se encuentra unido al núcleo por fuerzas electrostáticas. Estudiando el comportamiento de las partículas frente a campos eléctricos y magnéticos, se determinó que el neutrón es una partícula de carga positiva, mientras que el electrón es una partícula de carga positiva, siendo en ambos casos su carga de 1.6 x 10-9 C. El núcleo contiene el 989.9% de la masa total del átomo en sólo el 0.01% de su diámetro. El tamaño de un átomo es del orden de 10-10 m, mientras que el del núcleo es del orden de 10-15 m. El electrón es una partícula cuyo movimiento en el campo potencial se puede describir por una función de onda ψ; que indica el comportamiento dual del electrón: es decir, no podremos determinar la posición de un electrón en un momento dado, sino que debemos de hablar de densidad de probabilidad. ψ 2 dV = Densidad de probabilidad La densidad de probabilidad es la probabilidad de encontrar el electrón en un dV situado en el punto (x,y,z) del espacio. La ubicación más probable del electrón en el espacio es la de mayor densidad de probabilidad y es la que determina el tamaño atómico. El núcleo contiene los nucleones; protones de carga positiva, igual a la carga del electrón (1.602x10-19 C); y los neutrones sin carga eléctrica. Los pesos de ambas partículas son respectivamente 1.0073u y 1.0087u (unidad de masa atómica, que equivale a la doceava parte de la masa del átomo de carbono 12 C). Se denomina número atómico, Z, al número de protones o electrones que posee el átomo. La masa del electrón en reposo es aproximadamente 9.1094x10-28 gramos, mientras que el de uno de los nucleones es 1.837 veces más pesado, lo que determina que la masa del átomo se concentra en el núcleo. Se denomina número de masa atómica (N+Z), a la suma de los neutrones y los protones del átomo. Se denominan isótopos a Mayor densidad de probabilidad
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 3 elementos que teniendo el mismo número atómico poseen distinto número de masa atómico, es decir, difieren en el nº de neutrones. La unidad de masa atómica u = 1.6605x10-24 gramos y su inverso es a lo que se denomina nº de Avogadro = 6.023x1023 . Los electrones se sitúan según la mecánica ondulatoria en niveles discretos de energía, comenzándose su ocupación por los de menor energía. La ocupación de estos niveles da como resultado la tabla periódica de los elementos. La ecuación de Schrödinger es a partir de la cual se obtienen dichos niveles de energía, ya que es la que representa el comportamiento dual del electrón. Ésta ecuación es el resultado de la combinación entre la ecuación que caracteriza a una onda estacionaria(1) con la que caracteriza a una partícula (2), mediante la relación de De Broglie (3). )1( 4 2 2 2 2 ψ λ πψ −= dx d 2 2 2 1 2 )3()2( 2 1 λ λ •=−⇒=+=+= ee ec m h VE vm h yVvmVEE Si de ésta última despejo 2 λ y la introduzco en la primera obtengo la ecuación de Schrödinger, siendo ésta: ψψ ψ π EV dx d m h e =+• − 2 2 2 2 8 E= Energía total, Ec = Energía cinética y V = Energía potencial Las soluciones a la ecuación se obtiene empleándose las condiciones de frontera límite, pues para que 2 ψ tenga sentido, ψ tiene que ser finita y tener un único valor en cada uno de sus puntos, además de cumplirse que 12 =∫ dV ciotodoelespa ψ . Esto exige que la amplitud de onda asociada a una partícula encerrada en un espacio finito sea nula en los extremos. Por ello, en un espacio de una dimensión, cada onda puede caracterizarse por un número entero. La relación postulada por Born entre el número cuántico y el momento angular se deduce teniendo en cuenta el espacio de dimensión circular. Suponiendo un electrón que gira en una órbita circular estacionaria es necesario que la longitud de la circunferencia contenga un número entero de longitudes de onda; ,2 λπ nr = y como la longitud de onda y el momento del electrón están relacionados por
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 4 la ecuación de De Broglie ( vm h e λ ), igualando ambas longitudes obtengo el valor angular postulado por Born: π2nhvrme = . Aplicando ésta condición de frontera obtenemos las energías permitidas de los orbitales atómicos siendo ésta: 2 2 2 0 2 4 8 n Z h em E e n •−= ε ; donde n es el nº cuántico principal, y determina los estados cuánticos discretos permitidos. A cada n se le considera una capa y en ella todos los electrones poseen el mismo nivel de energía. Las capas se denominan K, L, M, N... con nº crecientes de n( n= 1; capa K) . En cada capa existen subcapas que reflejan diferencias leves de energía, lo que se debe a otros tres nº cuánticos:(1) nº de momento angular orbital, l; (2) nº Cuántico magnético, ml; (3) nº cuántico de spin. l = 0, 1,.....(n-1), designándose como s(l=0), p(l=1), d(l=3), f(l=4) ml = -l a +l y ms = ±1/2 Cada uno de estos estados cuánticos pueden ser ocupados por dos electrones de espines opuestos (principio de exclusión de Pauli). 1.1.- Tabla periódica y propiedades de los distintos elementos. Por lo visto ya anteriormente los electrones de un elemento de nº atómico Z ocupan los estados cuánticos disponibles de menor a mayor energía, teniendo en cuenta el principio de exclusión de Pauli. Este orden de ocupación nos lleva la disposición de los elementos en la tabla periódica, el cual nos permite determinar el comportamiento de los materiales y el mecanismo más probable de enlace. Ejemplo configuración electrónica: l = 0; ml= 0 ms= -1/2 ms= +1/2 ml= 0 ms= -1/2 ms= +1/2 n= 2 l = 1 ml= 1 ms= -1/2 ms= +1/2 ml= -1 ms= -1/2 ms= +1/2 2 electrones (subcapa s) 6 electrones (subcapa
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 5 Luego las capas s pueden ocupar dos electrones, seis la p, diez la d y catorce la f. Si el número de electrones en una capa es menor quiere decir que esta ésta parcialmente ocupada. A la capa más externa se le denomina capa de valencia y será la responsable el comportamiento del elemento, tanto en propiedades como en mecanismos de enlazamiento con otros elementos. La regla que se puede seguir para el llenado de las capas es la que aparece a continuación,. Teniendo en cuenta que hay excepciones - como las del carbono, y el cromo- debido a hibridaciones sp y transformaciones sd. 7s 7p 7d 6s 6p 6d 6f 5s 5p 5d 5f 4s 4p 4d 4f 3s 3p 3d 2s 2p 1s Ejemplo: Z = 46 (paladio) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d8 5s2 ; como puede observarse se está llenando la subcapa d del cuarto periodo, por lo que debe ser un elemento que se encuentre en la zona de transición de la tabla periódica. Si esto se comprueba en la tabla periódica vemos que se cumple. Ahora bien como comentamos anteriormente, se dan excepciones como el caso del carbono con hibridación sp3 . Z = 6 (carbono) 1s2 2s2 2p2 sería lo lógico, sin embargo la configuración que presenta es 1s2 2s1 2p3 2s2 2p2 2s1 2p3 La ocupación de los estados cuánticos de menor energía disponible y el apego al principio de exclusión de Pauli por parte de los electrones de un átomo dan como resultado la llamada tabla periódica de los elementos, a partir de la cual podemos discernir rápidamente sus características químicas. Ésta se encuentra dividida en filas y columnas, que se denominan periodos y grupos respectivamente. Los elementos del mismo grupo poseen la misma configuración electrónica en la capa más externa y propiedades similares. Los periodos se inician cuando comienza a ocuparse los estados s y termina con la ocupación de todos los estados p; excepto en el caso de primer periodo donde los estados p no se dan. En la tabla 1.1 aparece la tabla periódica de los
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 6 elementos, y en ella aparece la nueva designación de los grupos adoptado por la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada. Los elementos de configuración electrónica completa, carecen de reactividad química o tendencia a reaccionar, por lo que poseen valencia cero, apareciendo como elementos neutros. Sin embargo los elementos de los grupos 1 ,2 y 16,17, presentan una alta tendencia a reaccionar cediendo o captando electrones. Así se dice que los elementos de los grupos 1 y 2 son muy electropositivos, porque ceden electrones y los de los grupos 16 y 17, se dicen que son muy electronegativos porque captan electrones. Al número de electrones cedidos o captados se les denomina valencia. La electronegatividad crece hacia la derecha y hacia arriba. Los elementos de los grupos III, IV y V (13,14,15) tienden a reaccionar compartiendo electrones y sobre todo los del grupo IV se combinan con formación de enlaces coovalentes. Los elementos que ceden electrones con facilidad también se denominan metales y a los que los captan se les denomina no metálicos. El carácter metálico del elemento se manifiesta en la capacidad de conducir corriente, siendo el no metálico no conductor. 1.2 Energías de enlace y principales mecanismos de formación de enlace y propiedades de éstos. Para que se produzca un enlace entre átomos es necesario que exista entre ellos afinidad química, si no los átomos no se unen y se presentan en estado gaseoso a temperaturas y presiones ordinarias, como ocurre con los elementos del grupo 18. Esto es debido a que poseen configuración electrónica de capa cerrada y por tanto no hay ., reactividad entre ellos. Cuando existe afinidad química, existe una fuerza de atracción electrostática positiva de largo alcance (FA) que acerca a los átomos ( la atracción ocurre entre el núcleo del primer átomo y los electrones del segundo), y cuando estos están cerca, se produce una fuerza de repulsión negativa de corto alcance (FR), cuyo origen es el de repulsión de los electrones de ambos átomos. La fuerza total de enlace será: FB=FA + FR . Existe una separación de equilibrio, en la cual la fuerza neta es cero, que será la que me determine el radio atómico de los elementos que se enlazan. Cuando se analizan los enlaces, se acostumbra a utilizar más las energías que las fuerzas, luego diremos que la energía de atracción será cero en el infinito y no cambia
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 7 hasta que los átomos estén a una distancia aproximada de unos cuantos de diámetros atómicos. Cuanto más aumente ésta energía más negativa se torna. La energía de repulsión solo se manifiesta cuando las nubes electrónicas están muy próximas, siendo la energía total la suma de la de atracción y la de repulsión. La curva resultante es la energía de enlace, la cual presenta un mínimo a la distancia de equilibrio, r0, que me determina el radio crítico, o lo que es lo mismo el tamaño del átomo o ion , en este tipo de enlazamiento. Esta es una forma de determinar el tamaño atómico. Tabla 1.2. La energía E0, en r0, es la energía de enlace del par de iones y proporciona una indicación sobre su punto de fusión, del coeficiente de expansión térmica y del módulo de Young. Cuanto mayor es la energía de enlace (más negativa), tanto mayor es el punto de fusión y el módulo de elasticidad, y menor el coeficiente de expansión térmica. Los tres mecanismos principales de formación de enlace son: iónico, coovalente y metálico. El enlace iónico se forma entre elementos electronegativos y electropositivos. El átomo electropositivo cede electrones al electronegativo obteniendo ambos la configuración electrónica de capa completa, y uniéndose ambos por atracción electrostática entre iones de distinto signo. Este tipo de enlace es el que se produce entre metales y no metales. En términos de mecánica cuántica, los electrones de valencia pertenecientes a los átomos neutros se comparten entre los dos átomos que constituyen la molécula, de tal forma que la densidad de probabilidad de los electrones, es mayor en torno al átomo más electronegativo, y por tanto éste átomo adquiere una carga negativa. Para que la energía de atracción sea máxima y la de repulsión mínima es necesario que los vecinos inmediatos de un catión sean aniones y viceversa, siendo por tanto el enlace iónico adireccional, aunque es necesario equilibrar las cargas positivas y negativas para mantener la neutralidad del cristal. Al estar los electrones localizados la conductividad de los materiales iónicos es muy mala, ya que para que ésta exista los iones deben de moverse con el campo eléctrico y al ser tan pesados se mueven con lentitud, de aquí la mala conductividad eléctrica y térmica. La energía de enlace es alta, por lo que posen un alto punto de fusión. Las cerámicas presentan este tipo de enlace, utilizándose por sus características para soportar grandes temperaturas y como aislantes y dieléctricos. Estas son frágiles debido a la naturaleza localizada del enlace. Cuando los átomos de las moléculas comparten electrones por igual, se dicen que se enlazan bien mediante enlace coovalente o mediante enlace metálico. Una característica importante de estos enlaces es que pueden darse entre elementos iguales.
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 8 Así en el H2, el Cl2, el diamante y el silicio entre otros, los átomos están unidos por enlace coovalente, mientras que en el cobre el enlace es metálico. En los enlaces coovalentes puros los átomos comparten el mismo nº de electrones para obtener la configuración electrónica de capa completa. En éste caso se dice que se han formado enlaces por saturación entre los dos átomos. Ejemplo: H2 y Cl2. En ellos el enlace es muy fuerte, pero el intermolecular es muy débil. Esta débil atracción intermolecular es a lo que se denomina enlaces secundarios o fuerzas de van der Waals. En términos de densidad de probabilidad la máxima se encuentra entre ambos núcleos por lo que es un enlace direccional. En el caso del diamante, la hibridación sp3 de cada átomo de carbono da origen a enlaces tetraédricos y requiere cuatro átomos como vecinos para formar la configuración electrónica más estables, pero a su vez éstos átomos necesitan otros cuatro vecinos, y así sucesivamente; por lo que siempre hay un estado de enlace disponible para la unión con átomos de carbono. Esto se describe como enlazamientos insaturados, y es el responsable de que se forme un agregado muy grande (macromolécula), dado lugar a un sólido. Luego el diamante a temperatura y presión ordinaria se presenta en estado sólido. Un ejemplo más del enlazamiento saturado e insaturado es el proceso de polimerización. El etileno CH2=CH2 es un gas porque todos los estados cuánticos entre el C y el H están llenos, por lo que el enlazamiento es saturado.. Sin embargo si partimos el doble enlace, se obtiene una molécula –CH2 –CH2 – que tiene un estado de enlace insaturado, por lo que hay un gran número de éstas pueden unirse formando macromoléculas que se unen mediante enlaces débiles de van der Waals, dado lugar a un polímero sólido. Los materiales con enlace coovalentes son muy resistentes pero a la vez son frágiles, pues no es posible separar mucho los núcleos sin que se rompa el enlace. Además los electrones localizados hacen de éstos malos conductores eléctricos. El silicio sólo muestra cierta conductividad a altas temperaturas (es lo que se denomina semiconductor), aunque normalmente la conductividad del silicio se debe al dopaje con impurezas. El diamante es un buen aislante eléctrico pero es un buen conductor térmico. Los polímeros son frágiles en estado sólido, son no conductores- aunque ahora existen polímeros conductores que poseen en su cadena grupos capaces de liberar electrones- y los materiales cerámicos a partir de silicatos y las cerámicas avanzadas(SiN, SiC, y
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 9 BN), también poseen enlaces coovalentes, utilizándose éstos últimos por su alta resistencia al desgaste y a altas temperaturas, además de por su dureza. Por último el enlace metálico es consecuencia de la gran facilidad de disociación de los metales en iones positivos y electrones negativos. Poseen enlazamiento no saturado y se componen de un gran número d átomos. Los electrones liberados se desplazan con facilidad, no estando localizados, de aquí su alta conductividad eléctrica y térmica. La teoría de Lorent y Drude de electrones libres explica la opacidad -la oscilación de los electrones absorbe la energía del haz incidente en cualquier longitud de onda– y la reflectividad -los electrones oscilantes emiten ondas luminosas, fotones-. Al ser el enlace insaturado, se explica el empaquetamiento compacto de los átomos, así como sus propiedades sobresalientes de tenacidad y ductilidad con alta resistencia mecánica. Debido a que le empaquetamiento en los metales es mayor que en los sólidos iónicos y coovalentes su densidad es mayor. Otra característica de los electrones libres en el enlace metálico es la insensibilidad ante el centro positivo, de aquí la posibilidad de sustitución de un átomo por otro, constituyendo así las soluciones sólidas sustitucionales o aleaciones (Cu-Ni). El enlace iónico se da entre elementos electropositivos y electronegativos, sin embargo el enlace coovalente puro solo se da entre elementos de la misma electronegatividad, es decir, entre elementos iguales. El enlace coovalente puede darse entre átomos distintos, pero ya no sería simétrico, ya que hay una mayor densidad de probabilidad cerca de un átomo que del otro, por lo que tenemos que hablar de una mezcla de enlace coovalente e iónico. La presencia de éste carácter iónico robustece el enlace. Pauli propuso la fórmula siguiente para determinar el carácter iónico del enlace: Fracción carácter iónico = 1 – exp-1/4(x A - x B ) XA – Electronegatividad de A XB – Electronegatividad de B Al hablar de polímeros decíamos que entre macromoléculas el enlace intermolecular era débil y se debía a los enlaces secundarios o fuerzas de van der Waals. Pues bien ésta es una fuerza débil de atracción, que puede existir entre los átomos y las moléculas. El origen de la atracción es principalmente la formación de dipolos débiles permanentes u oscilantes y la atracción entre los polos opuestos de éstos dipolos. La energía del enlace se puede determinar de la siguiente forma: E = - CA/r6 + CR/rL En el caso de las moléculas de agua y las macromoléculas de los polímeros, el enlace que se da entre ellas es de dipolo permanente, llamándose en éste caso de puente
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 10 de hidrógeno, debido a que la unión se produce a través de éste. Es el enlace de fuerzas de van der Waals de mayor energía. La baja resistencia a la cedencia y los reducidos módulos de los polímeros se explican en virtud de los débiles puentes de hidrógeno (aunque sean los de mayor energía dentro de los enlaces secundarios) y fuerzas de Van der Waals que se rompen con facilidad cuando estos materiales se someten a esfuerzos. 1.3- Tamaño de átomos e iones. El tamaño atómico depende del número Z y el tipo de enlazamiento. A medida que la carga nuclear aumenta los electrones ocupan los estados cuánticos de las capas exteriores con valores n creciente, lo que tiende a aumentar el tamaño. Aunque al aumentar la carga del núcleo, éste atrae más las capas electrónicas internas ocupadas. Estos dos efectos se contrarrestan mutuamente de tal forma que la diferencia de rádios entre los átomos ligeros y los pesados no es muy grande , aunque disminuye a lo largo del periodo. Se puede decir, que de forma aproximada el tamaño aumenta en un grupo hacia abajo, y en el periodo hacia la izquierda, es decir, hacia donde aumenta el número Z. Sin embargo hay que tener en cuenta que puede haber excepciones, pues también va a influir el tipo de enlazamiento. Tabla 1.4. En el caso de los iones, tenemos que decir, que los cationes suelen ser menores que los átomos neutros y los aniones mayores, esto se debe a que en el caso de los cationes al ceder electrones, los electrones de las capas más internas se ven más fuertemente atraídos por el núcleo disminuyendo su tamaño, y lo contrario le ocurre a los aniones. 2.- Materiales cristalinos y amorfos Los materiales de pueden clasificar en función de la disposición atómica o molecular, en sólidos cristalinos y amorfos. Si existe una disposición regular de los átomos que da lugar a un patrón que se repite en las tres direcciones del espacio se dice que el sólido es cristalino, y si no existe éste patrón definido se dice que se trata de un sólido amorfo. En el primer caso se dice que el material tiene orden de largo alcance, y en el segundo caso orden de corto alcance. Esto puede observarse en la figura siguiente: P(2,3) Figura 2 a) Orden largo alcance b) Orden corto alcance
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 11 los puntos pueden representar un átomo o grupo de átomos o moléculas. En el caso de largo alcance la zona que aparece encerrada en el rectángulo se repite horizontal y verticalmente mediante los vectores de translación, mientras que en de corto alcance sólo se repite en las zonas enceradas, siendo similar a la estructura de los líquidos. Aunque la mayor parte de los metales son cristalinos, algunos se tornan amorfos cuando sufren enfriamientos drásticos, a partir del líquido, denominándose a estos metales y aleaciones amorfos. De la misma forma aunque los líquidos poseen orden de corto alcance, hay algunos que pueden poseer orden de largo alcance y son cristalinos (polímeros cristalinos líquidos). 3.- Celdas unitaria, sistemas cristalinos y redes puntuales o espaciales El estudio de la estructura, o disposición de los átomos en los materiales cristalinos constituye la cristalografía. Podemos decir, que os patrones tridimensionales que sigue la disposición atómica pueden delimitarse a siete sistemas cristalinos y 14 redes de Bravais puntuales. Los sistemas cristalinos tienen características específicas que determinan el empaquetamiento atómico y la densidad del material. El patrón que se repite en la estructura cristalina se denomina celda unidad. Ésta se caracteriza por tres vectores de translación a, b y c y los ángulos α, β y γ entre los ejes, denominándose constantes reticulares o parámetros de la red. Celda unidad cúbica con los parámetros de red mencionados. Si partimos de un punto y lo trasladamos en todas direcciones con el conjunto de los tres vectores unitarios obtenemos lo que se denomina red espacial o puntual (matriz de puntos dispuestos en el espacio de tal forma que todos poseen el mismo entorno). Si elegimos un punto como origen y aplicamos cada uno de estos vectores de translación unitarios cualquier número de veces para llegar a un segundo punto, se obtiene un vector que va del origen a ese segundo punto: P = u a + v b + w c; donde u, v y w b a c α γ β
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 12 indican el número de veces que se ha trasladado el eje respectivo. Estos valores son las coordenadas del punto P (esto puede observarse en la figura 2). Los puntos del retículo pueden representarse por un vector. Hay que advertir que aunque la celda unidad tenga forma y orientación, el origen en el retículo espacial puntual no es fijo, por lo que podremos elegirlo en función de la conveniencia para resolver los distintos problemas. Sólo existen 7 formas de especificar los valores para las longitudes axiales y para los ángulos entre éstos, dando lo que se denominan los siete sistemas cristalinos. Luego sólo podemos tener 7 formas de las celdas unitarias. Pero además teniendo en cuenta la definición de red puntual, se puede añadir puntos al interior y a las caras de algunas de las 7 celdas unitarias, por lo que a fin de diferenciar unas de otras, a las primeras se les denomina simples o primitivas y se le designa por la letra P o R. Si se agrega un punto al interior, la red puntual que se genera se denomina centrada en cuerpo y se designa por I. Si se agrega un punto en el centro del plano de la celda, la red puntual que se genera se denomina centrada en base o caras y se designan por las letras C o F respectivamente. Bravais demostró que sólo hay 14 redes puntuales posibles, por lo que a las rede3s puntuales también se les denomina redes de Bravais.(Figura 3). Los puntos de la red de Bravais pueden representar un solo átomo o molécula , o pueden representar un conjunto de éstos. 4.- Estructuras metálicas más comunes. La mayoría de los metales cristalizan en una de estas estructuras cristalinas: cúbica centrada en cuerpo (CCC), cúbica centrada en caras (CC) y Hexagonal compacta(HCP). 4.1.- Estructura cúbica centrada en cuerpo (CCC). Esta estructura recibe la designación de I y en ella todos los ejes son iguales a = b = c y sus ángulos son de 90º. El parámetro reticular es a. Sí se coloca un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en cuerpo, tengo 8 átomos en los vértices y uno en el interior. El átomo central toca a todos los átomos de los vértices a través de la diagonal del cubo. Éste nº de átomos que tocan al átomo central son los vecinos inmediatos y es lo que se denomina nº de coordinación. Luego en esta estructura NC = 8.
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 13 Esto puede aprciarse mejor en la figura 5 del anexo. El nº de átomos por celda unidad será: NCCC = NI + NC/2 + NV/8 = 2; siendo NI el nº de átomo internos, NC, el nº de átomos en las caras y NV, el nº de átomos en los vértices. El parámetro reticular puede determinarsea través del radio atómico, teniendo encuenta que los átromos se unen a través de la diogonal de cubo. Luego como la diagonal del cubo es 3a entonces: 3 4 43 r ara =⇒= ; donde a es el parámetro reticular y r es el radio atómico. 4.2- Estructura cúbica centrada en caras. Se designa con la letra F. Todos los ejes unitarios son iguales y sus ángulos son de 90º, siendo el parámetro reticular a. Si colocamos un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en caras, tendremos 6 átomos en los seis centros de caras, además de los 8 de los vértices. Átomo metálico El número de átomos por celda unidad es 4, estando éstos en contacto a través de la diagonal de la cara, de donde podemos obtener la relación con el parámetro de red;
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 14 2 4ra= . El número de coordinación es 12, lo cual puede observarse fácilmente, teniendo en cuenta la figura 6. El átomo X está en contacto con los 8 que se enumeran en la figura y los otros cuatro son reflejo del 5, 6, 7 y 8, de la celda unitaria siguiente unida a la que contiene la X. 4.3 Estructura hexagonal compacta. La estructura es la que puede verse en la figura 7a . Se trata de una red simple de Bravais, con otro átomo situado en el punto (1/3, 2/3, ½) ó (2/3, 1/3, ½). Los parámetros reticulares de la celda unitaria son a1, a2 y c, donde a1 = a2 ≠ c y α = β = 90º y γ = 120º. Sin embargo aunque ésta sea la celda unitaria primitiva es difícil ver las características de la HCP utilizándola, por ello lo que se hace habitualmente es unir tres de ellos para formar un hexágono. Así se puede decir, que la hexagonal compacta posee un átomo en cada vértice, uno en cada centro de base y tres situados en un plano intermedio en los ortocentros de tres de los seis triángulos equiláteros, alternándose. El empaquetamiento final es el que aparece en la figura 7c. El número de coordinación es 12. Los planos superior e inferior se denominan planos basales y las caras son los planos prismáticos. Los átomos basales están todos en contacto y los de la segunda capa se sitúan en las depresiones de los primeros y por último la capa basal superior los átomos se sitúan en la misma posición que los de la capa inferior. Luego la secuencia de apilamiento es ABAB....y el número de átomos de la celda unitaria primitiva es 2, luego el hexágono que tomamos tendrá 6 átomos. Los átomos están en contacto a lo largo de los ejes unitarios a1 y a2, por tanto uno de los parámetros reticulares es a1 = a2 = 2r. Podemos determinar el otro parámetro reticular c, si advertimos que el átomo que se encuentra dentro de la celda simple están en contacto con los átomos del plano basal y por tanto la distancia interatómica también es 2r = a Observando estas dos figuras podemos determinar la relación c/a, con lo que tendremos el parámetro de red que nos faltaba. ½ a 1/3 2/3 (0,0,0) (2/3,1/3,0) x x 2r = a (2/3,1/3,0) (2/3,1/3,1/2 (0,0,0)
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 15 Por el triángulo rectángulo que se forma en la figura del lado izquierdo podemos determinar x, con lo cual llevándolo a la figura siguiente obtenemos la relación buscada. 633.1 3 8 4 1 3 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 2 22222 2 2 22 2 22 22 2 =⇒=      ⇒=      −⇒=− ⇒+      =⇒+      ==      −      = a c a c cacaa acaxcacomoaaax Ejemplo: determinar el parámetro reticular de a) Molibdeno (CCC, con r = 1.36A ), b)oro (CC, con r = 1.44A) y c) Cobalto (HCP con r = 1.15 A). a) Al ser CCC los átomos se tocan a través de la diagonal del cubo, luego la relación entre r y a será: ( ) nmAa r ara 3141.014.3 3 36.14 3 4 43 ===⇒=⇒= b) Al ser CC los átomos se tocan a través de la diagonal de la cara, luego: ( ) nmAa r ara 4073.0073.4 2 44.14 2 4 42 ===⇒=⇒= c) Al ser hexagonal compacta, tenemos que calcular los dos parámetros de red a y c. Comenzaremos hallando a, y después a través de la relación c/a, calcularemos c. ( ) ( ) AcacnmAaar 0825.45.2633.1633.1;25.05.225.122 ==⇒====⇒= 4.4.- Intersticios y huecos en las estructuras cristalinas. En las estructuras vistas anteriormente existen espacios vacíos, llamados intersticios o huecos, donde pueden caber átomos de pequeño tamaño. El tamaño de estos intersticios varía de unas estructuras a otras. Podemos decir que existen dos tipos de intersticios; los octaédricos (el intersticio está situado en el centro de un octaedro) y tetraédricos (el hueco se sitúa en el centro de un tetraedro). Los huecos en las estructuras CC, HCP y CCC pueden observarse en las figuras 8, 9 y 10. En la estructura CC los huecos más grandes son los octaédricos que se encuentran en los centros de aristas y en el centro del cubo. Éstos están rodeados por seis átomos que forman los vértices de un octaedro. Luego teniendo en cuenta que en la estructura CC, 2 4r a = , y que según la figura 8, determinamos que el intersticio puede alojar una esfera de 0.414r. los huecos tetraédricos se encuentran situados por la translación del vector de la forma (1/4a,1/4a,1/4a) que va de un vértice al interior del cubo. Por tanto la distancia del vértice al centro del hueco es ¼ de la diagonal del cubo, o lo que es lo mismo. Como en cubo tiene 8 vértices tengo 8 huecos tetraédricos, luego el doble que átomos por celda unidad, con n radio aproximado de 0.225r.
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 16 La estructura HP tiene fundamentalmente la misma disposición atómica que la estructura CC, por lo que los huecos tetraédricos y octaédricos se encuentran en el mismo número y pueden alojar átomos aproximadamente del mismo tamaño. En ambas estructuras el números de huecos octaédricos por celda unidad es igual al nº de átomos por celda unidad y el nº de huecos tetraédricos es el doble que el de átomos por celda. En el caso de la CCC el hueco de mayor tamaño es el tetraédrico se encuentra en la posición de coordenadas vectoriales (1/2,1/4,0). Hay un total de 24 huecos tetraédricos, cuatro en cada cara del cubo, los cuales pueden alojar una esfera de 0.291r. Los huecos octaédricos, están situados en los puntos medios de las aristas y en los centros de caras, habiendo un total de 18 huecos. El octaedro que encierra cada hueco está ligeramente comprimido, con dos átomos más próximos que los otros cuatro., por lo que los huecos sólo pueden alojar esferas con un radio aproximado de 0.155r. Por tanto tenemos 12 huecos tetraédricos y 6 huecos octaédricos por celda unidad. Como puede observarse los huecos en esta estructura son mucho menores; esto se refleja en el hecho de que la fase austenita (CC) de los aceros disuelve en mayor medida los átomos de carbono que la fase ferrita (CCC). Ésta es la razón fundamental por la que es posible endurecer los aceros cuando se le aplica un tratamiento térmico. 5.- Estructura coovalente: la estructura cúbica del diamante. Los elementos C, Si y Ge con enlaces coovalentes insaturados, presentan la estructura cúbica del diamante (CD). Ejemplos de estas estructuras son los cerámicos avanzados SiC, SiN y el compuesto semiconductor GaAs. El diamante posee una estructura de Bravais CC y por tanto posee la red cúbica vista anteriormente. La diferencia entre ésta y la estructura del diamante es la presencia de 4 átomos interiores adicionales, situados en 4 de los 8 huecos tetraédricos de la estructura, que se sitúan en los puntos (1/4, ¼, ¼ ), (3/4, ¾, ¼), (3/4, ¼, ¾) y (3/4, ¼, ¾). C
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 17 De la figura anterior se deduce que el número de átomos por celda unidad será: ÁtomosNCD 8 8 8 2 6 4 =++= . Técnicamente la estructura CD es una red de Bravais CC con dos átomos asociados por punto reticular. Sin embargo el número de coordinación en esta estructura es de 4 en lugar de 12. El parámetro de red puede calcularse teniendo en cuenta que el hueco tetraédrico se sitúa en el punto de coordenadas ( )4 1, 4 1, 4 1 , de aquí que : rar a 832 4 3 =⇒= que es la diagonal del cubo. Como a través de la diagonal sólo tengo 4 radios atómicos, quedan dos huecos desocupados (figura 11),lo que determina la menor densidad de las cerámicos, y la menor compacidad de ésta estructura frente a la de los metales. Un ejemplo con enlaces coovalentes y con una estructura muy similar lo presenta el semiconductor GaAs (Figura 12). Aunque técnicamente la estructura de éste semiconductor es iguala la del ZnS, se incluye aquí por los enlaces coovalentes. En ella los huecos tetraédricos son ocupados por los átomos de Ga. 6.- Estructuras cristalinas iónicas: Materiales cerámicos. Los materiales cerámicos son principalmente compuestos iónicos de metales y no metales (óxidos, Carburos, nitruros, boruros, siliciuros y halogenuros). Las estructuras de éstos está determinado por la forma en que pueden empaquetarse los iones positivos y negativos de modo que la atracción electrostática sea máxima y mínima la de repulsión. Esto equivale a decir, que los cationes tendrán como vecinos más próximos a los aniones y viceversa. La estructura más estable es la que pose el mayor número de vecinos inmediatos, o lo que es lo mismo el mayor nº de coordinación. Si los vecinos inmediatos están conectados entre sí se forma un poliedro de coordinación, y como los cationes son generalmente de menor tamaño que los aniones la relación entre radios rc/ra, es la que determina la estructura siendo el criterio de estabilidad el que la razón sea mayor que o igual a un valor crítico para un determinado poliedro por alcanzar o nº de coordinación (tabla 3). Al encerrar el poliedro a los cationes también se le denomina poliedro de coordinación catiónica. El otro criterio de estabilidad en la estructura de las cerámicas iónicas es el de neutralidad eléctrica, es decir que el nº de cargas positivas sea igual al de carga negativas.
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 18 La red de Bravais en las estructuras iónicas están determinadas por los vectores de translación que son: (0, 0, 1) en la red cúbica simple; (1/2, ½, 0) en la CC y de (1/2, ½, ½) en CCC. El vector de translación debe terminar y comenzar en el mismo tipo de ion. 6.1.- Estructura del CsCl. Es un ejemplo de las estructuras iónicas con nº de coordinación 8. Su relación entre radios es de 732.0939.0 81.1 70.1 >== a c r r , lo cual confirma el nº de coordinación. La estructura que puede observarse a continuación, presenta los iones Cl- en las posiciones de una red cúbica simple y el Cs+ ocupando el hueco intersticial del centro del cubo. Al principio puede confundirse ésta estructura con una CCC, sin embargo si aplicamos el vector de translación de ésta veremos que no llegamos al mismo tipo de ion, mientras que si aplicamos el vector (1,0,0) de la Cúbica simple si que llegamos al mismo tipo de ion. Luego es cúbica simple con dos iones uno cesio y otro cloro asociado a cada punto reticular. Luego podemos decir: - nº de coordinación es 8. - Tengo dos iones por celda unidad, uno positivo y otro negativo (mantengo la neutralidad) - Los iones se unen a través de la diagonal del cubo, luego: ( ) 32 arr =+ −+ - Presentan esta estructura el CsBr, CsI Cs+ Cl-
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 19 6.2.- Estructura del cloruro sódico La estructura de la sal gema que se encuentra representada a continuación, posee un anión cloro en cada punto reticular de la red CC, y los cationes se encuentran situados en todos los huecos octaédricos de la estructura. El nº de coordinación es de 6 tanto para los aniones como para los cationes, ya que la relación entre radios es de 414.0541.0 81.1 098 >== a c r r . La red es CC, porque si aplicamos su vector de translación (1/2, ½, 0) obtenemos el mismo tipo de ion. Podemos resumir: - el nº de coordinación es 6 para ambos tipos de iones. - Hay cuatro cationes y cuatro aniones por celda unidad (8 iones/celda). - Los iones están en contacto a través de las aristas del cubo, dando la relación: ( )−+ += rra 2 - Compuestos que poseen esta estructura son el MgO, CaO, SrO, BaO, CdO, MnO, FeO, CoO y NiO. 6.3.- Estructura de la blenda de Zinc. En esta estructura los aniones se encuentran en los puntos reticulares normales de la CC y los cationes se encuentran en cuatro de los 8 huecos tetraédricos, de tal forma que su nº de coordinación es de 4 para ambos iones. La estructura es muy similar a la del diamante pero con la diferencia de que los átomos interiores son sustituidos por cationes. El nº de coordinación corresponde al de la relación entre radios, que en éste caso es de 4. Como puede observarse en la estructura la distancia entre primeros vecinos se da a partir de la diagonal del cubo, de tal forma que la relación entre el parámetro de red a y el radio de los elementos será )( 4 3 −+ += rra . Cl- Na+
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 20 6.4.- Estructura de la Fluorita LA fórmula química MX2 incluye un gran número de cerámicos estructurales. Todos ellos responden a la estructura de la fluorita (CaF), que es la que se muestra a continuación o a la de la sílice (SiO2), que se ve posteriormente. La red de la fluorita se construye sobre una red de Bravais FCC, en los que hay tres iones asociados a cada punto reticular (dos de flúor y uno de calcio). La celda unidad posee 12 iones ( 8 F- y 4 Ca), situándose los de Ca en posiciones CC y los F- en las posiciones de los intersticios tetraédricos. El número de coordinación Es de 4 para el Catión y de ocho para el anión como puede observarse a continuación. Ca F
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 21 Como puede observarse en la figura este tipo de cerámicos presentan un volumen no ocupado en el centro de la celda unidad, que juega un papel muy importante en la tecnología de los materiales nucleares. El dióxido de uranio (UO2) es un combustible de reactores nucleares que pueden acomodar productos de fusión ( gas helio), sin que aparezcan hinchamientos, debido a estas estructuras. Poseen esta estructura, UO2, ThO2, y TeO2. 6.5.- Estructura de la sílice. La relación entre radios es de 0.29, lo que indica una coordinación tetraédrica, con cuatro iones oxígeno alrededor del Si4+ . Las tres estructuras fundamentales de la sílice son el cuarzo, la tridimita y la cristobalita, cada una de las cuales existen en dos o más modificaciones. Éstas se conocen como alótropos o polimorfos de la sílice. Como representación de ésta se suele dar la estructura de la cristobalita que puede obtenerse a través de la estructura del diamante, insertando después os iones oxígeno entre cada par de átomos de silicio. Ésta estructura es más abierta que la de otros óxidos, por lo da lugar a una densidad mayor aunque el peso atómico sea mayor, como ocurre con el caso de MgO, que poseyendo un peso atómico menor, posee una mayor densidad. Técnicamente es una red de Bravais CC, con seis iones por punto reticular ( dos de Si4+ y 4 O2-) . Luego la celda posee 24 átomos, 16 de oxígeno y 8 de silicio. Los O2- Si4+ O2-
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 22 tetraedros de sílice pueden unirse de distinta forma dando lugar a distintas estructuras que se estudiarán posteriormente en los cerámicos. 6.6.- Estructura cristalinas del tipo AmBnXP También es posible que sé de en los cerámicos tener más de un tipo de catión; uno de estos materiales es el tianato de bario (BaTiO3). Éste tiene la estructura cristalina de la perouskuita (CaTiO3), que posee una red de Bravais simple con 5 iones asociados a cada punto reticular., y por celda (un Ti4+ , un Ca2+ y 3 O2- ). La celda unidad puede dibujarse como se muestra a continuación; con los Ca o Ba en los vértices, el titanio en el centro y los oxígenos ocupando los centros de cara. Los materiales de este tipo poseen muy buenas propiedades ferroeléctricas y piezoeléctricas. La fórmula AB2X4 incluye una importante familia de cerámicas con aplicaciones magnéticas, basadas en la estructura de la espinela (MgAlO4), que puede observarse en la figura 3.23 del anexo. Esta presenta una red de Bravais FCC con 14 iones ( 2 Mg2+ , 4 Al3+ , y 8 O2-) asociados a cada punto reticular. Por tanto la celda posee 56 iones (8 Mg2+ , 16 Al3+ y 32 O2- ). Los iones Mg están ocupando posiciones tetraédricas, es decir, están en coordinación con 4 oxígenos, y los iones Al3+ están situados en posiciones octaédricas, es decir, se hallan en coordinación seis con los oxígenos. Sin embargo tenemos que advertir que los cerámicos magnéticos con importancia comercial están basados realmente en una estructura un poco modificada, que se denomina estructura de espinela inversa, en la que los huecos octaédricos están ocupados por los iones M2+ , y la mitad de los iones M3+ . El resto de iones M3+ se encuentran ocupando huecos tetraédricos. Ejemplo de éste tipo de materiales son: FeMgFeO4, Fe3O4 o magnetita, FeNiFeO4, y muchas otras ferritas de interés comercial. En la tabla 3 del anexo, podemos encontrar un resumen de las estructuras más comunes que se dan en los cerámicos. 7.-Alotropía y polimorfismo. Es la capacidad que poseen los materiales cristalinos de asumir distintas estructuras cristalinas a diferentes presiones y temperaturas. Muchos metales y algunos cerámicos presentan esta propiedad, siendo el hierro y el sílice un buen ejemplo de ellos. El hierro asume la estructura ccc a bajas temperaturas , alrededor de 912ºC asume la estructura cc y vuelve a ser ccc alrededor de 1394ºC.
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 23 El sílice que se utiliza como refractario en hornos asume formas de cuarzo alfa hasta 573ºC, de cuarzo beta de 573 hasta 867ºC, tridimita beta de aquí a 1470ºC y cristobalita beta de 1470 a 1710ºC. La importancia de la alotropía radica en el cambio de volumen que experimentan los materiales al cambiar de estructura, debido a que cambios de temperaturas pueden hacer que se creen tensiones internas debido a estos cambios de volumen, que pueden dar lugar a la fractura. 8.- Fracción de empaquetamiento y densidad. Para determinar algo tan importante como es la densidad de los materiales, es muy útil conocer el factor de empaquetamiento o fracción volumétrica de empaquetamiento (APF ó FVE), que se define como la fracción de volumen ocupada por los átomos o iones en la celda unitaria: ∑= • == n i Cu i V rNi unidadceldaVolumen átomosVolumen APF 1 3 3 4 π ; donde Ni es el número de iones o átomos por celda unidad, y ri es el radio atómico o iónico. Si se trata de celda iónica necesitaremos sumar el volumen total de cada ion en el numerador. VCu, es el volumen de la celda unidad. Para una misma masa atómica, una FVE muy grande significa que la estructura posee una mayor densidad. Como ya vimos las estructuras de mayor compacidad son la FCC y la HCP, por lo que los elementos que posean este tipo de estructura. poseerán mayor densidad. En términos de estructura cristalina, la densidad se toma, como: unidadceldavolumen unidadceldaporionesátomosmasa / =ρ . Por todo ello la densidad depende de los tamaños atómicos o iónicos, de la fracción volumétrica de empaquetamiento y de la masa atómica. Como ya vimos al principio el tamaño del radio atómico no varía mucho de un elemento a otros, por lo que el tamaño no influirá en gran medida en la densidad. La mayor influencia la ejerce la masa atómica y su empaquetamiento compacto. Los polímeros y los cerámicos son relativamente más ligeros porque están compuestos de elementos ligeros, además de su estructura más abierta.
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 24 9.- Direcciones y planos en los cristales: Indices de Millër. La deformabilidad en los metales viene determinada por las fracciones atómicas planares y lineales, ya que la deformación de los materiales va a tener lugar sólo a través de determinados planos y direcciones, que los son los de mayores fracciones atómicos planares y lineales. Por tanto para poder determinar la deformabilidad tenemos en primer lugar que ver como se nombran los planos y direcciones en las estructuras cristalinas, para posteriormente poder definir las fracciones atómicas planares y lineales, que nos conducirán a dicha propiedad. 9.1.- Direcciones En las redes espaciales, cuando trasladamos los vectores unitarios, a, b y c de la celda unitaria, un determinado número de veces llegamos a otro punto de dicha red espacial, o dicho de otra forma al trasladar los vectores unitarios un número determinado de veces podemos obtener toda la red espacial. Por ello cada punto del retículo se puede representar por medio de un vector y sus coordenadas (u, v, w), que corresponden a l vector P = ua + vb + wc. Puesto que el vector tiene magnitud y dirección, las direcciones se identifican con las coordenadas vectoriales (u, v, w) del punto P respecto del origen, tomándose éstas coordenadas como los índices de Miller de la dirección del origen a P, y se encierra entre corchetes [ u v w]. Fig 2.23 del anexo. Los números u, v y w deben ser los enteros más sencillos, así [112], [224], [1/2,1/2,1] representan la misma dirección, pero se tomará como índices de Millër válidos el primero. Las translaciones de los ejes en sentido negativo se simbolizan con una barra encima del número [ ]wvu . Puesto que una dirección se representa mediante un vector, una dirección entre dos puntos, P1 y P2, de la red cristalina, vendrá dada por la diferencia vectorial entre los dos vectores, teniendo en cuenta el origen y final de la dirección, es decir la dirección P de P1 a P2 será: P = P2 – P1 = [u, v, w]punta – [u, v, w]cola. Si consideramos ahora el caso específico de la estructura cúbica, podemos observar que todas la direcciones que obtenemos tomando como origen uno fijo y los vértices del cubo, como finales de dirección, es decir, las direcciones [100], [010], [001], [ ] [ ] [ ]100,010,001 , poseen todas la misma longitud, por geometría del cristal y la misma distancia interatómica, por lo que decimos que forman una familia de direcciones ya que están relacionadas por simetría del cristal, y se simboliza
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 25 introduciendo entre ángulos la dirección que las representa, < 100 >. Otra familia de direcciones en la celda cúbica la constituyen las diagonales del cubo < 111 >, que son cuatro, [ ] [ ] [ ] [ ]111,111,111,111 y . Como puede observarse en el caso de la estructura cúbica podemos obtener todas las direcciones equivalentes que forman la familia con únicamente intercambiar los índices de posición y tomando los negativos y los positivos. 9.2.- Planos. También los planos se identifican mediante los índices de Millër, pero ésta vez como h, k y l encerrados entre paréntesis. Al igual que en el caso de las direcciones existen familias de planos, que están compuestas por todos los planos equivalentes existentes por la simetría del cristal. En éste caso la familia se representa por uno de los planos introducidos entre llaves, por ejemplo, la familia de las caras del cubo será, {100}. De forma general una familia vendrá representada como {h k l}. Los índices de Millër, son los recíprocos de los puntos de corte con los ejes coordenados y vamos a demostrarlo. Tomemos el plano que corta a los ejes coordenados en A(2a), B(4b) y en C(2c) (figura 2.28), por lo que la ecuación del plano vendrá dada por : 1=++ C z B y A x , Siendo los coeficientes específicos de x, y, z, los que determinan un plano específico. El problema es que son fraccionarios por lo que necesitamos transformar la ecuación de forma que los coeficientes sean nº enteros, para ello vamos a utilizar dos teoremas de geometría. El primero dice que para un plano racional con intersecciones en A, B y C, existen ABC planos idénticos, con igual separación del origen a éste punto racional ( siempre que no halla un factor común en los pares AB,AC y BC); y el segundo dice que la ecuación (ax + by + cz = m) representan un plano m veces más distante del origen que ( ax + by +cz = 1). Por lo que aplicando los dos teoremas anteriores, podemos multiplicar la primera ecuación por ABC, con lo que nos quedaría: BC x + AC y + AB z = ABC, que según el segundo teorema estará ABC veces más distante del origen que el plano h x + k y + l z = 1, siendo h = BC, k = AC y l = AB. Luego como existen ABC planos idénticos, la ecuación anterior representará al primer plano a partir del origen que será idéntico al plano 1=++ C z B y A x . Por ello podemos utilizar los coeficientes, h, k y l como los índices de Millër del plano encerrados entre paréntesis, (h k l).
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 26 Ahora bien si expresamos esta ecuación en forma de intersecciones, entonces: 1 111 =++ l z k y h x . Por lo que queda demostrado que los índices de Miller son los recíprocos de las intersecciones fraccionarias, 1/h, 1/k, y 1/l , del primer plano a partir del origen en los ejes cristalográficos respectivos. Así si las longitudes axiales son a, b y c, las intersecciones reales del plano son a/h, b/k y c/l, como se muestra en la figura 2.28b del anexo. Por todo ello para obtener los índices de Millër de un plano debemos: 1º identificar las intersecciones de éste con los ejes cristalográficos. 2ºcalcular los recíprocos de las intersecciones 3º eliminar fracciones y 4º representar los índices de Millër como el conjunto de hkl más pequeño encerrado entre paréntesis, es decir (hkl). Tememos que tener en cuenta : - Cuando el plano corta con algún eje en el infinito, es decir, es paralelo a éste, el recíproco es cero. - Un plano de índices negativos e iguales a un segundo plano, es paralelo e igual al segundo plano. - Las familias de planos, están formadas por los planos equivalentes por la simetría del cristal, es decir, todos son geométricamente semejantes y en ellos las distancias interátomicas son las mismas. - En el caso de la estructura cúbica los índices de Millër de todos los plano que conforman una familia se pueden obtener intercambiando los índices tanto en sentido positivo como negativo. Por ejemplo la familia de las caras del cubo, {100}, serán: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100,010,001,100,010,001 , luego como puede comprobarse son los planos que conforman las seis caras del cubo. 9.3.- Planos y direcciones en HCP. Aunque el procedimiento que se ha descrito anteriormente sirve para identificar los índices de Miller de los planos y direcciones en cualquier sistema cristalino, Para poner de manifiesto la geometría hexagonal de éste sistema, la representación de tres dígitos (índices de Miller) se convierte en una representación de cuatro dígitos( índices
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 27 de Miller- Bravais). Ésta representación surge, debido a un tercer eje en el plano basal del hexágono, a3, que está relacionado por simetría con a1 y a2. Por lo que los índices de Miller- Bravais se refiere a los cuatro ejes, a1, a2, a3 y c, y se representan como (hkil). El valor de i depende de h y k, pues el eje a3 es combinación lineal de a1 y a2, y viene dado por i = -(h + k). De ésta forma al igual que ocurre en la estructura cúbica, todos los planos equivalentes que forman una familia, poseen el mismo conjunto de números, cosa que no ocurre en la notación de tres números, obtenidos de la celda tetragonal. Esto puede observarse si tomamos la figura seis del anexo, y determinamos los planos que componen las caras del prisma. En el sistema de tres dígitos, no se cumple la regla anterior pero sí en el de cuatro dígitos. Vamos a obtener los índices en los dos sistemas y lo compararemos (figura 6). Cara del prisma Indices de Miller Indices de Miller-Bravais 1, 2, 8, 9 ( 1 0 0 ) ( )0101 2, 3, 9, 8 ( 0 1 0 ) ( )0110 3, 4, 10, 9 ( )011 ( )0011 4, 5, 11, 10 ( )001 ( )0101 5, 6, 12, 11 ( )010 ( )0110 6, 1, 7, 12 ( )011 ( )0011 Igualmente en el caso de las direcciones se produce la similitud en el caso de los cuatro índices. El cambio de tres a cuatro dígitos se realiza a través de las siguientes ecuaciones: ( ) ( ) ( ) [ ] ( )dgitosTresMillerdeíndicesloswvusiendo wwvuiuvvvuu ′′′ ′=′−′=′−′=′−′= ;; 3 1 ;2 3 1 ;2 3 1 Hay que tener en cuenta que para el caso de direcciones es necesario primero obtener el sistema de tres dígitos , para poder calcular los índices de Miller- Bravais de las direcciones. Por ello normalmente las direcciones se suele dejar en índices de Miller, y se utilizan los índices de Miller- Bravais solo en el caso de planos en la celda Hexagonal.
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 28 10.- Sistemas de deslizamiento en los metales Una vez conocido como se nombran planos y direcciones estamos en disposición de ver como influye la estructura en una de las propiedades más importantes de los materiales, que es la capacidad de deformación. La deformación de éstos siempre se produce por deslizamiento de planos preferentes a lo largo de direcciones preferentes. A éstos planos se les denomina planos de deslizamiento y a las direcciones, direcciones de deslizamiento. A la combinación de un plano de deslizamiento con una dirección, es a lo que se le denomina sistema de deslizamiento, y es a través de estos sistemas por donde se produce la deformación de los materiales, de tal forma que cuanto mayor es el número de ellos mayor será la capacidad de deformación de éstos. Para poder determinar cuales son sistemas existentes, primero tenemos que ver cuales son los planos y direcciones preferentes. Pues bien los planos de deslizamiento son los que poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo mismo, son los planos de mayor compacidad en la estructura cristalina. Se define la fracción atómica planar como: planodelárea planoelenátomoslosdeárea FAP = . Las áreas de los átonos del plano son las secciones atómicas que el plano corta al pasar por el centro del el átomo o punto de la red. Si hablamos de densidad atómica planar (ρp), en lugar de FAP, ésta viene definida como: planodelárea planoelporerceptadosátomosn p intº =ρ . Los planos de deslizamiento se pueden determinar teniendo en cuenta uno u otro concepto, y en ambos casos serán los que presenten valores más altos. Si determinamos la FAP de las distintas familias de planos de las diferentes estructuras, veremos que para el caso de la cc, la familia de planos de mayor FAP es la {111}, mientras que para la estructura ccc, es la {110}. Luego los planos pertenecientes a éstas familias constituyen los planos de deslizamientos de sus estructuras cristalinas correspondientes. Por lo que ya solo necesitamos conocer, Para poder determinar los sistemas, cuales son las direcciones de deslizamientos. La s direcciones de deslizamiento son las que poseen una fracción atómica lineal (FAL) mayor o lo que es lo mismo, las que poseen mayor densidad lineal. Se define la FAL como: direcciónladelongitud direcciónladeolloaátomoslosdelongitud FAL arg = . Y se define
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 29 densidad atómica lineal como: direcciónladelongitud direcciónlaporerceptadosátomosn l intº =ρ . Pues bien si determinamos las direcciones de deslizamientos en los diferentes sistemas cristalinos, en función de su FAL, comprobaremos que para el caso de la cc la familia de direcciones de mayor AFL es la <110> y en el caso de ccc la familia es la <111>. Uno vez obtenido tanto los planos de deslizamiento, como las direcciones de deslizamiento, podemos obtener el nº de sistemas cristalinos que se dan en las distintas estructuras, y por tanto determinar en función de ellos, cuales son los materiales de mayor capacidad de deformación. Cojamos por ejemplo las estructuras cristalinas cc y ccc, para poderlas comparar en cuanto a capacidad de deformación. En el caso de la estructura cc, la familia de planos de máxima compacidad es la {111}, en la que existen cuatro planos, y la familia de direcciones de máxima compacidad es la <110>, en la que existen tres direcciones, por lo que existen tres sistemas de deslizamiento por plano de dicha familia. Luego como existían 4 planos, tengo doce sistemas de deslizamiento en la cc. En el caso de la estructura ccc, la familia de planos de máxima compacidad es la {110}, que posee seis planos, y la familia de direcciones de máxima compacidad es la <111>, en la que existen dos direcciones compatibles, por lo que los sistemas de deslizamiento que tendremos son también doce. Hay que tener en cuenta a la hora de determinar los sistemas de deslizamiento que no se tienen en cuenta las direcciones inversas. Figura 2.33 del anexo. Pues bien como puede verse el número de sistemas de deslizamiento en ambas estructuras es alto, por lo que son estructuras que poseen una buena capacidad de deformación. En la tabla 2.7 del anexo, puede verse los sistemas de deslizamiento de la estructuras que más se dan en metales. En ella puede observarse el porque de la buena deformación de metales como el acero (ccc), el Cu, Ni y Al (cc), y la mala capacidad de deformación del Cd, Zn (HCP). Por tanto aquellos materiales que posean ésta última estructura no podrán sufrir grandes deformaciones a temperatura ambiente, mientras que lo que posean estructuras cc y ccc, pueden fabricarse por estampado profundo, como por ejemplo los cartuchos producidos por las aleaciones de cobre. Las cerámicas cristalinas también presentan sistemas de deslizamiento. El óxido de magnesio, que tiene estructura del cloruro sódico presenta un sistema de deslizamiento >< 011}110{ ; sin embargo sólo existen dos sistemas independientes lo
    • Estructura materiales cristalinos Beatriz Aranda 30 que hace a los cerámicos frágiles. Además en éste tipo de materiales existe un problema añadido que es el caso de la repulsión entre iones, es decir hay direcciones en la que se producen acercamientos de iones del mismo signo, y que por lo tanto no son posibles.