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Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera

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• 2. Tabla de transformadas de LaplaceEsta tabla resume las propiedades generales de las transformadas de Laplace y las transformadas de Laplace defunciones particulares obtenidas en el capítulo 7.Función Transformada Función Transformadaf (t) F(s) eat 1 s2aaf (t) 1 bg(t) aF(s) 1 bG(s) tneat n! (s 2 a)n11f 9(t) sF(s) 2 f (0) cos kt s s2 1 k2f 0(t) s2F(s) 2 sf (0) 2 f 9(0) sen kt k s 1 k2 2f (n)(t) snF(s) 2 sn21 f (0)2…2 f (n21)(0) cosh kt s s2 2 k2 t F(s) k f (t)dt senh kt 0 s s 2 k2 2eat f (t) F(s 2 a) eat cos kt s2a (s 2 a)2 1 k2u(t 2 a) f (t 2 a) e2asF(s) eat sen kt k (s 2 a)2 1 k2 t 1 1 f (t)g(t 2 t)dt F(s)G(s) (sen kt 2 kt cos kt) 0 2k3 (s2 1 k2)2 t stf (t) 2F9(s) sen kt 2k (s 1 k2)2 2tnf (t) (21)nF (n)(s) 1 (sen kt 1 kt cos kt) s2 2k (s 1 k2)2 2 qf (t) F(s)ds u(t 2 a) e2as t s s pf (t), periodo p 1 e2stf (t)dt d(t 2 a) e2as 1 2 e2ps 01 1 (21)vtyab (onda cuadrada) 1 tanh as s s 2 ﬁ ﬂt 1 t (escalera) e2as s2 a s(1 2 e2as)tn n! n11 s 1 1√pt √sta G(a 1 1) sa11
• 3. Tab la de i nt e g r a l e sFORMAS ELEMENTALES1. udy 5 uy 2 y du 10. sec u tan u du 5 sec u 1 C 12. un du 5 un11 1 C si n Z 21 11. csc u cot u du 5 2csc u 1 C n 1 1 du3. 5 ln uu u 1 C 12. tan u du 5 ln usec u u 1 C u4. eu du 5 eu 1 C 13. cot u du 5 ln usen u u 1 C au5. au du 5 1C 14. sec u du 5 ln usec u 1 tan u u 1 C ln  a6. sen u du 5 2cos u 1 C 15. csc u du 5 ln ucsc u 2 cot u u 1 C du u7. cos u du 5 sen u 1 C 16. 5 sen21 1C a − u2 2 a du 1 u8. sec2 u du 5 tan u 1 C 17. 5 tan21 1C a 2  1  u 2 a a ln ` `1C du 1 u  1 a9. csc2 u du 5 2cot u 1 C 18. 5 a 2  1  u 2 2a u  2 aFORMAS TRIGONOMÉTRICAS 1 1 119. sen2 u du 5 u 2 sen 2u 1 C 23. sen3 u du 5 2 (2 1 sen2 u) cos u 1 C 2 4 3 1 1 120. cos2 u du 5 u 1 sen 2u 1 C 24. cos3 u du 5 (2 1 cos2 u) sen u 1 C 2 4 3 121. tan2 u du 5 tan u 2 u 1 C 25. tan3 u du 5 tan2 u 1 ln ucos uu 1 C 2 122. cot2 u du 5 2cot u 2 u 1 C 26. cot3 u du 5 2 cot2 u 2 ln usen uu 1 C 2 1 127. sec3u du 5 sec u tan u 1 ln usec u 1 tan uu 1 C 2 2 1 128. csc3u du 5 2 csc u cot u 1 ln ucsc u 2 cot uu 1 C 2 2 sen ( a  2  b )u sen ( a  1  b )u29. sen au sen bu du 5  2  si a2 Z b2 2( a  2  b ) 2 ( a  1  b ) 1 C (Continúa al ﬁnal)
• 4. ECUAC I O N ESD I F E RE N C I A L E SY P ROB L E M A SCO N VAL ORE SEN L A FRON T E R ACómputo y modeladoCuarta edición
• 5. ECUAC I O N ESD I F E RE N C I A L E SY P ROB L E M A SCO N VAL ORE SEN L A FRON T E R ACómputo y modeladoCuarta edición C. Henry Edwards David E. Penney The University of Georgia con la asistencia de David Calvis Baldwin-Wallace CollegeTRADUCCIÓNRafael Iriarte Vivar BalderramaFacultad de IngenieríaUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoREVISIÓN TÉCNICAErnesto Filio LópezUnidad Profesional Interdisciplinariaen Ingeniería y Tecnologías AvanzadasInstituto Politécnico Nacional (México)Guillermo Basilio RodríguezEscuela Superior de Ingeniería Mecánicay Eléctrica, ZacatencoInstituto Politécnico Nacional (México)
• 7. C ON T E N I D OMódulos de aplicación xPrefacio xiAcerca de la portada xvCAPÍTULO Ecuaciones diferenciales de primer orden 1 1 1.1 1.2 1.3 Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos Integrales como soluciones generales y particulares Isoclinas y curvas solución 19 1 10 1.4 Ecuaciones separables y aplicaciones 32 1.5 Ecuaciones lineales de primer orden 48 1.6 Métodos de sustitución y ecuaciones exactas 60CAPÍTULO Modelos matemáticos y métodos numéricos 79 2 2.1 2.2 2.3 Modelos de población 79 Soluciones de equilibrio y estabilidad Modelos de velocidad y aceleración 92 100 2.4 Aproximación numérica: método de Euler 112 2.5 Un acercamiento más profundo al método de Euler 124 2.6 Método de Runge-Kutta 135CAPÍTULO Ecuaciones lineales de orden superior 147 3 3.1 3.2 3.3 Introducción: Ecuaciones lineales de segundo orden Soluciones generales de ecuaciones lineales Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 161 147 173 3.4 Vibraciones mecánicas 185 3.5 Ecuaciones no homogéneas y coeficientes indeterminados 198 3.6 Oscilaciones forzadas y resonancia 212 3.7 Circuitos eléctricos 225 3.8 Problemas con valores en la frontera y eigenvalores 232 vii
• 8. viii ContenidoCAPÍTULO Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales 246 4 4.1 4.2 4.3 Sistemas de primer orden y aplicaciones El método de eliminación Métodos numéricos para sistemas 258 269 246CAPÍTULO Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 285 5 5.1 5.2 5.3 Matrices y sistemas lineales 285 El método del eingenvalor para sistemas homogéneos Sistemas de segundo orden y aplicaciones mecánicas 304 319 5.4 Soluciones para eigenvalores múltiples 332 5.5 Matriz exponencial y sistemas lineales 348 5.6 Sistemas lineales no homogéneos 362CAPÍTULO Sistemas no lineales y fenómenos 371 6 6.1 6.2 6.3 Estabilidad y plano de fase Sistemas lineales y casi lineales 371 384 Modelos ecológicos: depredadores y competidores 399 6.4 Sistemas mecánicos no lineales 412 6.5 Caos en sistemas dinámicos 429 7CAPÍTULO Métodos con transformada de Laplace 441 7.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas 441 7.2 Transformadas de problemas con valores iniciales 452 7.3 Traslación y fracciones parciales 464 7.4 Derivadas, integrales y productos de transformadas 474 7.5 Funciones de entrada periódicas y continuas por tramos 482 7.6 Impulsos y función delta 493CAPÍTULO Métodos en serie de potencia 504 8 8.1 8.2 8.3 Introducción y repaso de series de potencias Soluciones en series cerca de puntos ordinarios Puntos singulares regulares 530 504 517 8.4 Método de Frobenius: casos excepcionales 546 8.5 La ecuación de Bessel 562 8.6 Aplicaciones de las funciones de Bessel 571
• 9. Contenido ixCAPÍTULO Métodos de series de Fourier 580 9 9.1 9.2 9.3 Funciones periódicas y series trigonométricas Serie de Fourier general y convergencia Series seno y coseno de Fourier 597 589 580 9.4 Aplicaciones de las series de Fourier 609 9.5 Conducción de calor y separación de variables 615 9.6 Cuerdas vibrantes y la ecuación de onda unidimensional 630 9.7 Temperaturas estacionarias y la ecuación de Laplace 643CAPÍTULO Eigenvalores y problemas con valores en la frontera 654 10 10.1 10.2 10.3 Problemas de Sturm-Liouville y desarrollo en eigenfunciones Aplicaciones de las series de engenfunciones 667 Soluciones periódicas estacionarias y frecuencias naturales 654 678 10.4 Problemas en coordenadas cilíndricas 687 10.5 Fenómenos en dimensiones superiores 702Referencias para estudios posteriores 721Apéndice: Existencia y unicidad de soluciones 724Respuestas a problemas seleccionados 738Índice 798