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Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera
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  • 1. Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA CÓMPUTO Y MODELADO CÓMPUTO Y MODELADO CUARTA EDICIÓN EDWARDS CUARTA EDICIÓN PENNEY EDWARDS • PENNEY Ecuaciones diferenciales Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERAEsta obra se distingue por su sólida estructura basada en: • Capítulos y secciones probados en clase. • Figuras que ilustran la condición final con infinidad de soluciones. • Problemas para que los alumnos investiguen los ambientes de cálculo técni- cos como Maple, Mathematica y Matlab, utilizados en la práctica por inge- nieros y científicos. • Casi 700 figuras generadas por computadora que muestran al estudiante imágenes de la dirección de campos, curvas solución y fotografías de planos de fase que proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales tomadas de la realidad. • Alrededor de 45 módulos de aplicación de nuevas tecnologías localizados a lo largo de todo el texto. • Inclusión de algoritmos numéricos presentados en paralelo con sus corres- pondientes gráficas calculadas en MATLAB.La página Web www.pearsoneducacion.net/edwards ofrece apoyos importan-tes al profesor. CÓMPUTO Y MODELADO CUARTA EDICIÓN ISBN 978-970-26-1285-8 C. HENRY DAVID E. EDWARDS PENNEY
  • 2. Tabla de transformadas de LaplaceEsta tabla resume las propiedades generales de las transformadas de Laplace y las transformadas de Laplace defunciones particulares obtenidas en el capítulo 7.Función Transformada Función Transformadaf (t) F(s) eat 1 s2aaf (t) 1 bg(t) aF(s) 1 bG(s) tneat n! (s 2 a)n11f 9(t) sF(s) 2 f (0) cos kt s s2 1 k2f 0(t) s2F(s) 2 sf (0) 2 f 9(0) sen kt k s 1 k2 2f (n)(t) snF(s) 2 sn21 f (0)2…2 f (n21)(0) cosh kt s s2 2 k2 t F(s) k f (t)dt senh kt 0 s s 2 k2 2eat f (t) F(s 2 a) eat cos kt s2a (s 2 a)2 1 k2u(t 2 a) f (t 2 a) e2asF(s) eat sen kt k (s 2 a)2 1 k2 t 1 1 f (t)g(t 2 t)dt F(s)G(s) (sen kt 2 kt cos kt) 0 2k3 (s2 1 k2)2 t stf (t) 2F9(s) sen kt 2k (s 1 k2)2 2tnf (t) (21)nF (n)(s) 1 (sen kt 1 kt cos kt) s2 2k (s 1 k2)2 2 qf (t) F(s)ds u(t 2 a) e2as t s s pf (t), periodo p 1 e2stf (t)dt d(t 2 a) e2as 1 2 e2ps 01 1 (21)vtyab (onda cuadrada) 1 tanh as s s 2 fi flt 1 t (escalera) e2as s2 a s(1 2 e2as)tn n! n11 s 1 1√pt √sta G(a 1 1) sa11
  • 3. Tab la de i nt e g r a l e sFORMAS ELEMENTALES1. udy 5 uy 2 y du 10. sec u tan u du 5 sec u 1 C 12. un du 5 un11 1 C si n Z 21 11. csc u cot u du 5 2csc u 1 C n 1 1 du3. 5 ln uu u 1 C 12. tan u du 5 ln usec u u 1 C u4. eu du 5 eu 1 C 13. cot u du 5 ln usen u u 1 C au5. au du 5 1C 14. sec u du 5 ln usec u 1 tan u u 1 C ln  a6. sen u du 5 2cos u 1 C 15. csc u du 5 ln ucsc u 2 cot u u 1 C du u7. cos u du 5 sen u 1 C 16. 5 sen21 1C a − u2 2 a du 1 u8. sec2 u du 5 tan u 1 C 17. 5 tan21 1C a 2  1  u 2 a a ln ` `1C du 1 u  1 a9. csc2 u du 5 2cot u 1 C 18. 5 a 2  1  u 2 2a u  2 aFORMAS TRIGONOMÉTRICAS 1 1 119. sen2 u du 5 u 2 sen 2u 1 C 23. sen3 u du 5 2 (2 1 sen2 u) cos u 1 C 2 4 3 1 1 120. cos2 u du 5 u 1 sen 2u 1 C 24. cos3 u du 5 (2 1 cos2 u) sen u 1 C 2 4 3 121. tan2 u du 5 tan u 2 u 1 C 25. tan3 u du 5 tan2 u 1 ln ucos uu 1 C 2 122. cot2 u du 5 2cot u 2 u 1 C 26. cot3 u du 5 2 cot2 u 2 ln usen uu 1 C 2 1 127. sec3u du 5 sec u tan u 1 ln usec u 1 tan uu 1 C 2 2 1 128. csc3u du 5 2 csc u cot u 1 ln ucsc u 2 cot uu 1 C 2 2 sen ( a  2  b )u sen ( a  1  b )u29. sen au sen bu du 5  2  si a2 Z b2 2( a  2  b ) 2 ( a  1  b ) 1 C (Continúa al final)
  • 4. ECUAC I O N ESD I F E RE N C I A L E SY P ROB L E M A SCO N VAL ORE SEN L A FRON T E R ACómputo y modeladoCuarta edición
  • 5. ECUAC I O N ESD I F E RE N C I A L E SY P ROB L E M A SCO N VAL ORE SEN L A FRON T E R ACómputo y modeladoCuarta edición C. Henry Edwards David E. Penney The University of Georgia con la asistencia de David Calvis Baldwin-Wallace CollegeTRADUCCIÓNRafael Iriarte Vivar BalderramaFacultad de IngenieríaUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoREVISIÓN TÉCNICAErnesto Filio LópezUnidad Profesional Interdisciplinariaen Ingeniería y Tecnologías AvanzadasInstituto Politécnico Nacional (México)Guillermo Basilio RodríguezEscuela Superior de Ingeniería Mecánicay Eléctrica, ZacatencoInstituto Politécnico Nacional (México)
  • 6. EDWARDS, C. HENRY Y PENNEY, DAVID E. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Cuarta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-970-26-1285-8 Área: Matemáticas Formato: 21 3 27 cm Páginas: 824Authorized translation from the English Language edition, entitled Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing andModeling, 4th Edition by C. Henry Edwards and David E. Penney, published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALLINC., Copyright © 2008. All rights reserved.ISBN 978-0-13-156107-6Versión en español de la obra titulada, Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling, 4ª edición, deC. Henry Edwards y David E. Penney, publicada originalmente en inglés por Pearson Education Inc., publicada como PRENTICE HALLINC., Copyright © 2008. Todos los derechos reservados.Esta edición en español es la única autorizada.Edición en españolEditor: Rubén Fuerte Rivera e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.comEditora de desarrollo: Claudia Celia Martínez AmigónSupervisor de producción: José D. Hernández GarduñoEdición en inglésEditorial Director, Computer Science, Engineering, and Advanced Mathematics: Marcia J. HortonSenior Editor: Holly StarkEditorial Assistant: Jennifer LonscheinSenior Managing Editor: Scott DisannoProduction Editor: Irwin ZuckerArt Director and Cover Designer: Kenny BeckArt Editor: Thomas BenfattiManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongManufacturing Buyer: Lisa McDowellSenior Marketing Manager: Tim GalliganCUARTA EDICIÓN, 2009D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: editorial.universidades@pearsoned.comCámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistemade recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético oelectroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de susrepresentantes. ISBN 10: 970-26-1285-3 ISBN 13: 978-970-26-1285-8 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09
  • 7. C ON T E N I D OMódulos de aplicación xPrefacio xiAcerca de la portada xvCAPÍTULO Ecuaciones diferenciales de primer orden 1 1 1.1 1.2 1.3 Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos Integrales como soluciones generales y particulares Isoclinas y curvas solución 19 1 10 1.4 Ecuaciones separables y aplicaciones 32 1.5 Ecuaciones lineales de primer orden 48 1.6 Métodos de sustitución y ecuaciones exactas 60CAPÍTULO Modelos matemáticos y métodos numéricos 79 2 2.1 2.2 2.3 Modelos de población 79 Soluciones de equilibrio y estabilidad Modelos de velocidad y aceleración 92 100 2.4 Aproximación numérica: método de Euler 112 2.5 Un acercamiento más profundo al método de Euler 124 2.6 Método de Runge-Kutta 135CAPÍTULO Ecuaciones lineales de orden superior 147 3 3.1 3.2 3.3 Introducción: Ecuaciones lineales de segundo orden Soluciones generales de ecuaciones lineales Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 161 147 173 3.4 Vibraciones mecánicas 185 3.5 Ecuaciones no homogéneas y coeficientes indeterminados 198 3.6 Oscilaciones forzadas y resonancia 212 3.7 Circuitos eléctricos 225 3.8 Problemas con valores en la frontera y eigenvalores 232 vii
  • 8. viii ContenidoCAPÍTULO Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales 246 4 4.1 4.2 4.3 Sistemas de primer orden y aplicaciones El método de eliminación Métodos numéricos para sistemas 258 269 246CAPÍTULO Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 285 5 5.1 5.2 5.3 Matrices y sistemas lineales 285 El método del eingenvalor para sistemas homogéneos Sistemas de segundo orden y aplicaciones mecánicas 304 319 5.4 Soluciones para eigenvalores múltiples 332 5.5 Matriz exponencial y sistemas lineales 348 5.6 Sistemas lineales no homogéneos 362CAPÍTULO Sistemas no lineales y fenómenos 371 6 6.1 6.2 6.3 Estabilidad y plano de fase Sistemas lineales y casi lineales 371 384 Modelos ecológicos: depredadores y competidores 399 6.4 Sistemas mecánicos no lineales 412 6.5 Caos en sistemas dinámicos 429 7CAPÍTULO Métodos con transformada de Laplace 441 7.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas 441 7.2 Transformadas de problemas con valores iniciales 452 7.3 Traslación y fracciones parciales 464 7.4 Derivadas, integrales y productos de transformadas 474 7.5 Funciones de entrada periódicas y continuas por tramos 482 7.6 Impulsos y función delta 493CAPÍTULO Métodos en serie de potencia 504 8 8.1 8.2 8.3 Introducción y repaso de series de potencias Soluciones en series cerca de puntos ordinarios Puntos singulares regulares 530 504 517 8.4 Método de Frobenius: casos excepcionales 546 8.5 La ecuación de Bessel 562 8.6 Aplicaciones de las funciones de Bessel 571
  • 9. Contenido ixCAPÍTULO Métodos de series de Fourier 580 9 9.1 9.2 9.3 Funciones periódicas y series trigonométricas Serie de Fourier general y convergencia Series seno y coseno de Fourier 597 589 580 9.4 Aplicaciones de las series de Fourier 609 9.5 Conducción de calor y separación de variables 615 9.6 Cuerdas vibrantes y la ecuación de onda unidimensional 630 9.7 Temperaturas estacionarias y la ecuación de Laplace 643CAPÍTULO Eigenvalores y problemas con valores en la frontera 654 10 10.1 10.2 10.3 Problemas de Sturm-Liouville y desarrollo en eigenfunciones Aplicaciones de las series de engenfunciones 667 Soluciones periódicas estacionarias y frecuencias naturales 654 678 10.4 Problemas en coordenadas cilíndricas 687 10.5 Fenómenos en dimensiones superiores 702Referencias para estudios posteriores 721Apéndice: Existencia y unicidad de soluciones 724Respuestas a problemas seleccionados 738Índice 798
  • 10. M ÓDUL O S D E A PLI CA CI Ó NLos módulos listados se corresponden con las secciones indicadas en el texto. La mayoría proporciona el cálculo deproyectos que ilustran el contenido de las secciones correspondientes.1.3 Campos de isoclinas generadas por compu- 5.5 Soluciones automatizadas de la matriz ex- tadora y curvas solución. ponencial.1.4 La ecuación logística. 5.6 Variación de parámetros automatizada.1.5 Oscilaciones de temperatura en interiores.1.6 Soluciones algebraicas por computadora. 6.1 Plano de fase y ecuaciones de primer orden. 6.2 Plano de fase de sistemas casi lineales.2.1 Modelo logístico de datos de población. 6.3 Conservación de la vida silvestre (su pro-2.3 Propulsión de cohetes. pio ejemplo).2.4 Implementación del método de Euler. 6.4 Las ecuaciones de Rayleigh y van der Pol.2.5 Implementación del método de Euler me- 7.1 Transformadas y transformadas inversas a jorado. través de sistemas de álgebra por compu-2.6 Implementación del método de Runge- tadora. Kutta. 7.2 Transformadas de problemas con valores3.1 Graficación de familias de soluciones de iniciales. segundo orden. 7.3 Investigaciones sobre amortiguación y re-3.2 Graficación de familias de soluciones de sonancia. tercer orden. 7.5 Funciones de ingeniería.3.3 Soluciones aproximadas de ecuaciones li- 8.2 Cálculo automático de coeficientes de neales. series.3.5 Automatización del método de variación 8.3 Automatización del método de series de de parámetros. Frobenius.3.6 Vibraciones forzadas. 8.4 Caso especial al utilizar reducción de orden. 8.6 Ecuaciones de Riccati y funciones de Bessel4.1 Gravitación y leyes de Kepler del movi- modificadas. miento planetario.4.2 Solución de sistemas de álgebra con compu- 9.2 Cálculo algebraico por computadora de tadora. los coeficientes de Fourier.4.3 Cometas y vehículo espacial. 9.3 Series de Fourier de funciones suaves por tramos.5.1 Solución automática de sistemas lineales. 9.5 Investigaciones sobre la barra calentada.5.2 Cálculo automático de eigenvalores y ei- 9.6 Investigación de la cuerda vibrando. genvectores.5.3 Vibraciones inducidas por sismos en edifi- 10.1 Desarrollo en eigenfunciones numéricas. cios de varios pisos. 10.2 Investigaciones numéricas de flujo de calor.5.4 Eigenvalores incompletos y eigenvectores 10.3 Vibración en vigas y trampolines. generalizados. 10.4 Funciones de Bessel y cilindros calentados.x
  • 11. P R EFA C I O L a evolución en sucesivas ediciones del presente texto se funda en la experiencia de enseñanza del curso introductorio de ecuaciones diferenciales, con énfasis en ideas conceptuales y uso de aplicaciones y proyectos que involucran a los estu- diantes en experiencias activas de solución de problemas. Ambientes de cálculo técnicos como Maple, Mathematica y MATLAB están ampliamente disponibles y son ahora profusamente utilizados en la práctica por ingenieros y científicos. Este cambio en la actividad profesional motiva a un desplazamiento de la tradicional concentración en métodos simbólicos manuales hacia métodos cualitativos basados en la computadora, que emplean cálculo numérico y visualización gráfica para un mejor entendimiento conceptual. Un aspecto adicional de este enfoque con más comprensión es la accesibilidad a un mayor rango de aplicaciones más realistas de las ecuaciones diferenciales.Principales características de esta edición Mientras que se han conservado las exitosas características de ediciones previas, la exposición se ha mejorado significativamente en cada capítulo y en la mayoría de las secciones individuales de la obra. Se han insertado tanto gráficas nuevas como texto nuevo donde ha sido necesario, para mejorar la compresión de los conceptos clave en el estudiante. La sólida estructura del libro en capítulos y secciones, probada en clase, permanece sin cambio, por lo que las notas de aula y la nomenclatura no requi- rieron revisión para esta nueva edición. Los siguientes ejemplos de la revisión ilus- tran la forma en que la estructura particular del texto ha sido aumentada y pulida en la nueva versión. Capítulo 1. Las nuevas figuras 1.3.9 y 1.3.10 muestran campos direccionales que indican la ausencia de existencia y unicidad de soluciones (pág. 24); los nuevos problemas 34 y 35 muestran que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden generar grandes diferencias en los resultados, pero que gran- des cambios en las condiciones iniciales pueden, algunas veces, desencadenar sólo pequeños cambios en los resultados (pág. 30); los nuevos comentarios 1 y 2 aclaran el concepto de soluciones implícitas (pág. 35); un nuevo comentario aclara el significado de homogeneidad de ecuaciones diferenciales de primer orden (pág. 62). Capítulo 2. Se insertan detalles adicionales en la deducción de la ecuación de propulsión de un cohete (pág. 110), y un nuevo problema 5 para investigar la pausa de desprendimiento del cohete en su trayectoria de despegue, algunas veces observada antes de su explosión (pág. 112). Capítulo 3. Se incorporan nuevas explicaciones de signos y direcciones de fuerzas internas en sistemas masa-resorte (pág. 148); una introducción de ope- radores diferenciales y clarificación del álgebra de operadores polinomiales (pág. 175); una introducción e ilustración de formas exponenciales polares de números complejos (pág. 181); una explicación completa del método de coefi- cientes indeterminados en los ejemplos 1 y 3 (pág. 199); nuevos comentarios 1 y 2 con terminología “tajante”, y las figuras 3.8.1 y 3.8.2, que ilustran que como condición final algunos ejercicios tienen una infinidad de soluciones, xi
  • 12. xii Prefacio mientras que otros no tienen solución (pág. 233); las nuevas figuras 3.8.4 y 3.8.5 ilustran a su vez diferentes tipos de eigenfunciones (págs. 235-236). Capítulo 4. Una presentación nueva con las nuevas figuras 4.3.11 y 4.3.12 aclara la diferencia entre sistemas rotacionales y no rotacionales en problemas de órbita entre la Luna y la Tierra (pág. 278). Capítulo 5. Se incorporan los problemas 20-23 para que los alumnos inves- tiguen un sistema de tres vagones de ferrocarril con diferentes condiciones iniciales de velocidad (pág. 329); un nuevo comentario ilustra la relación entre los métodos de matriz exponencial y los métodos de eigenvalores generaliza- dos presentados previamente (pág. 356); se agrega asimismo una presentación al final de la sección para explicar la conexión entre la variación de los paráme- tros de la matriz y la variación (escalar) de parámetros de una ecuación de segundo orden presentada previamente en el capítulo 3 (pág. 368). Capítulo 6. Se añaden nuevos comentarios en imágenes de planos de fase, sistemas autónomos y puntos críticos (págs. 373-374); una introducción de sistemas linealizados (pág. 386), y nuevas figuras tridimensionales 6.5.18 y 6.5.20, que ilustran las trayectorias de Lorenz y Rössler (págs. 439-440). Capítulo 7. Se insertan una presentación que aclara funciones de orden exponencial y la existencia de la transformada de Laplace (pág. 448); un comentario que expone la mecánica del desarrollo en fracciones parciales (pág. 455), y una presentación ampliamente extendida de la prueba del teore- ma de existencia de la transformada de Laplace y su extensión para incluir el salto en discontinuidades, el cual juega un papel importante en muchas aplica- ciones prácticas (págs. 461-462). Capítulo 8. Se incluyen un nuevo problema 35 para determinar el radio de convergencia de la solución en series de potencias de ecuaciones diferenciales (pág. 528), y un nuevo ejemplo 3 justo antes de la subsección de casos logarít- micos en el método de Frobenius para primero ilustrar la fórmula de reducción de orden con un problema sencillo sin series (pág. 552). Capítulo 9. Se agregan una explicación considerablemente amplia para ex- tensiones pares e impares y sus correspondientes series de Fourier seno-coseno (págs. 599-600); una presentación de soluciones particulares periódicas y no periódicas, que se ilustran por medio de la nueva figura 9.4.4, junto con los nuevos problemas 19 y 20 al final de la sección (págs. 611-615); una presenta- ción con un ejemplo al final de la sección para ilustrar los efectos del amorti- guamiento en sistemas masa-resorte (pág. 614), y una muestra de signos y dirección del flujo de calor en la deducción de la ecuación de calor (pág. 616). Capítulo 10. En la deducción de la ecuación de onda para las vibraciones longitudinales de una barra se aclaran los efectos de la dilatación (pág. 669), mientras que las nuevas figuras 10.5.15 y 10.5.16 ilustran las olas en el océano en un planeta pequeño (pág. 720).Características de cómputo Las siguientes características enriquecen la agradable bondad de la tecnología de cómputo que singulariza nuestra exposición. • Casi 700 figuras generadas por computadora muestran al estudiante imágenes vívidas de la dirección de campos, curvas solución y fotografías de planos de fase que proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales de la realidad.
  • 13. Prefacio xiii • Alrededor de 45 módulos de aplicación se presentan a continuación de seccio- nes clave a lo largo de todo el texto. La mayoría de estas aplicaciones describe investigaciones “tecnológicamente neutrales” e ilustra el uso de sistemas técnicos de cómputo buscando que los estudiantes penetren en la aplicación de nuevas tecnologías. • Se brinda un fresco énfasis numérico con la introducción temprana de soluciones numéricas en el capítulo 2 (en modelos matemáticos y modelos numéricos). Aquí y en el capítulo 4, donde se abordan técnicas numéricas para sistemas, se disfruta un concreto, tangible y agradable sabor por la inclusión de algoritmos numéricos presentados en paralelo con sus correspondientes gráficas calcula- das en MATLAB.Características del modelado El modelado matemático es una meta y una constante motivación para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Para mostrar el rango de aplicaciones que ofrece este texto, es conveniente echar una mirada a las siguientes preguntas: • ¿Qué explica el tiempo de retardo comúnmente observado entre las oscilacio- nes diarias de temperatura en el interior o en el exterior de una habitación? (secc. 1.5). • ¿Qué hace la diferencia entre el fin del mundo y la extinción de la población de lagartos? (secc. 2.1). • ¿Cómo es que un uniciclo y un carro de dos ejes reaccionan diferente a las imperfecciones del camino? (seccs. 3.7 y 5.3). • ¿Cómo se puede predecir el tiempo del próximo paso por el perihelio de un cometa nuevamente observado? (secc. 4.3). • ¿Cómo un sismo puede demoler un edificio y dejar otro en pie justo al lado? (secc. 5.3). • ¿Qué determina que dos especies vivan juntas en armonía, o que la compe- tencia resulte en la extinción de una de ellas y la sobrevivencia de la otra? (secc. 6.3). • ¿Cuándo y por qué la no linealidad tiende al caos en sistemas biológicos y mecánicos? (secc. 6.5). • Si una masa en un resorte es golpeada periódicamente con un martillo, ¿cómo es que el comportamiento de la masa depende de la frecuencia con la que el martillo golpea? (secc. 7.6). • ¿Cómo es que el asta de una bandera es hueca en lugar de maciza? (secc. 8.6). • ¿Qué explica la diferencia en el sonido de una guitarra, de un xilófono y de un tambor? (seccs. 9.6, 10.2 y 10.4).Organización y contenido Se le ha dado un aspecto diferente al enfoque y secuencia tradicional de los temas para introducir nuevas tecnologías y nuevas perspectivas. Por ejemplo: • Después de precisar una ecuación diferencial de primer orden en el capítulo 1 (desarrollando ciertos métodos simbólicos tradicionales), el capítulo 2 ofrece una introducción temprana al modelado matemático, estabilidad y propiedades
  • 14. xiv Prefacio cualitativas de las ecuaciones diferenciales y los métodos numéricos —una combinación de temas que frecuentemente se dispersan en un curso introduc- torio. • Los capítulos 4 y 5 proporcionan un tratamiento flexible de sistemas lineales. De acuerdo con las tendencias actuales en la educación en ciencias e ingeniería y la práctica, el capítulo 4 ofrece una introducción intuitiva temprana a los sistemas de primer orden, modelos y técnicas de aproximación numérica. El capítulo 5 comienza con un tratamiento del álgebra lineal, presentando luego el enfoque de eigenvalores para sistemas lineales. Se incluye una amplia variedad de aplicaciones (desde vagones de ferrocarril hasta sismos) para todos los dife- rentes casos del método de eigenvalores. La sección 5.5 incorpora un vasto tratamiento de matriz exponencial, el cual se explota en la sección 5.6 en siste- mas lineales no homogéneos. • El capítulo 6 aborda sistemas no lineales y una variedad de fenómenos, desde el análisis del plano de fase hasta sistemas ecológicos y mecánicos, que con- cluyen en una sección de caos y bifurcación en sistemas dinámicos. La sección 6.5 presenta una introducción elemental de problemas contemporáneos, tales como el doble periodo en sistemas biológicos y mecánicos, diagramas selec- cionados y el extraño atractor de Lorenz (todos ilustrados con vívidas gráficas por computadora). • Los métodos de la transformada de Laplace (cap. 7) y de series de potencias (cap. 8) siguen al material de sistemas lineales y no lineales, pero pueden ser cubiertos en cualquier momento previo (después del cap. 3) que decida el profesor. • Los capítulos 9 y 10 abordan las aplicaciones de la serie de Fourier, separación de variables y la teoría de Sturm-Liouville para las ecuaciones diferenciales parciales y problemas de valores en la frontera. Después de la introducción de las series de Fourier, las tres clásicas ecuaciones —las ecuaciones de onda y de calor, y la ecuación de Laplace— se presentan en las últimas tres seccio- nes del capítulo 9. Los métodos de Sturm-Liouville del capítulo 10 se desarrollan suficientemente para incluir aplicaciones significativas y realistas.Agradecimientos En la preparación de la revisión nos apoyamos enormemente en las recomendaciones y asistencia de los siguientes, muy capaces y perceptivos revisores: Raymond A. Claspadle, University of Memphis Semion Gutman, University of Oklahoma Miklos Bona, University of Florida Irfan Ul-Haq, University of Wisconsin-Platteville Carl Lutzer, Rochester Institute of Technology Sigal Gottlieb, University of Massachusetts, Dartmouth Es un placer (una vez más) reconocer a Dennis Kletzing y su extraordinario “TEX pertise” (experiencia al usar el procesador de texto) por la atractiva presen- tación que realizó tanto para el texto como para el diseño artístico de este libro. Fi- nalmente, pero lejos de ser lo último, estoy especialmente contento de agradecer a un nuevo colaborador de este esfuerzo, David Calvis, quien apoyó cada aspecto de esta revisión y contribuyó tangiblemente al mejoramiento de cada capítulo. C. H. E. h.edwards@mindspring.com
  • 15. ACERCA DE LA PORTADAEsta imagen ilustra la trayectoria de un punto en movimiento cuyo espacio de coordenadas satisface (como función deltiempo) el sistema de ecuaciones diferenciales de Lorenz que se presenta en las páginas 438–439. En su movimiento alo largo de esta trayectoria de Lorenz, el punto puede aparecer en forma transversal a un número aleatorio de ciclos dellado izquierdo, después a un número aleatorio de ciclos del lado derecho, luego a un número aleatorio de ciclos del ladoizquierdo, y así sucesivamente. En su devenir de un lado a otro, típicamente se aproxima más y más a un misteriosoconjunto conocido como el extraño atractor de Lorenz. Las ecuaciones de Lorenz tienen un origen meteorológico, porlo que uno puede suponer números aleatorios de días lluviosos y de días soleados alternándose en la sucesión (pensandoque esto no es lo que realmente significan los ciclos). El más pequeño cambio en el punto inicial de la trayectoria puede cambiar drásticamente el resultado del devenirde un lado hacia otro de la secuencia de los ciclos. Esto ilustra el fenómeno del caos, en el que pequeñas diferencias enlas condiciones iniciales pueden resultar tiempo después en enormes diferencias en las situaciones resultantes. Dospuntos que inician en imperceptibles diferentes posiciones pueden más adelante separarse enormemente en diferenteslados de la “Mariposa de Lorenz”. La forma de mariposa de la figura recuerda el tan conocido “efecto mariposa”, queen años recientes se ha hecho de uso popular. Una mariposa mueve sus alas y genera un suave movimiento de aire queacciona en cadena una secuencia de eventos atmosféricos que finalmente resultan en un tornado en algún lugar del ladoopuesto de la Tierra. Para marcar el progreso del devenir hacia un lado y otro del punto en movimiento, podemos referir su trayectoriacomo el hilo de un collar donde se han puesto las cuentas para marcar sus posiciones sucesivas en un incremento fijo detiempo (de tal manera que el punto se mueve más rápido cuando el espacio entre las cuentas es mayor). El color de lascuentas cambia continuamente con el paso del tiempo y el movimiento a lo largo de la trayectoria. La graduación delcolor de las cuentas en el collar de Lorenz muestra visualmente de manera efectiva la cuarta dimensión del tiempoen adición de las tres dimensiones espaciales. Si su ojo sigue el curso del punto moviéndose alrededor de la trayectoriacomo “yendo con el flujo” del color y ajustando su velocidad con el espaciamiento de las cuentas, entonces la figuracompleta toma un aspecto dinámico más que una representación meramente estática de la todavía simple figura. xv
  • 16. 2 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos L as leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambian. Debido a que la derivada dx/dt = f¿(t) de la función f es la razón a la cual la cantidad x ϭ f(t) está cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial. Ejemplo 1 La ecuación diferencial dx = x2 + t2 dt involucra tanto la función desconocida x(t) como su primera derivada x¿(t) = dx/dt. La ecuación diferencial d2 y dy +3 + 7y = 0 dx2 dx incluye la función desconocida y de la variable independiente x y sus dos primeras derivadas de y¿ y y¿¿ de y. ■ El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales: 1. Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación física específica. 2. Encontrar —exacta o aproximadamente— la solución apropiada de esa ecua- ción. 3. Interpretar la solución encontrada. 1
  • 17. 2 Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden En álgebra, por lo regular se buscan números desconocidos que satisfagan una ecuación tal como x3 ϩ 7x2 Ϫ 11x ϩ 41 ϭ 0. En contraste, en una ecuación diferen- cial el reto es encontrar funciones desconocidas y ϭ y(x), para las cuales una identi- dad tal como y¿(x) ϭ 2xy(x), esto es, la ecuación diferencial dy = 2x y dx se cumple en algún intervalo de números reales. Regularmente queremos encontrar, de ser posible, todas las soluciones de la ecuación diferencial. Ejemplo 2 Si C es una constante y 2 y(x) = Ce x , (1) entonces dy 2 2 = C 2xe x = (2x) Ce x = 2x y. dx Así, cada función de y(x), de la forma de la ecuación (1) satisface —y de este modo es una solución de— la ecuación diferencial dy = 2x y (2) dx para toda x. En particular, la ecuación (1) define una familia infinita de diversas solu- ciones de esta ecuación diferencial, una para cada asignación de la constante arbitraria C. Por el método de separación de variables (sección 1.4) se puede demostrar que cada solución de la ecuación diferencial en (2) es de la forma de la ecuación (1). ■ Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos Los tres ejemplos siguientes ilustran el proceso de traducción de las leyes y princi- pios científicos en ecuaciones diferenciales. En cada uno de ellos la variable inde- pendiente es el tiempo t, pero veremos numerosos ejemplos donde alguna cantidad diferente del tiempo es la variable independiente. Ejemplo 3 La ley de enfriamiento de Newton puede establecerse de esta manera: La razón de cambio del tiempo (la razón de cambio respecto del tiempo t) de la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio Temperatura A ambiente (fig. 1.1.1). Esto es, dT = −k(T − A), (3) Temperatura T dt donde k es una constante positiva. Obsérvese que si T Ͼ A, entonces dT/dt Ͻ 0, por lo que la temperatura es una función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando. Pero si T Ͻ A, entonces dT/dt Ͼ 0, por tanto, T está aumentando.FIGURA 1.1.1. La ley de Así, la ley física se traduce en una ecuación diferencial. Si damos valores a k yenfriamiento de Newton, A, podremos encontrar una fórmula explícita para T(t), y entonces —con la ayuda deecuación (3), describe elenfriamiento de una roca esta fórmula— será posible predecir la temperatura que tendrá el cuerpo. ■caliente en el agua. Ejemplo 4 La ley de Torricelli establece que la razón de cambio respecto del tiempo de un volumen V de agua en un tanque de drenado (fig. 1.1.2) es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad y del agua en el tanque: dV √ = −k y, (4) dt
  • 18. 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos 3 donde k es una constante. Si el tanque es un cilindro con paredes verticales y una sección transversal de área A, entonces V ϭ Ay, por lo que dV/dt ϭ A и (dy/dt). En este caso la ecuación (4) toma la forma dy √ = −h y, (5) dt donde h ϭ k/A es una constante. ■ Ejemplo 5 La razón de cambio respecto del tiempo de una población P(t) con tasas de natalidad y mortalidad constantes es, en muchos casos sencillos, proporcional al tamaño de la población. Esto es, dP = k P, (6) dt donde k es la constante de proporcionalidad. ■ Volumen V y Profundicemos en el ejemplo 5. Primero nótese que cada función de la forma P(t) = Cekt (7) es una solución de la ecuación diferencialFIGURA 1.1.2. La ley de dPdrenado de Torricelli, ecuación (4), = kPdescribe el drenado de un dttanque de agua. en (6). Puede verificarse esta aseveración de la siguiente manera: P (t) = Ckekt = k Cekt = k P(t) para todo número real t. Debido a que la sustitución en la ecuación (6) de cada fun- ción de la forma dada en (7) produce una identidad, todas esas funciones son solucio- nes de la ecuación (6). Entonces, aun si el valor de la constante k es conocido, la ecuación diferencial dP/dt ϭ kP tiene una infinidad de soluciones de la forma P(t) ϭ Cekt, una para cada valor “arbitrario” de la constante C. Esto es común en las ecuaciones diferenciales. Es también afortunado, porque nos permite usar información adicional para seleccio- nar, entre todas estas soluciones, una en particular que se ajuste a la situación bajo estudio. Ejemplo 6 Supongamos que P(t) ϭ Cekt es la población de una colonia de bacterias en el tiempo t; que la población en el tiempo t ϭ 0 (horas, h) fue 1000, y ésta después de 1 h se du- plica. Esta información adicional acerca de P(t) nos lleva a las siguientes ecuaciones: 1000 = P(0) = Ce0 = C, 2000 = P(1) = Cek . Por lo que C ϭ 1000 y ek igual 2, de modo que k ϭ ln 2 ≈ 0.693147. Con este valor de k la ecuación diferencial (6) es dP = (ln 2)P ≈ (0.693147)P. dt Al sustituir k ϭ ln 2 y C ϭ 1000 en la ecuación (7) se llega a la solución particular P(t) = 1000e(ln 2)t = 1000(eln 2 )t = 1000 · 2t (entonces eln 2 ϭ 2) que satisface las condiciones dadas. Podemos usar esta solución particular para pre- decir futuras poblaciones de la colonia de bacterias. Por ejemplo, después de hora y media (cuando t ϭ 1.5) el número de bacterias en la población es P(1.5) = 1000 · 23/2 ≈ 2828. ■
  • 19. 4 Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 8 C = 12 C = 6 C = 3 La condición P(0) ϭ 1000 en el ejemplo 6 se conoce como condición inicial C=1 porque con frecuencia escribimos ecuaciones diferenciales para las cuales t ϭ 0 es el 6 “tiempo inicial”. La figura 1.1.3 muestra diferentes gráficas de la forma P(t) ϭ Cekt 4 con k ϭ ln 2. Las gráficas de la infinidad de soluciones de dP/dt ϭ kP de hecho 2 1 llenan completamente el plano de dos dimensiones sin que haya dos que se intersecten. C= 2 0 Más aún, la elección de cualquier punto P0 en el eje P determina el valor de P(0).P C = −1 2 −2 Debido a que una solución pasa exactamente a través de cada uno de estos puntos, −4 vemos que en este caso la condición inicial P(0) ϭ P0 determina una solución única −6 C = −1 de acuerdo con los datos proporcionados. −8 −2 −1 0 1 2 3 Modelos matemáticos C = −12 C = −6 C = −3 t Nuestra breve presentación del crecimiento de la población en los ejemplos 5 y 6FIGURA 1.1.3. Gráficas de ktP(t) = Ce con k = ln 2. ilustra el proceso crucial del modelado matemático (fig. 1.1.4), el cual involucra lo siguiente: 1. La formulación en términos matemáticos de un problema del mundo real; esto es, la construcción de un modelo matemático. 2. El análisis o solución del problema matemático resultante. 3. La interpretación de los resultados matemáticos en el contexto original de la situación del mundo real; —por ejemplo, respondiendo la pregunta postulada inicialmente. Situación del mundo real Formulación Interpretación Modelo Análisis Resultados matemático matemático matemáticos FIGURA 1.1.4. Proceso del modelado matemático En el ejemplo de la población, el problema en el mundo real es determinar su número en un tiempo futuro. Un modelo matemático consiste en una lista de varia- bles (P y t) que describen la situación dada, junto con una o más ecuaciones que relacionen esas variables (dP/dt ϭ kP, P(0) ϭ P0) que se conocen o que se asume que son ciertas. El análisis matemático consiste en res olver esas ecuaciones (aquí, para P como una función de t). Finalmente, se aplican estos resultados matemáti- cos para tratar de dar una respuesta a la pregunta original en el mundo real. Como un ejemplo de este proceso, pensemos que la primera formulación del modelo matemático consiste en las ecuaciones dP/dt ϭ kP, P(0) ϭ 1000, que descri- ben la población de bacterias del ejemplo 6. Después nuestro análisis matemático consiste en encontrar la función solución P(t) ϭ 1000e(ln 2)t ϭ 1000 и 2t como nuestro resultado matemático. Para una interpretación en términos del mundo real —la población de bacterias— sustituimos t ϭ 1.5 para obtener una predicción de la po- blación de P(1.5) ≈ 2828 bacterias después de 1.5 horas. Si, por ejemplo, esta pobla- ción crece bajo condiciones ideales de espacio y alimento ilimitados, nuestra predicción puede ser bastante exacta, en cuyo caso concluimos que el modelo matemático es adecuado para el estudio de esa población particular Por otro lado, podemos darnos cuenta de que no hay una solución que se ajuste de manera precisa a la población real que estamos estudiando. Por ejemplo, no exis- ten valores de las constantes C y k para las cuales la solución P(t) ϭ Ce kt en la ecua-
  • 20. 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos 5 ción (7) pueda describir con precisión el crecimiento real de la población humana en el mundo en los siglos recientes. Debemos concluir que la ecuación diferencial dP/dt ϭ kP es inadecuada para modelar la población mundial —la cual en décadas recien- tes se ha “estabilizado” en comparación con las gráficas de ascenso excesivo que se observan en la parte superior (P Ͼ 0) de la figura 1.1.3. Con una mayor perspectiva, podríamos formular un nuevo modelo matemático incluyendo, tal vez, ecuaciones diferenciales más complicadas, como algunas que tomen en cuenta factores tales como la limitación en los alimentos o el incremento de la población en función de las tasas de natalidad y mortalidad. Con este nuevo modelo matemático podemos hacer el recorrido del diagrama de la figura 1.1.4 en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Si podemos resolver la nueva ecuación diferencial, obtenemos una nueva función solución para compararla con la población mundial real. De hecho, un aná- lisis exitoso de la población puede requerir afinar el modelo matemático, incluso más allá de que éste sea confrontado repetidamente con la realidad. Sin embargo, en el ejemplo 6 simplemente ignoramos cualquier factor de com- plicación que pudiera afectar nuestra población de bacterias. Esto hace el análisis matemático bastante simple, aunque quizá no tan apegado a la realidad. Un mode- lo matemático satisfactorio está sujeto a dos requerimientos contradictorios: debe ser suficientemente detallado para representar con relativa exactitud la situación real, también suficientemente simple para hacer práctico el análisis matemático. Si el mo- delo es muy detallado, de tal manera que representa por completo la situación física, entonces el análisis matemático puede ser difícil de aplicar. Si, por el contrario, el modelo es muy simple, los resultados pueden ser tan imprecisos que no serían útiles. De este modo, hay una inevitable necesidad de equilibrar entre lo físicamente alcan- zable y lo matemáticamente posible. La construcción de un modelo debe cubrir de manera adecuada este resquicio entre la realidad y lo posible, el paso más difícil y delicado en el proceso. Por otra parte, deben encontrarse los caminos para simplifi- car el modelo matemáticamente sin sacrificar rasgos esenciales de la realidad. A lo largo de este libro se presentan modelos matemáticos. Lo que resta de esta sección introductoria está dedicado a ejemplos simples y terminología comúnmente usada en la presentación de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Ejemplos y terminologíaEjemplo 7 Si C es una constante y y(x) ϭ 1/(C Ϫ x), entonces dy 1 = = y2 dx (C − x)2 si x Z C. Entonces 1 y(x) = (8) C−x define una solución de la ecuación diferencial dy = y2 (9) dx en cualquier intervalo de números reales que no contenga el punto x ϭ C. En realidad, la ecuación (8) define una familia de soluciones de un parámetro de dy/dx ϭ y2, una para cada valor de la constante arbitraria o “parámetro” C. Con C ϭ 1 obtenemos la solución particular 1 y(x) = 1−x que satisface la condición inicial y(0) ϭ 1. Como se indica en la figura 1.1.5, esta solu- ción es continua en un intervalo (Ϫq, 1), pero tiene una asíntota vertical en x ϭ 1. ■
  • 21. 6 Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden Ejemplo 8 Verificar que la función y(x) ϭ 2x1/2 Ϫ x1/2 ln x satisface la ecuación diferencial 4x 2 y + y = 0 (10) para toda x Ͼ 0. Solución Primero calculamos las derivadas y (x) = − 1 x −1/2 ln x 2 y y (x) = 1 x −3/2 ln x − 1 x −3/2 . 4 2 Entonces la sustitución en la ecuación (10) nos lleva a 1 −3/2 4x 2 y + y = 4x 2 4 x ln x − 1 x −3/2 + 2x 1/2 − x 1/2 ln x = 0 2 si x es positiva, por lo que la ecuación diferencial se satisface para toda x Ͼ 0. ■ El hecho de que podamos escribir una ecuación diferencial no es suficiente para garantizar que ésta tenga solución. Por ejemplo, es claro que la ecuación dife- rencial (y )2 + y 2 = −1 (11) no tiene solución (en valores reales), porque la suma de números no negativos no puede ser negativa. Como una variación en este tema, nótese que la ecuación (y )2 + y 2 = 0 (12) obviamente sólo tiene la solución (en valores reales) y(x) K 0. En los ejemplos ante- riores cualquier ecuación diferencial tenía al menos una solución, de hecho tenía infinidad de soluciones. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en ella. La ecuación diferencial del ejemplo 8 es de segundo orden; las de los ejemplos 2 al 7 son ecuaciones de primer orden, y y (4) + x2 y(3) + x 5 y = sen x es una ecuación de cuarto orden. La forma general de la mayoría de las ecuaciones diferenciales de orden n con variable independiente x y función desconocida o va- riable dependiente y ϭ y(x) es F x, y, y , y , . . . , y (n) = 0, (13) donde F es una función de valores reales específica de n ϩ 2 variables. El uso de la palabra solución ha sido hasta ahora informal. Para ser precisos, decimos que la función continua u ϭ u(x) es una solución de la ecuación diferencial (13) en el intervalo I siempre que las derivadas u¿, u¿¿,…, u(n) existan en I y F x, u, u , u , . . . , u (n) = 0 para toda x en I. De una manera concisa, podemos decir que u ϭ u(x) satisface la ecuación diferencial (13) en I. Nota. Recuérdese, del cálculo elemental, que una función derivable en un intervalo abierto es necesariamente continua dentro de él. Por eso una función conti- nua puede calificar sólo como una solución (derivable) de la ecuación diferencial en un intervalo. ■
  • 22. 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos 7 Ejemplo 8 La figura 1.1.5 muestra las dos ramas “conectadas” de la gráfica y ϭ 1/(1 Ϫ x). La Continuación rama del lado izquierdo es la gráfica de una solución (continua) de la ecuación dife- rencial y¿ ϭ y2, que se define en el intervalo (Ϫ1, q). La rama del lado derecho es la gráfica de una solución diferente de la ecuación diferencial que está definida (y es continua) en otro intervalo diferente (1, q). Así, la simple fórmula y(x) ϭ 1/(1 Ϫ x) de- termina realmente dos soluciones diferentes (con diferente dominio de definición) de la misma ecuación diferencial y¿ ϭ y2. ■ Ejemplo 9 Si A y B son constantes y 5 y(x) = A cos 3x + B sen 3x (14) y = 1/(1 − x) entonces dos derivaciones sucesivas nos llevan a (0, 1) x=1 y (x) = - 3A sen 3x + 3 B cos 3x, 0 y (x) = - 9A cos 3x - 9 B sen 3x = -9y(x)y para toda x. Consecuentemente, la ecuación (14) define lo que naturalmente llama- mos una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden −5 −5 0 5 y + 9y = 0 (15) xFIGURA 1.1.5. Solución de en toda la recta de números reales. La figura 1.1.6 muestra las gráficas de varias dey¿ ϭ y2 definida estas soluciones. ■y(x) ϭ 1/(1 Ϫ x). Aunque las ecuaciones diferenciales (11) y (12) son excepciones a la regla general, veremos que una ecuación diferencial de orden n comúnmente tiene una familia de soluciones de n parámetros —cada una involucra n constantes o paráme- 5 tros arbitrarios—. y3 Tanto en la ecuación (11) como en la (12) la forma en que aparece y¿, como una y1 función implícitamente definida, causa complicaciones. Por esta razón, normalmente y2 se asumirá que cualquier ecuación diferencial puede resolverse en forma explícita para la derivada de mayor orden que aparezca; esto es, que la ecuación pueda ser 0 escrita en la conocida forma normaly q y (n) = G x, y, y , y , . . . , y (n−1) , (16) −5 donde G es una función de valores reales de n ϩ 1 variables. Además, siempre se −3 0 3 buscarán estos valores, a menos que se advierta al lector lo contrario. x Todas las ecuaciones diferenciales antes mencionadas son ecuaciones diferen-FIGURA 1.1.6. Las tres soluciones ciales ordinarias, lo que significa que la función desconocida (variable dependiente)y1(x) ϭ 3 cos 3x, y2(x) ϭ 2 sen 3x y depende de una sola variable independiente. Si la variable dependiente es unay3(x) ϭ Ϫ3 cos 3x ϩ 2 sen 3x de la función de dos o más variables independientes, entonces aparecerán derivadas par-ecuación diferencial ciales; si es así, la ecuación se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo, lay¿¿ ϩ 9y ϭ 0. temperatura u ϭ u(x, t) de una barra uniforme en el punto x en el tiempo t satisface (bajo condiciones apropiadas) la ecuación diferencial parcial ∂u ∂ 2u = k 2, ∂t ∂x donde k es una constante (llamada la difusividad térmica de la barra). En los capítu- los 1 al 8 sólo se abordarán ecuaciones diferenciales ordinarias y nos referiremos a ellas simplemente como ecuaciones diferenciales. En este capítulo nos concentraremos en las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma dy = f (x, y). (17) dx
  • 23. 8 Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden También expondremos un amplio rango de aplicaciones de estas ecuaciones. Cabe señalar que un modelo matemático típico aplicado a una situación real será un pro- blema de valor inicial, que consiste en una ecuación diferencial de la forma presen- tada en (17), aunado a con una condición inicial y(x0) ϭ y0. Nótese qu