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05 -analisis_de_esfuerzos

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analisis de esfuerzos

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  • 1. Mecánica de Materiales II:Análisis de Esfuerzos
    Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar
  • 2.
  • 3. Supongamos una barra sometida a carga axial únicamente
    y
    x
    z
  • 4. Con los planos utilizados y analizando solo un pequeño fragmento de la viga, podemos concluir que todos los puntos están sometidos a tracción
    Al hacer Zoom en el círculo señalado se tiene:
    y
    sz
    x
    z
    sz
  • 5. Supongamos ahora una barra apoyada en sus extremos y sometida a una carga cortante.
    y
    x
    z
  • 6. En este caso, para esos planos de corte aparecen esfuerzos cortantes
    Al hacer Zoom en el círculo señalado se tiene:
    y
    s
    sz
    x
    z
    tzy
    t
    t
    tyz
    t
    tzy
    t
    tyz
    s
    sz
    Los esfuerzos tangenciales se identifican según:
    • Orientación de la normal del plano sobre el cual actúan
    • 7. Orientación del propio esfuerzo
    Los esfuerzos normales se identifican según la orientación del eje sobre el cual se producen
  • 8. Veamos el caso general:
    Hipótesis: El material es homogéneo y ocupa todo el volumen
    q
    Q1
    W+
    G
    Q2
    W
    W-
    Q3
    S
    M
    • Fuerzas de superficie
    • 9. Fuerzas de volumen
  • q
    Q1
    DF1
    DFi
    W+
    S
    Q2
    S
    G
    W-
    DF2
    Q3
    M
  • 10. Q1
    DF1
    T
    DF
    DFi
    n
    W+
    Q2
    DF2
    y
    r
    El vector esfuerzo en un punto va a depender:
    • De la posición y
    • 11. Del plano que pasa por dicho punto
    M
    o
    z
    x
  • 12. El vector esfuerzo no es perpendicular al plano, por lo que se puede descomponer en:
    • Esfuerzo normal
    • 13. Esfuerzo tangencial
    t
    T
    n
    sn
    S
    El vector esfuerzo surge de la generalización del concepto de presión en Mecánica de los fluidos (Cauchy, 1822). Tal y como se presenta acá se debe al Ingeniero Saint-Venant
    Augustine-Louis Cauchy (1789-1857)
    Barré de Saint-Venant (1797-1886)
  • 14. Volvamos al caso de la barra sometida a carga axial únicamente y utilicemos un plano inclinado para seccionar la viga
    y
    x
    z
    sn
    n
    T
    t
  • 15. Son aquellas cuya magnitud es proporcional a la masa contenida en el volumen ocupado por el sólido
    q
    Q1
    DV
    W
    DF
    P
    G
    Q2
    y
    r
    Q3
    M
    o
    z
    x
  • 16. Planos: se consideran positivos, si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta a la dirección positiva de un eje coordenado.
    Esfuerzos normales: se considera positivo si es de tracción y negativo si es de compresión.
    Esfuerzos tangenciales: son positivos si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva (o negativa) de un eje coordenado. El caso contrario, son negativos
  • 17. Al aislar el cubo y definir un sistema de coordenadas en el origen, se obtiene el vector esfuerzo para cada cara
    Veamos de nuevo el caso general:
    q
    Q1
    T(r,k)
    z
    T(r,j)
    G
    Q2
    W
    W-
    W+
    T(r,i)
    y
    Q3
    x
    S
    M
  • 18. z
    T(r,k)
    sz
    tzy
    tyz
    tzx
    txz
    sy
    tyx
    txy
    sx
    y
    T(r,j)
    T(r,i)
    x
  • 19. z
    C
    T(r,n)
    n
    g
    T(r,-i)
    b
    a
    y
    B
    T(r,-j)
    P
    A
    x
    T(r,-k)
  • 20. z
    sn
    C
    T(r,n)
    q
    n
    t
    B
    y
    A
    x
  • 21. Una vez conocidos los esfuerzos en un punto a través de la matriz de esfuerzos, es necesario compararlo con una Teoría de falla (como veremos más adelante en el curso)
    La mayoría de dichas teorías basan su formulación en el conocimiento de los valores extremos del esfuerzo normal, es decir valores máximos y mínimos.
  • 22. Generalmente, el vector esfuerzo no es perpendicular al plano o paralelo a la normal n. Sin embargo, existe la posibilidad en que el vector esfuerzo tenga la dirección de la normal.
    Recordemos la viga a tracción:
    y
    x
    z
    n
    T
  • 23. Cuando el vector esfuerzo es perpendicular al plano, la componente tangencial desaparece, en ese momento, el vector esfuerzo se convierte en un esfuerzo principal
    y
    x
    z
    n
    T
  • 24. Por definición:
    z
    sz
    I1, I2, I3son los invariantes de la matriz de esfuerzos
    3
    tzy
    tyz
    tzx
    donde:
    txz
    2
    s1
    sy
    g3
    g2
    tyx
    txy
    b3
    n3
    n2
    sx
    y
    b2
    a3
    g1
    s2
    a2
    n1
    b1
    x
    a1
    s3
    1
  • 25. Dado un estado principal de esfuerzos, vamos a calcular el vector esfuerzo y sus componentes:
    3
    C
    n
    s1
    g
    T(r,n)
    b
    a
    s2
    B
    2
    P
    A
    s3
    1
    Christian Otto Mohr (1835-1918)
  • 26. t
    tmax
    r2
    r3
    s1
    s3
    s2
    s
    c2
    c3
    c1
    r1
  • 27. 3
    t
    • Se calculan y colocan los esfuerzos principales, asociados a los puntos P1, P2 y P3:
    • 28. Se dibujan los círculos cuyos centros y radios se calculan con:
    • 29. Por el punto P1 trazamos una recta inclinada formando un ángulo a con respecto a la vertical
    • 30. Esta recta se intersecta con el círculo P1P2 en el punto A y con P1P3 en el punto B
    • 31. Con centro en c1, se traza el arco de circunferencia que une los puntos A y B
    • 32. Por el punto P3 se traza una recta inclinada formando un ángulo g, que se intersecta con los círculos P2P3 en C y P1P3 en D. Con centro en c3 se traza el arco que une los puntos C y D
    • 33. Los arcos AB y CD se intersectan en el punto P cuyas coordenadas nos dan las componentes tangencial y normal del Vector esfuerzo del plano estudiado
    D
    B
    P
    t
    C
    A
    g
    a
    P1
    P3
    P2
    s
    2
    sn
    c2
    c3
    c1
    r3
    r1
    n
    T(r,n)
    s1
    r2
    g
    s2
    b
    a
    sn
    1
    t
    s3
  • 34. t
    • Una vez conocidos los esfuerzos principales, centros y radios, se ubica el punto P de coordenadas s y t
    • 35. Análogamente, con centro en c3 y radio c3P se traza el arco que pase por los puntos C y D. Luego se traza una recta que intersecte los puntos C, D y P3. El ángulo que forme con la vertical g es el mismo que forma la normal del plano con el eje principal I1
    • 36. Con centro en c1 y radio c1P, se traza el arco que intersecta el circulo P1P2 en el punto A y con el circulo P1P3 en el punto B
    • 37. Conocidos a y g, el ángulo b se calcula de la siguiente manera:
    • 38. Para resolver el problema inverso, el cual consiste en determinar el plano donde actúan los esfuerzos tangenciales y normales
    • 39. Se traza una recta que intersecte los puntos A, B y P1. El ángulo que forme con la vertical a es el mismo que forma la normal del plano con el eje principal I1
    D
    B
    P
    t
    C
    A
    g
    a
    P1
    P3
    P2
    s
    c2
    c3
    c1
    r3
    r1
    s1
    r2
    s2
    sn
    s3
  • 40. 3
    t
    • Se calculan y colocan los esfuerzos principales, asociados a los puntos P1, P2 y P3:
    • 41. Se dibujan los círculos cuyos centros y radios se calculan con:
    • 42. Por el punto P1 trazamos una recta inclinada formando un ángulo a con respecto a la vertical
    • 43. Esta recta se intersecta con el círculo P1P2 en el punto A y con P1P3 en el punto B
    • 44. Con centro en c1, se traza el arco de circunferencia que une los punto A y B
    • 45. Por el punto P2 se trazan dos rectas inclinadas formando un ángulo b, que se intersecta con los círculos P2P3 en F y P1P2 en E. Con centro en c2 se traza el arco que une los puntos E y F
    • 46. Los arcos AB y EF se intersectan en el punto P cuyas coordenadas nos dan las componentes tangencial y normal del Vector esfuerzo del plano estudiado
    B
    P
    t
    F
    E
    A
    b
    a
    b
    s
    2
    sn
    P1
    P3
    c1
    P2
    c2
    c3
    r3
    r1
    s1
    n
    T(r,n)
    r2
    g
    s2
    b
    a
    sn
    1
    t
    s3
  • 47. y
    y
    n
    T(r,n)
    T(r,n)
    n
    tyx
    txy
    x1
    tyz
    sn
    txy
    tzy
    t
    sn
    sy
    b
    T(r,-k)
    t
    sz
    sy
    b
    sx
    sx
    a=q
    y1
    tx1y1
    txz
    tzx
    sx1
    g
    a
    txy
    T(r,-i)
    q
    x
    x
    z
    z
    T(r,-j)
  • 48. Viste desde el plano XY, se tiene:
    y
    x1
    txy
    y1
    Para el sistema de la figura, la matriz de esfuerzos es:
    Pero también pudiera presentar la siguiente forma dependiendo del sistema:
    txy
    sx1
    sy
    sx
    tx1y1
    q
    x
  • 49. y
    • Si un eje x1 forma un ángulo q con otro eje x2 en el plano XY, entonces el radio CPx1 forma un ángulo -2q con CPx2 en el circulo de Mohr
    • 50. Los esfuerzos normales y tangenciales en un plano perpendicular al plano XY son las coordenadas en un punto sobre la circunferencia de Mohr
    • 51. Los ejes X y Y se representan en el círculo de Mohr como radios
    • 52. En el plano XY, los angulos son positivos cuando se miden en sentido anti horario. En el diagrama de Mohr son positivos si se miden en sentido horario
    t
    y1
    y2
    (sx,txy)
    (sx,txy)
    Px1(sx1,tx1y1)
    2.f
    Px2(sx2,tx2y2)
    2.q
    x
    C
    sn
    (s2)
    (s1)
    y
    x2
    x1
    q
    (sy,-txy)
    (sy,-txy)
    f
    x
  • 53. y
    • El ángulo (dirección principal) que forma el esfuerzo s1 con el eje x es igual y de sentido contrario a la mitad del ángulo entre CP1 y CPx
    • 54. Con centro en C y radio CPx, se traza la circunferencia de radio R
    • 55. Se ubican los puntos Px(sx,txy) y Py(sy,-txy) y se traza una recta que intersecta el eje de las abscisas en el punto C.
    • 56. Si queremos determinar los esfuerzos sx1 y tx1y1 en un plano cuya normal forma un ángulo f en sentido anti horario con el eje x, medimos un ángulo 2f en sentido horario en el círculo de Mohr
    • 57. La circunferencia se intersecta con el eje de las abscisas P1 y P2 que corresponden a los esfuerzos principales s1 y s2
    t
    y1
    Px(sx,txy)
    Px1(sx1,tx1y1)
    2.f
    R
    x
    C
    sn
    P2(s2)
    P1(s1)
    x1
    Py(sy,-txy)
    f
  • 58. y
    sy
    x1
    txy
    txy
    txy
    txy
    sx1
    sy
    q
    y1
    sx
    sx
    tx1y1
    x
    z

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