Este documento discute vetores e seu uso para descrever movimentos em física. Os principais pontos são: (1) Vetores têm comprimento, direção e sentido e podem ser adicionados ou subtraídos. (2) O movimento de um objeto pode ser decomposto em componentes ao longo de eixos x, y e z para facilitar cálculos. (3) A velocidade e aceleração de um objeto em movimento podem ser representadas por vetores.

1. Aula 03 – Vetores
Algumas quantidades em física nós representamos utilizando apenas um
número e uma unidade, como a massa ou a temperatura, por exemplo. Existem,
porém, algumas grandezas na qual devemos conhecer, também, uma direção e um
sentido. Esse é o caso dos vetores.
Velocidade e aceleração são exemplos de vetores.
Nessa aula, aprenderemos a trabalhar com essas ferramentas matemáticas.
Os vetores possuem um comprimento, uma direção e um sentido. Sua
representação é:
Nós vamos estudar planos de uma maneira tridimensional. Por essa razão,
muitas vezes, nossos vetores poderão sair do plano (papel) ou entrar no plano.
Quando representamos vetores, nós podemos escrevê-los das seguintes
maneiras:
Aqui, vamos representar os vetores com negrito.
Seja O um ponto qualquer e P uma determinada localização. Digamos que eu vá
de O até P.
Imagine que o plano onde OP esteja seja uma grande mesa, e essa mesa se
move da seguinte maneira:

2. O ponto S será minha posição final na qual vocês verão (embora, para mim, eu
tenha permanecido em P). Portanto, haverá uma distância OS que vocês medirão.
Essa distância é calculada utilizando-se a adição de vetores:
Há várias maneiras nas quais podemos somar vetores. Dados dois vetores A e
B:
Eu posso juntar a extremidade de um vetor com a origem do outro.
Não importa qual vetor venha antes, meu resultado permanece o mesmo.

3. Podemos utilizar a regra do paralelogramo, que consiste em juntar as duas
origens dos vetores.
O que significa um vetor ser negativo?
Ou seja - A é igual a A,mas com o sentido contrário (possui a mesma direção e o
mesmo comprimento). Essa ideia nos conduz à subtração de vetores.
Se não conhecemos a direção e o sentido de algo, então existem várias
possibilidades para nosso resultado. Por exemplo, se temos dois vetores os quais

4. conhecemos apenas suas magnitudes, sem os sentidos ou direções, e sejam seus
valores iguais a 5 e 4, nosso vetor final pode ser 1 ou 9.
Vários vetores podem ser representados por um único vetor. De maneira
análoga, podemos decompor um único vetor em vários outros.
Seja um vetor A num espaço tridimensional.
Os vetores i, j e k representam os vetores unitários das coordenadas x, y e z
(respectivamente). Esses vetores nós chamamos de “versores”.
Assim eu reescrevo meu vetor A nas componentes i, j e k:
A magnitude do vetor, ou o comprimento, é calculado da seguinte maneira:
Exemplo:
A = 3i – 5j + 6k

5. Agora, podemos calcular o valor do ângulo que temos.
Assim, nossa resposta fica:
Multiplicação de Vetores
 Produto Escalar (Produto Ponto)
O resultado é um número.
O ângulo θ entre os vetores deve ser encontrado projetando-se um vetor sobre
o outro, o que nos fornece a definição de produto escalar:
O sinal desse resultado depende do ângulo adotado.
Isso será melhor visto em trabalho, pois nós teremos trabalho positivo e
trabalho negativo.
Exemplo 1.
Assim, nossa resposta fica:
Exemplo 2.
A=j e B=k

6.  Produto Vetorial (Produto Cruz)
O resultado é um vetor.
Vamos colocar nossos vetores em uma matriz.
É importante que A venha antes, pois em nossa multiplicação ele vem antes.
Agora, copiamos as coordenas dos vetores em ambos os lados da matriz e
aplicamos a multiplicação como se fossemos encontrar o determinante.
Conhecendo dois vetores A e B, temos que:
Nós conhecemos a magnitude do vetor, mas como saberemos sua direção?
Para isso, nós utilizamos a regra da mão direita.
Os dedos apontam para o mesmo sentido de A, pois ele foi o primeiro termo a
surgir. Então você rotacional os dedos em direção à B (formando o ângulo). O polegar
apontará no sentido do vetor C.

7. Se o vetor entra no plano, seu sinal será positivo. O vetor é sempre
perpendicular a Ae B. Portanto:
Com isso, podemos concluir que:
Exemplo:
A = iAx = 1
B = jBy = 1
Há uma dica para a multiplicação de vetores:
Assim, seguindo sempre no sentido das setas:
Caso invertemos a ordem:
Agora, vamos observar um ponto que se move em um espaço tridimensional
durante um tempo t. Seja r(t) o vetor deslocamento:
Podemos derivar essa função e encontrar a velocidade e a aceleração:

8. Para o ponto P se movendo:
Essas são as coordenadas em x.
De modo análogo para y e z.
Com isso decompomos um movimento tridimensional para um movimento em
uma dimensão, o que irá facilitar as coisas.
Lançando uma bola para frente sua trajetória poderá ser descrita em um plano
vertical. Por mais que a bola viaje em 3 dimensões, podemos representar sua trajetória
em apenas 2 eixos, bidimensionalmente, em x e y.
Estudaremos o trajeto da bola analisando um trajeto no eixo x independente
do eixo y. Da mesma maneira analisaremos o eixo y e então juntaremos ambos para
descrever o trajeto da bola.
Como vimos na aula anterior, em movimentos em 1-D.
Estudaremos essas equações para x e depois y.
Lançando uma bola, temos:

9. VoCosθ é a velocidade inicial no eixo x e VoSenθ é a velocidade inicial no eixo y.
A posição de P é dada por X(t) no eixo x no tempo t e por Y(t) no eixo y e no
tempo t. O vetor deslocamento é dado por r(t). Estudando as equações nos eixos:
Agora, em y:
Assim, nós decompomos um movimento complicado em dois movimentos
independentes. Na próxima aula nós retornaremos esses argumentos.
Observando as equações, no eixo x a velocidade não varia, pois não há
aceleração. Apenas em y a velocidade varia, pois existe a aceleração da gravidade. Isso
implica que se lançarmos uma bola numa trajetória oblíqua e continuarmos andando
no mesmo sentido com a mesma velocidade horizontal, a bola cairá em nossas mãos.
O motivo é que só existe aceleração em y, e y é independente de x. Porém, a trajetória
será uma junção de ambos os movimentos.

10. Fazendo uma experimentação...
Um dispositivo com uma bola lançara a mesma assim que passar por um
determinado ponto. Após lançar a bola, o dispositivo continuará se movimentando
com velocidade constante, assim: