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FCD Guía 2. limites y continuidad

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Guía de trabajo del segundo corte

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  • 1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD TEMÁTICA LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJEDeducir resultados medianteprocesos de aproximación Calcula el límite para las diferentes clases de funciones.sucesiva, rangos de variación y Interpreta el límite de una función en un contexto determinado.límites en situaciones de Determina la continuidad de funciones mediante los criterios demedición. continuidad ACTIVIDADES DE APRENDIZAJER e a l i za r l a s a c t iv id a d es q u e a c o n t in u ac ió n s e e n u nc ia n t e n ie n d o e n cu en ta l ac a r p e ta gu í a de A p un t e s d e l P r o fe s o rACTIVIDAD No 11. Resolvera. En el siguiente ejercicio, completar la tabla y utilizar el resultado para estimar el límite x2 lim x 2 x x2 2 x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 f(x) xb. Evaluar: f ( x)  en varios puntos próximos a x = 0 y usar el resultado para estimar x 11 x el límite lim x 0 x 1 1Completar la siguiente tabla x -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1 f (x) Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 1
  • 2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 22. Calcular los siguientes límites algebraicos: x2  1 2x2  x  3 x3  8 x2 2a ) lim b) lim c) lim d ) lim x 0 x 1 x 1 x 1 x  2 x 2  11x  26 x 0 x 1 1  x2  x 2 x x 5  32e) lim f ) lim g ) lim 2  x 2 h) lim x 0 x 1 x 2 4  x2 x 0 x x 2 x2 x2  2x  3 x3 3 x 3  27 x2  1i ) lim j ) lim k ) lim l ) lim x 1 x2  5x  4 x 0 x2 2 x 3 x3 x 1 x3  1 3 x2  2x  7 x2  9 3x  1 x2  x  2  2m) lim n) lim 2 o) lim p) lim x 0 x2  7 x 3 x  x  12 x 1 9x2  1 x 1 x2  4x  3 3 x2  a2q ) lim 2 (a  0) x a x  2ax  a 24. Trace la grafica de una función y= f(x) que satisfaga las condiciones dadas (no es necesario que incluya formulas, solamente marque los ejes coordenados y trace una grafica apropiada) a. f (0)  0, f (1)  2, f (1)  2, lim f ( x)  1 x  b. Su dominio es [0, 6] ; f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2 ; f es continua, excepto para x = 2; lim f ( x) 1 y lim f ( x)  3 x 2  x 5 5. Calcule los límites: 2 x3  7 7 x3  2 x  1 x3  2 x 2a. lim b. lim c. lim x x3  x 2  x  7 x 4 x 4  3x 2  6 x x  5 x 2  x3  4 23 x 2 x4  3 9 x 2  3x  2 xd. lim e. lim f. lim x 2 x x 5 x3  7 x x 3x  5ACTIVIDAD No 21. Encuentre el valor de h de modo que la función dada sea continua en x  1 , donde: hx  3 si x 1 f ( x)   5  hx si x 1 Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 2
  • 3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2 x si x  22. Hallar el valor de b para el cual la función f ( x)   es continua en todos los reales 2 bx si x  2    1 si x0     1 3. Sea f ( x)   si 0  x  1  ax  b       5b si x 1  Obtenga las constantes a y b de modo que f sea continua, y grafique esta función4. Dada la función:  2x 1 si x3    f ( x)  ax  b si 3  x  5  x2  2 x5   si  Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.5. Dada la función:  3x  ab si x  3    f ( x)  3ax  7b si 3  x  3  x  12b x3   si  Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.6. Determine si el siguiente límite existe o no:  x 2  1 x 2  10  lím    x   x  2 x 1   x5 si x  3     7. Sea la función f ( x)   9  x 2 si 3  x  3 determinar:  5 x si x3      a. lim f ( x)  b. f (3)  c. f (3)  d . lim f ( x)  e. lim f ( x)  x3 x 3 x3  f ( x  h)  f ( x )8. Dada la función f ( x)  2 x 2  4 x , hallar lim h 0 h Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 3
  • 4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2 a x 2 1  x  x 1 2  x 29. Calcule el valor de a  para que se cumpla lim    e x   x    x10. Grafique la función g ( x)  y calcule el lim g ( x) x x0 f ( x) g ( x) f ( x)11. Si x 1 1  x 2  4 lim y lim x 1 1  x3  2 Calcule el valor de lim x 1 g ( x)   3 x si x  0 12. Sea la función g ( x)    hallar: a. La gráfica de g(x)   x si x  0  b. lim g ( x) x 0ACTIVIDAD No 31. ¿Qué relación existe entre el límite de una función matemática para un determinado valor y la continuidad de esa función en ese mismo punto? ¿Esa relación se cumple en todos los casos? ¿por qué? x 2  x  202. ¿Es 2 el valor del siguiente límite lim ? Justifique su respuesta. x 5 x 53. ¿Es la función y  x 3  2 , continua en todo su dominio? Grafique para justificar su respuesta. x2  94. ¿Qué puede decir de la continuidad de la función y ? Qué pasa cuando x = - 3? Se x3 puede argumentar que la gráfica es una línea recta? Explique5. ¿Qué métodos conoce para calcular el límite de una función? Aplique esos procesos y trate de obtener el límite en cada caso, sino existe límite, diga `por qué. x2  4 x 2  x  12 x 1a. lim b. lim 2 c. lim x 2 x  2 x 3 x  5 x  6 x 1 x 3 2 2 x3  4 x  1 1 1d. lim e. lim f. lim x 1 x 2 x x 1 x 1 x 0 2x 2 2 ( x  h)3  x 3 1 x  x2g. lim h. lim i. lim h 0 h x  2x x 0  x Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 4
  • 5. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 26. Encontrar el valor de a ( a  ) de modo que lim f ( x) exista, si x1  x3  a3   si x  1  xa  f ( x)     x3 a x  1 3 si   xa  7. En los siguientes problemas, establezca si la función indicada es continúa o no en su dominio, si no lo es, explique porqué y diga la clase de discontinuidad que presenta: 8 a. f  x   4 x 2  2 x  12 b. f  x   c. g  x   x  3 x2 t3  8  x  3 si x  2  x  3 si x  3  d. g t   e. f  x    2 f . f  x   t 2  x  1 si x  2 2  si x  3 t3  8  si t  2 3  x si x  1 g. h  t    t  2 h. g  x     12 si t  2 3  x si x  1   2x2  x  3  si x  1 4 i. f  x    x  1 j. g  x    x  3 2  si x 1  2ACTIVIDAD No 41. Representar las funciones siguientes e indicar si tiene algún punto de discontinuidad: x  1 si x  3 x  1 si x  1   f ( x )  x 2 si 3  x < 4 f ( x)   x 2  1 si 1 < x  2 0  2  si x  4 x si x  22. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: x 1 x2  5x  6  x  1 si x  0 1. f ( x)  2. f ( x)  3. f ( x)   x2 1 x2  x  1 si x  0 2  x 2 si x  2 4. f ( x)  4  x 2 5. f ( x)   6. f ( x)  x 2  1 2 x  6 si x  2 1 2 x  1 si x   4, 2   si x  1  7. f ( x)   x 8. f ( x)  x  x 9. f ( x)  1  3x si x   2,1  x 1  2  si x  1  x si x  1,5 Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 5
  • 6. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2 x2 13. Probar que la función f ( x)  no es continua en x = 1 e indicar que tipo de x3  7 x  8 discontinuidad presenta en dicho punto.4. Al estudiar la continuidad de la función: ( x  1) 2 si x  0 h( x )   ( x  1) si x  0 2 Se puede afirmar que: A. h(x) es continua en toda la recta real B. h(x) es discontinua en x = 0 C. La función tiene una discontinuidad removible(evitable) en x = 0 D. La función es discontinua únicamente en el intervalo [- 1, 1]5. Con relación a la gráfica que aparece a continuación, una de las siguientes afirmaciones es falsa (justifique la respuesta)6. Sea h(x) una función cuya gráfica se adjunta: Indique: a) lim h(x) b) lim h(x) c) lim h(x) x  6 x  2 x 1  d) lim h(x) e) lim h(x) f) lim h(x) x 1 x 1 x 4 g) lim h(x) h) lim h(x) x  6  x  6  Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 6
  • 7. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2 x2  5x  67. Dada la función f ( x)  x2 a) Hallar los puntos de discontinuidad b) Si existe alguno, hallar los limites laterales y el salto de discontinuidad c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda la recta8. Observa la grafica de esta función f(x) y calcula los limites lím f ( x)  lím f ( x)  lím f ( x)  x  x 1 x 1 lím f ( x)  lím f ( x)  x 1 x  Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 7
  • 8. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2ACTIVIDAD No 5Resuelva los siguientes problemas de aplicación de limites y continuidad1. Si el costo total de producción de q artículos en una industria está dado por C  7000  10q , encontrar el costo promedio, cuando el nivel de producción crece continuamente. 180002. La población p de una ciudad en t años está dada por p  50000  . Encontrar la población a  t  3 2 largo plazo3. Para una relación particular de huésped-parásito, si x representa la densidad de huéspedes, es decir el número de huéspedes por unidad de área y f(x) representa el número de parásitos en un 1000 x determinado período, entonces f ( x)  . Encontrar a qué valor se aproximaría el número de 12  40 x parásitos, si la densidad de huéspedes aumentara sin cota.4. El costo c, en pesos, por enviar un paquete es de 50 pesos si pesa hasta 5 kilogramos, de 80 pesos si su peso es mayor de 5 y hasta 10 kilogramos, y de (x + 70) pesos si pesa más de 10 y hasta 50 kilogramos. Expresar la función del costo, analizar en qué puntos tiene discontinuidades y trazar su gráfica.5. La tarifa telefónica de larga distancia entre dos ciudades es de $15 los primeros 3 minutos y de $(t + 20), para las llamadas de más de tres minutos. Expresar la función de la tarifa telefónica, analizar si hay puntos de discontinuidad y trazar su gráfica. EVALUACIÓN Límites y continuidad  1 1  1 1. En un examen, a Lorenzo se le pide que calcule lim     . Lorenzo responde: “puesto x 4  x 4  x  4  1 1  que lim     0 por tanto, por el teorema del producto, el resultado es cero”. Diga si Lorenzo x 4 x 4 está en lo cierto; en caso de estar equivocado, obtenga el límite correcto.2. Complete la expresión de manera que el procedimiento sea correcto: x 4  8x 2  9 ( x 2  9)( ) ( x  3)( )( ) lim  lim  lim  60 x 3 x3 x 3 x3 x 3 x33. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas: lim f ( x )  4, lim f ( x )  2, lim f ( x )  2, f (3 )  3, f ( 2 )  1 x 3  x 3 x  2 Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 8
  • 9. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 24. Evalúe los siguientes límites, si existen:  3z, z  1 a5  b5  3x 8  a) lim f ( z ) si f ( z )   b) lim c) lim    z 1  3, z  1 a b ab x  4x 4 x 4   x2 si x  1   3 si x  15. Determine si f ( x )   es continua en todo su dominio. Si no lo es, 2  x si 1  x  1   1 si x 1  x2 determine si la discontinuidad es evitable o no evitable.6. Obtenga las constantes a y b, si existen, de modo que la función f sea continua en los reales.  3 6 x 2  si x  2  x2  1 f ( x)   si 2  x  5  ax  b    3 si x  5 w2  17. Diga en qué puntos es continua la función H(w )  (w  8 )3 x4 38. ¿Qué se necesitaría para que la función f ( x )  sea continua en x = 5? x 59. Dadas las siguientes funciones: a) Hallar su dominio de definición. b) Calcular los límites indicados. x2 1. f ( x )  2 lim f ( x) x 4 x2 25  x 2 2. f ( x )  lim f ( x) x5 x5 x 4  3 x3  2 x 2 3. f ( x )  lim f ( x ) x3  x 2 x0 x3  3 x 2  2 x 4. f ( x )  lim f ( x ) x2  4 x  3 x 1 Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 9
  • 10. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2 x 4  16 5. f ( x )  lim f ( x ) x2  x  6 x210. A partir de la gráfica determinar: a) lim f ( x) b) lim f ( x ) c) lim f ( x ) xa x  a x  a (v) (vi) (vii)11. A partir de las siguientes gráficas, determinar si las funciones son continuas en x 0. De no serlo, indicar cuál de las tres condiciones no se cumple: Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 10
  • 11. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO 2 BIBLIOGRAFÍA APUNTES DEL DOCENTE DESIGUALDADES STEWART James , calculo conceptos y aplicaciones, Editorial Thomson HOFFMANN, BRADLEY, ROSEN, Cálculo Aplicado para administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw-Hill HARSHBARGER, REYNOLDS, Matemáticas Aplicada a la administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw-Hill Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012 11

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