Aula 25   probalidade - parte 2
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Estatística: Probabilidade - Variáveis Discretas e Continuas. Distribuição Normal: Definição, Curva Normal, Exemplos e Exercícios.

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Aula 25   probalidade - parte 2 Aula 25 probalidade - parte 2 Presentation Transcript

  • AULA 25 ESTATÍSTICAProfessor: João Alessandro PROBABILIDADE PARTE 2
  • PROBABILIDADE
  • PROBABILIDADE
  • PROBABILIDADE
  • PROBABILIDADE
  • DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE
  • DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE
  • DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE
  • DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE
  • Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades indica a percentagem de vezes que, em grande quantidade de observações, podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável aleatória.Em uma distribuição de probabilidades é necessário: ∑ P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis 0 ≤ P(x) ≤ 1 para todo o x. Distribuições descontínuas ou Distribuições de discretas probabilidade Distribuições contínuas
  • Distribuições Descontínuas ou DiscretasEnvolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatóriasrelativas a dados que podem ser contados.Exemplos: Número de ocorrências por amostras Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo Número de fumantes presentes em eventos esportivos Uniforme ou Retangular Binomial Formas da Binomial Negativa ou de Pascal distribuição Geométrica descontínua Poisson Multinomial ou Polinomial Hipergeométrica
  • Distribuições Contínuas Quando se usa as distribuições contínuas? A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;A variável aleatória em questão é contínua.Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitospontos do círculologo A probabilidade de parar em um ponto definido é zeroNas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrênciaem um intervalo P(a < x < b);Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela áreacontida no intervalo considerado.
  • Distribuições Contínuas UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL BIVARIADA NORMAL EXPONENCIAL LOGNORMALDISTRIBUIÇÕES WEIBULL CONTÍNUAS ( formas) QUI-QUADRADO χ 2 t DE STUDENT F DE SNEDECOR GAMA BETA ERLANG
  • Distribuição Normal Um pouco de história No século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número. Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal” Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento.
  • Distribuição Normal - Exemplos Altura de universitários Peso da população adulta n = 3000 µ = 152 cm s = 5 cm n = 5000 µ = 75 kg s = 12 kg0,20 0,200,15 0,150,10 0,100,05 0,050,00 0,00 0 5 5 0 5 0 5 7 1 3 1 5 3 5 9 7 9 0 1 15 16 2 4 5 7 8 13 13 14 14 14 15 16 16 1 1 Comprimento de uma régua Pessoas num restaurante µ = 250 por dia s = 20 por dia0,15 n = 1000 µ = 30cm s = 0,15cm 0,20,10 0,15 0,10,05 0,050,00 0 30 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 3 1 7 5 9 7 5 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 19 21 23 25 26 28 30
  • Distribuição Normal IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMALRetrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência demuitos fenômenos naturais e físicos.Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ounão) quando n é grande.Representa a distribuição das médias e proporções em grandesamostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a maisimportante).
  • Distribuição Normal Curva normal típica 50% 50% ∞ média ∞ Forma de uma boca de sino Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5) Média = µ Desvio padrão = σ
  • Distribuição Normal - Características1. A curva normal tem a forma de sino2. É simétrica em relação a média3. Prolonga-se de -∞ a +∞ (apenas em teoria) (assintótica)4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão)5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 16. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica da distribuição contínua)8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto
  • Distribuição NormalA probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre doispontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos µ a b P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
  • Distribuição Normal 2 1 e ( ) -1 x - µ 2 σ x – ponto considerado da distrib. µ - média da distribuição f(x) = 2π σ σ - desvio padrão da distribuiçãoOBSERVAÇÃO:x - µ = distância do ponto considerado à médiaz= x - µ número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 σ desvios padrões z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média
  • Distribuição Normal A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z) Normal não Normal padronizada padronizada z = xσ- µ P P µ x 0 z
  • Distribuição Normal Escala efetiva X Escala padronizada µ = 100,0 σ = 10,0 escala efetiva 70 80 90 100 110 120 130escala padronizada -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
  • Distribuição Normal - Consultando a tabela 1,25 . . . 1,0 00 01 02 03 04 05 06 ... 1,1 0,3944 olhando 1,2 . a tabela . .
  • Distribuição Normal - Consultando a tabela Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões área tabelada = área desejada z área entre a média e z 1,00 0,3413 1,50 0,4332 2,13 0,4834 0 z 2,77 0,4972
  • Distribuição Normal - Consultando a tabela z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z) 0 z
  • Distribuição Normal - Tabela 0 z
  • Distribuição Normal - Exemplos1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistênciacompressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuiçãonormal com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar umpacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?N(µ;σ) = N(4000,120) psi X = 3850psi P(z ≤ -1,25) X − µ 3850 − 4000z= = = −1,25 3850 4000 σ 120 Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944 -1,25Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%P ( Z ≤ −1,25) = 0,1056 = 10,56%
  • Distribuição Normal - Exemplos2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas quepermanecem acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser consideradacomo uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrãode 15 dias. Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas,aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro? f(x) µ = 50N(µ,σ) = N(50;15) dias X = 31 dias X − µ 31 − 50 z= = = −1,27 σ 15 20 31 35 X Consultando tabela: -1,27 0 ZP ( Z ≤ −1,27) = 0,3980 log o 0,5000 − 0,3980 = 0,1020 = 10,20% Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas
  • Distribuição Normal - Exemplos 3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média µ=10,00 metros, e desvio padrão igual a σ = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a 10,20 m? f(x)N(µ,σ) = N(10;0,09) metros X = 10,20m µ = 10 X − µ 10,20 − 10 z= = = 2,22 σ 0,09 10,20 X Consultando tabela temos: 0 2,22 ZP ( Z ≥ 2,22) = P ( Z ≤ −2,22) = 0,5 −0,4868 = 0,0132 =1,32%
  • Distribuição Normal - Exemplos CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS 4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio- padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos. f(x) N(µ,σ) = N(8;3) minutosX < 4 minutos X − µ 4 −8 z= = = −1,33 σ 3 4 8 X -1,33 0 Z Consultando a tabela: P ( x ≤ 4) = P ( Z ≤ −1,33) = 0,5 − 0,4082 = 0,0918 = 9,18%
  • Distribuição Normal - Exemplos ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrãode 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradasdefeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa? f(x) N(µ,σ) = N(2,00;0,01) X1 = 2,03 e X2=1,97 µ =2 X − µ 2,03 − 2z1 = = = +3 σ 0,01 X − µ 1,97 − 2z2 = = = −3 1,97 2 2,03 X σ 0,01 0 -3 3 Z P ( x > 2,03)ouP ( x < 1,97) = P ( Z > 3) + P ( Z < −3)Consultando tabela: P ( Z > 3) + P ( Z < −3) = 0,0014 + 0,0014 = 0,28%
  • DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br jalmat@hotmail.com