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Aula 17 medidas separatrizes

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Estatística: Medidas Separatrizes: Quartis, Quintis, Decis e Percentis em Dados Não-Agrupados e Agrupados, exercícios.

Estatística: Medidas Separatrizes: Quartis, Quintis, Decis e Percentis em Dados Não-Agrupados e Agrupados, exercícios.


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  • 1. AULA 17 ESTATÍSTICAProfessor: João AlessandroMEDIDAS SEPARATRIZES
  • 2. MEDIDAS SEPARATRIZESSão números que dividem a seqüência ordenadade dados em partes que contêm a mesmaquantidade de elementos da série. Desta forma, a mediana que divide aseqüência ordenada em dois grupos, cada umdeles contendo 50% dos valores da seqüência, étambém uma medida separatriz. Além da mediana, as outras medidasseparatrizes que destacaremos são: quartis,quintis, decis e percentis.
  • 3. QUARTIS Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada umaficará com seus 25% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados dequartis. Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q1, separa aseqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e75% de seus valores à direita.O segundo quartil, que indicaremos por Q2, separa a seqüênciaordenada deixando 50% de seus valores à esquerda e 50% de seusvalores à direita. Note que o Q2 é a Mediana da série. O terceiro quartil Q3 obedece a mesma regra dos anteriores. Q1 Q2 Q3 Q4 25% 25% 25% 25%
  • 4. QUINTIS Se dividirmos a série ordenada em cinco partes, cadauma ficará com seus 20% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos sãochamados de quintis. Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1,separa a seqüência ordenada deixando 20% de seus valoresà esquerda e 80% de seus valores à direita. De modo análogo são definidos os outros quintis. Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 20% 20% 20% 20% 20%
  • 5. DECIS Se dividirmos a série ordenada em dez partes, cadauma ficará com seus 10% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos sãochamados de decis. Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1,separa a seqüência ordenada deixando 10% de seus valoresà esquerda e 90% de seus valores à direita. De modo análogo são definidos os outros decis. D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
  • 6. PERCENTIS Se dividirmos a série ordenada em cem partes,cada uma ficará com 1% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos sãochamados de centis ou percentis. Assim, o primeiro percentil, que indicaremos porP1, separa a seqüência ordenada deixando 1% de seusvalores à esquerda e 99% de seus valores à direita. De modo análogo são definidos os outrospercentis. P1 P2 A P100 1% 99%
  • 7. PERCENTIS Se observarmos que os quartis, quintis e decis sãomúltiplos dos percentis, então basta estabelecer a fórmula decálculo de percentis. Todas as outras medidas podem seridentificadas como percentis. Ou seja: QUARTIS- PERCENTIS QUINTIS-PERCENTIS DECIS - PERCENTIS Q1 = P25 K1 = P20 D1 = P10 Q2 = P50 K2 = P40 D2 = P20 D3 = P30 Q3 = P75 K3 = P60 D4 = P40 K4 = P80 D5 = P50 D6 = P60 D7 = P70 D8 = P80 D9 = P90
  • 8. DADOS NÃO-AGRUPADOS Identificamos à medida que queremos obter com o percentilcorrespondente, Pi. Calculamos i% de n para localizar a posição do percentil ino Rol, ou seja: ixn 100 Em seguida, identificamos o elemento que ocupa estaposição. Note que se o elemento for um número inteiro, então Pi queestamos procurando identificar é um dos elementos da seqüênciaordenada. Se não for um número inteiro, isto significa que Pi é umelemento intermediário entre os elementos que ocupam asposições aproximadas por falta ou por excesso do valor calculado.Neste caso, Pi é definido como sendo a média dos valores queocupam estas posições aproximadas.
  • 9. DADOS NÃO-AGRUPADOS - EXEMPLOSDada a série de valores, Calcule Q1 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.Solução: Q1 = P25.Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da sérieobtendo: 25 x 12 =3 100 Este valor indica a posição do P25 no Rol, isto é, o P25 é oterceiro elemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rolobtém-se 5. Portanto Q1 = P25 = 5. Interpretação: 25% dos valores desta seqüência são valoresmenores que 5 e 75% dos valores desta seqüência são valoresmaiores que 5.
  • 10. DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE Identificamos à medida que queremos obter com opercentil correspondente, Pi. Calculamos i% de n(Σfi) para localizar a posição dopercentil i no Rol, ou seja: i x Σfi 100Exemplo: Calcule o D4 para a série xi fi Fi 2 3 3 4 5 8 5 8 16 7 6 22 10 2 24 Σfi = 24
  • 11. DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE xi fi Fi Solução: D4 = P40. 2 3 3 Calculamos 40% de 24 que é o 4 5 8 número de elementos da série 5 8 16 obtendo: 7 6 22 40 x 24 = 9,6 10 2 24 100 Σfi = 24 Este valor indica a posição do P40 é um valor compreendido entre o nono e o décimo elemento da série.Observamos que o nono e o décimo elementos é o número 5. Assim: D4 = 5Interpretação: 40% dos valores desta seqüência são valores menoresou iguais que 5 e 60% dos valores desta seqüência são valoresmaiores ou iguais que 5.
  • 12. DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE Para obtermos a fórmula geral para o cálculo dos percentis,vamos generalizar a fórmula de mediana: i x n - F(ant) x h Pi = li + 100 fiSendo:Pi – Percentil i (1, 2, 3, ..., 99);li - limite inferior da classe que contém o percentil;n – número de elementos da série (Σfi);F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classeque contém o percentil;fi - freqüência simples da classe que contém o percentil;h - amplitude do intervalo da classe mediana
  • 13. DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSEExemplo: Calcule o Q3 para a série. i Intervalo de Classe fi Fi 1 0 ⌐ 10 16 16 2 10 ⌐ 20 18 34 3 20 ⌐ 30 24 58 4 30 ⌐ 40 35 93 5 40 ⌐ 50 12 105Solução: Q3 = P75. 75 x 105 = 78,75 100 A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 nasérie é a quarta classe. Esta é a classe que contém o P75.
  • 14. DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSESubstituindo os valores na fórmula obtém-se: 75 x 105 - 58 x 10 P75 = 30 + 100 = 35,93 35Portanto Q3 = P75 = 35,93.Interpretação: 75% dos valores desta seqüência sãovalores menores ou iguais a 35,93 e 25% dos valoresdesta seqüência são valores maiores ou iguais que35.93.
  • 15. EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES1- Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê onúmero aproximado de elementos que situam:a) Acima do P20;b) Abaixo do K3;c) Acima do Q3;d) Abaixo do P90;e) Entre o P10 e o P90;f) Entre o Q1 e o Q3;g) Entre o Q3 e o P80.
  • 16. EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES2- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residênciasparticulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule:a) Q1; i Aluguel fib) K2; (R$)c) D3; 1 0 ⌐ 200 30d) P98. 2 200 ⌐ 400 52 3 400 ⌐ 600 28 4 600 ⌐ 800 7 5 800 ⌐ 1000 3 Σ = 120
  • 17. EXERCÍCIOS: SEPARATRIZESi Consumo fi 3- A distribuição de valores por nota de 54 notas fiscais emitidas (R$) na mesma data,1 0 ⌐ 50 10 selecionadas em uma loja2 50 ⌐ 100 28 de departamentos. Calcule:3 100 ⌐ 150 124 150 ⌐ 200 2 a) Q3;5 200 ⌐ 250 1 b) K4;6 250 ⌐ 300 1 c) D7; Σ = 54 d) P75.
  • 18. EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES4 - Tomando como base o exercício anterior, o gerentedesta loja decidiu premiar a nível promocional com umbrinde diário, 10% dos fregueses que mais consumirem,nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumoda nota fiscal os clientes seriam premiados?
  • 19. EXERCÍCIOS: SEPARATRIZESi Preço fi 5- A tabela ao lado unitário (R$) representa a venda de livros1 0 ⌐ 10 4.000 didáticos em uma editora na2 10 ⌐ 20 13.500 primeira semana de março.3 20 ⌐ 30 25.600 Calcule:4 30 ⌐ 40 43.240 a) Q1;5 40 ⌐ 50 26.800 b) Q3;6 50 ⌐ 60 1.750 c) P90; Σ = 54 d) P10.
  • 20. DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br jalmat@hotmail.com