Aula 07 Medidas de Tendencia Central de Dados Não Agrupados

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Estatística: Medidas de Tendência Central (média, moda e mediana) de Dados Não Agrupados.

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Aula 07 Medidas de Tendencia Central de Dados Não Agrupados

  1. 1. AULA 07 ESTATÍSTICAProfessor: João Alessandro MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALDE DADOS NÃO AGRUPADOS
  2. 2. Notações EstatísticasNOTAÇÃO Característica amostra populaçãoSomatório de um conjunto de valores ∑ ∑Valores individuais dos dados xi xiNúmero de valores (tamanho do conjunto) n NMédia aritmética x µDesvio padrão s σVariância s2 σ2Range (amplitude) R -
  3. 3. Sínteses Numéricas Achatamento - curtose Assimetria - coeficiente de assimetria FORMA POSIÇÃO MEDIDAS ESTATÍSTICAS DISPERSÃOtendência central-Média aritmética -Amplitude-Mediana -Variância-Moda -Desvio padrão-Quartis -Coeficiente de-Percentis Variação -Desvio médio
  4. 4. Medidas de Posição – Tendência Central Média aritmética Corresponde ao somatório de um Média = Σ x conjunto de valores dividido n pelo número destes valores. n = número de valores _ χ =Σx Média de um conjunto de valores n amostrais. µ =Σx Média de todos os valores de N uma população.Obs.:  A média nos dá uma idéia de onde os valores do meu conjunto de dados tende a se concentrar.
  5. 5. Medidas de Posição – Tendência Central Média aritméticaExercício : Um estudante fez quatro provas e obteve as notas 89, 94, 95e 86, a sua nota média é: 89 + 94 + 95 + 86 x= = 89,5 4 notação n x1 + x2 + ... + xn ∑x i ∑x x= = i =1 = n n n
  6. 6. Medidas de Posição – Tendência Central Média aritmética É a mais importante das medidas de tendência central; A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada; Para um dado conjunto de números, a média é única; É sensível (ou afetada) a todos os valores do conjunto. Assim se um valor se modifica, a média também se modifica; Somando-se ou reduzindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada ou reduzida dessa constante: µ(x ± k) = µ (x) ± k; Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a média ficará multiplicada ou reduzida por essa constante: µ(x . k) = µ (x) . k
  7. 7. Medidas de Posição – Tendência Central Média aparada Foi introduzida recentemente nos estudos estatísticos; Se obtém eliminando do conjunto de dados os “m” maiores e os “m” menores valores; Normalmente m correspondente: 2,5% a 5% dos valores observados; Na verdade o que se está fazendo é eliminando os valores extremos superiores e inferiores (valores discrepantes - outliers);No conjunto de dados abaixo, calcular a média aparada, com m=21, 2, 6, 7, 6, 8, 10, 8, 12, 23, 25, 8, 9, 7, 11, 12, 13, 10, 8, 9, 7, 12, 12,10, 9, 11,7, 8, 6, 8, 9, 10, 11, 8, 7, 11, 12, 6, 10, 9, 7, 8, 10, 6, 7, 12, 8, 9,10,
  8. 8. Medidas de Posição – Tendência Central Média aparadaA média aritmética de todos os valores é = 9,29Excluindo os dois menores e dois maiores valores (1, 2, 23 e 25), amédia aparada é = 8,98 30 25 A média aparada exclui 20 valores discrepantes 15 10 5 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
  9. 9. Medidas de Posição – Tendência Central Média ponderadaCada elemento do conjunto pode ter importância diferente (peso).Neste caso o cálculo da média deve levar em conta os pesosdesiguais de cada elemento.Exercício : O colégio definiu que as provas mensais teriam peso de 30%e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos.Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno.exame nota pesoMês 1 80 0,30 0,3*80 + 0,3*90 + 0,4*96Mês 2 90 0,30 xp = = 89,4 0,3 + 0,3 + 0,4Final 96 0,40
  10. 10. Medidas de Posição – Tendência Central Média ponderadaNotação x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn xp = p1, p2....pn são os pesos p1 + p2 + ... + pn n ∑x i pi xp = i=1 n ∑p i=1 i
  11. 11. Medidas de Posição – Tendência Central Mediana - MedA Mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto,quando estes estão em ordem crescente.Divide um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais.ExercícioDado o conjunto de 11 dados: 3, 7, 5, 5, 1, 9, 15, 13, 17, 13, 17Calcule a mediana. Valor central = mediana Conjunto dados 1, 3, 5, 5, 7, 9, 11, 13, 13, 15, 17 ordenados 5 dados 5 dados
  12. 12. Medidas de Posição – Tendência Central Mediana - Med Conjunto de valores pares ( n = par) (Med = valor n/2 + valor ) (n / 2) + 1 / 2 exemplo 5, 7, 10, 11 n=4 Med = (valor 4/2 + valor (4/2 + 1))/2 Med = (valor posição 2 +valor posição3) / 2 = (7 +10) / 2 = 8,5Conjunto de valores impares (n = impar) exemplo 5, 7, 10, 11, 14 n=5 Med = valor (n+ 1) / 2 Med = valor (5+1)/2 = valor 3 Med =valor posição3 = 10
  13. 13. Medidas de Posição – Tendência Central Mediana - MedExercício: Calcular a mediana das medidas de um conjunto de eixo: (3,0 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,0 ; 3,4 ; 2,7)Resolução: (2,7 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,0 ; 3,0 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5) Med = 3,0 + 3,1 = 3,05 2 Interpretação do resultado: 50% dos dados brutos são valores menores ou iguais a 3,05 e 50% desses são valores maiores ou iguais a 3,05.
  14. 14. Medidas de Posição – Tendência Central Média aritmética X MedianaSalário dos funcionários de um restaurante 200 + 250 + 250 + 300 + 450 + 460 + 510200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 x= = 345,7 7A média de 345,7 sintetiza razoavelmente o conjunto de dados (salários)Salário dos funcionários incluindo o gerente 200 + 250 + 250 + 300 + 450 + 460 + 2300200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 x = = 601,4 7A média de 601,4 não sintetiza razoavelmente o conjunto de dados Nos dois casos a mediana é 300. Para o segundo caso a medianarepresenta melhor o conjunto de dados. Num conjunto de dados fortemente desviado, a mediana é uma medidamais representativa (distribuição de rendas, folha de pagamentos)
  15. 15. Medidas de Posição – Tendência Central Moda - MOA Moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta maiorfreqüência em um conjunto de observações.É o valor ou classe de maior freqüência num conjunto de dados. - pode não existir - pode não ser únicaExercício : Dado o conjunto de dados 10, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18,18. Calcule a moda.A moda é constituída de dois valores: MO = 10 e 18 (duas vezes cada)
  16. 16. Medidas de Posição – Tendência Central COMPARAÇÃO medida definição quão existência consider afetada vantagens e freqüent a todos pelos desvantagens e valores valores ? extremosmédia “média” existe sim sim muito utilizada mais sempre em estatística ∑x familiar x= nmediana Valor usada existe não não costuma ser médio sempre boa escolha se há valores extremosmoda valor usada pode não não não apropriada para mais às vezes existir; dados ao nível freqüente pode ter nominal mais de uma moda
  17. 17. DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br jalmat@hotmail.com

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