Aula 05   derivadas - conceitos iniciais
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Aula 05 derivadas - conceitos iniciais

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Derivadas: Conceitos Iniciais, Definição e Exercícios aplicando a definição.

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Aula 05   derivadas - conceitos iniciais Aula 05 derivadas - conceitos iniciais Presentation Transcript

  • AULA 05 MATEMÁTICA II Professor: João Alessandro DERIVADAS:CONCEITOS INICIAIS
  • A LINGUAGEM DO MOVIMENTO Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas. derivadasA derivada expressa o ritmo da mudança instantânea emqualquer fenômeno que envolva funções.Mas, quando se trata de corpos emmovimento, esta interpretação éespecialmente precisa e interessante.De fato, historicamente, foi o que deuorigem ao estudo das derivadas.
  • A LEI DA QUEDA DOS CORPOSA tentativa de Galileu de demonstrarque todos os corpos caem com amesma aceleração esbarrou na falta deum instrumento matemático - asderivadas.• Quem foi capaz de completar a tarefade Galileu?...Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quaseao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. Sir Isaac NewtonGottfried Wilhelmvon Leibniz (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de(Leipzig, 1 de julho 1643 — Londres,de 1646 — Hanôver, 31 de Março de14 de Novembro de 1727)1716)
  • A LINGUAGEM DO MOVIMENTONewton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferenciale, ao medir o ritmo de mudança dos fenômenosfísicos, naturais e inclusivamente sociais, abriramas portas ao espetacular desenvolvimentocientífico e tecnológico que transformou o mundoem 3 séculos tanto ou mais que em toda a históriaanterior. Parecia que por fim se tinha cumprido osonho pitagórico: explicar o mundo com aMatemática.() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o amanter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao CálculoDiferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios eeste foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando opublicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelopróprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste casonada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “terdesfeito o coração de Leibniz”.
  • INTRODUÇÃOSe uma função é representada graficamente por uma reta(função afim) facilmente sabemos com que velocidade variaessa função. Corresponde, é claro, ao declive da retarepresentativa da função. y f(b) f(b) - f(a) ∆y α f(a) b–a f ( b) − f ( a) ∆x tmv = tgα = =m 14 4 −a 3 b244 taxa média V ∆y y de variação V ∆x x O a b x
  • E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função?O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente”a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… oresto é História e o estudo das Derivadas… y f(b) f ( b) − f ( a) tmv = =m 4− a 3 b 14 244 V ∆y y V ∆x x f(b) - f(a) ∆y f(a) b–a O a ∆x b x
  • APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NA GEOMETRIA ANALÍTICA
  • E… quando tomamos o limite? y Vamos, então, estudar Derivadas! f(x) ∆y f(x) − f(x 0 ) = m(x − x 0 ) f(x) - f(x0) f (x 0 ) = tgα = m f(x0) α ∆x x0 x-x0 x f(x) − f(x 0 ) = f (x).(x − x 0 ) O x y − f(x 0 ) = y .(x − x 0 )
  • OUTROS EXEMPLOSExemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2. – Então temos que: y(ºC) • A partir de x0 = 1h, a variável x f(3)=9 aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h. ∆y ∆x = x – x0 = 3 – 1 = 2 • A temperatura y = f(x) também sofre f(1)=1 variação: passou de f(1) = 1ºC para ∆x x0=1 x=3 x(h) f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC). ∆y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8 A razão ∆y/∆x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média.
  • TEMPERATURA DE UMA SALA• Noção Intuitiva – Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h. y(ºC) x x f(x) ∆x ∆y ∆y/ ∆x f(3)=9 1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5 ∆y 1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2 1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1 f(1)=1 ∆x 1,000277 1,00055 0,000277 0,00055 2,000360 1h1seg 7 5 7 5 1 x0=1 x=3 x(h) À medida que ∆x se aproxima de zero, ∆y/∆x se aproxima de 2.
  • TEMPERATURA DE UMA SALA y(ºC) ∆y f ( x) − f ( x0 ) f(3)=9 f ( x0 ) = y = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0 ∆y x 2 −1 ( x − 1)( x + 1) lim = lim = lim( x + 1) = 2º C / h x →1 x − 1 x →1 x −1 x →1 f(1)=1 ∆x x0=1 x=3 x(h) O limite da razão ∆y/∆x, quando ∆x → 0, exprime que, quando xaumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, atemperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.(aproximadamente, pois se trata de limites)
  • EXEMPLOSExemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no pontox0 = 3, ou seja, f’(3). ∆y f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 ) = y = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18 2x 2 − 18 2( x 2 − 9) 2( x + 3)( x − 3)f (3) = lim = lim = lim x →3 x − 3 x →3 x − 3 x →3 x −3 f (3) = lim 2( x + 3) = 12 x →3
  • EXEMPLOSExemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ouseja, f’(2). ∆y f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 ) = y = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8 x2 − 6x + 8 ( x − 2)( x − 4)f (2) = lim = lim = lim( x − 4) = −2 x →2 x−2 x →2 x−2 x →2
  • EXEMPLOSExemplo 4 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades demotores, sendo o custo mensal de produção dado por:C(x) = 1500 + x (em reais).a) Determine a derivada no ponto x0 = 10 motores.b) Interprete o resultado obtido.a) f(x0) = f(10) = 1500 + 10 = 1510 ∆y f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 ) = y = lim = lim ∆x →0 ∆x x → x0 x − x0 1500 + x − 1510 x − 10 f ( x 0 ) = lim = lim =1 x →10 x − 10 x →10 x − 10b) O resultado f’(x0) = 1, significa que a cada aumentode unidade de motor, há um aumento de 1 real nocusto mensal, a partir de 100 motores.
  • EXEMPLOSExemplo 5 - Consideremos a função C(x) = custo da produçãode x sapatos, em reais.Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos,tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.O que significa isso?Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade eproduzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20reais, aproximadamente.
  • DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br jalmat@hotmail.com