Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos

on

  • 49,910 views

Cálculo de Limites: Limites Indeterminados e no Infinito.

Cálculo de Limites: Limites Indeterminados e no Infinito.

Statistics

Views

Total Views
49,910
Views on SlideShare
49,910
Embed Views
0

Actions

Likes
15
Downloads
745
Comments
1

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos Presentation Transcript

  • AULA 02 MATEMÁTICA II Professor: João AlessandroCÁLCULO DE LIMITES
  • Cálculo - LimitesPara o cálculo do limite de uma função basta substituir ovalor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) naexpressão da função f(x).No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nemsempre) para funções racionais. Isto acontece quando sefaz a substituição direta de x por seu valor de tendênciae encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou ∞/∞ ou ∞/0).Veja os casos nos slides seguintes.
  • Cálculo - Limites Regras adicionais• 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a. x 2 − 4 22 − 4 0 lim = = = Indeterminação x →2 x − 2 2 −2 0 x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) lim = lim = lim( x + 2) = 2 + 2 = 4 x →2 x − 2 x →2 x −2 x →2 View slide
  • Regras adicionais• 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais. 1 1 1 lim = = = x →2 x − 2 2 − 2 0 1 1 lim = −∞ e lim = +∞. x −2 x −2 x →2 − x →2 +Portanto o limite não existe.Pois pela condição de existência de limite, o limite peladireita deve ser igual ao limite pela esquerda. View slide
  • Regras adicionais – Limites com e/no Infinito• 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo. 1o exemplo (função racional): 2x3 + x 2 − 5x + 3 2x3 lim = lim = lim 2 x 2 = 2.(∞) 2 = ∞ x →∞ x −2 x →∞ x x →∞ 2o exemplo (função polinomial): lim (5 x 2 − 2 x +1) = lim (5 x 2 ) = 5.(∞) 2 = ∞ x →∞ x →∞
  • EXEMPLOExpressões indeterminadas: Considere o seguinte limite: x − 273 lim x →3 x − 3Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas jáconhecidas chegaríamos ao seguinte resultado: x − 27 3 − 27 0 3 3 lim = = x →3 x − 3 3−3 0
  • EXEMPLOExpressões indeterminadas Mas vejamos o gráfico desta função: x f(x) 2,7 24,39 2,8 25,24 2,9 26,11 L 3,0 27 3,1 27,91 3,2 28,84 3,3 29,79
  • • Apesar da função não estar definida no ponto x = 3,quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproximade 27. Portanto: x − 27 3 lim = 27 x →3 x − 3• Mas como se resolve a equação algébrica de modoa chegar a este valor?
  • • Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!!Neste exemplo, x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9) 3 2Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo: ( x − 3)( x + 3 x + 9) 2 f ( x) = = x + 3x + 9 2 ( x − 3)Basta então calcular: lim( x + 3x + 9) = 27 2 x →3
  • FATORAÇÃO• Diferença de quadrados a − b = (a + b).(a − b) 2 2 2 2 2 2 (a + b).(a − b) = a − a.b + b.a − b = a − bExemplos: a ) x 2 − 16 = ( x − 4).( x + 4) b ) 9y 2 − a 2 = (3y + a ).(3y − a ) c ) 16x 4 − 81 = ( 4x 2 − 9).( 4x 2 + 9) = ( 2x − 3).( 2x + 3).( 4x 2 + 9)
  • FATORAÇÃO• Trinômio quadrado perfeito (a + b) 2 = (a + b).(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = (a − b).(a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 Exemplos: 2 + 4a + 4 = (a + 2) 2 a 2 16y 6 − 24y 3 + 9 =  4y 3 − 3      Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença de quadrados a2 - b2.
  • FATORAÇÃO• Soma e Diferença de Cubos a + b = (a + b).(a − ab + b ) 3 3 2 2 a − b = (a − b).(a + ab + b ) 3 3 2 2 Exemplos: x + 8 = ( x + 2).( x − x.2 = 2 ) = ( x + 2).( x − 2 x + 4) 3 2 2 264a 3 − 125 = (4a)3 − 53 = (4a − 5).(16a 2 = 20a + 25)
  • PROPRIEDADES DE LIMITES• P1 - O limite da soma é igual a soma dos limites (caso esses limites existam): lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x →a x →a x →a Exemplo: lim ( x 2 + 3x + 5) = x →2 lim x 2 + lim 3x + lim 5 = x →2 x →2 x →2 lim x 2 + 3 lim x + lim 5 x →2 x →2 x →2 = 2 2 + 3.2 + 5 = 15
  • PROPRIEDADES DE LIMITES• P2- O limite da diferença é igual a diferença doslimites (caso esses limites existam): lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) x→a x→a x→a Exemplo: lim(2 x 2 − x) = lim 2 x 2 − lim x x →2 x →2 x →2 2 lim x − lim x = 2.2 − 2 = 6 2 2 x →2 x →2
  • PROPRIEDADES DE LIMITES• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites(caso esses limites existam): lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x) x →a x →a x →aExemplo: 2 lim( x ) = lim x.x = lim x. lim x = 3.3 = 9 x →3 x →3 x →3 x →3
  • PROPRIEDADES DE LIMITES• P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites (caso esses limites existam):  f ( x)  lim f ( x ) lim  = x →a x →a g ( x )    lim g ( x) x →a Exemplo: lim ( x − 5)  x −5  x →3 3−5 − 2 -1 lim  = = = =x →3 x 3 − 7    lim ( x 3 − 7 ) 27 − 7 20 10 x →3
  • DÚVIDAS?