SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROFA. JOANE DE JESUS MATE 4031: ALGEBRA LINEAL
¿ QU É  ES UN SISTEMA DE ECUACIONES? <ul><li>Es un conjunto de ecuaciones con las mismas variables. </li></ul><ul><li>Es u...
¿ CU Á L ES LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA? <ul><li>La solución es el par o los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones...
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS <ul><li>Consistente (tiene solución) </li></ul><ul><ul><li>Las rectas se intersecan o coinci...
<ul><li>Inconsistente (no tiene solución) </li></ul><ul><ul><li>Las dos gr á ficas son paralelas </li></ul></ul><ul><ul><l...
<ul><li>Independiente </li></ul><ul><ul><li>Son dos rectas diferentes </li></ul></ul>
<ul><li>Dependiente </li></ul><ul><ul><li>Dos rectas iguales que se convierten en una sola </li></ul></ul>
RESUMEN DE LA CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES Gr á ficas de las ecuaciones N ú mero de soluciones Terminología...
<ul><li>Ejemplo #1 </li></ul>CLASIFIQUEMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><li>...
EJEMPLO #2 <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><li>Las rectas coinciden.  </li></ul><ul><li>Las soluciones son infinitas....
EJEMPLO #3 <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><li>Las rectas son paralelas. </li></ul><ul><li>No hay puntos de solución....
INTÉNTALO TÚ <ul><li>Instrucciones: </li></ul><ul><li>Clasifica los sistemas de ecuaciones en dependiente, independiente, ...
EJERCICIO #1 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . consistente </li></ul><ul><li>b . inconsistente-in...
EJERCICIO #2 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . consistente </li></ul><ul><li>b . inconsistente </...
EJERCICIO #3 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . inconsistente </li></ul><ul><li>b . consistente-de...
EJERCICIO #4 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . dependiente </li></ul><ul><li>b . consistente </li...
MÉTODO GR Á FICO <ul><li>Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coorde...
EJEMPLO #1 <ul><li>Encuentra gráficamente la solución del siguiente sistema: </li></ul><ul><li>y=2x+3 </li></ul><ul><li>y=...
<ul><li>HACER LA TABLA DE VALORES PARA CADA ECUACIÓN DEL SISTEMA </li></ul><ul><li>y=2x +3 </li></ul><ul><li>Asignar los v...
TABLAS DE VALORES PARA CADA ECUACIÓN <ul><li>y=2x +3 y=x +1 </li></ul>X Y  2 7 1 5 0 3 -1 1 X Y  2 3 1 2 0 1 -1 0
2. TRAZAR LA GRÁFICA PARA CADA UNA DE LAS ECUACIONES.  y=x+1 y=2x+3
3. Identificar la solución, si es que existe, en la gráfica del sistema. y=x+1 y=2x+3 Solución (-2,-1)
RECUERDA <ul><li>Si las rectas de un sistema son paralelas el sistema NO tiene solución. </li></ul>
INTÉNTALO TÚ <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Realiza una tabla de valores para cada...
EJERCICIO #1 <ul><li>y=-x </li></ul><ul><li>  y=2x-6   </li></ul>y=-x y=2x-6 Haz la gr á fica del sistema e identifica si ...
EJERCICIO #2 <ul><li>y=2x+6 </li></ul><ul><li>y=-x-3 </li></ul>y=2x+6   y=-x-3 Haz la gráfica del sistema e identifica si ...
EJERCICIO #3 <ul><li>y=2x+3 </li></ul><ul><li>y=2x+1 </li></ul>y=2x+3   y=2x+1 Haz la gráfica del sistema e identifica si ...
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN <ul><li>Si las soluciones no son enteras, la resolución de sistemas de ecuaciones por el método de g...
<ul><li>Si una variable de un sistema de ecuaciones aparece sola en uno de los miembros de una de las ecuaciones, podemos ...
EJEMPLO #1 <ul><li>x+y=4 </li></ul><ul><li>y= 3x </li></ul><ul><li>Sustituimos así: </li></ul><ul><li>x+  3x =4 </li></ul>...
<ul><li>Como ya tenemos los valores de ambas variables escribimos la solución del sistema. </li></ul><ul><li>x=1 y=3 </li>...
INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de sustitución. Identifi...
<ul><li>  x+y=4   </li></ul><ul><li>  y=2x+1 </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>x+y=10   </li></ul><ul><li>  x-y=8 </li></ul><...
MÉTODO DE ELIMINACIÓN (DIRECTA) <ul><li>Ejemplo #1 </li></ul><ul><li>x+y=6 </li></ul><ul><li>-x+3y=-2   </li></ul>Si miram...
<ul><li>Sumo vertical de las ecuaciones del sistema. </li></ul><ul><li>  x +y  = 6 </li></ul><ul><li>+ -x +3y=-2 </li></ul...
<ul><li>Sustituyo el valor de  y  en una de las ecuaciones del sistema. </li></ul><ul><li>x+y=6 </li></ul><ul><li>x+( 1 )=...
INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Identifi...
<ul><li>3x-3y=6 </li></ul><ul><li>3x+3y=0 </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>x+y=8 </li></ul><ul><li>-x+2y=7   </li></ul><ul><...
MÉTODO DE ELIMINACIÓN  (MULTIPLICANDO POR -1) <ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>5x-2y=-3   </li></ul><ul><li>Para elimina...
<ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>+  -1 (5x-2y=-3) </li></ul><ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>+ -5x+2y=3   </li></ul><u...
<ul><li>Sustituyo el valor de  y  en una de las ecuaciones del sistema.  </li></ul><ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>5x+3...
INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Para est...
<ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>5x-2y=-3   </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>8x+11y=37 </li></ul><ul><li>-2x+11y=7   </li>...
MÉTODO DE ELIMINACIÓN (MULTIPLICANDO) <ul><li>4x-3y=15  </li></ul><ul><li>x-2y=0 </li></ul><ul><li>Para eliminar una de la...
<ul><ul><ul><ul><ul><li>-4 (x-2y=0) </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>4x-3y=15   </li></ul></ul></ul><...
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INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Utiliza ...
<ul><li>5x-2y=14 </li></ul><ul><li>3x+6y=-6 </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>x+y=5   </li></ul><ul><li>5x-3y=17   </li></ul>...
PROBLEMAS VERBALES <ul><li>Resuelve cada problema verbal, planteando un sistema de ecuaciones lineales en dos variables pa...
<ul><li>Dos autobuses viajan por la ciudad de San Juan recogiendo a los estudiantes. Para recoger a Milagros el autobús #1...
<ul><li>Andrés y Marcos son hermanos. La suma de sus edades es 82. La edad de Andrés es 12 años mayor que la edad de Marco...
<ul><li>  La suma de la velocidad de dos autos es 115. La diferencia es 21. ¿Cuál es la velocidad de cada auto? </li></ul>...
REFERENCIAS <ul><li>Á lgebra I, Glencoe, p á gs. 477-479 </li></ul><ul><li>Á lgebra, Juan S á nchez, p á gs. 246-255 </li>...
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Sistemas de ecuaciones lineales

  1. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROFA. JOANE DE JESUS MATE 4031: ALGEBRA LINEAL
  2. 2. ¿ QU É ES UN SISTEMA DE ECUACIONES? <ul><li>Es un conjunto de ecuaciones con las mismas variables. </li></ul><ul><li>Es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. </li></ul>
  3. 3. ¿ CU Á L ES LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA? <ul><li>La solución es el par o los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones. </li></ul><ul><li>También, se puede decir que la solución es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. </li></ul>
  4. 4. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS <ul><li>Consistente (tiene solución) </li></ul><ul><ul><li>Las rectas se intersecan o coinciden. </li></ul></ul><ul><ul><li>Existe al menos un par ordenado que satisface ambas ecuaciones . </li></ul></ul>
  5. 5. <ul><li>Inconsistente (no tiene solución) </li></ul><ul><ul><li>Las dos gr á ficas son paralelas </li></ul></ul><ul><ul><li>No hay par ordenado alguno que satisfaga ambas ecuaciones </li></ul></ul>
  6. 6. <ul><li>Independiente </li></ul><ul><ul><li>Son dos rectas diferentes </li></ul></ul>
  7. 7. <ul><li>Dependiente </li></ul><ul><ul><li>Dos rectas iguales que se convierten en una sola </li></ul></ul>
  8. 8. RESUMEN DE LA CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES Gr á ficas de las ecuaciones N ú mero de soluciones Terminología Rectas que se intersecan en un punto S ó lo una Consistente e independiente La misma recta Infinitas Consistente y dependiente Rectas paralelas Ninguna Inconsistente e independiente
  9. 9. <ul><li>Ejemplo #1 </li></ul>CLASIFIQUEMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><li>Las rectas se intersecan. </li></ul><ul><li>Hay un s ó lo punto de solución. </li></ul><ul><li>Por lo tanto, el sistema de ecuaciones en la gr á fica es consistente e independiente. </li></ul>
  10. 10. EJEMPLO #2 <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><li>Las rectas coinciden. </li></ul><ul><li>Las soluciones son infinitas. </li></ul><ul><li>Por lo tanto, el sistema es consistente y dependiente. </li></ul>
  11. 11. EJEMPLO #3 <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><li>Las rectas son paralelas. </li></ul><ul><li>No hay puntos de solución. </li></ul><ul><li>Por lo tanto, el sistema es inconsistente e independiente. </li></ul>
  12. 12. INTÉNTALO TÚ <ul><li>Instrucciones: </li></ul><ul><li>Clasifica los sistemas de ecuaciones en dependiente, independiente, consistente e inconsistente. Selecciona la letra de tu respuesta para corroborar si la misma es correcta. </li></ul>
  13. 13. EJERCICIO #1 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . consistente </li></ul><ul><li>b . inconsistente-independiente </li></ul><ul><li>c . consistente-independiente </li></ul><ul><li>d . consistente-dependiente </li></ul><ul><li>e . inconsistente </li></ul>
  14. 14. EJERCICIO #2 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . consistente </li></ul><ul><li>b . inconsistente </li></ul><ul><li>c . dependiente </li></ul><ul><li>d . independiente </li></ul><ul><li>e . inconsistente-independiente </li></ul>
  15. 15. EJERCICIO #3 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . inconsistente </li></ul><ul><li>b . consistente-dependiente </li></ul><ul><li>c . inconsistente-independiente </li></ul><ul><li>d . dependiente </li></ul><ul><li>e . consistente-independiente </li></ul>
  16. 16. EJERCICIO #4 <ul><li>El sistema de ecuaciones es: </li></ul><ul><li>a . dependiente </li></ul><ul><li>b . consistente </li></ul><ul><li>c . consistente-independiente </li></ul><ul><li>d . consistente-dependiente </li></ul><ul><li>e . inconsistente </li></ul>
  17. 17. MÉTODO GR Á FICO <ul><li>Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o puntos de intersección están en ambas rectas, estas parejas ordenadas son soluciones del sistema. </li></ul>
  18. 18. EJEMPLO #1 <ul><li>Encuentra gráficamente la solución del siguiente sistema: </li></ul><ul><li>y=2x+3 </li></ul><ul><li>y=x+1 </li></ul>
  19. 19. <ul><li>HACER LA TABLA DE VALORES PARA CADA ECUACIÓN DEL SISTEMA </li></ul><ul><li>y=2x +3 </li></ul><ul><li>Asignar los valores para la x </li></ul><ul><li>Evaluar la ecuación en cada uno de los valores asignados </li></ul><ul><li>Ejemplo sustitución para x=2 </li></ul><ul><li>y=2x+3 </li></ul><ul><li>y=2( 2 )+3 </li></ul><ul><li>y=4+3 </li></ul><ul><li>y=7 </li></ul>X Y 2 1 0 -1
  20. 20. TABLAS DE VALORES PARA CADA ECUACIÓN <ul><li>y=2x +3 y=x +1 </li></ul>X Y 2 7 1 5 0 3 -1 1 X Y 2 3 1 2 0 1 -1 0
  21. 21. 2. TRAZAR LA GRÁFICA PARA CADA UNA DE LAS ECUACIONES. y=x+1 y=2x+3
  22. 22. 3. Identificar la solución, si es que existe, en la gráfica del sistema. y=x+1 y=2x+3 Solución (-2,-1)
  23. 23. RECUERDA <ul><li>Si las rectas de un sistema son paralelas el sistema NO tiene solución. </li></ul>
  24. 24. INTÉNTALO TÚ <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Realiza una tabla de valores para cada ecuación, grafica las líneas, determina la solución (si existe) y clasifica el sistema. </li></ul>
  25. 25. EJERCICIO #1 <ul><li>y=-x </li></ul><ul><li> y=2x-6 </li></ul>y=-x y=2x-6 Haz la gr á fica del sistema e identifica si existe una solución. Clasifica el sistema. X Y X Y
  26. 26. EJERCICIO #2 <ul><li>y=2x+6 </li></ul><ul><li>y=-x-3 </li></ul>y=2x+6 y=-x-3 Haz la gráfica del sistema e identifica si existe una solución. Clasifica el sistema. X Y X Y
  27. 27. EJERCICIO #3 <ul><li>y=2x+3 </li></ul><ul><li>y=2x+1 </li></ul>y=2x+3 y=2x+1 Haz la gráfica del sistema e identifica si existe una solución. Clasifica el sistema. X Y X Y
  28. 28. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN <ul><li>Si las soluciones no son enteras, la resolución de sistemas de ecuaciones por el método de graficación suele ser inexacta. Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones sin graficar. Uno de ellos se llama el método de sustitución . </li></ul>
  29. 29. <ul><li>Si una variable de un sistema de ecuaciones aparece sola en uno de los miembros de una de las ecuaciones, podemos sustituirla en la otra. </li></ul><ul><li>En ocasiones, ninguna de las ecuaciones tiene alguna variable sola en uno de sus miembros. Si esto sucede, despejamos una variable de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. </li></ul>
  30. 30. EJEMPLO #1 <ul><li>x+y=4 </li></ul><ul><li>y= 3x </li></ul><ul><li>Sustituimos así: </li></ul><ul><li>x+ 3x =4 </li></ul><ul><li>4x=4 Sumamos términos semejantes. </li></ul><ul><li>4x = 4 Dividimos en ambos lados por 4. </li></ul><ul><li>4 </li></ul><ul><li>X=1 </li></ul><ul><li>Sustituimos el valor de la x para encontrar el de y en una de las ecuaciones. </li></ul><ul><li>y=3x </li></ul><ul><li>y=3( 1 ) </li></ul><ul><li>y=3 </li></ul>
  31. 31. <ul><li>Como ya tenemos los valores de ambas variables escribimos la solución del sistema. </li></ul><ul><li>x=1 y=3 </li></ul><ul><li>Por lo tanto, la solución es (1,3) </li></ul>
  32. 32. INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de sustitución. Identifica la solución y verifica tu respuesta. </li></ul>
  33. 33. <ul><li> x+y=4 </li></ul><ul><li> y=2x+1 </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>x+y=10 </li></ul><ul><li> x-y=8 </li></ul><ul><li>y=2x-5 </li></ul><ul><li> 3y-x=5 </li></ul>EJERCICIO #2 EJERCICIO #3
  34. 34. MÉTODO DE ELIMINACIÓN (DIRECTA) <ul><li>Ejemplo #1 </li></ul><ul><li>x+y=6 </li></ul><ul><li>-x+3y=-2 </li></ul>Si miramos el sistema al sumar las ecuaciones verticalmente se elimina directamente una de las variables.
  35. 35. <ul><li>Sumo vertical de las ecuaciones del sistema. </li></ul><ul><li> x +y = 6 </li></ul><ul><li>+ -x +3y=-2 </li></ul><ul><li> 4y = 4 </li></ul><ul><li>Divido en ambos 4 4 </li></ul><ul><li>lados por 4 </li></ul><ul><li> y=1 </li></ul>
  36. 36. <ul><li>Sustituyo el valor de y en una de las ecuaciones del sistema. </li></ul><ul><li>x+y=6 </li></ul><ul><li>x+( 1 )=6 </li></ul><ul><li>x=6+-1 </li></ul><ul><li>x=5 </li></ul><ul><li>Solución (5,1) </li></ul>
  37. 37. INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Identifica la solución y verifica tu respuesta. </li></ul>
  38. 38. <ul><li>3x-3y=6 </li></ul><ul><li>3x+3y=0 </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>x+y=8 </li></ul><ul><li>-x+2y=7 </li></ul><ul><li>3x-y=9 </li></ul><ul><li>2x+y=6 </li></ul>EJERCICIO #2 EJERCICIO #3
  39. 39. MÉTODO DE ELIMINACIÓN (MULTIPLICANDO POR -1) <ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>5x-2y=-3 </li></ul><ul><li>Para eliminar una de las variables de las ecuaciones del sistema multiplico todos los componentes de una de las ecuaciones por -1. </li></ul>
  40. 40. <ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>+ -1 (5x-2y=-3) </li></ul><ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>+ -5x+2y=3 </li></ul><ul><li>Sumo verticalmente </li></ul><ul><li>5y = 20 </li></ul><ul><li> 5 5 Divido por 5 </li></ul><ul><li>y=4 </li></ul>
  41. 41. <ul><li>Sustituyo el valor de y en una de las ecuaciones del sistema. </li></ul><ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>5x+3( 4 )=17 </li></ul><ul><li>5x+12=17 </li></ul><ul><li>5x=17+-12 </li></ul><ul><li>5x = 5 </li></ul><ul><li> 5 5 </li></ul><ul><li>x=1 </li></ul><ul><li>Solución (1,4) </li></ul>
  42. 42. INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Para esto utiliza la propiedad multiplicativa (-1). Identifica la solución y verifica tu respuesta. </li></ul>
  43. 43. <ul><li>5x+3y=17 </li></ul><ul><li>5x-2y=-3 </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>8x+11y=37 </li></ul><ul><li>-2x+11y=7 </li></ul>EJERCICIO #2 5x+4y=12 3x+4y=4 EJERCICIO #3
  44. 44. MÉTODO DE ELIMINACIÓN (MULTIPLICANDO) <ul><li>4x-3y=15 </li></ul><ul><li>x-2y=0 </li></ul><ul><li>Para eliminar una de las variables de mi sistema multiplico todos los componentes de una de las ecuaciones de mi sistema. </li></ul>
  45. 45. <ul><ul><ul><ul><ul><li>-4 (x-2y=0) </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>4x-3y=15 </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>-4x+8y=0 </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>+ 4x-3y=15 </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Sumo verticalmente </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>5y = 15 </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>5 5 Divido por 5 </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>y=3 </li></ul></ul></ul></ul></ul>
  46. 46. <ul><li>Sustituyo el valor de y en una de las ecuaciones del sistema. </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>x-2y=0 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>x-2( 3 )=0 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>x+-6=0 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>x=6 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Solución (6,3) </li></ul></ul></ul></ul>
  47. 47. INTÉNTALO T Ú <ul><li>Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Utiliza la propiedad multiplicativa. Identifica la solución y verifica tu respuesta. </li></ul>
  48. 48. <ul><li>5x-2y=14 </li></ul><ul><li>3x+6y=-6 </li></ul>EJERCICIO #1 <ul><li>x+y=5 </li></ul><ul><li>5x-3y=17 </li></ul>EJERCICIO #2 x-2y=0 4x-3y=15 EJERCICIO #3
  49. 49. PROBLEMAS VERBALES <ul><li>Resuelve cada problema verbal, planteando un sistema de ecuaciones lineales en dos variables para cada uno de ellos. Identifica la solución y verifica tu respuesta. </li></ul>
  50. 50. <ul><li>Dos autobuses viajan por la ciudad de San Juan recogiendo a los estudiantes. Para recoger a Milagros el autobús #1 realiza un movimiento que se describe con la ecuación y=3x+1 y para recoger a Michelle el autobús #2 se mueve de acuerdo con la ecuación y-3x=5. Determina el punto en el que los autobuses se encontrarán. </li></ul>
  51. 51. <ul><li>Andrés y Marcos son hermanos. La suma de sus edades es 82. La edad de Andrés es 12 años mayor que la edad de Marcos. ¿Cuántos años tienen cada uno? </li></ul><ul><li>El perímetro de un rectángulo es de 350cm. El ancho es 15cm menos que el largo. ¿Cuáles son el largo y el ancho de este rectángulo? </li></ul>
  52. 52. <ul><li> La suma de la velocidad de dos autos es 115. La diferencia es 21. ¿Cuál es la velocidad de cada auto? </li></ul><ul><li>La suma de las dos deudas de Carol es -7. El triple de la primera deuda m á s la segunda es igual a -9. Determina la cantidad de las dos deudas de Carol. </li></ul>
  53. 53. REFERENCIAS <ul><li>Á lgebra I, Glencoe, p á gs. 477-479 </li></ul><ul><li>Á lgebra, Juan S á nchez, p á gs. 246-255 </li></ul><ul><li>Á lgebra, Smith, Charles, Dossey, Keedy, Bittinger, págs . 368-387. </li></ul>
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