Critérios de paralelismo e perpendicularidade

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Critérios de paralelismo e perpendicularidade

  1. 1. Escola dos 2ºe 3ºciclos D. João I da Baixa da Banheira Critérios de Paralelismo e Perpendicularidade entre rectas e planos e entre planosTrabalho realizado por: Inês Gonçalves nº13, Joana Ferreira nº15, PedroRibeiro nº23, Sara Candeias nº24Ano/Turma: 9ºAProfessor: Francisco LouroAno Lectivo: 2010/2011Disciplina: Matemática 0
  2. 2. ÍndiceIntrodução …………………………………………………………….. Página 2O que é uma recta? ……………………………………………………. Página 3O que é um plano? ...…………………………………………. ………. Página 5O que significa paralelismo? ………………………………………….. Página 6O que significa perpendicularidade? ………….……………………… Página 7Critérios de paralelismo: - Entre rectas e planos ….………...…………………………….. Página 8 - Entre planos ……...……………………………………………. Página 9Critérios de perpendicularidade: - Entre rectas e planos ..………………………………...……... Página 10 - Entre planos ……..……………………………………………. Página 11Conclusão ……………………………………………………………... Página 12Bibliografia ……………………………………………………………. Página 13 1
  3. 3. Introdução Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Matemática, apedido, do professor Francisco Louro. Ao realizarmos este trabalho pretendemos enriquecer os nossosconhecimentos matemáticos para que num futuro próximo nos possa vir aser útil. A nossa intuição leva-nos, muitas vezes, a afirmar que dois planos sãoparalelos ou que uma recta é perpendicular a um plano. Como garantir que a nossa intuição está correcta? Utilizando critérios de paralelismo e perpendicularidade. 2
  4. 4. O que é uma recta? Uma recta é um conjunto de pontos todos na mesma direcção, ou uma linha, que não tem princípio ou fim. É representada ou por uma letra minúscula (neste caso, r), ou por dois dos seus pontos (AB). Complanares (Quando pertencem ao mesmo plano) Rectas Não Complanares (Quando não pertencem ao mesmo plano) Paralelas(Quando não têm nenhum Concorrentes ponto em comum, tendo (Quando têm um sósempre a mesma distância ponto em comum) entre si) Exemplos: São paralelas as rectas m e n; perpendiculares as rectas l e m. -> 3
  5. 5. Podemos observar rectas em praticamente todas as situações doquotidiano: Em qualquer um dos degraus destas escadas podemos observar rectas, como também o podemos fazer no chão ou até mesmo no corrimão. Na cozinha, tanto nos armários, como nas bancadas, e até nas prateleiras. No parque infantil, tanto no escorrega, nos baloiços, no caixote do lixo… em tudo, praticamente. 4
  6. 6. O que é um plano? Um plano é um objecto geométrico infinito a duas dimensões.Representa-se normalmente por um paralelogramo e identifica-se por umaletra grega ou por três dos seus pontos não colineares.Exemplos de planos na vida real: Numa baliza simples de futebol, podemos observar três planos, onde dois são paralelos. 5
  7. 7. O que significa paralelismo? Paralelismo é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou planos)estão na mesma direcção, com a mesma distância entre si (em qualquerponto dos seus pontos), sem nunca se tocarem. Exemplos de paralelismo na vida real: - Estes lápis de cor estão colocado de forma a ficarem paralelos uns aos outros (representa rectas paralelas); - Nesta vedação, por exemplo, verificamos que todos os barrotes verticais estão paralelos uns aos outros, e que ambas as tábuas horizontais também o estão. (de novo, representa rectas); - Neste quarto podemos verificar que as paredes são paralelas duas a duas, estando, neste caso, representadas por cores; 6
  8. 8. O que significa perpendicularidade? Perpendicularidade é uma noção que indica se dois objectos (rectas ouplanos) fazem um ângulo de 90º entre si. Duas rectas podem ser perpendiculares, tal como dois planos o podemser, mas pode uma recta ser perpendicular a um plano? Sim, pode. Neste caso são duas rectas (s e r) perpendiculares, ou no caso dajanela, várias (10 rectas) perpendiculares.Dois planos (α e β) perpendiculares; dois livros perpendiculares.Uma recta perpendicular a um plano; uma vara perpendicular à água. 7
  9. 9. Critérios de paralelismo É fácil observar e verificar que duas rectas ou dois planos sãoparalelos, mas para o justificar é necessário enunciar teoremas a que sechamam critérios de paralelismo (entre rectas e planos, obviamente).- Entre rectas e planos a Se existir num plano uma recta paralela a uma recta dada complanar (ou b seja, que não está contida nesse plano), a recta e o plano são paralelos. No caso de uma baliza, aacontece isso mesmo, tendo ematenção a recta a, e a recta b queestá contida no plano α, o que tornaa recta a paralela ao plano α. α b 8
  10. 10. - Entre planos a A Se duas rectas concorrentes (a e b b) de um plano (α) são paralelas a outro plano (β), então os planos são paralelos. a No caso de uma simples αsala de aula podemos verificarque o tecto e o chão (dois planos, portanto, α e β) sãoparalelos. b β 9
  11. 11. Critérios de perpendicularidade É igualmente fácil observar que duas rectas ou dois planos sãoperpendiculares, mas, mais uma vez, para o justificar é necessário enunciaros critérios de perpendicularidade (de novo entre rectas e planos,obviamente).- Entre rectas e planos Se uma recta (r) é perpendicular a duas rectas concorrentes (a e b) de um plano (α), então a recta (r) é perpendicular ao plano. r a r Considerando a árvore a arecta perpendicular (r) às duasrectas concorrentes, esta acaba por ser perpendicular ao plano(chão, representado por α). a α b 10
  12. 12. - Entre planos Se num plano (α) existe um recta perpendicular (t) a outro plano (β), então os planos são perpendiculares. t a α α β β Denominando a parede lateral da casa como plano α e a parede frontalcomo plano β, temos assim dois planos perpendiculares. 11
  13. 13. Conclusão Através da realização deste trabalho pudemos compreender uma dasbases mais importantes para construção da geometria. Um critério é uma afirmação que necessita de demonstração para serconsiderada verdadeira e, com estes simples conhecimentos aqui explícitos,conseguimos confirmar e provar o paralelismo e a perpendicularidade deobjectos, com uma certa facilidade. 12
  14. 14. Bibliografia Para a realização destes trabalhos recorremos às seguintes fontes:I – Manuais: - Neves, Maria Augusta Ferreira; Guerreiro, Luís; Neves, Armando“Matemática”, 2ª Parte 9ºano, 1ª edição, Porto Editora, 2009.II – Internet: - http://geomdesc.no.sapo.pt/pag6.htm - http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm22/representa.htm - http://www.google.pt 13

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