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grafos, trajetos e circuitos eulerianos; circuitos eulerianos, árvores abrangentes mínimas

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  • 1. Por: Joana Pinto
  • 2. São representações esquemáticas constituídas por conjuntos finitos de pontos (vértices) e por segmentos (arestas), que unem os pontos. No quotidiano, os grafos são utilizados para encontrar soluções ótimas para determinadas situações: na definição de redes de distribuição de mercadorias, na organização de roteiros, na definição de horários ou de sequências de tarefas.
  • 3.  Grafo conexo1 – grafo onde existe sempre uma sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus vértices.  Digrafo (ou grafo orientado)2 – grafo em que as arestas têm orientações (sentidos) definidas (com setas).  Grafo completo3 – grafo em que cada um dos vértices é adjacente a todos os outros. Por exemplo, o grafo 3 é de ordem 5 pois tem 5 vértices 1 2 3
  • 4.  Grau (ou valência) de um vértice é o número de arestas que nele concorrem. Diz-se que um vértice tem grau par se nele concorre um número par de arestas e que tem grau ímpar no caso de esses números ser ímpar.  Passeio – sequência de vértices em que cada dois vértices consecutivos estão ligados por uma aresta, podendo haver repetição;  Caminho – passeio em que apenas se passa uma vez em cada vértice;  Trajeto (ou trilho) – é um passeio em que apenas se passa uma vez por cada aresta;  Circuito (ou ciclo) – é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice.
  • 5. Trajeto euleriano – percorre todas as arestas e um grafo uma única vez.  Regra: Num grafo conexo, podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se existirem, no máximo, dois vértices de grau ímpar. Circuito euleriano – é um trajeto euleriano (ou seja, percorre todas as arestas do grafo uma única vez) que começa e acaba no mesmo vértice  Regra: Num grafo conexo podemos encontrar um circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par. Problemas eulerianos – problemas que envolvem as arestas de um grafo.
  • 6. Eulerização de grafos – eulerizar um grafo consiste em acrescentar-lhe arestas, por forma a tornar possível encontrar um circuito euleriano. Se pretendermos eulerizar um grafo, devemos: 1. Verificar o grau de cada vértice para localizar os que têm grau ímpar; 2. Adicionar arestas sempre com o objetivo de que todos os vértices fiquem com grau par. No entanto, adicionar arestas corretamente significa que só podemos duplicar uma aresta já existente entre dois vértices. A melhor eulerização é sempre aquela que acrescenta o menor número de arestas.
  • 7. Circuito hamiltoniano é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice percorrendo todos os vértices uma só vez. Um grafo diz-se hamiltoniano se nele se pode encontrar, pelo menos, um circuito hamiltoniano. Pesos – número que se atribui a cada uma das arestas de um grafo. Pode representar distâncias, custos, tempo, etc. A um grafo com pesos atribuídos chamamos grafo ponderado.
  • 8. Métodos de resolução de problemas Árvores – grafo conexo e sem circuitos. Algoritmo dos mínimos sucessivos (ou do vizinho mais próximo) Algoritmo por ordenação dos pesos das arestas (ou das arestas classificadas (Com valores e totais) O objetivo é começar o percurso numa cidade e seguir sempre para a cidade mais próxima ainda não visitada Ex.: A  B  C (t = 30 km) 1. Começa-se por ordenar as arestas do grafo por ordem crescente de distâncias; 2. Escolhe-se sucessivamente a aresta que corresponde ao valor mais baixo, tendo em conta que: • Um vértice não pode ter mais de duas arestas que lhe concorram; • Não se pode fechar circuito enquanto houverem mais vértices a visitar. Dica: desenha o grafo à medida que eliminas as arestas.
  • 9.  Árvore abrangente (ou árvore geradora) é uma árvore que contém todos os vértices de um grafo dado.  Árvore abrangente mínima – árvore em que a soma dos pesos das arestas é mínima.  Nos tipos de problemas que compreendem as árvores abrangentes mínimas, não temos de regressar ao ponto de partida: só temos de encontrar um percurso que visite todos os vértices sem criar circuitos. Por isso, os vértices podem ter tantas retas a concorrer- lhes quantas necessárias.
  • 10. Para descobrir a árvore abrangente mínima num grafo existe o Algoritmo de Kruskal. Algoritmo de Kurskal: Vão-se unindo as arestas do grafo por ordem crescente dos pesos, desde que não formem circuitos e se garanta que no final todos os vértices estão na árvore.
  • 11. Caminho crítico é uma sequência de tarefas que deve ser realizada no tempo previsto, de forma que determinado trabalho ou projeto seja concretizado dentro do prazo. A sua duração é aquela que determina o menor tempo para a conclusão do projeto e corresponde à maior duração global Tarefa Tempo (dias) Dependências T1 1 Nenhuma T2 2 T1 T3 3 T2 T4 4 T2 T5 5 T2 T6 7 T3 e T5 T7 6 T4 e T5 T8 8 T5 T9 9 T8
  • 12.  Crescimento populacional positivo: há um aumento da população;  Crescimento populacional negativo: há uma diminuição/declínio da população  Crescimento contínuo – as mudanças acontecem a todo o instante;  Crescimento discreto – as mudanças acontecem de tempos a tempos e sempre que se dá uma mudança, diz-se que ocorreu uma transição
  • 13. Progressão aritmética – sucessão em que a diferença entre transições é constante, à qual chamamos razão, r, da progressão. No caso de crescimento populacional, a razão representa a taxa de crescimento da população. Modelo de crescimento linear discreto: é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão aritmética (Pn + 1 – Pn = r)  diferença entre cada termo e o anterior é constante. Para um modelo linear discreto: Pn = P0 + n x r ou y = ax + b