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Variable aleatoria. Esperanza y Varianza Matemática.

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  • 1. Escuela de Medicina Departamento de Medicina Preventiva y Social Cátedra de Bioestadística VARIABLE ALEATORIA Prof. Joan Fernando Chipia Lobo @joanfchipial Mérida, Noviembre de 2014
  • 2. INTRODUCCIÓN En muchos estudios no se desea saber cuál evento ocurrió, sino el número de veces que ha ocurrido un evento. Por ejemplo, al lanzar dos monedas, podríamos estar interesados en el número de caras que ocurrieron. Al nacer 5 niños, quisiéramos saber cuántos son varones.
  • 3. INTRODUCCIÓN (cont.) Los ejemplos anteriores tienen la característica de que a cada uno de los elementos del espacio muestral se le asigna un numero real, que indica el número de veces que está presente el evento de interés. Dicha asignación se realiza a través de una función la cual se denomina variable aleatoria.
  • 4. VARIABLE ALEATORIA Es una función que asigna un número real, a cada resultado del espacio muestral, de un experimento aleatorio. En otras palabras, es una función X definida: X: S → IR Por tanto, es una función cuyo dominio es el espacio muestral y el rango es el conjunto de los número reales.
  • 5. El espacio muestral en muchas ocasiones, no está constituido por números, pero a través de la variable aleatoria, se puede expresar en forma numérica todo tipo de espacio muestral, lo cual facilita el análisis de sus aspectos más relevantes. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria refleja su comportamiento probabilístico.
  • 6. EJEMPLO 1. Se lanza una moneda. S = {C, S}. Sea X = {Número de caras}. Ésta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: - Si es cara, w = C, entonces, X(w) = 1. - Si es sello, w = S, entonces, X(w) = 0. Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1}
  • 7. EJEMPLO 2. Se lanzan dos monedas. S= {CC, CS,SC, SS}. X = {Número de caras} Ésta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: Si w = CC, entonces, X(w) = 2. Si w = CS, entonces, X(w) = 1. Si w = SC, entonces, X(w) = 1. Si w = SS, entonces, X(w) = 0. Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1, 2}
  • 8. EJEMPLO 3. Secuencia del sexo de los dos primeros bebes que nacen en un Hospital. Si utilizamos M para masculino y F para femenino: S= {MM, MF, FM, FF}. X = {Número de femenino en los dos recién nacidos} Si w = MM, entonces, X(w) = 2. Si w = MF = FM, entonces, X(w) = 1. Si w = FF, entonces, X(w) = 0. El dominio de X es el conjunto {MM, MF, FM, FF} y el rango es el conjunto {0,1,2}.
  • 9. NOTA ACLARATORIA En muchos casos ocurre que los elementos del espacio muestral también son números, entonces, X queda definida por X(w)=w (función identidad), es una variable aleatoria. En dicha situación, el mismo experimento aleatorio define una variable aleatoria, con dominio y rango iguales.
  • 10. EJEMPLO 4. Se lanza un dado. S= {1,2,3,4,5,6}. X = {Número de la cara superior del dado} Es decir, X(w)=w, entonces X es una variable aleatoria. El dominio y el rango de X es el conjunto {1,2,3,4,5,6}.
  • 11. ¿CÓMO DETERMINAR LAS PROBABILIDADES DE “S” A TRAVÉS DE “X”? En el ejemplo 3: S= {MM, MF, FM, FF}. La probabilidad de ocurrencia de cada elemento de S, es igual a 1/4 X = {Número de féminas en los dos nacimientos} X puede tomar: 2 para MM, 1 para MF y FM y 0 para FF. Se tiene: P(X=0) = P(FF) = 1/4. P(X=1) = P(MF,FM) = P(MF)+P(FM)=1/4+1/4=1/2 P(X=2) = P(MM) = 1/4
  • 12. VARIABLES ALEATORIAS (V.A.) DISCRETAS: Cuando puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. CONTINUAS: Cuando puede tomar un número infinito no numerable de valores. Alternativamente, se puede definir como aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales.
  • 13. EJEMPLO 5. Variable aleatoria discreta. - El número de accidentes de tránsito que ocurren en una autopista en un lapso de tiempo determinado. - El número de artículos defectuosos que se encuentran en una muestra aleatoria de 20 artículos producidos por una máquina. - El número de veces que se lanza una moneda hasta que salga la primera cara. - El número de hermanos de una persona seleccionada al azar.
  • 14. EJEMPLO 6. Variable aleatoria continua. - El tiempo de espera de un paciente antes de ser atendido. - La edad, la estatura, el peso, la presión arterial, la temperatura. - Ingresos y gastos de una familia.
  • 15. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. DISCRETA “X” La V.A. discreta X es el conjunto formado por los valores x que puede tomar esa variable y las correspondientes probabilidades P (X=x), tal como se determinó en la diapositiva número 11. En toda distribución de probabilidad de una V. A. discreta, debe cumplirse que todas las probabilidades tienen que estar comprendidas entre 0 y 1 y la suma de ellas, es igual a la unidad (1).
  • 16. La distribución de probabilidad del ejemplo 3 (se lanzan dos monedas) quedaría de la siguiente manera: x 0 1 2 P (X=x) 1/4 1/2 1/4 Es importante notar que, la suma de las probabilidades es 1. Aquellos valores que no toma la variable, tiene una probabilidad igual a cero (0).
  • 17. DIAGRAMA DE LÍNEAS Éste diagrama sirve para representar una distribución de probabilidad discreta. Se construye colocando sobre el eje de las abscisas (eje x) los valores de la variable y sobre el eje de las ordenadas (eje y) las probabilidades. Luego se traza para cada valor de la variable una línea paralela al eje de las ordenadas, cuya altura es igual a la correspondiente probabilidad asociada a ese valor.
  • 18. EJEMPLO 7. Gráfico de líneas. Gráfico 1. Distribución de probabilidad del experimento se lanzan dos monedas. 0 1 2 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 X Y
  • 19. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V.A. DISCRETA Es la función que la probabilidad de X sea menor o igual que un valor determinado x, siendo x cualquier número real. Es decir: A ésta función también se le conoce con el nombre de distribución de probabilidad acumulativa.
  • 20. EJEMPLO 8. Función de distribución de una V. A. Discreta Consideremos una variable aleatoria con distribución de probabilidad, dada por: x 1 2 3 4 P (X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
  • 21. SOLUCIÓN El resultado puede verificarse en la Distribución de Probabilidad de X.
  • 22. ¿CÓMO REPRESENTAR GRAFICAMENTE A LA FUNCIÓN? 1 2 3 1,0 0,9 0,8 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 4 X 0,6
  • 23. ESPERANZA MATEMÁTICA: E(x) o μ También llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media de una variable aleatoria, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio, multiplicado por el valor de dicho suceso.
  • 24. ESPERANZA MATEMÁTICA (cont.) La esperanza matemática representa la cantidad media que se "espera“, como resultado de un experimento aleatorio, cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces.
  • 25. EJEMPLO 9. Esperanza Matemática. Consideremos una variable aleatoria con distribución de probabilidad, dada por: x 1 2 3 4 P (X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
  • 26. EJEMPLO 10. Rifa. Si una persona compra un ticket en una rifa, en la que puede ganar en el primer premio Bs. 5000, segundo premio Bs. 2000 con probabilidades de: 0.001 y 0.003 respectivamente ¿Cuál sería el precio justo a pagar por el ticket? E(x) = [5000 x 0.001] + [2000 x 0.003] = 11 Bs
  • 27. EJEMPLO 11. Dos monedas Gana Bs. 1 si aparece una cara. Bs. 2 si aparecen dos caras. Pierde Bs. 5 si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. S= {CC, CS,SC, SS}. p(+1) = 2/4 p(+2) = 1/4 p(−5) = 1/4 E(x)= [1 x 2/4] + [2 x 1/4] – [5 x 1/4] = 2/4+2/4-5/4= −1/4. El juego es desfavorable
  • 28. De una variable aleatoria es una medida de dispersión, que explica la desviación cuadrada de los valores de dicha variable, con respecto a su media, multiplicada por la probabilidad de ocurrencia del evento. Está medida en unidades cuadráticas o elevadas al cuadrado. La varianza tiene como valor mínimo 0.
  • 29. VARIANZA MATEMÁTICA (cont.) La varianza puede verse muy influida por los valores atípicos. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.
  • 30. Es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida que sirve para determinar la dispersión de la variable objeto de estudio, expresada en unidades de medida lineales.
  • 31. EJEMPLO 12. Fabrica de insumos médicos. En una fabrica de insumos médicos se ha determinado que el número de insumos defectuosos producidos en cada turno de trabajo, es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: x 0 1 2 3 4 P (X=x) 0,90 0,06 0,02 0,01 0,01 Hallar la esperanza, varianza y desviación estándar de esa distribución de probabilidad.
  • 32. SOLUCIÓN Esperanza Matemática 퐸 푥 = 0푥0,9 + 1푥0,06 + 2푥0,02 + 3푥0,01 + (4푥0,01) = 0,17 E(x)=0,17 insumos 푉 푥 = 0,3611 푖푛푠푢푚표푠2 퐃퐞퐬퐯퐢퐚퐜퐢ó퐧 퐞퐬퐭á퐧퐝퐚퐫 퐷퐸 푥 = 0,3611 푖푛푠푢푚표푠2 = 0,6009 푖푛푠푢푚표푠
  • 33. ACTIVIDAD EVALUADA EN EL BLOG a) Investigar las principales propiedades de la esperanza, varianza y desviación estándar. b) Muestre por medio de ejemplos, que las propiedades investigadas son verdaderas.
  • 34. REFERENCIA Armas, J. (1992). Estadística sencilla: probabilidades. Mérida: Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes. FINALMENTE, LOS INVITO A LA PÁGINA WEB DE BIOESTADÍSTICA: URL http://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/joanfchipia/