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Variable aleatoria. Esperanza y Varianza Matemática.

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Variable aleatoria Variable aleatoria Presentation Transcript

  • Escuela de MedicinaDepartamento de Medicina Preventiva y SocialCátedra de Bioestadística VARIABLE ALEATORIA Prof. Joan Fernando Chipia Lobo @joanfchipial Febrero, 2013
  • INTRODUCCIÓNEn muchos estudios no se desea saber cuál eventoocurrió, sino el número de veces que ha ocurrido unevento. Por ejemplo, al lanzar dos monedas,podríamos estar interesados en el número de carasque ocurrieron. Al nacer 5 niños, quisiéramos sabercuántos son varones.
  • INTRODUCCIÓN (cont.)Los ejemplos anteriores tienen la característica deque a cada uno de los elementos del espaciomuestral se le asigna un numero real, que indica elnúmero de veces que está presente el evento deinterés. Dicha asignación se realiza a través de unafunción la cual se denomina variable aleatoria.
  • VARIABLE ALEATORIAEs una función que asigna un número real, a cadaresultado del espacio muestral, de un experimentoaleatorio.En otras palabras, es una función X definida: X: S → IRPor tanto, es una función cuyo dominio es elespacio muestral y el rango es el conjunto de losnúmero reales.
  • El espacio muestral en muchas ocasiones, no estáconstituido por números, pero a través de la variablealeatoria, se puede expresar en forma numérica todotipo de espacio muestral, lo cual facilita el análisis desus aspectos más relevantes.La distribución de probabilidad de una variablealeatoria refleja su comportamiento probabilístico.
  • EJEMPLO 1. Se lanza una moneda. S = {C, S}. Sea X = {Número de caras}.Ésta función asigna los siguientes valores a loselementos del espacio muestral: - Si es cara, w = C, entonces, X(w) = 1. - Si es sello, w = S, entonces, X(w) = 0. Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1}
  • EJEMPLO 2. Se lanzan dos monedas. S= {CC, CS,SC, SS}. X = {Número de caras}Ésta función asigna los siguientes valores a loselementos del espacio muestral: Si w = CC, entonces, X(w) = 2. Si w = CS, entonces, X(w) = 1. Si w = SC, entonces, X(w) = 1. Si w = SS, entonces, X(w) = 0. Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1, 2}
  • EJEMPLO 3. Secuencia del sexo de los dos primeros bebes que nacen en un Hospital.Si utilizamos M para masculino y F para femenino: S= {MM, MF, FM, FF}.X = {Número de femenino en los dos recién nacidos} Si w = MM, entonces, X(w) = 2. Si w = MF = FM, entonces, X(w) = 1. Si w = FF, entonces, X(w) = 0.El dominio de X es el conjunto {MM, MF, FM, FF}y el rango es el conjunto {0,1,2}.
  • NOTA ACLARATORIAEn muchos casos ocurre que los elementos delespacio muestral también son números, entonces,X queda definida por X(w)=w (función identidad),es una variable aleatoria.En dicha situación, el mismo experimento aleatoriodefine una variable aleatoria, con dominio y rangoiguales.
  • EJEMPLO 4. Se lanza un dado. S= {1,2,3,4,5,6}. X = {Número de la cara superior del dado}Es decir, X(w)=w, entonces X es una variablealeatoria. El dominio y el rango de X es elconjunto {1,2,3,4,5,6}.
  • ¿CÓMO DETERMINAR LAS PROBABILIDADES DE “S” A TRAVÉS DE “X”? En el ejemplo 3: S= {MM, MF, FM, FF}. La probabilidad de ocurrencia de cada elemento de S, es igual a 1/4 X = {Número de féminas en los dos nacimientos}X puede tomar, 2 para MM, 1 para MF y FM y 0 para FF. Se tiene: P(X=0) = P(FF) = 1/4. P(X=1) = P(MF,FM) = P(MF)+P(FM)=1/4+1/4=1/2 P(X=2) = P(MM) = 1/4
  • DISCRETAS: Cuando puede tomar un número finito o infinito numerable de valores.VARIABLES CONTINUAS:ALEATORIAS Cuando puede tomar un número (V.A.) infinito no numerable de valores. Alternativamente, se puede definir como aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales.
  • EJEMPLO 5. Variable aleatoria discreta.- El número de accidentes de tránsito que ocurren en una autopista en un lapso de tiempo determinado.- El número de artículos defectuosos que se encuentran en una muestra aleatoria de 20 artículos producidos por una máquina.- El número de veces que se lanza una moneda hasta que salga la primera cara.- El número de hermanos de una persona seleccionada al azar.
  • EJEMPLO 6. Variable aleatoria continua.- El tiempo de espera de un paciente antes de seratendido.- La edad, la estatura, el peso, la presión arterial, latemperatura.- Ingresos y gastos de una familia.
  • DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. DISCRETA “X”La V.A. discreta X es el conjunto formado por losvalores x que puede tomar esa variable y lascorrespondientes probabilidades P (X=x), tal comose determinó en la diapositiva número 11.En toda distribución de probabilidad de una V. A.discreta, debe cumplirse que todas lasprobabilidades tienen que estar comprendidas entre0 y 1 y la suma de ellas, es igual a la unidad (1).
  • La distribución de probabilidad del ejemplo 3 (selanzan dos monedas) quedaría de la siguientemanera: x 0 1 2 P (X=x) 1/4 1/2 1/4Es importante notar que, la suma de lasprobabilidades es 1.Aquellos valores que no toma la variable, tiene unaprobabilidad igual a cero (0).
  • DIAGRAMA DE LÍNEASÉste diagrama sirve para representar unadistribución de probabilidad discreta.Se construye colocando sobre el eje de las abscisas(eje x) los valores de la variable y sobre el eje delas ordenadas (eje y) las probabilidades.Luego se traza para cada valor de la variable unalínea paralela al eje de las ordenadas, cuya altura esigual a la correspondiente probabilidad asociada aese valor.
  • EJEMPLO 7. Gráfico de líneas.Gráfico 1. Distribución de probabilidaddel experimento se lanzan dos monedas. Y 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 X 0 1 2
  • FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V.A. DISCRETAEs la función que la probabilidad de X sea menor oigual que un valor determinado x, siendo x cualquiernúmero real. Es decir:A ésta función también se le conoce con el nombrede distribución de probabilidad acumulativa.
  • EJEMPLO 8. Función de distribución de una V. A. DiscretaConsideremos una variable aleatoria condistribución de probabilidad, dada por: x 1 2 3 4 P (X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
  • SOLUCIÓNEl resultado puede verificarse en la Distribución deProbabilidad de X.
  • ¿CÓMO REPRESENTAR GRAFICAMENTE A LA FUNCIÓN? 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 3 4 X
  • ESPERANZA MATEMÁTICA: E(x) o µTambién llamada esperanza, valor esperado, mediapoblacional o media de una variable aleatoria, es elnúmero que formaliza la idea de valor medio deun fenómeno aleatorio.Cuando la variable aleatoria es discreta, laesperanza es igual a la suma de la probabilidad decada posible suceso aleatorio, multiplicado por elvalor de dicho suceso.
  • ESPERANZA MATEMÁTICA (cont.)La esperanza matemática representa la cantidadmedia que se "espera“, como resultado de unexperimento aleatorio, cuando la probabilidad decada suceso se mantiene constante y elexperimento se repite un elevado número deveces.
  • EJEMPLO 9. Esperanza Matemática.Consideremos una variable aleatoria condistribución de probabilidad, dada por: x 1 2 3 4 P (X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
  • EJEMPLO 10. Rifa.Si una persona compra un ticket en una rifa, en laque puede ganar en el primer premio Bs. 5000,segundo premio Bs. 2000 con probabilidades de:0.001 y 0.003 respectivamente ¿Cuál sería elprecio justo a pagar por el ticket? E(x) = [5000 x 0.001] + [2000 x 0.003] = 11 Bs
  • EJEMPLO 11. Dos monedas Gana Bs. 1 si aparece una cara. Bs. 2 si aparecen dos caras. Pierde Bs. 5 si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. p(+1) = 2/4 S= {CC, CS,SC, SS}. p(+2) = 1/4 p(−5) = 1/4E(x)= [1 x 2/4] + [2 x 1/4] – [5 x 1/4] = 2/4+2/4-5/4= −1/4.El juego es desfavorable
  • De una variable aleatoria es una medida dedispersión, que explica la desviación cuadrada delos valores de dicha variable, con respecto a sumedia, multiplicada por la probabilidad deocurrencia del evento.Está medida en unidades cuadráticas o elevadasal cuadrado. La varianza tiene como valormínimo 0.
  • VARIANZA MATEMÁTICA (cont.)La varianza puede verse muy influida porlos valores atípicos. En tales casos serecomienda el uso de otras medidas dedispersión más robustas.
  • Es la raíz cuadrada de la varianza, es una medidaque sirve para determinar la dispersión de lavariable objeto de estudio, expresada en unidadesde medida lineales.
  • EJEMPLO 12. Fabrica de calzados.En una fabrica de calzados se ha determinado queel número de zapatos defectuosos producidos encada turno de trabajo, es una variable aleatoria conla siguiente distribución de probabilidad: x 0 1 2 3 4 P (X=x) 0,90 0,06 0,02 0,01 0,01Hallar la esperanza, varianza y desviación estándarde esa distribución de probabilidad.
  • SOLUCIÓN
  • ACTIVIDAD EVALUADAa) Investigar las principales propiedades de la esperanza, varianza y desviación estándar.b) Muestre por medio de ejemplos, que las propiedades investigadas son verdaderas.
  • REFERENCIAArmas, J. (1988). Estadística sencilla:probabilidades. Mérida: Consejo de Publicacionesde la Universidad de Los Andes.