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Probabilidad y tablas de contingencia. Probabilidad condicional. Eventos independientes. Teorema de Bayes. …

Probabilidad y tablas de contingencia. Probabilidad condicional. Eventos independientes. Teorema de Bayes.

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  • 1. PROBABILIDAD II Prof. Joan Fernando Chipia Lobo @JoanFChipiaL Mérida, Octubre de 2014
  • 2. •Probabilidad y tablas de contingencia. •Probabilidad condicional. •Eventos independientes. •Teorema de Bayes. Durante la clase se explicará:
  • 3. PROBABILIDAD Y TABLAS DE CONTINGENCIA A partir de la información suministrada en una tabla de doble entrada o de contingencia, es posible calcular las probabilidades de algunos eventos asociados con las variables presentadas.
  • 4. EJEMPLO 1 En la siguiente tabla 1, se relaciona el tipo de café que consume un grupo de 50 personas que asisten a una convención y la procedencia de cada una de ellas. Tabla 1 TIPO DE CAFÉ Negro Marrón Con leche Total PROCEDENCIA Europa 13 11 8 32 América 12 2 4 18 Total 25 13 12 50 Fuente: Datos supuestos.
  • 5. Para ilustrar, se van a considerar los eventos: A: la persona procede de Europa. B: la persona consume café negro. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona proceda de Europa o consuma café negro?
  • 6. SOLUCIÓN Interpretación: 0,88 es la probabilidad de que una persona de la convención proceda de Europa o consuma café negro.
  • 7. EJEMPLO 2 Para la población de personas con discapacidad del Estado Mérida, se relacionó en el reporte anual de los principales centros de salud, la siguiente información: Tabla 2 TIPO DE INCAPACIDAD Brazos Piernas General Total CENTRO DE SALUD IVSS 50 82 15 147 “Sor Juana Inés de la Cruz” 35 45 25 105 IAHULA 75 90 38 203 Total 160 217 78 455 Fuente: Datos supuestos.
  • 8. Si se selecciona un paciente al azar de los que se incluyeron en el reporte a) ¿Cuál es la probabilidad de que su incapacidad no sea en las piernas? A: incapacidad en las piernas. Ac: personas que no tienen incapacidad en las piernas
  • 9. b) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del IVSS o del IAHULA? B: la persona proviene del IVSS. C: la persona proviene del IAHULA. 푃퐵∪퐶= 147455+ 203455= 350455=0,7692 푃퐵= 147455 푃퐶= 203455 푃퐵∪퐶=푃퐵+푃(퐶)
  • 10. c) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del IAHULA y tenga discapacidad en sus brazos? C: La persona proviene del IAHULA. D: la persona tiene discapacidad en los brazos. Se debe calcular:
  • 11. EJEMPLO 3 En la Universidad de Los Andes (Mérida), se reportó el consolidado en frecuencias relativas simples, de las facultades a las cuales se presentaron el mayor número de aspirantes y su sexo. Tabla 3 FACULTADES Med. Der. Hum. Cien. Total SEXO Masculino 0,055 0,120 0,085 0,212 0,472 Femenino 0,163 0,201 0,116 0,049 0,528 Total 0,218 0,321 0,201 0,26 1 Fuente: Datos supuestos.
  • 12. Si se selecciona a un aspirante al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de medicina o sea femenino? E: el aspirante presentó en la facultad de medicina. F: el aspirante es femenino.
  • 13. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de ciencias o no sea femenino? G: el aspirante presentó en la facultad de ciencias. H: el aspirante es femenino.
  • 14. PROBABILIDAD CONDICIONAL (I) En ocasiones es necesario calcular la probabilidad de evento sujeto a alguna condición o algún otro evento que ya ocurrió. Por ejemplo, si se considera el ejercicio en el cual hay una vía principal en la que existen dos semáforos. Al pasar un vehículo por la vía se pueden definir dos eventos: A: el auto se detenga en el primer semáforo. B: el auto se detenga en el segundo semáforo.
  • 15. Es posible considerar la probabilidad de que el vehículo se deba detener en el segundo semáforo, sabiendo que se detuvo en el primero. Es decir, se quiere reconocer la probabilidad de que ocurra el evento B, sabiendo que ya ocurrió el evento A En este caso, se establece una condición que está representada por el evento A.
  • 16. PROBABILIDAD CONDICIONAL (II) Para dos eventos A y B, en el cual uno de ellos hace el papel de condición sobre el otro. Es decir, se debe considerar que uno de los dos eventos ya ocurrió y se quiere saber qué pasa con el otro. Dados dos eventos A y B, se llama probabilidad condicional de A dado B o P(A/B) a:
  • 17. EJEMPLO 4 Para conformar el comité de emergencias de los estudiantes de medicina, se presentaron 4 candidatos. Luisa (L), Marina (M), Carlos (C) y Eleonora (E). Se decidió que se haría la primera votación entre los miembros de la comisión y quien ganara sería el presidente. Luego, se haría una nueva votación entre los 3 candidatos que quedaran y el de mayor votación sería el coordinador.
  • 18. a) Si se sabe que el presidente fue Carlos ¿cuál es la probabilidad de que Marina sea la coordinadora? A: Carlos es el presidente del comité. B: Marina es la coordinadora del comité. A es la condición sobre B, por lo tanto, se debe calcular P(B/A)
  • 19. EJEMPLO 5 En un concesionario funciona una oficina de ventas de seguros para automóviles. Se ha determinado que la probabilidad de que un cliente compre su automóvil en el concesionario es de 0,58. La probabilidad de que un cliente compre una póliza de seguro contra todo riesgo es de 0,42 y la probabilidad de que el cliente compre el auto y el seguro en el concesionario es de 0,35.
  • 20. Si llega un cliente al concesionario y compra el auto, ¿cuál es la probabilidad de que compre el seguro allí? E: el cliente compra el automóvil en el concesionario. F: el cliente compra el seguro en el concesionario.
  • 21. EVENTOS INDEPENDIENTES (I) Dos sucesos aleatorios son independientes entre sí, cuando la probabilidad de cada uno de ellos, no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.
  • 22. EVENTOS INDEPENDIENTES (II) Si dos eventos son independientes, se cumple cualquiera de las siguientes sentencias: Dos eventos no son independientes si al menos una de las sentencias no se cumple. Es importante aclarar que los términos independiente y mutuamente excluyente no significan la misma cosa.
  • 23. EJEMPLO 6 En un grupo de pacientes, que consta de 60 mujeres y 40 varones, se observa que 24 mujeres y 16 varones usan lentes. Si un paciente es elegido aleatoriamente, la probabilidad de que el paciente utilice lentes es 0,4
  • 24. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido aleatoriamente use lentes dado que es varón? A: el paciente es varón. B: el paciente usa lentes. Se puede concluir que los eventos ser varón y usar lentes, en el grupo en estudio son independientes.
  • 25. b) Determine si usar lentes y no ser varón son eventos independientes.
  • 26. TEOREMA DE BAYES (I) En el campo de ciencias de la salud, se utiliza ampliamente la aplicación de leyes de probabilidad, y conceptos relacionados en la evaluación de pruebas de detección y criterios de diagnóstico.
  • 27. A los médicos les interesa tener mayor capacidad para predecir correctamente la presencia o ausencia de una enfermedad, a partir del conocimiento de los resultados (positivos o negativos) de pruebas y el estado de los síntomas (presentes o ausentes) que se manifiestan. TEOREMA DE BAYES (II)
  • 28. En pruebas de detección, se debe considerar con cuidado que no siempre son pruebas infalibles. Es decir, el procedimiento puede arrojar un falso positivo o un falso negativo. DEFINICIONES: 1.Un falso positivo resulta cuando la prueba indica que el estado es positivo, cuando en realidad es negativo. 2.Un falso negativo resulta cuando una prueba indica que un estado es negativo, cuando en realidad es positivo
  • 29. Para evaluar la utilidad de los resultados de la prueba y el estado de los síntomas, en otras palabras, para determinar si el individuo tiene o no alguna enfermedad, se debe responder a: 1. Dado que un individuo tiene la enfermedad, ¿qué probabilidad existe de que la prueba resulte positiva (o la presencia de un síntoma)? 2. Dado que un individuo no tiene la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la prueba resulte negativa (o la ausencia de un síntoma)?
  • 30. 3. Dada una prueba positiva de detección (o la presencia de un síntoma), ¿qué probabilidad existe de que el individuo tenga la enfermedad? 4. Dado el resultado negativo de una prueba de detección (o la ausencia de un síntoma), ¿cuál es la probabilidad de que el individuo no tenga la enfermedad?
  • 31. Tabla 4 Enfermedad Presente (D) Ausente (DC) Total Resultado de prueba Positivo (T) a b a+b Negativo (TC) c d c+d Total a+c b+d n Muestra de n individuos (con n muy grande) clasificados en referencia cruzada según el estado de enfermedad y el resultado del estado de detección. Por ejemplo, “a” es el número de individuos que tienen la enfermedad y un resultado positivo en la prueba de detección.
  • 32. Definición de sensibilidad de una prueba (o síntoma): Definición de especificidad de una prueba (o síntoma):
  • 33. Definición de positividad de una prueba de detección (o síntoma): Definición de negatividad de una prueba de detección (o síntoma):
  • 34. Para estimar el valor de positividad de una prueba de detección (o síntoma), se utiliza el Teorema de Bayes, el cual se define: El numerador de la ecuación, es igual a la sensibilidad por la tasa (de prevalencia) de la enfermedad. El denominador de la ecuación, es igual a la sensibilidad por la tasa de prevalencia más el término 1 menos la sensibilidad por el termino 1 menos la tasa de la enfermedad. 푃퐷푇 = 푃(푇퐷)푃(퐷) 푃푇퐷 푃퐷+푃(푇퐷푐)푃(퐷푐)
  • 35. Para estimar el valor de negatividad de una prueba de detección (o síntoma), se utiliza el teorema de Bayes, quedando: 푃퐷푐푇푐 = 푃(푇푐퐷푐)푃(퐷푐) 푃푇푐퐷푐 푃퐷푐+푃(푇푐퐷)푃(퐷)
  • 36. EJEMPLO 7 Un equipo de investigación médica pretende evaluar una prueba de detección propuesta para la enfermedad de Alzheimer. La prueba se basa en una muestra aleatoria de 950 pacientes. Las muestras se obtuvieron de una población de individuos con edades de 65 años o más. Los resultados se muestran en la tabla 5.
  • 37. Tabla 5 ¿Alzheimer? Si (D) No (DC) Total Resultado de prueba Positivo (T) 416 25 441 Negativo (TC) 34 475 509 Total 450 500 950 A partir de la tabla 5 y con la utilización del teorema de Bayes, se va a predecir el valor de: sensibilidad, especificidad, positividad y negatividad. Fuente: Datos supuestos.
  • 38. 푃푇퐷 = 416450=0,9244 Sensibilidad: Especificidad: 푃푇푐퐷퐶 = 475500=0,95 Interpretación: 0,9244 es la probabilidad de un resultado positivo de la prueba, dada la presencia de la enfermedad. Interpretación: 0,95 es la probabilidad de un resultado negativo de la prueba, dada la ausencia de la enfermedad.
  • 39. 푃퐷푇 = 푃(푇∩퐷) 푃푇∩퐷+푃(푇∩퐷푐) Positividad: 푃퐷푇 = 416950416950+ 25950= 416950441950= 416441=0,9433 Interpretación: 0,9433 es la probabilidad de que un individuo tenga la enfermedad, dado que el individuo presenta un resultado positivo en la prueba.
  • 40. 푃퐷푐푇푐 = 푃(푇푐∩퐷푐) 푃푇푐∩퐷푐+푃(푇푐∩퐷) Negatividad 푃퐷푐푇푐 = 475950475950+ 34950= 475950509950= 475509=0,9332 Interpretación: 0,9332 es la probabilidad de que un individuo no tenga la enfermedad, dado que el individuo presenta un resultado negativo en la prueba.
  • 41. REFERENCIA Daniel, W. (2010). Bioestadística: Base para el análisis de las ciencias de la salud (4a. Ed.). México: Limusa Wiley. FINALMENTE, LOS INVITO A LA PÁGINA WEB DE BIOESTADÍSTICA: URL http://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/joanfchipia/