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Probabilidad II

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Probabilidad y tablas de contingencia. Probabilidad condicional. Eventos independientes. Teorema de Bayes. …

Probabilidad y tablas de contingencia. Probabilidad condicional. Eventos independientes. Teorema de Bayes.

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  • 1. PROBABILIDAD II Prof. Joan Fernando Chipia Lobo @JoanFChipiaL Mérida, Marzo de 2015
  • 2. • Probabilidad y tablas de contingencia. • Probabilidad condicional. • Eventos independientes. • Teorema de Bayes. Durante la clase se explicará:
  • 3. PROBABILIDAD Y TABLAS DE CONTINGENCIA A partir de la información suministrada en una tabla de doble entrada, de contingencia o bivariable, es posible calcular las probabilidades de algunos eventos asociados con las variables presentadas.
  • 4. EJEMPLO 1 En la Tabla 1, se relaciona el tipo de café que consume un grupo de 50 personas que asisten a una convención y la procedencia de cada una de ellas. Tabla 1. TIPO DE CAFÉ Negro Marrón Con leche Total PROCEDENCIA Europa 13 11 8 32 América 12 2 4 18 Total 25 13 12 50 Fuente: Datos supuestos.
  • 5. Se van a considerar los eventos: A: la persona procede de Europa. B: la persona consume café negro. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona proceda de Europa o consuma café negro?
  • 6. SOLUCIÓN Interpretación: 0,88 es la probabilidad de que una persona de la convención proceda de Europa o consuma café negro.
  • 7. EJEMPLO 2 Para la población de personas con discapacidad del Estado Mérida, se relacionó en el reporte anual de los principales centros de salud, la siguiente información: Tabla 2. TIPO DE INCAPACIDAD Brazos Piernas General Total CENTRODESALUD IVSS 50 82 15 147 “Sor Juana Inés de la Cruz” 35 45 25 105 IAHULA 75 90 38 203 Total 160 217 78 455 Fuente: Datos supuestos.
  • 8. Si se selecciona un paciente al azar de los que se incluyeron en el reporte a) ¿Cuál es la probabilidad de que su incapacidad no sea en las piernas? A: incapacidad en las piernas. Ac: personas que no tienen incapacidad en las piernas
  • 9. b) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del IVSS o del IAHULA? B: la persona proviene del IVSS. C: la persona proviene del IAHULA. 𝑃 𝐵 ∪ 𝐶 = 147 455 + 203 455 = 350 455 = 0,7692 𝑃 𝐵 = 147 455 𝑃 𝐶 = 203 455 𝑃 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝐶)
  • 10. c) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del IAHULA y tenga incapacidad en sus brazos? C: La persona proviene del IAHULA. D: la persona tiene discapacidad en los brazos. Se debe calcular: 𝑃 𝐶 ∩ 𝐷 = 75 455 = 0,1648
  • 11. EJEMPLO 3 En la Universidad de Los Andes (Mérida), se reportó el consolidado en proporción, de las facultades a las cuales se presentaron el mayor número de aspirantes y su sexo. FACULTADES Med. Der. Hum. Cien. Total SEXO Masculino 0,055 0,120 0,085 0,212 0,472 Femenino 0,163 0,201 0,116 0,049 0,528 Total 0,218 0,321 0,201 0,26 1 Fuente: Datos supuestos.
  • 12. Si se selecciona a un aspirante al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de medicina o sea de sexo femenino? E: el aspirante presentó en la facultad de medicina. F: el aspirante es femenino.
  • 13. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de ciencias o no sea femenino? G: el aspirante presentó en la facultad de ciencias. H: el aspirante es femenino.
  • 14. PROBABILIDAD CONDICIONAL (I) En ocasiones es necesario calcular la probabilidad de evento sujeto a alguna condición o algún otro evento que ya ocurrió. Por ejemplo, si se considera el ejercicio en el cual hay una vía principal en la que existen dos semáforos. Al pasar un vehículo por la vía se pueden definir dos eventos: A: el auto se detenga en el primer semáforo. B: el auto se detenga en el segundo semáforo.
  • 15. Es posible considerar la probabilidad de que el vehículo se deba detener en el segundo semáforo, sabiendo que se detuvo en el primero. Es decir, se quiere reconocer la probabilidad de que ocurra el evento B, sabiendo que ya ocurrió el evento A. En este caso, se establece una condición que está representada por el evento A. PROBABILIDAD CONDICIONAL (II)
  • 16. PROBABILIDAD CONDICIONAL (III) Para dos eventos A y B, en el cual uno de ellos hace el papel de condición sobre el otro. Es decir, se debe considerar que uno de los dos eventos ya ocurrió y se quiere saber qué sucede con el otro. Dados dos eventos A y B, se llama probabilidad condicional de A dado B o P(A/B) a:
  • 17. EJEMPLO 4 Para conformar el comité de emergencias de los estudiantes de medicina, se presentaron 4 candidatos. Luisa (L), Marina (M), Carlos (C) y Eleonora (E). Se decidió que se haría la primera votación entre los miembros de la comisión y quien ganara sería el presidente. Luego, se haría una nueva votación entre los 3 candidatos que quedaran y el de mayor votación sería el coordinador.
  • 18. Si se sabe que el presidente fue Carlos ¿cuál es la probabilidad de que Marina sea la coordinadora? A: Carlos es el presidente del comité. B: Marina es la coordinadora del comité. A es la condición sobre B, por lo tanto, se debe calcular P(B/A)
  • 19. EJEMPLO 5 En un concesionario funciona una oficina de ventas de seguros para automóviles. Se ha determinado que la probabilidad de que un cliente compre su automóvil en el concesionario es de 0,58. La probabilidad de que un cliente compre una póliza de seguro contra todo riesgo es de 0,42 y la probabilidad de que el cliente compre el auto y el seguro en el concesionario es de 0,35.
  • 20. Si llega un cliente al concesionario y compra el auto, ¿cuál es la probabilidad de que compre el seguro allí? E: el cliente compra el automóvil en el concesionario. F: el cliente compra el seguro en el concesionario.
  • 21. EVENTOS INDEPENDIENTES (I) Dos sucesos aleatorios son independientes entre sí, cuando la probabilidad de cada uno de ellos, no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.
  • 22. EVENTOS INDEPENDIENTES (II) Si dos eventos son independientes, se cumple cualquiera de las siguientes sentencias: Dos eventos no son independientes si al menos una de las sentencias no se cumple. Es importante aclarar que los términos independiente y mutuamente excluyente no significan la misma cosa.
  • 23. EJEMPLO 6 En un grupo de pacientes, que consta de 60 mujeres y 40 varones, se observa que 24 mujeres y 16 varones usan lentes. Si un paciente es elegido aleatoriamente, la probabilidad de que el paciente utilice lentes es 0,4
  • 24. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido aleatoriamente use lentes dado que es varón? A: el paciente es varón. B: el paciente usa lentes. Se puede concluir que los eventos ser varón y usar lentes, en el grupo en estudio son independientes.
  • 25. b) Determine si usar lentes y no ser varón son eventos independientes.
  • 26. TEOREMA DE BAYES (I) Es una aplicación de las probabilidades condicionales, que son llamadas probabilidades a posteriori. En el campo de ciencias de la salud, se utiliza ampliamente la aplicación de leyes de probabilidad, y conceptos relacionados en la evaluación de pruebas de detección y criterios de diagnóstico.
  • 27. A los médicos les interesa tener mayor capacidad para predecir correctamente la presencia o ausencia de una enfermedad, a partir del conocimiento de los resultados (positivos o negativos) de pruebas y el estado de los síntomas (presentes o ausentes) que se manifiestan. TEOREMA DE BAYES (II)
  • 28. El teorema de Bayes es relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. EJEMPLO 7 Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
  • 29. En pruebas de detección, se debe considerar con cuidado que no siempre son pruebas infalibles, en otras palabras, el procedimiento puede arrojar un falso positivo o un falso negativo. DEFINICIONES: 1. Un falso positivo resulta cuando la prueba indica que el estado es positivo, cuando en realidad es negativo. 2. Un falso negativo resulta cuando una prueba indica que un estado es negativo, cuando en realidad es positivo
  • 30. El Teorema sirve para evaluar la utilidad de los resultados de la prueba y el estado de los síntomas, por lo tanto determina si el individuo tiene o no alguna enfermedad: 1. Dado que un individuo tiene la enfermedad, ¿qué probabilidad existe de que la prueba resulte positiva (o la presencia de un síntoma)? 2. Dado que un individuo no tiene la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la prueba resulte negativa (o la ausencia de un síntoma)?
  • 31. 3. Dada una prueba positiva de detección (o la presencia de un síntoma), ¿qué probabilidad existe de que el individuo tenga la enfermedad? 4. Dado el resultado negativo de una prueba de detección (o la ausencia de un síntoma), ¿cuál es la probabilidad de que el individuo no tenga la enfermedad?
  • 32. Tabla 4 Enfermedad Presente (D) Ausente (DC) Total Resultado deprueba Positivo (T) a b a+b Negativo (TC) c d c+d Total a+c b+d n Muestra de n individuos (con n muy grande) clasificados en referencia cruzada según el estado de enfermedad y el resultado del estado de detección. Por ejemplo, “a” es el número de individuos que tienen la enfermedad con un resultado positivo en la prueba de detección. PROCEDIMIENTO PARA DAR RESPUESTA A LAS PREGUNTAS ENUNCIADAS
  • 33. SENSIBILIDAD de una prueba o síntoma: ESPECIFICIDAD de una prueba o síntoma: Es la probabilidad de un resultado positivo de la prueba dada la presencia de la enfermedad, se calcula: 𝑃 𝑇/𝐷 = 𝑎 𝑎 + 𝑐 Es la probabilidad de un resultado negativo de la prueba dada la ausencia de la enfermedad, se calcula: 𝑃 𝑇 𝑐/𝐷 𝑐 = 𝑑 𝑏 + 𝑑
  • 34. POSITIVIDAD de una prueba o síntoma: NEGATIVIDAD de una prueba o síntoma: Es la probabilidad de que un individuo tenga la enfermedad, dado que el resultado positivo en la prueba de detección, es decir: 𝑃 𝐷/𝑇 Es la probabilidad de que un individuo tenga la enfermedad, dado que el resultado positivo en la prueba de detección, es decir: 𝑃 𝐷 𝐶 /𝑇 𝐶
  • 35. Para estimar el valor de POSITIVIDAD o P(D/T) de una prueba o síntoma, se utiliza el Teorema de Bayes: El numerador de la ecuación, es igual a la sensibilidad por la tasa (de prevalencia) de la enfermedad. El denominador de la ecuación, es igual a la sensibilidad por la tasa de la enfermedad, más el término 1 menos la sensibilidad por el termino 1 menos la tasa de la enfermedad. 𝑃 𝐷 𝑇 = 𝑃( 𝑇 𝐷)𝑃(𝐷) 𝑃 𝑇 𝐷 𝑃 𝐷 + 𝑃( 𝑇 𝐷 𝑐)𝑃(𝐷 𝑐)
  • 36. Para estimar el valor de NEGATIVIDAD o 𝐏(𝑫 𝒄 /𝑻 𝒄 ) de una prueba o síntoma, se utiliza el teorema de Bayes: 𝑃 𝐷 𝑐 𝑇 𝑐 = 𝑃( 𝑇 𝑐 𝐷 𝑐)𝑃(𝐷 𝑐) 𝑃 𝑇 𝑐 𝐷 𝑐 𝑃 𝐷 𝑐 + 𝑃( 𝑇 𝑐 𝐷)𝑃(𝐷)
  • 37. EJEMPLO 7 Un equipo de investigación pretende evaluar una prueba de detección propuesta para la enfermedad de Alzheimer. La prueba se basa en una muestra aleatoria de 950 pacientes. Los datos se obtuvieron de una población de individuos con edades de 65 años o más. Los resultados se muestran en la Tabla 5.
  • 38. Tabla 5. Presencia de Alzheimer Si (D) No (DC) Total Resultado deprueba Positivo (T) 416 25 441 Negativo (TC) 34 475 509 Total 450 500 950 A partir de la Tabla 5, hallar sensibilidad, especificidad, positividad y negatividad. Fuente: Datos supuestos.
  • 39. 𝑃 𝑇 𝐷 = 𝑎 𝑎 + 𝑐 = 416 450 = 0,9244 Sensibilidad: Especificidad: 𝑃 𝑇 𝑐 𝐷 𝐶 = 𝑑 𝑏 + 𝑑 = 475 500 = 0,95 Interpretación: 0,9244 es la probabilidad de que la prueba sea positiva, dada la presencia de la enfermedad. Interpretación: 0,95 es la probabilidad de que la prueba sea negativa, dada la ausencia de la enfermedad.
  • 40. 𝑃 𝐷 𝑇 = 𝑃(𝑇 ∩ 𝐷) 𝑃 𝑇 ∩ 𝐷 + 𝑃(𝑇 ∩ 𝐷 𝑐) POSITIVIDAD 𝑃 𝐷 𝑇 = 416 950 416 950 + 25 950 = 416 950 441 950 = 416 441 = 0,9433 Interpretación: 0,9433 es la probabilidad de que un sujeto tenga la enfermedad, dado que presenta un resultado positivo en la prueba.
  • 41. 𝑃 𝐷 𝑐 𝑇 𝑐 = 𝑃(𝑇 𝑐 ∩ 𝐷 𝑐) 𝑃 𝑇 𝑐 ∩ 𝐷 𝑐 + 𝑃(𝑇 𝑐 ∩ 𝐷) NEGATIVIDAD 𝑃 𝐷 𝑐 𝑇 𝑐 = 475 950 475 950 + 34 950 = 475 950 509 950 = 475 509 = 0,9332 Interpretación: 0,9332 es la probabilidad de que un sujeto no tenga la enfermedad, dado que presenta un resultado negativo en la prueba.
  • 42. REFERENCIA Daniel, W. (2010). Bioestadística: Base para el análisis de las ciencias de la salud (4a. Ed.). México: Limusa Wiley. FINALMENTE, LOS INVITO A LA PÁGINA WEB DE BIOESTADÍSTICA: URL http://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/joanfchipia/

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