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Probabilidad I

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Algebra de eventos. Probabilidad de ocurrencia de un evento. Axiomas y teoremas de probabilidad. …

Algebra de eventos. Probabilidad de ocurrencia de un evento. Axiomas y teoremas de probabilidad.

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  • 1. PROBABILIDAD I Prof. Joan Fernando Chipia Lobo @JoanFChipiaL Mérida, Marzo de 2015
  • 2. • Algebra de eventos. • Probabilidad de ocurrencia de un evento. • Axiomas y teoremas de probabilidad. Durante la clase se explicará:
  • 3. ÁLGEBRA DE EVENTOS Tanto los conceptos como las operaciones definidas entre conjuntos tienen su forma equivalente en la teoría de probabilidad, es decir, existe una correspondencia entre el álgebra de conjuntos y el álgebra de eventos.
  • 4. VEAMOS LAS EQUIVALENCIAS i) El espacio muestral (S) de un evento, se denomina evento seguro, debido a que siempre va a ocurrir, en otras palabras, cualquiera que sea el resultado del experimento, éste va a ser por definición un punto muestral de S.
  • 5. iii) Dados dos eventos A y B, se define el evento unión de A y B, como aquel evento constituido por aquellos puntos muestrales que están en A o en B o en ambos. Se denota por A U B o B U A. Si ocurre el evento A U B, esto quiere decir que al menos uno de los dos elementos eventos ocurre.
  • 6. v) Si dos eventos A y B no tienen puntos muestrales en común, se dicen que son disjuntos o mutuamente excluyentes.
  • 7. vi) Para cualquier evento A, se define el evento complemento de A como aquel evento constituido por todos aquellos puntos muestrales de S que no están en A. Se denota por Ac Si el evento A no ocurre, es sinónimo de que el evento Ac ha ocurrido.
  • 8. vii) Si la unión de dos o más eventos es el espacio muestral, entonces se dice que esos eventos son exhaustivos. viii) Si dos o más eventos son mutuamente excluyentes, entonces la intersección de los eventos es vacío. ix) Si dos o más eventos son exhaustivos y a su vez son mutuamente excluyentes, entonces son colectivamente exhaustivos.
  • 9. x) Si todos los resultados elementales de un evento A, están contenidos en un evento B, se dice que el evento A está contenido en B. Se denota A C B Si ocurre A, esto implica que B también ocurre.
  • 10. Experimento: lanzar primero una moneda y luego un dado. Eventos: A: sale cara. B: sale un número par. Se tiene: A= (C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6) B= (C,2), (C,4), (C,6), (S,2), (S,4), (S,6)
  • 11. Determine: A U B, Ac, Bc, (A U B)c A U B = (C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (S,2), (S,4), (S,6) Solución Ac = (S,1), (S,2), (S,3), (S,4), (S,5), (S,6) Bc = (C,1), (C,3), (C,5), (S,1), (S,3), (S,5) (A U B)c = (S,1), (S,3), (S,5)
  • 12. Nota aclaratoria (I) •No todo subconjunto del espacio muestral, puede considerarse como un evento. La teoría de probabilidad está interesada fundamentalmente en aquellos subconjuntos del espacio muestral que califican como eventos. •Cuando el espacio muestral es discreto, es decir, es finito o infinito numerable, todos los elementos del espacio muestral son eventos.
  • 13. • Sólo si el espacio muestral es continuo, es decir, es infinito no numerable, pueden existir ciertos conjuntos que no son eventos. Afortunadamente, los casos de subconjuntos del espacio muestral que no pueden considerarse eventos son muy poco frecuentes y aparecen cuando se hacen consideraciones de tipo teórico. Nota aclaratoria (II)
  • 14. La probabilidad intuitivamente, se traduce como un número que va a reflejar la posibilidad de que algo ocurra bajo ciertas condiciones. INTUITIVAMENTE
  • 15. ¿ESTAMOS HABLANDO DEL MISMO TIPO DE INCERTIDUMBRE?
  • 16. PROBABILIDAD Cuando nos referimos a la Probabilidad, estamos hablando de la ocurrencia de cierto evento, simple o compuesto, en un experimento aleatorio. Si denotamos por A al evento, entonces vamos a representar por P(A) a la probabilidad de que el evento A ocurra.
  • 17. En la cuantificación de la probabilidad de un evento: Son importantes el tipo de experimento (simple: por un solo punto muestral; compuesto: si contiene más de un punto muestral) y el correspondiente espacio muestral.
  • 18. TIPOS Criterio de frecuencia relativa. Criterio de equiprobabilidad. Criterio de probabilidad subjetiva. PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN EVENTO
  • 19. CRITERIO DE FRECUENCIA RELATIVA (I) Es la proporción de veces que ocurre A en “n” repeticiones del experimento. Este concepto de probabilidad es de carácter empírico.
  • 20. CRITERIO DE FRECUENCIA RELATIVA (II) Cabe agregar que el cociente tiende a estabilizarse, a medida que se incrementa indefinidamente el número de repeticiones. A lo anterior se le denomina propiedad de estabilización de la frecuencia relativa de un evento, o ley de regularidad estadística de un experimento aleatorio.
  • 21. CRÍTICAS DEL CRITERIO DE FRECUENCIA RELATIVA i) Sólo es aplicable a experimentos que pueden repetirse un número ilimitado de veces. ii) ¿Qué tan grande tiene que ser n? iii) No es posible garantizar que para todos los posibles eventos asociados al experimento, el valor tienda a estabilizarse. iv) En la práctica es difícil asegurar que el experimento se va a repetir, bajo las mismas condiciones.
  • 22. CRITERIO DE PROBABILIDAD SUBJETIVA El cual establece que la probabilidad es un hecho subjetivo y expresa el grado de creencia o convicción personal (también llamada “corazonadas”) que se tiene la ocurrencia de un evento o suceso, fundamentado en las evidencias o en el sentir que se tenga en particular cuando se realiza el experimento.
  • 23. CRITERIO DE EQUIPROBABILIDAD Sea un experimento aleatorio finito, con k posibilidades, donde cada una tiene la misma posibilidad de ocurrir. Entonces la probabilidad de ocurrencia de cada punto muestral es 1/k y si A es cualquier evento con r puntos muestrales, se tiene:
  • 24. CARACTERIZACIÓN DE EQUIPROBABILIDAD • Un espacio muestral bajo las características anteriores se dice que es equiprobable. • Se aplica cuando se asume simetría o razones especiales inherentes al experimento. • En estos casos la probabilidad se determina a priori y no es necesario repetir el experimento. • Es aplicable a espacios muestrales finitos e infinitos.
  • 25. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD
  • 26. TEOREMAS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
  • 27. Teorema 3. Si A y B son eventos cualesquiera, se cumple: 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
  • 28. Teorema 6. Si A y B son eventos cualesquiera, se cumple: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
  • 29. EJEMPLO 1 Se usan 7 fichas numeradas del 1 al 7 en una caja y se seleccionan dos de ellas de manera simultánea. Calcule e interprete la probabilidad de los siguientes eventos: a) La suma de las dos fichas es 7. b) La suma de las dos fichas es menor que 14. c) El número mayor de las 2 fichas seleccionadas es 2. d) Las dos fichas seleccionadas tengan el mismo número.
  • 30. SOLUCIÓN
  • 31. SOLUCIÓN a) Probabilidad de que la suma de las dos fichas sea 7: Interpretación: 0,1429 es la probabilidad de que la suma de las dos fichas sea 7.
  • 32. SOLUCIÓN b) Sea B el evento que consiste en que la suma de los dos números sea menor a 14. Se tiene que S=B, por tanto, es un evento seguro, o su probabilidad es 1. SOLUCIÓN c)
  • 33. SOLUCIÓN d) Probabilidad de que las dos fichas seleccionadas tengan el mismo número. En conclusión, dicho evento tiene una probabilidad de ocurrencia de cero.
  • 34. EJEMPLO 2 Un estudio realizado en un centro de alto rendimiento deportivo determinó que de los 157 deportistas que allí entrenan, 100 son mujeres; 85 toman suplementos vitamínicos y 75 de los que toman dichos productos son mujeres.
  • 35. HALLE CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE: a) Sea mujer. b) Sea hombre. c) Sean sujetos que tomen suplementos vitamínicos. f) Sea mujer y no tome suplementos vitamínicos. d) Sea mujer o tome suplementos vitamínicos. e) Sea hombre y no tome suplementos vitamínicos.
  • 36. SOLUCIÓN (I) a) Sea mujer. b) Sea hombre. c) Sean sujetos que tomen suplementos vitamínicos.
  • 37. SOLUCIÓN (II) f) Sea mujer y no tome suplementos vitamínicos. d) Sea mujer o tome suplementos vitamínicos. e) Sea hombre y no tome suplementos vitamínicos.
  • 38. REFERENCIA Armas, J. (1992). Estadística sencilla: probabilidades. Mérida: Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes. FINALMENTE, LOS INVITO A LA PÁGINA WEB DE BIOESTADÍSTICA: URL http://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/joanfchipia/

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