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Distribuciones de probabilidad: binomial, normal, normal estandarizada, chi cuadrado y t-student.

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Distribuciones de probabilidad Distribuciones de probabilidad Presentation Transcript

  • Escuela de Medicina Departamento de Medicina Preventiva y Social Cátedra de BioestadísticaDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Prof. Joan Fernando Chipia Lobo @joanfchipial Febrero, 2013
  • INTRODUCCIÓNUn modelo de probabilidad o la distribuciónde probabilidad de una variable aleatoria,permite la representación teórica simplificada deun fenómeno real y la elaboración deafirmaciones probabilísticas sobre ese fenómeno.Lo anterior facilita la toma de decisiones y laprevisión de hechos que pueden ocurrir.
  • MODELOS DE PROBABILIDADEl estudio de las probabilidades se fundamentanen el estudio de experimentos aleatorios, esdecir, en situaciones reales en las cuales existeincertidumbre y variabilidad sobre lo que puedaocurrir, aún si ésta situación se repite muchasveces en condiciones similares. View slide
  • EN LA PRÁCTICAUn modelo para representar teóricamente larealidad en términos probabilísticos, lo constituyeuna variable aleatoria (V. A.) y su correspondientedistribución de probabilidad, porque la primerarefleja la situación particular y la segunda expresael comportamiento de la variable. View slide
  • A TENER PRESENTE QUE:Cualquier modelo de probabilidad que se intenteaplicar construirá una aproximación a la realidad,tendrá sus limitantes e idealizaciones y se basaráen supuestos que serán discutidos en cuanto a sucumplimiento.A través de inferencia estadística se decide enbase a informaciones muestrales, si es razonableasumir que un determinado modelo de probabilidad,es el que mejor describe el comportamiento de unapoblación.
  • MODELOS DE PROBABILIDAD PARA V.A.Cuando el problema que se analiza puederepresentarse mediante una variable aleatoriadiscreta, el correspondiente modelo de probabilidadse categoriza como discreto, el cual se define,como el conjunto de valores que puede tomar unavariable discreta acompañado de sus respectivasprobabilidades.
  • EXPERIMENTO DE BERNOULLIEs un experimento en el cual sólo hay dos posiblesresultados que llamaremos Éxito (E) y Fracaso(F). La denominación anterior se usará de maneraconvencional, depende del interés y naturaleza delfenómeno estudiado.
  • EXPERIMENTO DE BERNOULLI (cont.)Por lo general, cualquier experimento aleatoriopuede considerarse como experimento deBernoulli redefiniéndolo.No necesariamente se debe asociar éxito a cosasagradables y fracaso a aspectos desagradables.EJEMPLO 1. Al realizar una biopsia el pacienteconsidera el resultado negativo como un éxito (E)y el positivo como un fracaso (F)
  • EJEMPLO 2. Experimentos de Bernoulli.• Registrar el resultado de un examen de un estudiante, en términos de aprobar o reprobar.• Aprobación o negación de una solicitud de crédito ante un banco.• Determinar la calidad de un producto en las opciones de defectuoso o no defectuoso.• Lanzar una moneda y registrar si sale cara o sello.
  • EJEMPLO 2. Experimentos de Bernoulli (cont.).• Medir la estatura de una persona y registrar si mide igual y más de 1,60 metros, o menos de 1,60 metros.• Anotar el color de ojos de una persona seleccionada al azar fijándose, si son negros o no.• Seleccionar al azar un automóvil en una ciudad y registrar, si es de fabricación italiana o no. • Lanzar un dado y registrar si sale par o impar.
  • En un experimento de BernoulliSe va a denotar por p la probabilidad de éxito y por1-p la probabilidad de fracaso.Si consideramos la variable aleatoria X, como elnúmero de éxitos en un experimento de Bernoulli.Ésta variable sólo puede tomar los valores 0 y 1.
  • DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE BERNOULLIViene dada por: 1-p si x=0 P(X=x) p si x=1 0 en otro casoAlternativamente se puede expresar con lasiguiente fórmula: P X=x =p x (1−p)1−x x=0,1
  • DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI (cont.)Ésta distribución depende solamente del valor deprobabilidad de éxito p y en consecuencia, paradiferentes valores de p se obtienen diferentesdistribuciones de Bernoulli, a éste valor p se ledenomina parámetro de la distribución.
  • EXPERIMENTO BINOMIALEs aquel que cumple con las siguientespropiedades:i) Consiste en n ensayos de Bernoulli, es decir, larepetición n veces de un experimento que consta dedos posibles resultados, que llamaremos éxito ofracaso.
  • EXPERIMENTO BINOMIAL (cont.)ii) La probabilidad p de éxito se mantieneconstante en cada uno de los n ensayos deBernoulli y en consecuencia la probabilidad defracaso 1-p, también se mantiene constante encada una de las pruebas o ensayos.iii) Los n ensayos de Bernoulli son independientesentre si, o sea que el resultado de un ensayo noafecta el resultado de los demás.
  • EJEMPLO 3. Experimentos Binomiales.• Lanzar 10 veces una moneda.• Responder al azar (sin pensar) una prueba de verdadero o falso, conformada por 20 preguntas.• Examinar 8 artículos seleccionados al azar, producidos en una fábrica, para saber cuáles están defectuosos, si se sabe que el 1% del total lo están.• Éstos experimentos se pueden construir al seleccionar aleatoriamente una muestra de una población dicotómica.
  • EJEMPLO 4. Selección de una muestra con reposición.Una población está conformada por 16 personas delas cuales 4 son hombres y 12 son mujeres. Sedesea seleccionar una muestra aleatoria conreposición de 3 personas y registrar el sexo de cadauna.Si denominamos éxito, al hecho de que una personasea del sexo femenino, entonces la situaciónanterior constituye un experimento binomial con: 12 𝑝 = 𝑃 é𝑥𝑖𝑡𝑜 = = 0,75 16
  • EJEMPLO 5. Selección de una muestra sin reposición.Consideremos la situación del ejemplo anterior,pero en éste ejemplo se tomará la muestra sinreposición.No es un experimento binomial, por cuanto losensayos no son independientes entre sí.
  • EJEMPLO 6. Selección de una muestra sin reposición cuando la población es grande.Consideremos el caso de seleccionar una muestraaleatoria de 3 personas, de una poblaciónconstituida por 200 hombres y 1000 mujeresEstrictamente no es un experimento binomial,porque los ensayos no son independientes. Perodesde el punto de vista práctico, se puede aceptardebido a que, cuando la muestra es grande losvalores en la muestra con reposición y sinreposición son muy aproximados.
  • DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (I)Dado un experimento binomial cualquiera, vamosa definir la variable aleatoria X, como el número deéxitos que se obtienen en los n ensayos deBernoulli; a ésta variable se le denomina variablebinomial y su correspondiente distribución deprobabilidad, se conoce como distribuciónbinomial.
  • DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (II)La variable aleatoria X que representa el número deéxitos en n ensayos de un experimento binomial,sigue una distribución dada por: 𝑛 𝑥𝑃 𝑋= 𝑥 = 𝑝 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑥 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑥La cual se denomina Distribución Binomial, con ny p como parámetros, porque para diferentesvalores se obtienen diferentes distribucionesbinomiales.
  • DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (III)En algunos textos se define la distribución binomial,con la probabilidad de fracaso por q=1-p, quedandoexpresada de la siguiente manera: 𝑛 𝑥 𝑛−𝑥 𝑃 𝑋= 𝑥 = 𝑝 𝑞 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑥Siendo p+q=1Nota: el nombre de la distribución binomial provienedel hecho de que las probabilidades binomialespara x=0,1,…,n son precisamente los términos osumandos del desarrollo del binomio (𝑞 + 𝑝) 𝑛 ,también llamado Binomio de Newton.
  • EJEMPLO 6. Distribución binomial.Se sabe que el 30% de los habitantes de unaciudad padecen de asma. Determinar laprobabilidad de que una muestra aleatoria de 4personas:i) Ninguna padezca de asma.ii) Más de dos sufran de asma.
  • SOLUCIÓNSea X el número de personas que sufren de asmaen una muestra de 4 personas. X(n=4;p=0,3) 4i) 𝑃 𝑋 = 0 = 0,3 0 (0,7)4 = 0,2401 0 4 4ii) 𝑃 𝑋 ≥ 3 = 0,3 3 (0,7)1 + 0,3 4 (0,7)0 3 4 = 0,0756 + 0,0081 = 0,0837
  • EJEMPLO 7. Distribución binomial.Si 9 de cada 10 recién nacidos de una región sonniños, determinar la probabilidad de que en unamuestra aleatoria de 12 recién nacidos, hayan unmáximo de 10 niños.Si X representa el número de niños y Y el númerode niñas en el grupo de 12 recién nacidos, tenemosque: X(n=12, p=0,9) Y(n=12, p=0,1)
  • SOLUCIÓNPara dar respuesta con la variable X: 𝑃 𝑋 ≤ 10 = 1 − 𝑃 𝑋 ≥ 11 12 12 =1− 0,9 11 0,1 1 − 0,9 12 0,1 0 11 12 = 1 − 0,37657 − 0,28242 = 0,34101Utilizando la variable Y, también se puede darrespuesta: 𝑃 𝑋 ≤ 10 = 𝑃 𝑌 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑌 ≤ 1 12 12 =1− 0,1 1 0,9 11 − 0,1 1 0,9 12 1 0 = 1 − 0,37657 − 0,28242 = 0,34101
  • USO DE LA TABLAS BINOMIAL Ejemplo 8: n=4, x=0, p=0,45 4𝑃 𝑋=0 = 0,45 0 (0,55)4 = 0,0915 0
  • DISTRIBUCIÓN NORMAL
  • ASPECTOS GENERALESTambién llamada distribución gaussiana o deGauss. Es un modelo continuo de probabilidad. Esla distribución más conocida, más aplicada y demayor desarrollo teórico entre las diferentesdistribuciones de probabilidad, incluyendo discretasy continuas, por tanto, mantiene un lugar deprimacía entre los modelos de probabilidad.
  • DISTRIBUCIÓN NORMALUna variable aleatoria X(µ,σ) sigue una DistribuciónNormal, si su función de densidad viene dada por: (𝑥−𝜇)2 1 − 𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝜎2 −∞ < 𝑥 < +∞ 2𝜋𝜎 2 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜇 𝑦 𝜎𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝜇 𝑦 𝜎 𝜖 𝑅, 𝜎 > 0 𝜋 = 3,14159 … 𝑒 = 2,71828 …
  • GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Se conoce como curva normal y presenta las siguientes características:• Tiene forma acampanada.• Es simétrica con respecto a la µ y unimodal, es decir, µ=Md=Mo.• Los extremos de la curva o colas son asintóticas con respecto al eje X.• El área bajo la curva es igual a uno (1).• Curtosis y Asimetría igual a cero (0).
  • INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA X(µ,σ)El parámetro µ como es un factor detraslación. Si aumenta µ se trasladaa la derecha, en el caso contrario setraslada a la izquierda.El parámetro σ es un factor dedispersión. Si aumenta σ seacumulan los datos en el centro dela distribución, en el caso opuestose extienden a lo largo del eje X.
  • INTERPRETACIÓN PROBABILÍSTICA X(µ,σ)𝑃 𝜇 − 𝜎 < 𝑥 < 𝜇 + 𝜎 = 0,6826 𝑃 𝜇 − 2𝜎 < 𝑥 < 𝜇 + 2𝜎 = 0,9545 𝑃 𝜇 − 3𝜎 < 𝑥 < 𝜇 + 3𝜎 = 0,9978
  • DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADAEs toda distribución normal con µ=0 y 𝜎 2 =1, sehace un proceso de transformación, que sedenomina estandarización o tipificación. Seacostumbra a designar Z, a toda variable que sigauna distribución normal estandarizada y se usa lanotación Z(0;1), quedando: 𝑋− 𝜇 𝑍= 𝜎
  • EN LA DISTRIBUCIÓN NORMALESTANDARIZADA SE CUMPLE: 𝑃 −1 < 𝑍 < 1 = 0,6826 𝑃 −2 < 𝑍 < 2 = 0,9545 𝑃 −3 < 𝑍 < 3 = 0,9978
  • Para calcular probabilidades asociadas a unavariable normal estandarizada con la tablacorrespondiente, se procede de la siguiente manera:i) Las probabilidades del tipo 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 se buscan directamente en la tabla.ii) Las probabilidades del tipo 𝑃 𝑍 ≥ 𝑧 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 .iii) Las probabilidades de la forma: 𝑃 𝑧1 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧2 = 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧2 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧1 ) Caso i) Caso ii) Caso iii)
  • EJEMPLO 8. Distribución normal estandarizada.Calcular: i) 𝑃(𝑍 < −1,2) ii) 𝑃 𝑍 > 2,43 iii) 𝑃(−1,33 ≤ 𝑍 < 2,2)i) 𝑃 𝑍 < −1,2 = 0,1151
  • ii) 𝑃 𝑍 > 2,43 = 1 − 𝑃 𝑍 < 2,43 = 1 − 0,9925 = 0,0075
  • iii) 𝑃 −1,33 ≤ 𝑍 < 2,2 𝑃 𝑍 < 2,2 = 0,9861 𝑃 𝑍 ≤ −1,33 = 0,0916Luego: 𝑃 −1,33 ≤ 𝑍 < 2,2 = 𝑃 𝑍 < 2,2 − 𝑃 𝑍 ≤ −1,33 = 0,9861 − 0,0916 = 0,8943
  • EJEMPLO 9. Distribución normal estandarizada. El ingreso diario de un hotel durante un año por concepto de alimentos y bebidas sigue una distribución normal con µ=30000 Bs y σ=5000 Bs. Se pide: i) La probabilidad de que en un día cualquiera los ingresos de alimentos y bebidas sean superiores a 45000 Bs. ii) Si el hotel registra pérdidas cuando el ingreso diario es inferior a 20000 Bs, determinar el porcentaje de días durante el año que se espera que el hotel tenga pérdidas en el renglón de alimentos y bebidas.
  • SOLUCIÓN i)𝑋 = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑜𝑡𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑦 𝑏𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑍(𝜇 = 30000; 𝜎 = 5000) 𝑋 − 30000 45000 − 30000 𝑖) 𝑃 𝑋 > 45000 = 𝑃 > 5000 5000 𝑃 𝑍 > 3 = 1 − 𝑃 𝑍 < 3 = 1 − 0,9987 = 0,0013 Lo que indica un evento poco probable.
  • SOLUCIÓN ii) 𝑋 − 30000 20000 − 30000 𝑖𝑖) 𝑃 𝑋 < 20000 = 𝑃 < 5000 5000 𝑃 𝑍 < −2 = 0,0228 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, % 𝑍<−2 = 0,0228 𝑥 100 = 2,28%En consecuencia 2,28% de los días del año, el hotelregistrará pérdidas por concepto de alimentos ybebidas.
  • DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
  • DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO Si (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes, de media=0 y varianza=1, la variable definida como: Yn  X    X  i1 Xi2 2 2 n 1 nUna variable aleatoria continua X, tiene unadistribución Chi-cuadrado ( 𝑋 2 ) con n grados delibertad, si su función de densidad está dada por: 1 ( n2) / 2  x / 2f ( x)  x e x0 n n   2 2
  • CARACTERÍSTICAS• El parámetro de la distribución Chi-cuadrado, es el número de grados de libertad.• Es una variable aleatoria continua.• Es una distribución unimodal y asimétrica positiva cuando los grados de libertad son pequeños.• Debido a que es una suma de cuadrados, su campo de variación va de (0, +∞)
  • CARACTERÍSTICAS (cont.)• Presenta una familia de distribuciones Chi- cuadrado, es decir, para cada grado de libertad, existe una distribución Chi-cuadrado.• A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución Chi-cuadrado, se aproxima a una distribución normal.
  • USO DE LA TABLA 𝑿 𝟐i) 𝑃(𝑋 2 ≤ 0,30) con 8 grados de libertad = 9,52ii) 𝑃 𝑋 2 ≥ 0,05 con 6 grados de libertad=𝑃 𝑋 2 ≤ 0,95 = 1,63iii) 𝑃(0,1 ≤ 𝑋 2 ≤ 0,9) con 5 grados de libertad = 9,24 ≤ 𝑋 2 ≤ 1,61
  • INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA TABLA i) 𝑃(𝑋 2 ≤ 0,30) con 8 grados de libertad = 9,52 El valor de la variable 𝑋 2 que deja a su izquierda, un área de 0,30 o 30% en una distribución con 8 grados de libertad es de 9,52. 𝑖𝑖) 𝑃 𝑋 2 ≥ 0,05 con 6 grados de libertad= 𝑃 𝑋 2 ≤ 0,95 = 1,63 El valor de la variable 𝑋 2 que deja a su derecha, un área de 0,05 o 5% en una distribución con 6 grados de libertad es de 1,63.𝑖𝑖𝑖)𝑃(0,1 ≤ 𝑋 2 ≤ 0,9) con 5 grados de libertad = 9,24≤ 𝑋 2 ≤ 1,61El valor de la variable 𝑋 2 que deja a su izquierda un área de 0,1o 10% es de 1,61, mientras que el valor a la derecha deja unárea de 0,1 o 10% es de 9,24, en una distribución con 5 gradosde libertad, en otras palabras el 80% de la variable 𝑋 2 seencuentra entre 1,61 y 9,24.
  • DISTRIBUCIÓN T-STUDENT
  • DISTRIBUCIÓN T-STUDENTSurge como el cociente de dos variables aleatoriasindependientes: una normal estandarizada (Z) en elnumerador y la raíz cuadrada de la Chi-cuadrada 𝑋2 entre sus grados de libertad (n) en eldenominador, es decir: 𝑍 𝑡= 𝑋2 𝑛 La función de densidad con n grados de libertad es:  n 1  2  n 1   2  2 f ( x)  1  2  1  x       x      n  n   n    2
  • CARACTERÍSTICAS• El parámetro de la distribución t, es el número de grados de libertad.• Es una variable aleatoria continua.• Es una distribución unimodal y simétrica con respecto a su media.• Su campo de variación va de (- ∞,+∞)
  • CARACTERÍSTICAS (cont.)• Existe una distribución t diferente para cada grado de libertad, con µ=0 y σ diferente dependiendo de los grados de libertad.• A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t-student se aproxima a una distribución normal.
  • USO DE LA TABLA ti) Hallar el área derecha de t, con n=12 y α=0,05. t=1,7823ii) Hallar el área izquierda de t, con n=12 y α=0,05. t=-1,7823
  • Caso i) t=1,782 α=0,05 Zona de rechazo 1,7823 0Caso ii) t=-1,782 α=0,05 Zona de rechazo -1,7823 0
  • EJEMPLO 10. T-STUDENT.Dada una variable t de Student con 12 grados delibertad. Hallar el valor t que deja un área total de 5%en ambos extremos. 𝛼 0,05 = = 0,025 2 2Usando la tabla α=0,025 se tiene que t=2,1788 para lacola derecha y debido a la simetría de la distribuciónde t, el valor de la cola izquierda es el mismo pero consigno cambiado, es decir, t=-21788
  • α=0,025 α=0,025Zona de rechazo Zona de rechazo -2,1788 0 2,1788
  • REFERENCIASArmas, J. (1988). Estadística sencilla:probabilidades. Mérida: Consejo de Publicacionesde la Universidad de Los Andes.Ovalles, A. y Moret, C. (2001). Manual deestadística II. Mérida: Consejo de Publicaciones dela Universidad de Los Andes.