Distribuciones de probabilidad

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Distribuciones de probabilidad: binomial, normal, normal estandarizada, chi cuadrado y t-student.

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  • 1. Escuela de Medicina Departamento de Medicina Preventiva y Social Cátedra de Bioestadística DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Prof. Joan Fernando Chipia Lobo @joanfchipial Mérida, Noviembre de 2014
  • 2. INTRODUCCIÓN Unmodelodeprobabilidadoladistribucióndeprobabilidaddeunavariablealeatoria, permitelarepresentaciónteóricasimplificadadeunfenómenorealylaelaboracióndeafirmacionesprobabilísticassobreesefenómeno. Loanteriorfacilitalatomadedecisionesylaprevisióndehechosquepuedenocurrir.
  • 3. MODELOS DE PROBABILIDAD Elestudiodelasprobabilidadessefundamentanenelestudiodeexperimentosaleatorios,esdecir,ensituacionesrealesenlascualesexisteincertidumbreyvariabilidadsobreloquepuedaocurrir,aúnsiéstasituaciónserepitemuchasvecesencondicionessimilares.
  • 4. EN LA PRÁCTICA Unmodelopararepresentarteóricamentelarealidadentérminosprobabilísticos,loconstituyeunavariablealeatoria(V.A.)ysucorrespondientedistribucióndeprobabilidad,porquelaprimerareflejalasituaciónparticularylasegundaexpresaelcomportamientodelavariable.
  • 5. A TENER PRESENTE QUE: Cualquiermodelodeprobabilidadqueseintenteaplicarconstruiráunaaproximaciónalarealidad, tendrásuslimitanteseidealizacionesysebasaráensupuestosqueserándiscutidosencuantoasucumplimiento. Atravésdeinferenciaestadísticasedecideenbaseainformacionesmuestrales,siesrazonableasumirqueundeterminadomodelodeprobabilidad, eselquemejordescribeelcomportamientodeunapoblación.
  • 6. MODELOS DE PROBABILIDAD PARA V.A. Cuandoelproblemaqueseanalizapuederepresentarsemedianteunavariablealeatoriadiscreta,elcorrespondientemodelodeprobabilidadsecategorizacomodiscreto,elcualsedefine, comoelconjuntodevaloresquepuedetomarunavariablediscretaacompañadodesusrespectivasprobabilidades.
  • 7. EXPERIMENTO DE BERNOULLI EsunexperimentoenelcualsólohaydosposiblesresultadosquellamaremosÉxito(E)yFracaso(F).Ladenominaciónanteriorseusarádemaneraconvencional,dependedelinterésynaturalezadelfenómenoestudiado.
  • 8. Porlogeneral,cualquierexperimentoaleatoriopuedeconsiderarsecomoexperimentodeBernoulliredefiniéndolo. EXPERIMENTO DE BERNOULLI (cont.) EJEMPLO1.Alrealizarunabiopsiaelpacienteconsideraelresultadonegativocomounéxito(E) yelpositivocomounfracaso(F) Nonecesariamentesedebeasociaréxitoacosasagradablesyfracasoaaspectosdesagradables.
  • 9. EJEMPLO 1. Experimentos de Bernoulli. •Registrarelresultadodeunexamendeunestudiante,entérminosdeaprobaroreprobar. •Aprobaciónonegacióndeunasolicituddecréditoanteunbanco. •Determinarlacalidaddeunproductoenlasopcionesdedefectuosoonodefectuoso. •Determinarsiuncasosospechoso,espositivoonegativo.
  • 10. EJEMPLO 2. Experimentos de Bernoulli (cont.). •Medirlaestaturadeunapersonayregistrarsimideigualymásde1,60metros,omenosde1,60metros. •Anotarelcolordeojosdeunapersonaseleccionadaalazarfijándose,sisonnegrosono. •Seleccionaralazarunautomóvilenunaciudadyregistrar,siesdefabricaciónitalianaono. •Lanzarundadoyregistrarsisaleparoimpar.
  • 11. Sevaadenotarporplaprobabilidaddeéxitoypor1-plaprobabilidaddefracaso. En un experimento de Bernoulli SiconsideramoslavariablealeatoriaX,comoelnúmerodeéxitosenunexperimentodeBernoulli. Éstavariablesólopuedetomarlosvalores0y1.
  • 12. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI Viene dada por: P(X=x) 1-p si x=0 psi x=1 0en otro caso Alternativamentesepuedeexpresarconlasiguientefórmula: PX=x=px(1−p) 1−xx=0,1
  • 13. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI (cont.) Éstadistribucióndependesolamentedelvalordeprobabilidaddeéxitopyenconsecuencia,paradiferentesvaloresdepseobtienendiferentesdistribucionesdeBernoulli,aéstevalorpseledenominaparámetrodeladistribución.
  • 14. EXPERIMENTO BINOMIAL Esaquelquecumpleconlassiguientespropiedades: i)ConsisteennensayosdeBernoulli,esdecir,larepeticiónnvecesdeunexperimentoqueconstadedosposiblesresultados,quellamaremoséxitoofracaso.
  • 15. EXPERIMENTO BINOMIAL (cont.) ii)LaprobabilidadpdeéxitosemantieneconstanteencadaunodelosnensayosdeBernoulliyenconsecuencialaprobabilidaddefracaso1-p,tambiénsemantieneconstanteencadaunadelaspruebasoensayos. iii)LosnensayosdeBernoullisonindependientesentresi,oseaqueelresultadodeunensayonoafectaelresultadodelosdemás.
  • 16. EJEMPLO 3. Experimentos Binomiales. •Lanzar 10 veces una moneda. •Responderalazar(sinpensar)unapruebadeverdaderoofalso,conformadapor20preguntas. •Examinar8artículosseleccionadosalazar, producidosenunafábrica,parasabercuálesestándefectuosos,sisesabequeel1%deltotalloestán. •Estosexperimentossepuedenconstruiralseleccionaraleatoriamenteunamuestradeunapoblacióndicotómica.
  • 17. EJEMPLO 4. Selección de una muestra con reposición. Unapoblaciónestáconformadapor16personasdelascuales4sonhombresy12sonmujeres.Sedeseaseleccionarunamuestraaleatoriaconreposiciónde3personasyregistrarelsexodecadauna. Sidenominamoséxito,alhechodequeunapersonaseadelsexofemenino,entonceslasituaciónanteriorconstituyeunexperimentobinomialcon: 푝=푃é푥푖푡표= 1216=0,75
  • 18. EJEMPLO 5. Selección de una muestra sin reposición. Consideremoslasituacióndelejemploanterior, peroenésteejemplosetomarálamuestrasinreposición. Noesunexperimentobinomial,porcuantolosensayosnosonindependientesentresí.
  • 19. EJEMPLO 6. Selección de una muestra sin reposición cuando la población es grande. Consideremoselcasodeseleccionarunamuestraaleatoriade3personas,deunapoblaciónconstituidapor200hombresy1000mujeres Estrictamentenoesunexperimentobinomial, porquelosensayosnosonindependientes.Perodesdeelpuntodevistapráctico,sepuedeaceptardebidoaque,cuandolamuestraesgrandelosvaloresenlamuestraconreposiciónysinreposiciónsonmuyaproximados.
  • 20. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (I) Dadounexperimentobinomialcualquiera,vamosadefinirlavariablealeatoriaX,comoelnúmerodeéxitosqueseobtienenenlosnensayosdeBernoulli;aéstavariableseledenominavariablebinomialysucorrespondientedistribucióndeprobabilidad,seconocecomodistribuciónbinomial.
  • 21. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (II) LavariablealeatoriaXquerepresentaelnúmerodeéxitosennensayosdeunexperimentobinomial, sigueunadistribucióndadapor: 푃푋=푥= 푛 푥 푝푥(1−푝)푛−푥푥=0,1,2,…,푛 LacualsedenominaDistribuciónBinomial,connypcomoparámetros,porqueparadiferentesvaloresseobtienendiferentesdistribucionesbinomiales.
  • 22. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (III) Enalgunostextossedefineladistribuciónbinomial, conlaprobabilidaddefracasoporq=1-p,quedandoexpresadadelasiguientemanera: 푃푋=푥= 푛 푥 푝푥푞푛−푥푥=0,1,2,…,푛 Siendo p+q=1 Nota:elnombredeladistribuciónbinomialprovienedelhechodequelasprobabilidadesbinomialesparax=0,1,…,nsonprecisamentelostérminososumandosdeldesarrollodelbinomio(푞+푝)푛, tambiénllamadoBinomiodeNewton.
  • 23. EJEMPLO 7. Distribución Binomial. Sesabequeel30%deloshabitantesdeunaciudadpadecendeasma.Determinarlaprobabilidaddequeunamuestraaleatoriade4personas: i)Ninguna padezca de asma. ii)Más de dos sufran de asma.
  • 24. SOLUCIÓN SeaXelnúmerodepersonasquesufrendeasmaenunamuestrade4personas. X(n=4;p=0,3) i) 푃푋=0= 400,30(0,7)4=0,2401 ii) 푃푋≥3= 430,33(0,7)1+ 440,34(0,7)0 =0,0756+0,0081=0,0837
  • 25. EJEMPLO 8. Distribución Binomial. Si9decada10reciénnacidosdeunaregiónsonniños,determinarlaprobabilidaddequeenunamuestraaleatoriade12reciénnacidos,hayanunmáximode10niños. SiXrepresentaelnúmerodeniñosyYelnúmerodeniñasenelgrupode12reciénnacidos,tenemosque: X(n=12, p=0,9) Y(n=12, p=0,1)
  • 26. SOLUCIÓN Para dar respuesta con la variable X: 푃푋≤10=1−푃푋≥11 =1− 12110,9110,11− 12120,9120,10 =1−0,37657−0,28242=0,34101 UtilizandolavariableY,tambiénsepuededarrespuesta: 푃푋≤10=푃푌≥2=1−푃푌≤1 =1− 1210,110,911− 1200,110,912 =1−0,37657−0,28242=0,34101
  • 27. USO DE LA TABLAS BINOMIAL Ejemplo 8:n=4, x=0, p=0,45 푃푋=0= 400,450(0,55)4=0,0915
  • 28. DISTRIBUCIÓN NORMAL
  • 29. ASPECTOS GENERALES TambiénllamadadistribucióngaussianaodeGauss.Esunmodelocontinuodeprobabilidad.Esladistribuciónmásconocida,másaplicadaydemayordesarrolloteóricoentrelasdiferentesdistribucionesdeprobabilidad,incluyendodiscretasycontinuas,portanto,mantieneunlugardeprimacíaentrelosmodelosdeprobabilidad.
  • 30. DISTRIBUCIÓN NORMAL UnavariablealeatoriaX(μ,σ)sigueunaDistribuciónNormal,sisufuncióndedensidadvienedadapor: 푓푥= 12휋휎2푒− (푥−휇)22휎2−∞<푥<+∞ 푆푖푒푛푑표휇푦휎푙표푠푝푎푟á푚푒푡푟표푠 휇푦휎휖푅,휎>0 휋=3,14159… 푒=2,71828…
  • 31. GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Seconocecomocurvanormalypresentalassiguientescaracterísticas: •Tieneformaacampanada. •Essimétricaconrespectoalaμyunimodal,esdecir,μ=Md=Mo. •LosextremosdelacurvaocolassonasintóticasconrespectoalejeX. •Eláreabajolacurvaesigualauno(1). •CurtosisyAsimetríaigualacero(0).
  • 32. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA X(μ,σ) Elparámetroμcomoesunfactordetraslación.Siaumentaμsetrasladaaladerecha,enelcasocontrariosetrasladaalaizquierda. Elparámetroσesunfactordedispersión.Siaumentaσseacumulanlosdatosenelcentrodeladistribución,enelcasoopuestoseextiendenalolargodelejeX.
  • 33. INTERPRETACIÓN PROBABILÍSTICA X(μ,σ) 푃휇−휎<푥<휇+휎=0,6826 푃휇−2휎<푥<휇+2휎=0,9545 푃휇−3휎<푥<휇+3휎=0,9978
  • 34. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA Estodadistribuciónnormalconμ=0y휎2=1,sehaceunprocesodetransformación,quesedenominaestandarizaciónotipificación.SeacostumbraadesignarZ,atodavariablequesigaunadistribuciónnormalestandarizadayseusalanotaciónZ(0;1),quedando: 푍= 푋−휇 휎
  • 35. EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA SE CUMPLE: 푃−1<푍<1=0,6826 푃−2<푍<2=0,9545 푃−3<푍<3=0,9978
  • 36. Paracalcularprobabilidadesasociadasaunavariablenormalestandarizadaconlatablacorrespondiente,seprocededelasiguientemanera: i)Las probabilidades del tipo 푃푍≤푧se buscan directamente en la tabla. ii)Las probabilidades del tipo 푃푍≥푧=1−푃푍≤푧. iii)Las probabilidades de la forma: 푃푧1≤푍≤푧2=푃푍≤푧2−푃(푍≤푧1) Caso i) Caso ii) Caso iii)
  • 37. EJEMPLO 9. Distribución normal estandarizada. Calcular: i) 푃(푍<−1,2) ii) 푃푍>2,43 iii) 푃(−1,33≤푍<2,2) i) 푃푍<−1,2 =0,1151
  • 38. ii) 푃푍>2,43=1−푃푍<2,43=1−0,9925=0,0075
  • 39. iii)푃−1,33≤푍<2,2 푃푍<2,2=0,9861 푃푍≤−1,33=0,0916 Luego: 푃−1,33≤푍<2,2=푃푍<2,2−푃푍≤−1,33 =0,9861−0,0916=0,8943
  • 40. EJEMPLO 10. Distribución normal estandarizada. Elingresodiariodeunhotelduranteunañoporconceptodealimentosybebidassigueunadistribuciónnormalconμ=30000Bsyσ=5000Bs. Sepide: i)Laprobabilidaddequeenundíacualquieralosingresosdealimentosybebidasseansuperioresa45000Bs. ii)Sielhotelregistrapérdidascuandoelingresodiarioesinferiora20000Bs,determinarelporcentajededíasduranteelañoqueseesperaqueelhoteltengapérdidasenelrenglóndealimentosybebidas.
  • 41. SOLUCIÓN i) 푋=푖푛푔푟푒푠표푑푖푎푟푖표푑푒푙ℎ표푡푒푙푝표푟푐표푛푐푒푝푡표푑푒푎푙푖푚푒푛표푠푦푏푒푏푖푑푎푠 푍(휇=30000;휎=5000) 푖)푃푋>45000=푃 푋−300005000> 45000−300005000 푃푍>3=1−푃푍<3=1−0,9987=0,0013 Lo que indica un evento poco probable.
  • 42. SOLUCIÓN ii) 푖푖)푃푋<20000=푃 푋−300005000< 20000−300005000 푃푍<−2=0,0228 퐿푢푒푔표,%푍<−2=0,0228푥100=2,28% Enconsecuencia2,28%delosdíasdelaño,elhotelregistrarápérdidasporconceptodealimentosybebidas.
  • 43. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
  • 44. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO Una variable aleatoria continua X, tiene una distribución Chi-cuadrado ( 푋2 ) con n grados de libertad, si su función de densidad está dada por: Si (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes, de media=0 y varianza=1, la variable definida como:      n i 1 2 i 2 n 2 n 1 Y X  X X 0 2 2 1 ( ) ( 2) / 2 / 2          x e x n f x n x n
  • 45. CARACTERÍSTICAS •ElparámetrodeladistribuciónChi-cuadrado,eselnúmerodegradosdelibertad. •Esunavariablealeatoriacontinua. •Esunadistribuciónunimodalyasimétricapositivacuandolosgradosdelibertadsonpequeños. •Debidoaqueesunasumadecuadrados,sucampodevariaciónvade(0,+∞)
  • 46. CARACTERÍSTICAS (cont.) •PresentaunafamiliadedistribucionesChi- cuadrado,esdecir,paracadagradodelibertad, existeunadistribuciónChi-cuadrado. •Amedidaqueaumentanlosgradosdelibertad,ladistribuciónChi-cuadrado,seaproximaaunadistribuciónnormal.
  • 47. USO DE LA TABLA 푿ퟐ i)푃(푋2≤0,30)con 8 grados de libertad = 9,52 ii)푃푋2≥0,05con 6 grados de libertad=푃푋2≤0,95= 1,63 iii)푃(0,1≤푋2≤0,9)con 5 grados de libertad = 9,24 ≤푋2≤1,61
  • 48. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA TABLA i)푃(푋2≤0,30)con 8 grados de libertad = 9,52 Elvalordelavariable푋2quedejaasuizquierda,unáreade0,30o30%enunadistribucióncon8gradosdelibertadesde9,52. 푖푖)푃푋2≥0,05con6gradosdelibertad=푃푋2≤0,95=1,63 Elvalordelavariable푋2quedejaasuderecha,unáreade0,05o5%enunadistribucióncon6gradosdelibertadesde1,63. 푖푖푖)푃(0,1≤푋2≤0,9)con5gradosdelibertad=9,24≤푋2≤1,61 Elvalordelavariable푋2quedejaasuizquierdaunáreade0,1o10%esde1,61,mientrasqueelvaloraladerechadejaunáreade0,1o10%esde9,24,enunadistribucióncon5gradosdelibertad,enotraspalabrasel80%delavariable푋2seencuentraentre1,61y9,24.
  • 49. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT
  • 50. Surge como el cociente de dos variables aleatorias independientes: una normal estandarizada (Z) en el numerador y la raíz cuadrada de la Chi-cuadrada 푋2 entre sus grados de libertad (n) en el denominador, es decir: La función de densidad con n grados de libertad es:                                  x n x n n n f x n 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( )  DISTRIBUCIÓN T-STUDENT 푡 = 푍 푋2 푛
  • 51. CARACTERÍSTICAS •Elparámetrodeladistribuciónt,eselnúmerodegradosdelibertad. •Esunavariablealeatoriacontinua. •Esunadistribuciónunimodalysimétricaconrespectoasumedia. •Sucampodevariaciónvade(-∞,+∞)
  • 52. CARACTERÍSTICAS (cont.) •Existeunadistribucióntdiferenteparacadagradodelibertad,conμ=0yσdiferentedependiendodelosgradosdelibertad. •Amedidaqueaumentanlosgradosdelibertad,ladistribuciónt-studentseaproximaaunadistribuciónnormal.
  • 53. USO DE LA TABLA t i)Hallar el área derecha de t, con n=12 y α=0,05. t=1,7823 ii)Hallar el área izquierda de t, con n=12 y α=0,05. t=-1,7823
  • 54. Caso i)t=1,782 0 1,7823 α=0,05 Zona de rechazo Caso ii)t=-1,782 0 -1,7823 α=0,05 Zona de rechazo
  • 55. EJEMPLO 11. T-STUDENT. DadaunavariabletdeStudentcon12gradosdelibertad.Hallarelvalortquedejaunáreatotalde5% enambosextremos. 훼 2= 0,052=0,025 Usandolatablaα=0,025setienequet=2,1788paralacoladerechaydebidoalasimetríadeladistribucióndet,elvalordelacolaizquierdaeselmismoperoconsignocambiado,esdecir,t=-21788
  • 56. 0 2,1788 α=0,025 Zona de rechazo -2,1788 α=0,025 Zona de rechazo FINALMENTE,LOSINVITOALAPÁGINAWEBDEBIOESTADÍSTICA: URLhttp://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/joanfchipia/
  • 57. ACTIVIDAD EVALUADA EN EL BLOG ExpliqueporquéyparaquéutilizarlasDistribucionesdeProbabilidadenCienciasdelasaludydespuésmuestreunejemplo.
  • 58. REFERENCIAS Armas,J.(1988).Estadísticasencilla: probabilidades.Mérida:ConsejodePublicacionesdelaUniversidaddeLosAndes. Ovalles,A.yMoret,C.(2001).ManualdeestadísticaII.Mérida:ConsejodePublicacionesdelaUniversidaddeLosAndes. FINALMENTE,LOSINVITOALAPÁGINAWEBDEBIOESTADÍSTICA: URLhttp://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/joanfchipia/