อสมการ

95,787 views
95,161 views

Published on

4 Comments
19 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
95,787
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
56
Actions
Shares
0
Downloads
1,138
Comments
4
Likes
19
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

อสมการ

  1. 1. การเขียนประโยคเกี่ยวกับจานวนให้เป็นประโยคที่ใช้ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาแล้ว เช่น ประโยค สามเท่าของจานวนจานวนหนึ่งเท่ากับหก เขียนได้เป็น 3x = 6 และประโยค สองเท่าของจานวนจานวนหนึ่งมากกว่าสี่อยู่เจ็ด เขียนได้เป็น 2x – 4 = 7นอกจากนี้ยังเคยรู้จักสัญลักษณ์ต่อไปนี้ < แทนความสัมพันธ์ น้อยกว่า หรือไม่ถึง > แทนความสัมพันธ์ มากกว่า หรือเกินและ ≠ แทนความสัมพันธ์ ไม่เท่ากับ หรือไม่เท่ากันนอกจากสัญลักษณ์ดังกล่าวแล้ว เรายังใช้สัญลักษณ์ ≤ แทนความสัมพันธ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ สัญลักษณ์ ≥ แทนความสัมพันธ์ที่มากกว่าหรือเท่ากับ เช่น x ≤ 2 อ่านว่า x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 หมายถึง x < 2 หรือ x = 2 อีกนัยหนึ่งคือ x ไม่เกิน 2และ a ≥ b อ่านว่า a มากกว่าหรือเท่ากับ b หมายถึง a > b หรือ a = b อีกนัยหนึ่งคือ a ไม่น้อยกว่า b
  2. 2. ในแต่ละอสมการอาจจะมีตัวเป็นหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ ถ้าอสมการมีตัวแปร ตัวแปรนั้นจะแทนจานวน ในกรณีที่ไม่ระบุเงื่อนไขของตัวแปร ให้ถือว่าตัวแปรนั้นแทนจานวนจริงใดๆ จากประโยคสัญลักษณ์ที่ใช้ในทางคณิตศาสตร์ข้างต้น ประโยคในข้อที่ 1 เป็นตัวอย่างของอสมการที่ไม่มีตัวแปร ส่วนประโยคในข้อ 2 ถึงข้อ 6 เป็นตัวอย่างของอสมการที่มีตัวเป็น อสมการดังกล่าวจึงเป็นตัวอย่างของ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวตัวอย่างอื่นๆ ของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เช่น อสมการที่มีตัวแปรอาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร เช่นอสมการ x – 2 < 5 เป็นจริง เมื่อแทน x ด้วย 4 หรือ แทน x ด้วย -3 และไม่เป็นจริงเมื่อแทน x ด้วย 10 เรียกจานวนที่แทน x ในอสมการ x – 2 < 5 แล้วทาให้ x – 2 < 5 เป็นจริงว่า คาตอบของอสมการ x – 2 < 5
  3. 3. อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อาจมีคาตอบได้หายลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ จงหาคาตอบของอสมการ a ≠ 30วิธีทา เนื่องจาก เมื่อแทน a ด้วยจานวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 30 ใน a ≠ 30 จะได้อสมการเป็นจริงดังนั้น คาตอบของสมการ a ≠ 30 คือจานวนจริงทุกจานวนยกเว้น 30ตอบ จานวนจริงทุกจานวนยกเว้น 30 จงหาคาตอบของอสมการ x ≥ 7วิธีทา เนื่องจาก เมื่อแทน x ด้วยจานวนจริงใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7 ใน X ≥ 7 แล้วจะได้อสมการที่เป็นจริงดังนั้น คาตอบของอสมการ x ≥ 7 คือ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7ตอบ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7 จงหาคาตอบของอสมการ m + 1 < m + 2วิธีทา เนื่องจากเมื่อแทน m ด้วยจานวนจริงใดๆ ใน m + 1 < m + 2 แล้วจะได้อสมการ ที่เป็นจริงเสมอดังนั้น คาตอบของอสมการ m + 1 < m + 2 คือจานวนจริงทุกจานวนตอบ จานวนจริงทุกจานวน
  4. 4. จงหาคาตอบของอสมการ z - 2 > zวิธีทา เนื่องจากไม่มีจานวนจริงใดแทน z ใน z - 2 > z แล้วทาให้อสมการเป็นจริงดังนั้น ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบของอสมการ z - 2 > zตอบ ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นถึงอสมการ 3 แบบ ตามลักษณะคาตอบดังนี้ 1) อสมการที่มีจานวนจริงบางจานวนเป็นคาตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 1 และตัวอย่างที่ 2 2) อสมการที่มีจานวนจริงทุกจานวนเป็นคาตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 3 3) อสมการที่ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 4คาตอบของอสมการ อาจแสดงให้เห็นโดยใช้กราฟบนเส้นจานวนแสดงจานวนจริงที่เป็นคาตอบ ดังตัวอย่าง1) กราฟแสดงคาตอบของอสมการ m > 2 เป็นดังนี้กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มากกว่า 2 ซึ่งเป็นคาตอบของ m < 2 เนื่องจาก2 ไม่ใช่คาตอบ จะเขียนวงกลมเล็กๆ ล้อมรอบจุดที่แทน 2 ไว้ เพื่อแสดงให้เห็นว่ากราฟไม่รวมจุดที่แทน 22) กราฟแสดงคาตอบของสมการ w ≤ 3 เป็นดังนี้กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 ซึ่งเป็นคาตอบของ w≤3 เนื่องจาก 3 เป็นคาตอบ จะเขียนรูปวงกลมทึบเล็กๆ ทับบนจุดที่แทน 3 ไว้ เพื่อแสดงให้เห็นว่ากราฟรวมจุดที่แทน 3
  5. 5. 3) กราฟแสดงคาตอบของอสมการ -2 < x ≤ 5 เป็นดังนี้กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มีค่ามากกว่า -2 แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5 ซึ่งเป็นคาตอบของ -2 < x ≤ 5 เนื่องจาก -2 ไม่ใช่คาตอบ จะเขียนวงกลมเล็กๆ ล้อมรอบจุดที่แทน -2 ไว้ เพื่อแสดงว่ากราฟไม่รวมจุดที่แทน -2 และเนื่องจาก -5 เป็นคาตอบจพเขียนรูปวงกลมทึบเล็กๆ ทับจุดที่แทน 5 ไว้ เพื่อแสกงว่ากราฟรวมจุดที่แทน 54) กราฟแสดงคาตอบของอสมการ y ≠ -1กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนยกเว้น -1 ซึ่งเป็นคาตอบของ y ≠ -1 เนื่องจาก -1 ไม่ใช่คาตอบ จะเขียนวงกลมเล็กๆ ล้อมรอบจุดที่แทน -1 ไว้ เพื่อแสดงว่ากราฟไม่รวมจุดที่แทน -1 การแก้อสมการ คือ การหาคาตอบของสมการ ที่ผ่านมาเราแก้สมการโดยลองแทนค่าตัวแปรในอสมการ แต่อาจจะไม่สะดวกเมื่ออสมการมีความซับซ้อน เช่น เมื่อต้องการแก้อสมการ เราจะพบว่า เป็นการยากที่จะหาคาตอบของอสมการนี้โดยการลองแทนค่าตัวแปร เพื่อความรวดเร็วในการแก้อสมการ เราจะใช้สมบัติการไม่เท่ากันในการหาคาตอบได้แก่ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากันและสมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน
  6. 6. ตัวอย่าง ถ้า 10 < 12 แล้ว 10 + 5 < 12 + 5 หรือ 15 < 17 ถ้า 25 ≤ 30 แล้ว 25 + 10 ≤ 30 + 10 หรือ 35 ≤ 40 เนื่องจาก a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a ≤ b มีความหมายเช่นเดียวกับb ≥ a ด้วยดังนี้1. x - 4 < 20นา 4 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการจะได้ x - 4 + 4 < 20 + 4ดังนั้น x < 242. x + 15 > 10นา -15 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการจะได้ x + 15 + (-15) > 10 + (-15) x + 15 - 15 > 10 - 15ดังนั้น x > -5
  7. 7. 3. 30 + x ≤ 12นา -30 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการจะได้ 30 + x – 30 ≤ 12 - 30ดังนั้น x ≤ -184. x - 12 ≥ -4นา 12 มาบวกทั้งสองข้างอสมการจะได้ x - 12 + 12 ≥ -4 + 12ดังนั้น x ≥ 8 จากตัวอย่างข้างต้น เราใช้สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน ทาให้อสมการสุดท้ายอยู่ในรูป x < c, x ≤ c หรือ x ≥ c ซึ่งคาตอบทุกคาตอบของอสมการสุดท้ายเป็นคอตอบของอสมการแรก และคาตอบทุกคาตอบของอสมการแรกเป็นคาตอบของอสมการสุดท้าย ในกรณีนี้เรากล่าวว่า อสมการแรกสมมูล กับอสมการสุดท้าย และเมื่อสามารถหาอสมการที่สมมูลกับอสมการที่ต้องการหาคาตอบโดยการคานวณในแต่ ละขั้นตอนถูกต้องแล้วก็ไม่จาเป็นต้องตรวจคาตอบจากตัวอย่างข้างต้นจะได้อสมการที่สมมูลกันดังนี้x - 4 < 20 สมมูลกับ x < 24x + 15 > 10 สมมูลกับ x > -530 + x ≤ 12 สมมูลกับ x ≤ -18x - 12 ≥ -4 สมมูลกับ x ≥ 8 อสมการบางอสมการไม่สามารถใช้สมบัติการบวกของการไม่ เท่ากันเพียงอย่างเดียวในการหาคาตอบ เช่น 8x > 24 ในกรณีเช่นนี้ต้องใช้สมบัติการคูรของการไม่เท่ากันจึงจะสามารถหาคาตอบได้
  8. 8. ตัวอย่าง1. ถ้า 5< 7 แล้ว 5 x 2 < 7 x 2 จะได้ 10 < 142. ถ้า 12 ≤ 15 แล้ว 12 x 3 ≤ 15 x 3 จะได้ 36 ≤ 453. ถ้า 20 < 30 แล้ว 20 x (-4) > 30 x (-14) จะได้ -80 > -1204. ถ้า 100 ≤ 200 แล้ว 100 x (-5) ≥ 200 > (-5) จะได้ -500 ≥ -1,000 และเนื่องจาก a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a ≤ b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > b และ a ≥ b ด้วยดังนี้ เนื่องจากการหารด้วย c เมื่อ c ≠ 0 คือการคูณด้วย เราจึงใช้สมบัติการคูณของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการที่อยู่ในรูป cx < b หรือ cx ≤ b เมื่อ c และ b เป็นค่าคงตัวและ c ≠ 0 สาหรับการแก้อสมการที่มีเครื่องหมาย ≠ เช่น x - 6 ≠ 28 และ 7x + 4 ≠ 25 เราจะไม่ใช้สมบัติการบวกของการไม่เท่ากันและสมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน แต่จะแก้สมการเพื่อหาคาตอบ ซึ่งจะได้คาตอบของอสมการที่มีเครื่องหมาย ≠ เป็นจานวนทุกจานวนยกเว้นจานวนที่เป็นคาตอบของสมการ
  9. 9. ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวก็สามารถทาได้ โดยมีขั้นตอนดังนี้ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาว่าโจทย์กาหนดอะไรมาให้และให้หาอะไรขั้นที่ 2 กาหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้หาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หาขั้นที่ 3 เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย์ขั้นที่ 4 แก้อสมการเพื่อหาคาตอบตามที่โจทย์ต้องการขั้นที่ 5 ตรวจสอบคาตอบที่ได้กับเงื่อนไขในโจทย์ ปัน ซื้อน้าดื่มขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้าขวดเล็กราคาขวดละ 5 บาท ขายน้าขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กาไรมากกว่า 250 บาท อยากทราบว่าปันซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมากกี่ขวด
  10. 10. ตรวจสอบ ถ้าปันซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด จะต้องซื้อน้าขวดกลางมาขายอย่างน้อย 200 - 49 =.151 ขวดขายน้าขวดเล็ก 49 ขวด เป็นเงิน 5 x 49 = 245 บาทขายน้าขวดกลาง 151 ขวด เป็นเงิน 8 x 151 = 1,208 บาทขายน้าทั้งหมดได้เงิน 245 + 1,208 = 1,453 บาทคิดเป็นกาไร 1,453 - 1,200= 253 บาทกาไร 253 มากกว่า 250 บาท ซึ่งเป็นไปจริงตามเงื่อนไขที่โจทย์กาหนดดังนั้น ปันซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวดตอบ 49 ขวด พิม มีเงินสะสมอยู่จานวนหนึ่ง วันหนึ่งพ่อของพิมให้เงินพิมเป็นพิเศษ 600 บาท วันรุ่งขึ้นพิมซื้ออาหารให้แมวและนกที่เลี้ยงไว้เป็นเงิน 420 บาท พิมรู้ว่ายังเหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งของเงินของพิมและเงินที่พ่อให้ รวมกัน จงหาว่าเดิมพิมมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อยกี่บาท
  11. 11. ตรวจสอบ ถ้าพิมมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240 บาทเมื่อรวมกับเงินที่พ่อให้ 600 บาท พิมจะมีเงินรวมกันอย่างน้อย 260 + 600 = 860 บาทหลังจากซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาทจะเหลือเงินอีกอย่างน้อย 840 – 450 = 420 บาท เงิน 420 บาทไม่น้อยกว่า 1/2 ของ 840บาท ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ดังนั้น พิมมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240บาทตอบ 240 บาทEX แก้วอ่านหนังสือเล่มหนึ่ง วันแรกอ่านได้ 2/5 เล่ม วันต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้ารวมสองวันอ่านได้มากกว่า ครึ่งเล่มจงหาว่าหนังสือเล่มนี้มีจานวนหน้าอย่างมากกี่หน้าวิธทำ ี ื ้ จำกโจทย์ ให ้ x แทนจำนวนหน ้ำของหนั งสอทังหมดเรำสำมำรถเขียนเป็ นอสมกำรได ้ดังนี้
  12. 12. EXปัญญามีเหรียญบาท และเหรียญห้าบาท อยู่ในกระป๋องออมสินจานวนหนึ่ง เมื่อเหรียญเต็มกระป๋อง เขาเทออกมานับพบว่า มีเหรียญ บาทมากกว่า เหรียญ ห้าบาทอยู่ 12เหรียญ นับเป็นจานวนเงินทั้งหมด ไม่น้อยกว่า 300 บาทจงหาว่า มีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อยกี่เหรียญวิธีทา จากโจทย์ มีเหรียญ 2 ชนิดคือ เหรียญ 1 บาท และ 5 บาท เหรียญทั้งสอง เมื่อเอาจานวนเหรียญ มาคูณกับค่าของเหรียญ ต้องมีค่าไม่น้อยกว่า คือ มากกว่าหรือเท่ากับ300 เราให้ x แทนจานวนเหรียญ ได้ อสมการ ดังนี้ดังนั้นเราจะได้ว่าเหรียญ 1 บาท = 48 + 12 x 1 = 60 บาทเหรียญ 5 บาท = 48 x 5 = 240 บาท
  13. 13. EX ถ้าสองเท่าของจานวนเต็มบวกจานวนหนึ่งมากกว่า 20 อยู่ไม่ถึง 6 จานวนดังกล่าวเป็นจานวนใดได้บ้างวิธีทา จากโจทย์ ให้ x แทนจานวนเต็มบวก ได้สมการดังนี้จานวนเต็มบวก ที่มีค่าน้อยกว่า 13คือ 12 , 10 , 8 , 6 , 4 , 2EX แม่ค้าต้องการบรรจุมะม่วงใส่ลัง ลังพลาสติกเปล่าแต่ละใบหนัก 2.5 กิโลกรัมมะม่วงขนาดใกล้เคียงกันแต่ละผลหนัก0.3 กิโลกรัม เพื่อเป็นการประหยัดค่าใช้จ่ายในการขนส่ง ต้องการบรรจุมะม่วงให้มากที่สุด แต่ต้องไม่หนักมากจนเกินไปจนเป็นปัญหาในการเคลื่อนย้าย จากประสบการณ์แม่ค้าพบว่าถ้าจะให้คุ้มค่าขนส่งโดยมะม่วงไม่เสียหาย ต้องบรรจุมะม่วงให้แต่ละลังมีน้าหนักรวมกัน อย่างน้อยลังละ 19 กิโลกรัมแต่ไม่เกิน 25 กิโลกรัมจงหาว่าแม่ค้า ควรบรรจุมะม่วงใส่ลังอย่างน้อยลังละอย่างมากลังละกี่ผล
  14. 14. วิธีทาถ้าจะให้คุ้มค่าขนส่งโดยมะม่วงไม่ เสียหาย ต้องบรรจุมะม่วงให้แต่ละลังมีน้าหนักรวมกัน อย่างน้อยลังละ 19 กิโลกรัมแต่ไม่เกิน 25 กิโลกรัมดังนั้น เมื่อหัก ลังพลาสติกเปล่าแต่ละใบ หนัก 2.5 กิโลกรัมจะเป็นน้าหนัก ของมะม่วงที่ใส่ลงไปจะได้ 19.00 - 2.5 = 16.5 กก. 25.00 - 2.5 = 22.5 กก.เราให้ x แทน จานวนลูก ดังนั้นเราจะได้สมการจะได้จานวนลูกของมะม่วงในแต่ละลังที่บรรจุไปแล้วค้มค่าการขนส่งต้องบรรจุลังละ ประมาณ 55 ถึง 75 ลูก ต่อลัง
  15. 15. EX ป้องซื้อน้าดื่มขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้าขวดเล็กราคาขวดละ 5บาท ขายน้าขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กาไรมากกว่า 250 บาท อยากทราบว่าป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมากกี่ขวดวิธีทา ให้ป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขาย x ขวด จะได้ว่า ป้องซื้อน้าขวดกลางมาขาย 200-x ขวด ขายน้าขวดเล็กได้เงิน 5x บาท ขายน้าขวดกลางได้เงิน 8(200-x) บาท ขายน้าทั้งหมดได้กาไรมากกว่า 250 บาท จะได้อสมการเป็น 5x + 8[200-x] – 1,200 > 250 5x + 1,600 - 8x -1,200 > 250 -3x + 400 > 250 -3x > 250 - 400 -3x > -150 x < x < 50ตรวจสอบ ถ้าป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด จะต้องซื้อน้าขวดกลางมาขายอย่างน้อย 200-49 = 151 ขวด ขายน้าขวดเล็ก 49 ขวด เป็นเงิน 5 49 = 245 บาท ขายน้าขวดกลาง 151 ขวด เป็นเงิน 8 151= 1,208 บาท
  16. 16. ขายน้าทั้งหมดได้เงิน 245+1,208 = 1,453 บาทคิดเป็นกาไร 1,453-1,200 = 253 บาทกาไร 253 มากกว่า 250 บาทซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ดังนั้น ป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวดตอบ 49 ขวด

×