Your SlideShare is downloading. ×
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

วงกลมหนึ่งหน่วย

35,766

Published on

0 Comments
7 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
35,766
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
330
Comments
0
Likes
7
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit circle) บทนิยาม วงกลมหนึ่งหน่วย หมายถึง กราฟของความสัมพันธ์ U = {(x,y)  RR | x2+ y2 = 1} คือ วงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกาเนิด และรัศมียาว 1 หน่วย นั่นเอง ดังรูป Y  (0,1) 2  2 -1,0) O (1,0) X 3 (0,-1) 2 เนื่องจากวงกลมหนึ่งหน่วยมีรัศมียาว 1 หน่วย จากสูตร ความยาวเส้นรอบวง = 2r = 2  (1) = 2  หน่วย หรือ  2(3.1416)  6.2832 หน่วย 2 ดังนั้น เสี้ยววงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4 = 2 หรือประมาณ 1.5708 หน่วย 2 ครึ่งวงกลมหนึงหน่วยยาว = 2 =  หรือประมาณ 3.1416 หน่วย ่ 3 3 3 ใน 4 ของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4  2  = 2 หรือประมาณ 4.7124 หน่วย
  • 2. การวัดความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย กาหนด   R จุด P(  ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  โดยวัดจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลม ถ้า   0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ถ้า  < 0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ให้ความยาวส่วนโค้งวงกลมหนึ่งหน่วยยาว  หน่วย มี โคออร์ดิเนทจุดปลายส่วนโค้งเป็น (x,y) นั่นคือ P(  ) = (x,y) จากรูปวงกลมหนึ่งหน่วย จะเห็นว่า (พิจารณารูปหน้าที่ 1 ประกอบ)  3 P(0) = (1,0) , P( 2 ) = (0,1) , P() = (-1,0) , P( 2 ) = (0,-1) , P(2) = (1,0)  3 P(- 2 ) = (0,-1) , P(-) = (-1,0) , P(- 2 ) = (0,1) , P(-2) = (1,0) ทฤษฎีบท 1 ถ้า  เป็นจานวนใดๆ แล้ว P(  ) = P( + 2n) เมื่อ n เป็นจานวนเต็ม   จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว P() เมื่อ  เป็นจานวนจริงที่สาคัญที่ควรทราบ ( 3 , 4 , 6 ) ตัวอย่างที่ 1 จงหา P( 4 )  วิธีทา จากรูป เนื่องจาก P( 4 ) เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AB และส่วนโค้ง AB ยาว 2  B(0,1) ดังนั้น AP = PB = 4   P(x,y) ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว 4 เพราะฉะนั้น AP2 = PB2 O A(1,0) (x-1)2 + (y-0)2 = (x-0)2 + (y-1)2 x2- 2x + 1 + y2 = x2 + y2-2y + 1 x = y แต่เนื่องจาก (x,y) เป็นจุดบนวงกลม x2+ y2 = 1 x2 + x2 = 1  2x2 = 1 1 1 1 x2 = 2  x =  และ y =  2 2
  • 3. แต่ P(x,y) อยู่ในควอดรันต์รันที่ 1 ดังนั้น x และ y มีค่าเป็นบวก 1 1 เพราะฉะนั้น x = และ y =  0.701 2 2  1 1 2 2ดังนั้น P ( 4 ) = ( , ) = ( 2 , 2 ) 2 2   ตารางต่อไปนี้ สรุป จุด P( ) เมื่อ  = 6 , , 4 3  P( )  3 1 6 ( , ) 2 2  2 2 ( , ) 4 2 2  1 3 ( , ) 3 2 2โดยอาศัยความรู้เรื่องการสมมาตรต่อแกน X ต่อแกน Y หรือต่อจุดกาเนิด สามารถที่จะหาพิกัดของจุด P(  )เมื่อ  เป็นความยาวส่วนโค้งที่อยู่ในควอดรันต์อื่นๆ ดังรูป 2  1 3 P( ) P( 3 ) = ( , ) 3 2 2 3  2 2  P( 4 ) P( )=( , ) P( 6 ) 4 2 2 O O O 7 11 P( 6 ) P( 6 ) 4 5 5 7 P( ) P( 3 ) P( 4 ) P( 4 ) 3
  • 4. การหาค่าของ sin (-  ) และ cos (-  ) เมื่อ  > 0 Y P( ) = (x,y) O A(1,0) X P(- ) = (x,-y) ให้ P( ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย P(- ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย เช่นกัน P( ) และ P(- ) สมมาตรกันโดยมีแกน X เป็นแกนสมมาตร จากนิยาม sin  = y และ sin (- ) = -y cos  = x cos (- ) = x ดังนั้น sin (- ) = - sin (  ) cos (- ) = cos (  ) 2  3ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ sin (  3 ) , cos (  6 ) , sin (  4 ) 2 2 3วิธีทา sin (  3 ) = - sin 3 =  2   3 cos (  6 ) = cos 6 = 2 3 3 2 sin (  4 ) = - sin 4 = - 2  การหาค่าของ sin  และ cos  เมื่อ  > 2 การหา sin  และ cos  ให้นา 2 ไปหาร  สมมติให้ผลหารเท่ากับ n เหลือเศษ  (alpha) โดยที่ 0    2   = 2n +  , nI+ เมื่อ ดังนั้น sin  = sin (2n + ) = sin  cos  = cos (2n + ) = cos 
  • 5. 32  35  ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ sin 3 , cos (  4 ) 32  2 2 3วิธีทา sin 3 = sin ( 5  2   3 ) = sin 3 = 2 35  35  3 3 2 cos (  4 ) = cos ( 4 ) = cos ( 4  2   4 ) = cos ( 4 ) =  2  การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2 โดยอาศัยค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของ จานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2  1. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 ( 2     ) Y P’(x’,y’) P(x,y) ให้ P’(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  ส่วนโค้ง AB ยาว =  ส่วนโค้ง P’B ยาว = - B O A(1,0) X และ ส่วนโค้ง AP ยาว =  -  ดังนั้น เมื่อ  ตกอยู่ใน Q2 sin  = sin (  -  )   11 11ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ sin 12  0 . 26 และ cos 12 = 0.96 จงหาค่าของ sin 12 และ cos 12 11 วิธีทา เนื่องจากจุดปลาย 12 อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 11 11  ดังนั้น sin 12 = sin (   12 ) = sin 12 = 0.26 11 11  cos 12 = - cos (   12 ) = - cos 12 = - 0.96   20  ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ sin (  3 ) 20  20  2 วิธีทา sin (  3 ) = - sin 3 = - sin [( 3  2  )  3 ] 2 2  3 = - sin 3 = - sin (   3 ) = - sin 3 =  2  
  • 6. 32. เมื่อจุดปลายส่วนโค้ง  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 (     2 ) Y M (-x,y) P(x,y) ให้ P(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จุด P’(x’,y’) สมมาตรกับจุด M(-x,y) B(-1,0) O A(1,0) X จุด M(-x,y) สมมาตรกับจุด P(x,y) ดังนั้น เมื่อ  อยู่ใน Q3 P’(x’,y’) sin    sin(    ) cos    cos(    ) ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ cos 5 และ sin(  16  ) 4 3 วิธีทา เนื่องจาก cos 5 อยู่ใน Q 3 จะได้ 4 5 cos 4 =  cos( 5    ) =  cos  =  2   4 4 2 16  sin(  3 ) =  sin( 16  ) =  sin( 4   4  ) 3 3 4 4 =  sin 3 =  sin( 3   )   3 =  [  sin( 3 )] = sin 3 = 2   3 3. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 ( 2    2  ) Y ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จุด P(x,y) สมมาตรกับจุด P’(x’,y’) P(x,y) ดังนั้น เมื่อ  อยู่ใน Q4 O A(1,0) X sin    sin( 2   ) cos   cos( 2   ) P’(x’,y’) = (x,-y)
  • 7. 11 5 47  ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ sin 6 , cos 3 , sin 4 11 5 47 วิธีทา เนื่องจาก sin 6 , cos 3 , sin 4 อยู่ใน Q4 จะได้ 11 11  1 sin 6 =  sin( 2   6 ) =  sin 6 =  2 *** 5 5  1 cos 3 = cos( 2   3 ) = cos 3 = 2 *** 47  7 7 7  2 sin 4 = sin( 10   ) = sin 4 =  sin( 2   4 ) =  sin 4 =  2 *** 4ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ sin  1. tan  = เมื่อ cos   0 cos  cos  2. cot  = เมื่อ sin   0 sin  3. sec  = เมื่อ cos   0 1 cos  4. cosec  = เมื่อ sin   0 1 sin  tan  = เมื่อ cot   0 1หมายเหตุ cot  cot  = เมื่อ tan   0 1 tan ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ tan  , cot  , sec  , cosec  เมื่อกาหนด  ดังนี้    1.  = 2.  = 3.  = 6 4 3  1  3วิธีทา 1. เนื่องจาก sin = และ cos = 6 2 6 2  1 sin    1 2 1 3 ดังนั้น tan =  6 = 2 = 2  = หรือ 6 3 3 3 3 cos 6 2    1 1 3 cot =  = 1 = 1 = 3 6 1 tan 6 3
  • 8.    1 1 2 2 sec =  = = 1 = 6 3 3 3 cos 6 2    1 1 2cosec =  = 1 = 1 = 2 6 1 sin 6 2
  • 9. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ1. กราฟของฟังก์ชันไซน์ จากความสัมพันธ์ sine = {(x,y)RR |y = sin x}โดยที่ โดเมนของ sin = R เรนจ์ของ sin = [-1,1] มีกราฟดังรูป Y 1 X 3   3 -2 - O 2  2 2 2 2 -12. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ จากความสัมพันธ์ cos = {(x,y)RR |y = cos x}โดยที่ โดเมนของ cos = R เรนจ์ของ cos = [-1,1] มีกราฟดังรูป Y 1 X   - 2 - 3 - - O  3 2 2 2 2 2 -1ฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบ หมายถึง ฟังก์ชันที่สามารถแบ่งแกน X ออกเป็นช่วงย่อยๆ โดยที่ความยาวแต่ละช่วงเท่ากัน และกราฟของฟังก์ชันในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุด ซึ่งมีลักษณะ ดังกล่าว เรียกว่า คาบ ของฟังก์ชัน ดังนั้น ฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x เป็ นฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบและมีคาบเท่ากับ 2 
  • 10. ฟังก์ชันที่เป็นคาบซี่งมีค่าสูงสุด และค่าต่่าสุด จะเป็นฟังก์ที่มีแอมพลิจูด ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง ระหว่างค่าสูงสุด และค่าต่่าสุดของฟังก์ชัน นั่นคือ 1 แอมพลิจูด = 2 (ค่ าสู งสุ ดของฟังก์ ชัน - ค่ าต่าสุ ดของฟังก์ ชัน) ดังนั้น ฟังก์ชั่น y = sin x และ y = cos x มีแอมพลิจูดเป็ น 1 เท่ากัน3. กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ sin x จาก tangent = {(x,y) RR | y = tan x = cos x , cos x  0 } โดเมนของ tangent = {xR | cosx  0} = R - {xR | cosx = 0}  = R - {x R | x = n 2 เมื่อ n เป็นจ่านวนเต็มคี่ } เรนจ์ของ tangent = R มีกราฟดังรูป Y  3   2   O  3 2 X 2 2 2 2

×