กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร

104,795 views
104,307 views

Published on

2 Comments
15 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
104,795
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
610
Comments
2
Likes
15
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวอปร

  1. 1. กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สมการเชิงเส้นสองตัวแปร Ax + By + C = 0 เมื่อ A < 0 และ B < 0 นิยมจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปที่สะดวกในการแทนค่า x เพื่อหาค่า y ดังนี้ จาก Ax + By + C = 0 เมื่อ A = 0 จะได้ By = – Ax – C A C ดังนั้น y= - x- B B ถ้าให้ a = - A และ b = - C จะได้สมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรูป y = ax + b B B เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว และเรียก a ว่าสัมประสิทธิ์ของ xตัวอย่างที่ 1 จงเขียนสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป Ax + By + C = 0 พร้อมทั้งหาค่า A, B และ C 1) 3x + 7y + 1 = 0วิธีทา จาก 3 x + 7y + 1 = 0 ดังนั้น A = 3, B = 7 และ C = 1 2) 2y = 4x + 3วิธีทา จาก 2y = 4x + 3 จะได้ 2 y – 4x – 3 = 0 ดังนั้น A = – 4, B = 2 และ C = – 3 3) 1 x – 2y = 5 3วิธีทา จาก 1 x – 2y = 5 3 จะได้ 1 x – 2y – 5 = 0 3 ดังนั้น A = 1 , B = –2 และ C = –5 3 4) – 4x – 2 y = 5 3 3วิธีทา จาก – 4x – 2 y = 5 3 3 จะได้ – 4x – 2 y– 5 = 0 3 3 ดังนั้น A = – 4, B = – 2 และ C = – 5 3 3
  2. 2. ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของสมการ 3x + y = 4วิธีทา จัดสมการ 3x + y = 4 จะได้ 3x + y = 4 y = 4 – 3x คาตอบของสมการคือ x 0 1 3 y 4 1 -5 กราฟของสมการ 3x + y = 4 เป็นดังนี้ นา (x ,y) ซึ่งเป็นคู่อันดับที่ได้ค่าของ x และ y จากตารางทั้ง 2 มาเขียนกราฟจะได้ดังรูป Y 12 1 3x + y = 4 0 8 6 4 . (0, 4) 2 . (1, 1) - - - - 0 2 4 6 8 X 8 6 4 2 - 2 - 4 .(-3, -5)ตัวอย่างที่ 3 3x – 2y – 6 = 0วิธีทา จากสมการ 3x – 2y – 6 = 0 จะได้ – 2y = 6 – 3x y= 3 x–3 2 คาตอบของสมการคือ x –2 0 2 y –6 –3 0 กราฟของสมการ 3x – 2y – 6 = 0 เป็นดังนี้
  3. 3. Y 6 4 0 2 3x – 2y – 6 = 0 - - - - 0 (2, 1 2 0) . 3 4 X 4 3 2 1 - (0, -1) 2 -4 . (-1, -3) . - 6 - 8ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ลงบนแกนคู่เดียวกัน (1) y = -2 (2) y = 1วิธีทา เขียนกราฟของสมการ y = -2 และ y = 1 คาตอบคือ x –2 0 2 y = -2 -2 -2 -2 y=1 1 1 1 เขียนกราฟของสมการ y = -2 และ y = 1 ได้ดังนี้ 20 15 10 5 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 -5 -10 -15 -20
  4. 4. ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ลงบนแกนคู่เดียวกัน (1) 4y – 24 = 0 (2) 3 – 2y = – 3 วิธีทา จากสมการ 4y – 24 = 0 จะได้ 4y = 24 y = 24 4 y=6 จากสมการ 3 – 2y = –3 – 2y = –6 y=3 คาตอบของสมการคือ x –2 0 2 y=6 6 6 6 y=3 3 3 3 กราฟของสมการ 4y – 24 = 0 , 3 – 2y = – 3 ได้ดังนี้ 16 14 12 10 8 6 4 2 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16ตัวอย่างที่ 6 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ ลงบนแกนคู่เดียวกัน (1) x = 3 (2) x = -2วิธีทา คาตอบของสมการ x = 3 คือ x=3 3 3 3 y -4 0 4
  5. 5. คาตอบของสมการ x = -2 คือ x = -2 -2 -2 -2 y -4 0 4 กราฟของสมการ x = 0 และ x = -2 เป็นดังนี้ Y x=0 x=0 6 (-2, 4) 4 (3, 4) 2 (-2, 0) (3, 0) –3 –2 –1 0 1 2 3 X –2 (-2, -4) –4 (3, -4) –6ตัวอย่างที่ 7 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ ลงบนแกนคู่เดียวกัน (1) 2x – 3 = 0 (2) 3x – 2 = -5วิธีทา จากสมการ 2 x–3= 0 3 1 จะได้ x= หรือ x = 1 2 2 1 คาตอบของสมการ 2x – 3 = 0 หรือ x = 1 คือ 2 1 1 1 1 x = 1 1 1 1 2 2 2 2 y –2 0 2 จากสมการ 3x – 2 = -5 จะได้ 3x = -3 x = -1 คาตอบของสมการ 3x – 2 = -5 หรือ x = -1 คือ x = -1 -1 -1 -1 y –2 0 2
  6. 6. 1 กราฟของสมการ 2x – 3 = 0 หรือ x = 1 และ 3x – 2 = -5 หรือ x = -1 เป็นดังนี้ 2 Y 3x – 2 = -5 2x – 3 = 0 3 (-1, 2) 2 ( 1 1 , 2) 2 1 (-1, 0) ( 1 1 , 0) 2 – – – 0 1 2 3 X 3 2 1 – (-1, -2) 1 – ( 1 1 , -2) 2 2 – 3 – 4 ถ้า x = c กราฟจะขนานกับแกน y ตัดแกน x ที่จุด ( c , 0 ) ถ้า y = c กราฟจะขนานกับแกน x ตัดแกน y ที่จุด ( 0 , c )ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนกราฟของสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้บนแกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด ( 1) x = 0 (2) y = 5 (3) x = - 3 (4) y = 0 2วิธีทา เขียนกราฟได้ดังนี้ Y 1 x=- 2 x=0 1 3 08 6 (-2, 5 ) 4 (0, 5 ) 5 2 2 y= 2 2 y = 0 (-2, 0) (0, 0) - - - - 0 2 4 6 8 X 8 6 4 2 - 2 - 4 จุดตัดของกราฟของสมการ x = 0, y = 5 , x = - 3, y = 0 คือ (-2, 5 ), (0, 0), (0, 4) และ (-2, 0) 2 2
  7. 7. ตัวอย่างที่ 9 จงเขียนกราฟของสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้บนแกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด (1) 3x + 2 = 14 (2) 3 – x = 5 1 (3) y – 8 = -10 (4) 5 + 2y = 9 2วิธีทา จากสมการ 3x + 2 = 14 จะได้ 3x = 12 x=4 จากสมการ 3–x= 5 1 2 จะได้ -x = 2 1 2 x= - 2 1 2 จากสมการ y – 8 = -10 จะได้ y = -2 จากสมการ 5 + 2y = 9 จะได้ 2y = 4 y=2 เขียนกราฟได้ดังนี้ Y 1 3 – x = 5 12 1 3x + 2 = 14 2 0 8 6 4 ( 2 1 , 2) (4, 2) 2 2 5 + 2y = 9 - - - - 0 2 4 6 8 X y – 8 =8- 6 4 2 - ( 2 1 , -2) (4, -2) 10 2 2 - 4 จุดตัดของกราฟของสมการ 3x + 2 = 14, 3 – x = 5 1 , y – 8 = -10, 5 + 2y = 9 คือ (4, -2), (4, 2), 2 ( 2 , -2) และ ( 2 , 2) 1 1 ขั้น2สรุป 2
  8. 8. ตัวอย่างที่ 10 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน (1) y=x (2) y = x + 3วิธีทา คาตอบของสมการคือ x -2 0 2 y=x -2 0 2 y=x+3 1 3 5 กราฟของสมการ y = x , y = x + 3 เป็นดังนี้ Y y = x +3 8 y=x 6(2, 5) 4• • (2, (0, 3) (-2, 1) 2 • 2) •• 2 4 -6 -4 -2 0(0,0) 6 X • -2 (-2, -2) -4 -6ตัวอย่างที่ 11 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน(1) y = 3x (2) 3x – y = 2 (3) 2y – 6x = 4วิธีทา จากสมการ 3x – y = 2 จะได้ -y = 2 – 3x y = 3x - 2 จากสมการ 2y – 6x = 4 จะได้ 2y = 6x + 4 y = 3x + 2 กราฟของสมการ y = x , y = 3x - 2 และ y = 3x + 2 เป็นดังนี้
  9. 9. x -1 0 1 y = 3x -3 0 3 y = 3x - 2 -5 -2 1 y = 3x +2 -1 2 5 กราฟของสมการ เป็นดังนี้ Y 9 2y – 6x = 4 6 (2, 5) y = 3x • 3x – y = 2 • 3 (0, 2) •(2, 3) • •(2, 1) X -2 (-1, -1) (0, 0)0 -1• 1 2 • (-1, -3) • -3 -2) (0, • (-1, -5) -6 -9ตัวอย่างที่ 12 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด (1) y = 3x ( 2) y = – 3x – 2วิธีทา คาตอบของสมการคือ x -1 0 1 y = 3x -3 0 3 y = – 3x – 2 1 -2 -5 กราฟของสมการ y = 3x และ y = – 3x – 2 เป็นดังนี้
  10. 10. Y y = -3x - 5 2 y = 3x 4 3 • (1, 3) 2 • (-1, 1) 1 (0, 0) • X -3 -2 -10 1 2 3 1 ( - , -1) -1 3 • • -2(0, -2) • (-1, -3) -3 -4 -5 • -5) (1, จุดตัดของกราฟทั้งสอง คือ ( - 1 , -1) 3ตัวอย่างที่ 13 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด 1( 1) y = x + 1 ( 2) y = - 2x + 1 ( 3) y = - x + 1 2วิธีทา กราฟของสมการ y = x + 1 , y = - 2x + 1 , y = - 1 x + 1 เป็นดังนี้ 2 x -2 0 2 y=x+1 -1 1 3 y = - 2x + 1 5 1 -3 2 1 0 1 y = - x + 1 2
  11. 11. กราฟของสมการคือ Y (-2, 5)• 5 4 (-2, 2) 3 •(2, 3) • 2 1 (0, 1) • (2, 0) -5 - - -2 -1 0 1 2 3 4 5 • X 4 3 • (-2, -1)-1 1 y = - x +1 -2 2 y = - 2x + 1 (2, - -3 3) • -4 y=x+1 จุดตัดของกราฟทั้งสาม คือ (0, 1)ตัวอย่างที่ 14 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน y - 2x( 1) y - 2x = 0 ( 2) = 1 ( 3) 2y + 6x = 6 3วิธีทา จากสมการ y - 2x = 0 จะได้ y = 2x y - 2x จากสมการ = 1 3 จะได้ y – 2x = 3 y = 2x + 3 จากสมการ 2y + 6x = 6 จะได้ 2y = – 6x + 6 y = – 3x + 3 คาตอบของสมการคือ x -1 0 1 y = 2x -2 0 2 y = 2x + 3 -1 3 5 y = – 3x + 3 6 3 0
  12. 12. กราฟของสมการ y = 2x , y = 2x + 3 , y = – 3x + 3 เป็นดังนี้ Y (-1, • 6 y - 2x 3 =1 6) 5 •(1, 5) 4 y - 2x = 0 (0, 3)3 • •(1, 2) 2 (-1, 1) (0, 0) 1• (1, 0) -5 - - -2 -1 0 • • 2 3 4 1 5 X 4 3 -1 2y + 6x = 6 (1, 2) -2• -3 -4 -5ตัวอย่างที่ 15 จงพิจารณาโดยไม่ต้องเขียนกราฟว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปรแต่ละคู่ต่อไปนี้มีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกันหรือตัดกัน 1. 2 x  3 y  5  0 และ  6 x  9 y  8  0 วิธีทา เนื่องจากสมการ x  2 y  5 และ 2 x  y  3 เขียนให้อยู่ในรูป y = ax + b ได้เป็น y 2 x 5 และ y 2 x 8 3 3 3 9 จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ x เท่ากันคือ  2 3 ดังนั้น กราฟของสมการทั้งสองจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน 2. x  2y  5 และ 2 x  y  3 วิธีทา เนื่องจากสมการ x  2 y  5 และ 2 x  y  3 เขียนให้อยู่ในรูป y = ax + b ได้เป็น y 1 x  5 และ y  2x  3 2 2 จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ x เป็น 1 และ 2 ซึ่งไม่เท่ากัน 2 ดังนั้น กราฟของสมการทั้งสองจะเป็นเส้นตรงที่ตัดกัน
  13. 13. การหาจุดตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปรอาศัยหลักการ ดังนี้ 1. กราฟจะตัดแกน Y ที่จุด x = 0 เสมอ 2. กราฟจะตัดแกน X ที่จุด y = 0 เสมอตัวอย่างที่ 16 จงหาจุดตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟของสมการต่อไปนี้ และเขียนกราฟของสมการลงบนแกนคู่เดียวกัน 1) 2x + 3y + 6 = 0 2) 3x + 4y - 12 = 0วิธีทา 1) เนื่องจาก กราฟตัดแกน X ที่จุด y = 0 แทนค่า y = 0 ในสมการ 2x – 3y + 6 = 0 จะได้ 2 x + 3(0) + 6 = 0 2 x+6 = 0 2x = -6 -6 x = 2 x = -3 ดังนั้นกราฟของสมการ 2 x + 3y + 6 = 0 ตัดแกน X ที่จุด (-3, 0) เนื่องจาก กราฟตัดแกน Y ที่จุด x = 0 แทนค่า x = 0 ในสมการ 2x + 3y + 6 = 0 จะได้ 2 (0) + 3y + 6 = 0 3y + 6 = 0 3y = -6 -6 y = 3 y = -2 ดังนั้นกราฟของสมการ 2x + 3y + 6 = 0 ตัดแกน Y ที่จุด (0, -2) x –3 0 3 2x y= - - 2 0 -2 -4 3 สามารถเขียนกราฟได้ดังนี้
  14. 14. Y 3 2 2x + 3y + 6 = 0 1 (-3, 0) -4 -  - - 0 1 2 3 4 X 3 2 1 -1 - (0, -2) 2 - (3, -4) 3 -4  2) 3x + 4y - 12 = 0 เนื่องจาก กราฟตัดแกน X ที่จุด y = 0 แทนค่า y = 0 ในสมการ 3x + 4y - 12 = 0 จะได้ 3 x + 4(0) - 12 = 0 3 x -12 = 0 3x = 12 12 x = 3 x = 4 ดังนั้นกราฟของสมการ 3 x + 4y - 12 = 0 ตัดแกน X ที่จุด (4, 0) เนื่องจาก กราฟตัดแกน Y ที่จุด x = 0 แทนค่า x = 0 ในสมการ 3x + 4y - 12 = 0จะได้ 3 (0) + 4y - 12 = 0 4y - 12 = 0 4y = 12 12 y = 4 y = 3 ดังนั้นกราฟของสมการ 3x + 4y - 12 = 0 ตัดแกน Y ที่จุด (0, 3)
  15. 15. x –4 0 4 - 3x y= + 3 6 3 0 4 สามารถเขียนกราฟได้ดังนี้ Y 8 (-4,  6) 6 4 (0, 3)  3x + 4y - 12 = 0 2 (4, 0) - - - - 0 1 2  3 4 X 4 3 2 1 - 2 - 4 - 6 การตรวจสอบว่าจุดที่กาหนดอยู่บนกราฟของสมการที่กาหนดหรือไม่ ถ้าจุด (a, b) ใด ๆ อยู่บเส้นตรง L เมื่อแทน x ดวย a และแทน y ด้วย b ในสมการ เส้นตรง L แล้วจะทาให้สมการเป็นจริง แต่ถ้าแทน x ด้วย a แล้ว สมการไม่เป็นจริงแสดง ว่า จุด (a, b) ไม่อยู่บนเส้นตรง Lตัวอย่างที่ 17 กาหนดสมการ y  2 x  1 จงตรวจสอบว่าจุดต่อไปนี้เป็นคาตอบของสมการที่กาหนดให้หรือไม่ 1) (2 , 5)วิธีทา จากสมการ y  2x  1 แทนค่า x = 2 และแทนค่า y = 5 จะได้ 5 = 2(2) – 1 5 = 4–1 5 = 3 เป็นสมการที่เป็นเท็จ ดังนั้น (2,5) ไม่อยู่บนกราฟของสมการที่กาหนดให้
  16. 16. 2) (-2 ,-5)วิธีทา จากสมการ y  2 x  1 แทนค่า x = -2 และแทนค่า y = -5 จะได้ -5 = 2(-2) – 1 -5 = -4 – 1 -5 = -5 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น (-2,-5) อยู่บนกราฟของสมการที่กาหนดให้ 16. ครูให้นักเรียนถามข้อสงสัยเกี่ยวกับตัวอย่างที่ 2ตัวอย่างที่ 3 กาหนดสมการ y 1 x 1 จงหาค่าของ m ซึ่งทาให้จุด (-2, m) เป็นคาตอบของสมการ 2วิธีทา จุด (-2, m) เป็นคาตอบของสมการ ดังนั้น m = 1  2   1 2 m = 11 m = 2 ดังนั้น m = 2ตัวอย่างที่ 18 กาหนดสมการ 2 x  5 y  10 จงหาค่าของ n ซึ่งทาให้จุด (สมรวิธีทา จุด (n, -1) เป็นคาตอบของสมการ ดังนั้น 2  n   5   1 = 10 2 n   5 = 10 2 n  = 5 5 n = 2 ดังนั้น n = 2 1 2

×