Log

14,731 views

Published on

1 Comment
2 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
14,731
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
150
Comments
1
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Log

  1. 1. ฟังก์ชันลอการิทึม ( Logarithm function )นิยาม ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก็ชัน f   x , y   R   R y  log a x ; a  0 , a  1 หรือ f   x , y   R  R x  a ; a  0 , a  1  y ซึ่งเป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ที่เขียนในรูป x = ay มีความหมายเดียวกับ y = logax y = logax ก็ต่อเมื่อ x = ay logax อ่านว่า ลอการิทึมเอกซ์ฐาน เอ หรือ ล็อกเอกซ์ฐาน เอ กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จากสมการ y = logax ; x > 0 และ a > 0 , a  1 จึงสามารถแบ่ง a ได้เป็น 2 ช่วง คือ 0 < a < 1 และ a > 1 เมื่อนามาเขียนกราฟได้ดังนี้ กรณี 0<a<1 กรณี a > 1 y y (1,0) (1,0) x x 0 0ข้อสังเกตจากกราฟ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = logax ; a > 0 และ a  1 จะผ่านจุด (1,0) เสมอ 2. ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชันลด 3. ถ้า a > 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 4. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จาก R+ ไปทั่วถึง (ไปบน) R 5. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จะได้ว่า logax = logay ก็ต่อเมื่อ x = yตัวอย่างที่ 1 การเขียน log ให้อยู่ในรูปเลขยกกาลัง (1) log216 = 4 จะได้ 24 = 16 (2) log749 = 2 จะได้ 72 = 49 (3) logax = 4 จะได้ a4 = x (4) logeb = 2 จะได้ e2 = b
  2. 2. สมบัติของลอการิทึม (กฎของลอการิทึม) ถ้า a,M,N เป็นจานวนจริงบวก และ a  1, p และ q เป็นจานวนจริง 1. logaMN = logaM + logaNเช่น log 15  log ( 5  3 ) 2 = 2 log 5  log 3 2 2 2. loga  M  = logaM - logaN   N 5 เช่น log 2   = log 2 5  log 2 3 3 p 3. log M a = PlogaMเช่น log 3 7 5 = 5 log 3 7 4. logaa = 1เช่น log 3 3 = 1 log 7 7 = 1 5. loga1 = 0เช่น log 5 1 = 0 log 9 1 = 0 6. a log a M = Mเช่น 7 log 7 5 = 5 7. M log a N = N log a Mเช่น 4 log 2 8 = 8 log 2 4 p 8. log a q M p = log a M qเช่น log 2 2 8 4 = 4 log 2 8 2 1 9. loga     = log 1 N = - logaN N a 1 เช่น log 2   = log 1 2 =  log 2 8 8 8 log a M 10. logNM = เมื่อ N  1 (การเปลี่ยนฐานของ log) log a N log 5เช่น log 3 5 = 2 log 2 3 1 11. logaM = เมื่อ M  1 log M aเช่น log 8 2 = 1 log 2 8 log10M จะเขียนแทนด้วย log M log 5 = 1 - log 2 log 2 = 1 – log 5
  3. 3. ตัวอย่างที่ 2 การใช้สมบัติลอการิทึม 1. จงหาค่า log N เมื่อกาหนด a และ N ให้ดังนี้ a (1) N = 125 , a = 5แนวคิด พยายามทา N ให้มีฐาน = a แล้วใช้สมบัติของลอการิทึม log 125 = 5 log 5 5 3 = 3 log 5 (สมบัติข้อที่ 3) 5 = 3 1  (สมบัติข้อที่ 4) = 3 (2) N = 1 , a=2 64แนวคิด log 2 1 = log 2 64  1 64 = log 2 2 6 1 = log 2 2 6 =  6 log 2 2 =  6 1  =  6การแก้สมการลอการิทึม (1) สมการลอการิทึม คือ สมการที่มี log ปะปนอยู่ด้วย (2) การแก้สมการลอการิทึม คือ การหาค่าตัวแปรที่ปะปนอยู่ในสมการลอการิทึม (3) หลักการทั่ว ๆ ไปของการแก้สมการลอการิทึม ก็คือ ต้องทาลาย log ให้ได้ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปรรูปแบบทั่ว ๆ ไปและหลักการแก้สมการลอการิทึมแบบที่ 1 ถ้าสมการอยู่ในรูป loga N = x ให้เปลี่ยนเป็น ax = N (เปลี่ยน log เป็นเลขยกกาลังที่ละเทอม)ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ log2 [log2 (x3+8)] = 2แนวคิด log2 [log2 (x3+8)] = 2 3 log2 (x +8) = 22 = 4 (x3+8) = 24 = 16 x3 = 16 - 8 x = 3 8 =2 ค่าตัวแปรที่ได้ต้องตรวจคาตอบทุกครั้ง โดยค่าที่ได้จะเป็นคาตอบ ก็ต่อเมื่อแทนค่าของตัวแปรในสมการทุกพจน์ต้องเป็นจริงตามนิยาม
  4. 4. แบบที่ 2 ถ้าสมการอยู่ในรูป loga N = loga M ให้ปลด log ทิ้งจะได้สมการใหม่เป็น N = Mตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ log (4x2 - 16) - log(x2 - 4) = log x2 2  4 x  16 แนวคิด log  2  = log x2  x 4  2 4 x  16 2 = x 2 (ปลด log ) x 4 2 4(x  4 ) 2 = x 2 (ดึงตัวร่วมของแต่ละเทอม) (x  4 ) 4 = x 2 x = 2, -2ตรวจคาตอบ (1) ถ้า x = 2 จะทาให้ log(x2 - 4) = log(4-4) = log 0 ซึ่งไม่นิยาม (2) ถ้า x= -2 จะทาให้ log(x2 - 4) = log(4-4) = log 0 ซึ่งไม่นิยาม เช่นกันดังนั้น เซตคาตอบ = { }แบบที่ 3 สมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ไม่สามารถทาฐานให้เท่ากันได้ ให้ใส่ log ทั้งสองข้าง เพื่อหาค่า แล้วใช้สมบัติของ log หาค่าตัวแปร 3ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x log x = 3 10000 3 log x 3แนวคิด x = 10 4 take log ทั้งสองข้างจะได้ 4 3 log x . log x = log 10 3 4 3 (log x)2 = log 10 3 4 ( log x)2 = ; log 10 = 1 9 4 log x =  9 2 2 log x = , 3 3 2 2  x = 10 3 ,10 3 ตรวจคาตอบด้วย
  5. 5. แบบที่ 4 ถ้าฐานต่างกันใช้กฎการเปลี่ยนฐานของลอการิทึมตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ log x2 = log2x 25แนวคิด log x2 = log2x 25 2 2 log x log 5 = log 10 log 2 x log x log 5 = log 10 log 2 x log x log 2x = log 5 log 10 log x [ log 2 + log x ] = 1 - log 2 ; log 5 = 1-log2 log x log 2 + (log x )2 = 1 - log 2 2[(log x) - 1 + log x . log 2 + log 2] = 0(log x-1) (log x+1) + log 2 ( log x+1) = 0 (log x+1) ( log x-1+log 2) = 0 ดังนั้น log x = -1 lg x = 1 - log 2 = log 5 x = 10-1 x= 5 1  x= ,5 10 ตรวจคาตอบด้วย ลอการิทึมสามัญ ( Common Logarithm)ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 ซึ่งไม่นิยมเขียนฐานกากับเช่น log102 จะเขียนเป็น log 2 log10 750 จะเขียนเป็น log 750 . . . . . . log N แทน log10 Nการหาค่าลอการิทึมสามัญ ให้ N เป็นจานวนที่ต้องการ ดังนั้น log N หาโดยเขียน N ให้อยู่ในรูป N0 x 10n เมื่อ 1  N 0  10 , n เป็นจานวนเต็มดังนั้น
  6. 6. log N = log (N0 x 10n) = log N0 + log 10n ( จากสมบัติ logaMN = logaM+logaN) = log N0 + n log 10 = log N0 + n (เพราะ log 10 = 1) log N = log N0 + nค่าของ log N มี 2 ส่วน 1. ส่วนที่เป็น log N0 เรียกว่า แมนทิสซา ( Mantissa) ซึ่งค่าแมนทิสซาเป็นเลขทศนิยม ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 แต่น้อยกว่า 1 หาได้จากตารางของ log 2. ส่วนที่เป็น n เรียกว่า แคแรกเทอริสติก ( Characteristic) ซึ่งเป็นจานวนเต็มตัวอย่างที่ 1 จงหาแคแรกเทอริสติก (1) log 4875 (2) log 4.875 (3) log 0.4875 (4) log 0.0004875แนวคิด (1) log 4875 = log (4.875 x 103) = log 4.875 + log 103 = log 4.875 + 3 log 10 = log 4.875 + 3  แคแรกเทอริสติก = 3 (2) log 4.875 = log(4.875 x 101) = log 4.875 + 1  แคแรกเทอริสติก = 1 (3) log 0.4875 = log(4.875 x 10-1) = log 4.875+(-1)  แคแรกเทอริสติก = -1 (4) log 0.0004875 = log(4.875 x 10-4) = log 4.875+(-4)  แคแรกเทอริสติก = -4ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า log 2.48 จากตาราง ขั้นที่ 1 เลข 2.4 (สองตัวแรก) ดูในช่อง n ขั้นที่ 2 ในแถวของ 2.4 ลากนิ้วมือไปให้ตรงกับช่องของ 8 บนหัวตาราง
  7. 7. ค่านั้นคือ ค่าของ log 2.48 N 0 1 2 … 8 9 . . 2.4 .3945  log 2.48 = 0.3945ตัวอย่าง จงหาค่าแมนทิสซาของ log 1980แนวคิด log 1980 = log (1.980 x 103) = log 1.980 + log 103 = log 1.980 + 3  แมนทิสซาของ log 1980 = log 1.980 = 0.2967 (ดูตาราง log )แอนติลอการิทึม ( Antilogarithm) นิยาม (1) ถ้า log N = a เรียก N ว่าเป็นแอนติลอการิทึมของ log N (2) ถ้า log N = a แล้วจะได้ N = antilog aตัวอย่างที่ 1 กาหนด log 3.51 = 0.5453 จงหาค่าของ (1) log 3510 (2) log 0.0351แนวคิด (1) log 3510 = log (3.51 x 103) = log 3.51 + log 103 = log 3.51 + 3 log 10 = 0.5453 + 3  log 3510 = 3.5453 (2) log 0.0351 = log (3.5 x 10-2) = log 3.51 + log 10-2 = log 3.51 + (-2) log 10 = 0.5453 + (-2) = -1.4547ตัวอย่างที่ 2 กาหนด log 0.03151 = -1.5015 จงหาค่า log 315.10แนวคิด พยายามหาแมนทิสซาของ log 0.03151 log 0.03151 = -1.5015 = -1 0.5015
  8. 8. = (-1 -1) + (1-0.5015) = -2 + 0.4985 ดังนั้น log 3.151 = 0.4985 หาค่า log 315.10 = log (3.151 x 102) = log 3.15 + log 102 = log 3.15 + 2 log 10 = 0.4985 + 2 = 2.4985ตัวอย่างที่ 3 กาหนด log 5.70 = 0.7559 และ log N = -3.2441 จงหาค่าของ Nแนวคิด log N = -3.2441 = -3 -0.2441 = (-3 -1)+(1-0.2441) = -4 + 0.7559 = log 10-4 + log 5.70 = log(5.70 x 10-4) ดังนั้น N = (5.70 x 10-4) = 0.00057

×