Your SlideShare is downloading. ×
ตรีโกณมิต..[1]
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

ตรีโกณมิต..[1]

14,202
views

Published on


0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
14,202
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
164
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1.  
  • 2.
    • ตรีโกณ ความหมายตามพจนานุกรมแปลว่า “ สามเหลี่ยม ”
    • ตรีโกณมิติ คือ คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ว่าด้วยการคำนวณมุมของสามเหลี่ยม
    • ความเป็นมา ...
    •          เมื่อ 640-546 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ทาเรส ( thales) คำนวณหาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความยาวของเงาของไม้ ( ไม้ที่ทราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง ) โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์ (tangent) นั่นเอง
  • 3.
    • ตรีโกณมิติ ( จากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด ) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม , รูปสามเหลี่ยม และ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต
    • ประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม ( เพียร ) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา
  • 4.
    • ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ( Trigonometric function ) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180 องศาเสมอ
    • ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันคือ sin cos tan csc(cosec) sec cot
  • 5.  
  • 6.  
  • 7.  
  • 8.
    • การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย ( The unit circle) เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง   θ ( ทีตา ) จาก (1 , 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า : ถ้า   θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1 , 0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ถ้า   θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1 , 0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ถ้า   θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1 , 0)
  • 9.
    • จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง   θ ให้ เรา
    • สามารถหาจุด ( x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น ถ้า |θ| > 2 π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2 π หน่วย
  • 10.
    • เมื่อ ( x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น y = sinθ ( อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา ) x = cosθ ( อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา ) ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์นั้น เป็นจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1 นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริงตั้งแต่ -1 ถึง 1 และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสองคือเซตของจำนวนจริง
  • 11.
    • นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชันดังต่อไปนี้
    • ฟังก์ชันแทนเจนต์   (Tangent function)  เขียนแทนด้วย tan ( อ่านว่า แทน )
    • ฟังก์ชันเซแคนต์   (Secant function) เขียนแทนด้วย sec ( อ่านว่า เซก )
    • ฟังก์ชันโคเซแคนต์ (Cosecant function) เขียนแทนด้วย cosec  ( อ่านว่า โคเซก )
    • ฟังก์ชันโคแทนเจนต์   (Cotangent function) เขียนแทนด้วย cot  ( อ่านว่า คอต )
  • 12.
    • มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2 πr หน่วยจะมีขนาด 2 π เรเดียน และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน
    • จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมรายาว a หน่วย จะได้   θ = a/r  
    • 360 องศา เท่ากับ 2 π เรเดียน
    • 180 องศา เท่ากับ   π เรเดียน  
    • sin = ด้านตรง ข้าม / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก cos = ด้านประ ชิด / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก tan = ด้านตรง ข้าม / ด้านประ ชิด  
  • 13.  
  • 14.  
  • 15.
    • ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทุกฟังก์ชัน เป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ ( Periodic Function)
    • กล่าวคือ สามารถแบ่งแกน x ออกเป็น ช่วงย่อย ( Subinterval) โดยที่ความยาวแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า คาบ ( Period)
    • จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่า
    • - คาบของกราฟ y = sinx และ y = cosx เท่ากับ 2 π
    • - คาบของกราฟ y = cosecx และ y = secx เท่ากับ 2 π
    • - คาบของกราฟ y = tanx และ y = cotx เท่ากับ π
    • สำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด เราจะเรียกว่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ว่า แอมพลิจูด ( Amplitude) - ฟังก์ชัน y = sinx และ y = cosx มีแอมพลิจูดเป็น 1 เท่ากัน
  • 16.
    • การคำนวนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาจเกี่ยวข้องกับมุมที่อยู่ในรูปของผลบวกหรือผลลบ สูตรที่สำคัญ มีดังนี้
  • 17.  
  • 18.  
  • 19.
    • ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชัน ( เช่น y = sinx) สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ระหว่างโดเมนและเรนจ์ตามปรกติ ( กลายเป็น x = siny)
    • แต่อินเวอร์สที่ได้เหล่านี้จะไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะค่า x แต่ละค่านั้น ให้ค่า y ได้หลายค่าไม่มีที่สิ้นสุด
    • ดังนั้นหากจะกำหนดอินเวิร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นฟังก์ชันด้วย ก็จำเป็นต้องจำกัดข่วงของเรนจ์ด้วย
    • นั่นหมายถึง ความหมายของ x = siny และความหมายของ y = arcsinx ไม่เท่ากัน   เนื่องจากเรนจ์ไม่เท่ากัน เราเรียกฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติโดยใช้คำว่า arc นำหน้า เช่น arcsin arccos arctan เป็นต้น
  • 20.  
  • 21.
    • อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของความยาวของด้าน
    • ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
    • จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี A Ĉ B = 90 องศา ถ้าเราพิจารณาที่มุม A
    • 1. ด้าน AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก
    • 2. ด้าน BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A
    • 3. ด้าน AC เรียกว่า ด้านประชิดมุม A
  • 22.
    • นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
    • รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน ) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
    • ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A
    • เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
    • 1. ด้าน ตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
    • 2. ด้าน ตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
    • 3. ด้าน ประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับ
    • มุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b
  • 23.
    • จะได้
    • 1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ sin( A ) = ข้าม / ฉาก = a / h
    • 2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ cos( A ) = ชิด / ฉาก = b / h
    • 3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ tan( A ) = ข้าม / ชิด = a / b
  • 24.
    • 4). โคซีแคนต์ csc( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม csc( A ) = ฉาก / ข้าม = h / a
    • 5). ซีแคนต์ sec( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด sec( A ) = ฉาก / ชิด = h / b
    • 6). โคแทนเจนต์ cot( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม cot( A ) = ชิด / ข้าม = b / a
  • 25.
    • วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า
    • ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรง ข้าม / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก
    • ชิดฉาก ... cos = ด้านประ ชิด / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก
    • ข้ามชิด ... tan = ด้านตรง ข้าม / ด้านประ ชิด
  • 26.
    • อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A
    • 1. sine ของมุม A เขียนแทนด้วย sin A
    • 2. cosine ของมุม A เขียนแทนด้วย cos A
    • 3. tangent ของมุม A เขียนแทนด้วย tan A =
    • 4. cotangent ของมุม A เขียนแทนด้วย cot A
    • =
    • 5 . secant ของมุม A เขียนแทนด้วย sec A =
  • 27.
    • ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ : x กำลัง 2 + y กำลัง 2 1
  • 28.  
  • 29.  
  • 30.
    • จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้ จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y /1 และ cos θ = x /1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ ( เช่น มุม π/2 เรเดียน ) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม
  • 31.
    • 1. 0 < sin A < 1 และ cosec A > 1
    • 2. 0 < cos A < 1 และ sec A > 1
    • 3. sin ( A + B ) = sin A + sin B
    • 4. ( sin A )( sin A ) = (sin A) 2 = sin 2A ¹ sin A 2
    • 5. sin A = cos ( 90 – A )
    • 6. cos A = sin ( 90 – A )
    • 7. tan A = cot ( 90 – A )
    • 8. sec A = cosec ( 90 – A )
  • 32.
    • นิยาม
    • เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของอัตราส่วน
    • ตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป็นจริงสำหรับทุกๆค่าขององศา
    • เมื่อกำหนด A เป็นมุมแหลม
    • 1. sin A x cosec A = 1
    • 2. cos A x sec A = 1
    • 3. tan A x cot A = 1
    • 4. cos A x tan A = sin A
    • 5. cot A x sin A = cos A
    • 6. sin 2A + cos 2A = 1
    • 7. sec 2A - tan 2A = 1
    • 8. cosec 2A - cot 2A = 1  
  • 33.
    • เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใดๆ   (0 ≤ x ≤ 2 π , 0 ≤ y ≤ 2 π) จะได้
  • 34.  
  • 35.
    • 1. 0 < sin A < 1 และ cosec A > 1
    • 2. 0 < cos A < 1 และ sec A > 1
    • 3 . sin ( A + B )  sin A + sin B
    • ( sin A )( sin A ) = (sin A) 2
    • = sin 2 A  sin A 2
    • 5. sin A = cos ( 90 – A )
    • 6. cos A = sin ( 90 – A )
    • 7. tan A = cot ( 90 – A )
    • 8. sec A = cosec ( 90 – Am)
  • 36.
    • กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้    
    • a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA
    • b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cosB
    • c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC  
    • กฎของไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้
  • 37.
    • ในการวัดระยะทางและความสูงของสิ่งใดก็
    • ตาม บางครั้งจะใช้เครื่องมือสำหรับวัดมา
    • ใช้ในการวัดโดยตรงไม่ได้ เช่น การวัดสถานที่สองแห่งที่มีสิ่งกีดขวางกั้นตรงกลาง หรือการวัดความสูงของ ภูเขา เป็นต้น
    • เราสามารถนำความรู้ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาประยุกต์ใช้ในการคำนวณได้ อันได้แก่
    • - มุมก้ม ( Angel of Depression) คือมุมที่วังลงไปจากแนวราบ ( ระดับ สายตา ) - และมุมเงย ( Angle of Elevation) คือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบ
    • - รวมถึงการใช้กฎของไซน์และโคไซน์มาช่วยในการคำนวณ
  • 38.  
  • 39.  
  • 40.  
  • 41.  
  • 42.  
  • 43.  
  • 44.  
  • 45.  
  • 46.  
  • 47.  
  • 48.  
  • 49.  
  • 50.  
  • 51.  
  • 52.  
  • 53.  
  • 54.  
  • 55.  
  • 56.  
  • 57.  
  • 58.  
  • 59.  
  • 60.  
  • 61.  
  • 62.  
  • 63.  
  • 64.  
  • 65.  
  • 66.  
  • 67.  
  • 68.  
  • 69.  
  • 70.  
  • 71.  
  • 72.  
  • 73.  
  • 74.  
  • 75.  
  • 76.  
  • 77.  
  • 78.  
  • 79.  

×