ตรีโกณมิต..[1]

ตรีโกณ ความหมายตามพจนานุกรมแปลว่า “ สามเหลี่ยม ”
ตรีโกณมิติ คือ คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ว่าด้วยการคำนวณมุมของสามเหลี่ยม
ความเป็นมา ...
เมื่อ 640-546 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ทาเรส ( thales) คำนวณหาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความยาวของเงาของไม้ ( ไม้ที่ทราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง ) โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์ (tangent) นั่นเอง

ตรีโกณมิติ ( จากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด ) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม , รูปสามเหลี่ยม และ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต
ประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม ( เพียร ) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ( Trigonometric function ) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180 องศาเสมอ
ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันคือ sin cos tan csc(cosec) sec cot

การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย ( The unit circle) เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ ( ทีตา ) จาก (1 , 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า : ถ้า θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1 , 0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1 , 0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ถ้า θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1 , 0)

จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ ให้ เรา
สามารถหาจุด ( x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น ถ้า |θ| > 2 π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2 π หน่วย

เมื่อ ( x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น y = sinθ ( อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา ) x = cosθ ( อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา ) ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์นั้น เป็นจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1 นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริงตั้งแต่ -1 ถึง 1 และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสองคือเซตของจำนวนจริง

นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชันดังต่อไปนี้
ฟังก์ชันแทนเจนต์ (Tangent function) เขียนแทนด้วย tan ( อ่านว่า แทน )
ฟังก์ชันเซแคนต์ (Secant function) เขียนแทนด้วย sec ( อ่านว่า เซก )
ฟังก์ชันโคเซแคนต์ (Cosecant function) เขียนแทนด้วย cosec ( อ่านว่า โคเซก )
ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ (Cotangent function) เขียนแทนด้วย cot ( อ่านว่า คอต )

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2 πr หน่วยจะมีขนาด 2 π เรเดียน และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน
จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมรายาว a หน่วย จะได้ θ = a/r
360 องศา เท่ากับ 2 π เรเดียน
180 องศา เท่ากับ π เรเดียน
sin = ด้านตรง ข้าม / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก cos = ด้านประ ชิด / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก tan = ด้านตรง ข้าม / ด้านประ ชิด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทุกฟังก์ชัน เป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ ( Periodic Function)
กล่าวคือ สามารถแบ่งแกน x ออกเป็น ช่วงย่อย ( Subinterval) โดยที่ความยาวแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า คาบ ( Period)
จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่า
- คาบของกราฟ y = sinx และ y = cosx เท่ากับ 2 π
- คาบของกราฟ y = cosecx และ y = secx เท่ากับ 2 π
- คาบของกราฟ y = tanx และ y = cotx เท่ากับ π
สำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด เราจะเรียกว่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ว่า แอมพลิจูด ( Amplitude) - ฟังก์ชัน y = sinx และ y = cosx มีแอมพลิจูดเป็น 1 เท่ากัน

การคำนวนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาจเกี่ยวข้องกับมุมที่อยู่ในรูปของผลบวกหรือผลลบ สูตรที่สำคัญ มีดังนี้

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชัน ( เช่น y = sinx) สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ระหว่างโดเมนและเรนจ์ตามปรกติ ( กลายเป็น x = siny)
แต่อินเวอร์สที่ได้เหล่านี้จะไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะค่า x แต่ละค่านั้น ให้ค่า y ได้หลายค่าไม่มีที่สิ้นสุด
ดังนั้นหากจะกำหนดอินเวิร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นฟังก์ชันด้วย ก็จำเป็นต้องจำกัดข่วงของเรนจ์ด้วย
นั่นหมายถึง ความหมายของ x = siny และความหมายของ y = arcsinx ไม่เท่ากัน เนื่องจากเรนจ์ไม่เท่ากัน เราเรียกฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติโดยใช้คำว่า arc นำหน้า เช่น arcsin arccos arctan เป็นต้น

อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของความยาวของด้าน
ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี A Ĉ B = 90 องศา ถ้าเราพิจารณาที่มุม A
1. ด้าน AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก
2. ด้าน BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A
3. ด้าน AC เรียกว่า ด้านประชิดมุม A

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน ) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A
เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
1. ด้าน ตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
2. ด้าน ตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
3. ด้าน ประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับ
มุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b

จะได้
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ sin( A ) = ข้าม / ฉาก = a / h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ cos( A ) = ชิด / ฉาก = b / h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ tan( A ) = ข้าม / ชิด = a / b

4). โคซีแคนต์ csc( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม csc( A ) = ฉาก / ข้าม = h / a
5). ซีแคนต์ sec( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด sec( A ) = ฉาก / ชิด = h / b
6). โคแทนเจนต์ cot( A ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan( A ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม cot( A ) = ชิด / ข้าม = b / a

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า
ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรง ข้าม / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก
ชิดฉาก ... cos = ด้านประ ชิด / ด้านตรงข้ามมุม ฉาก
ข้ามชิด ... tan = ด้านตรง ข้าม / ด้านประ ชิด

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A
1. sine ของมุม A เขียนแทนด้วย sin A
2. cosine ของมุม A เขียนแทนด้วย cos A
3. tangent ของมุม A เขียนแทนด้วย tan A =
4. cotangent ของมุม A เขียนแทนด้วย cot A
=
5 . secant ของมุม A เขียนแทนด้วย sec A =

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ : x กำลัง 2 + y กำลัง 2 1

จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้ จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y /1 และ cos θ = x /1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ ( เช่น มุม π/2 เรเดียน ) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม

1. 0 < sin A < 1 และ cosec A > 1
2. 0 < cos A < 1 และ sec A > 1
3. sin ( A + B ) = sin A + sin B
4. ( sin A )( sin A ) = (sin A) 2 = sin 2A ¹ sin A 2
5. sin A = cos ( 90 – A )
6. cos A = sin ( 90 – A )
7. tan A = cot ( 90 – A )
8. sec A = cosec ( 90 – A )

นิยาม
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของอัตราส่วน
ตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป็นจริงสำหรับทุกๆค่าขององศา
เมื่อกำหนด A เป็นมุมแหลม
1. sin A x cosec A = 1
2. cos A x sec A = 1
3. tan A x cot A = 1
4. cos A x tan A = sin A
5. cot A x sin A = cos A
6. sin 2A + cos 2A = 1
7. sec 2A - tan 2A = 1
8. cosec 2A - cot 2A = 1

เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใดๆ (0 ≤ x ≤ 2 π , 0 ≤ y ≤ 2 π) จะได้

1. 0 < sin A < 1 และ cosec A > 1
2. 0 < cos A < 1 และ sec A > 1
3 . sin ( A + B )  sin A + sin B
( sin A )( sin A ) = (sin A) 2
= sin 2 A  sin A 2
5. sin A = cos ( 90 – A )
6. cos A = sin ( 90 – A )
7. tan A = cot ( 90 – A )
8. sec A = cosec ( 90 – Am)

กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA
b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cosB
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC
กฎของไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้

ในการวัดระยะทางและความสูงของสิ่งใดก็
ตาม บางครั้งจะใช้เครื่องมือสำหรับวัดมา
ใช้ในการวัดโดยตรงไม่ได้ เช่น การวัดสถานที่สองแห่งที่มีสิ่งกีดขวางกั้นตรงกลาง หรือการวัดความสูงของ ภูเขา เป็นต้น
เราสามารถนำความรู้ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาประยุกต์ใช้ในการคำนวณได้ อันได้แก่
- มุมก้ม ( Angel of Depression) คือมุมที่วังลงไปจากแนวราบ ( ระดับ สายตา ) - และมุมเงย ( Angle of Elevation) คือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบ
- รวมถึงการใช้กฎของไซน์และโคไซน์มาช่วยในการคำนวณ

ตรีโกณมิต..[1]

by Jiraprapa Suwannajak

Accessibility

Upload Details

Usage Rights

Statistics