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Guia n03 mat430 2013 1 aplicaciones de ecuaciones diferenciales
 

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    Guia n03 mat430 2013 1 aplicaciones de ecuaciones diferenciales Guia n03 mat430 2013 1 aplicaciones de ecuaciones diferenciales Document Transcript

    • Dirección de Formación General Programa de Matemática Cálculo II GUÍA Nº 3 Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales A) Crecimiento o Decrecimiento Modelo de Malthus. Si )(tP representa la población en el tiempo t , un modelo que permite determinar esta población en cualquier instante t , teniendo información de la población en un tiempo 0t , es el conocido como Modelo de Malthus: kP dt dP = , con 00 )( PtP = 1) En una cápsula de cultivo de ciertas bacterias se tenía un número de 300 individuos. Después de 40 minutos se observaron en la cápsula 900 individuos. Determinar la función que describe el número de bacterias en el minuto t , y el número de individuos en la cápsula después de 3 horas. 2) Una población de 750 microbios es sometida a la acción de un antibiótico experimental. Cuando han transcurrido 2 horas se observan 500 microorganismos. Determinar la función para el número de microbios en el tiempo y el momento en que el número de microbios es de un 10% de la población inicial. 3) Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0,043 % de la Página 1 de 5
    • Dirección de Formación General Programa de Matemática Cálculo II cantidad inicial 0A de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. 4) Cierto condensador pierde su voltaje a través de cierta resistencia en una razón proporcional a su voltaje inicial de 100 voltios. Si a los 4 segundos el voltaje es de 39 volts, determine la función voltaje del condensador en el tiempo )(tV . B) Circuito LR en Serie Si consideramos el siguiente circuito eléctrico Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de potencial a través del inductor dt di L ⋅ y de la resistencia iR ⋅ , es igual a la fuerza electromotriz (fem) o voltaje )(tE aplicado al circuito y es así como se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente )(ti )(tEiR dt di L =⋅+⋅ Página 2 de 5
    • Dirección de Formación General Programa de Matemática Cálculo II donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamente y la corriente es conocida como la respuesta del sistema. 5) Una batería de 5 voltios se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es 0,4 henrios y la resistencia es 100 ohmios. Determine la corriente )(ti si la corriente inicial es cero. 6) Un generador con una fem de 15 voltios se conecta, en 0=t , en serie con una resistencia de 40 ohmios y un inductor de 5 henrios. Determine la corriente para todo t . C) Ley de Newton del enfriamiento Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un cuerpo, en interacción con la temperatura de un medio dominante, al que llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerará constante. Si amT es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo inmerso en esta temperatura ambiente, entonces, a temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y la temperatura ambiente. Así, el problema queda modelado por la ecuación )( amTTk dt dT −= El valor inicial 0)0( TT = determina la constante de integración, mientras que otro valor ( 11 )( TtT = ) determina el valor de k . 7) La temperatura del aire es de 15 ºC y el aceite de un automóvil se enfría de 180 ºC a 40 ºC en 10 minutos. Obtenga la función de la temperatura en el tiempo Página 3 de 5
    • Dirección de Formación General Programa de Matemática Cálculo II y con ella calcule en que instante la temperatura del aceite será de 20 ºC y la temperatura a los 25 minutos. 8) Un fabricante de joyas retira un anillo de la llama de un soplete, a una temperatura es 800 ºC. Cinco minutos después su temperatura es de 80 ºC. Obtenga la función de la temperatura en el tiempo si la temperatura ambiente es de 20 ºC. 9) Un termómetro está a una temperatura de 17 ºC y se aplica a una persona para medir su temperatura de 37 ºC. A los 15 segundos el termómetro tiene una lectura de 30 ºC. Hallar la función de temperatura del termómetro y calcular a los cuántos segundos el termómetro sólo tiene un error de 0,3 ºC (36,7 ºC). Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning Ecuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney - Prentice Hall Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning Editores Página 4 de 5
    • Dirección de Formación General Programa de Matemática Cálculo II Soluciones 1) t etP ⋅ ⋅= 0275,0 300)( , y 42.352 bacterias. 2) t etP ⋅− ⋅= 2027,0 750)( ; y 11,36 horas 3) aprox. 24.180 años 4) t etV ⋅− ⋅= 235,0 100)( 5) )1(05,0)( 250t eti − −⋅= 6) )1(375,0)( 8t eti − −⋅= 7) 15165)( 189,0 +⋅= − t etT ; 18,5 minutos; 16,46 °C. 8) 20780)( 513,0 +⋅= − t etT 9) 3720)( 07,0 +⋅−= − t etT ; 60 segundos. Página 5 de 5
    • Dirección de Formación General Programa de Matemática Cálculo II Soluciones 1) t etP ⋅ ⋅= 0275,0 300)( , y 42.352 bacterias. 2) t etP ⋅− ⋅= 2027,0 750)( ; y 11,36 horas 3) aprox. 24.180 años 4) t etV ⋅− ⋅= 235,0 100)( 5) )1(05,0)( 250t eti − −⋅= 6) )1(375,0)( 8t eti − −⋅= 7) 15165)( 189,0 +⋅= − t etT ; 18,5 minutos; 16,46 °C. 8) 20780)( 513,0 +⋅= − t etT 9) 3720)( 07,0 +⋅−= − t etT ; 60 segundos. Página 5 de 5