Trigonometría – 3º de Secundaria

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
Donde:

1. Ángulos Cuadrantales...
Trigonometría – 3º de Secundaria
a) a
-1
d) b

Son ∢s coterminales los que tienen
el mismo lado inicial y final.

b) b
e) ...
Trigonometría – 3º de Secundaria
4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

2

5. Señale el signo de:

Calcular: “ f( ) ”
a) ...
Trigonometría – 3º de Secundaria
puede sumar y restar 360° si el ángulo es
medido en grados o 2π si el ángulo es
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Semana07 angulos posicion_normal_parte_ii

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  1. 1. Trigonometría – 3º de Secundaria RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II Donde: 1. Ángulos Cuadrantales 0 = Cero 1 = Uno N = No definido Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma: “n COMPROBACIÓN y π ”; n  Z ó “n. 90º”. 2 (0; r) r Ejemplo: 90º Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …. x 1. cos 90º  3. El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida. tg90º  y sen90º  2. n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º; r r  1 r x 0   0 r r y r y  r  /  0 La división de un número entre 0 (cero) es una operación no definida. 90º 180º  x -90º 3. R. T. de Ángulos Coterminales 2. R. T. de Ángulos Cuadrantales 0º, 360º 90º 180º 270º 0; 2 /2  3/2 Sen 0 1 0 -1 Cos 1 0 -1 0 Tg 0 N 0 N Ctg N 0 N 0 Sec 1 N -1 N Csc N 1 N Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales. -1 m∢ R.T. (a; b) y R.T.  = R.T.   x  -1- Prof. Jhon Villacorta Villacorta
  2. 2. Trigonometría – 3º de Secundaria a) a -1 d) b Son ∢s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final. b) b e) ab -1 c) a 2. Simplificar: Ejemplos E ( a  b)2 sec 0º(a  b)2 sen270º 2ab csc 90º a) a d) 2 b) b e) 4 c) 1 3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x  2 Calcular: “ f( ) ” a) 0 d) -1 b) 1 e) -2 c) 2 4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x  4 Calcular: “ f( ) ” a) 0 b) 1 d) -1 c) 2 e) -2 Ejercicios Resueltos Tarea Nº 01 1. Calcular: (3Sen90º  Cos180º ) 2  1 E (2Sen270º  Cos360º ) 2  8 1. Calcular: E  Solución: E  3(1)  (-1)  2  1  2(-1)  ( 1 )  2  8 4 (-3) 2 E b) 2 e) -2 c) 3 2. Calcular: 1 2 2abcsc270º a) 1 d) -3 Reemplazando valores: E 2 2 (a  b) sec360º (a - b) cos180º E 8 17 ( a  b)3 sen90º ( a  b)3 cos360º a2 sec 0º 3b2 csc 90º a) a d) 2b 17 E = 1 3. Si: f(x)  sen b) b e) ab x x x  cos  tg 2 3 4 Calcular: “f()” a) 1 d) 2,5 Práctica Dirigida Nº 01 c) 2a b) 1,5 e) 3 c) 2 1. Simplificar: E (a  b)sen90º (a  b) cos 0º 2ab cos360º -2- Prof. Jhon Villacorta Villacorta
  3. 3. Trigonometría – 3º de Secundaria 4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x  2 5. Señale el signo de: Calcular: “ f( ) ” a) 0 d) -1 5. b) 1 e) -2 5 3 4 Cos 160º.Tg 217º.Sen 310º A 3 5 Sec 316º.Sen 190º c) 2 a) (+) d) (+) ó (–) Calcular: b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede precisar E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º) a) 16 d) 19 6. b) 17 e) 20 Reducir: C  6. ¿A qué cuadrante pertenece ””, si: Cos < 0; y Sen < 0? a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) Es cuadrantal c) 18 2 3 2 5 m Sen 90º  n Cos 180º 7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x mSen90º nCos0º b) m – n 2 2 m n e) mn a) m + n 2 2 m n d) mn  2 Calcular: “ f( ) ” c) mn a) 0 d) -1 Tarea Nº 01 2 E = (2Sen180º – Sen90º) + (3Cos180º – Cos90º) b) 9 e) 12 c) 2 8. Si:   IIC,   IIIC    IVC Indicar el signo de la expresión: 1. Calcular: a) 8 d) 11 b) 1 e) -2 E 2 csc   cos tg  sec  c) 10 a) + d) +  - b) c) + ó e) Todas son positivas 2. Reducir: 3 3 m Sen90ºn Cos360º J 2 2 3 m Cos0º mnSen270º n Sen 270º  a) m – n d) n b) m + n e) n – m 9. c) m π 2Sen( ) - Cosπ 2 Calcular: E = 3π Ctg( )  Sec2π 2 a) –1 d) 3 3. Calcular: E e) 2 2 A 2ab Csc270º b) 2 e) -2 c) – 2 10. Señale el signo de: (a  b) 2 Sec360º  (a  b) 2 Cos180º a) 1 d) -3 b) 1 c) 3 3 5 2 Sen 170º.Cos 214º.Tg 160º 4 3 Sec 200º.Cos 170º a) (+) d) (+) ó (–) b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede precisar 4. Señale el signo de: P Sen 340º.Ctg124º Cos 316º a) (+) d) (+) ó (–) b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede precisar -3- Prof. Jhon Villacorta Villacorta
  4. 4. Trigonometría – 3º de Secundaria puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes. Ejemplo 1: Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 55°. 55° – 360° = –305° 55° + 360° = 415° Un ángulo de –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de 55°. ÁNGULOS COTERMINALES Los ángulos se pueden medir en el sentido del movimiento de las agujas del reloj (tiene medida negativa) y al contrario del movimiento de las agujas del reloj (con medida positiva).    Dos o más ángulos se denominan coterminales, cuando tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final. La diferencia entre dos o más ángulos coterminales es el número de vueltas sobre el lado inicial. Aquí es donde se justifica porque los ángulos trigonométricos no tienen límites en su magnitud, pues sólo se diferencian en el número de vueltas. Ejemplos En General: ϴ=2π(n)+α ó ϴ= 360°(n)+α R.T[2π(n)+α]=R.T[α] R.T[360°(n)+α]=R.T[α] EJERCICIOS DE ÁNGULOS COTERMINALES Obs.: La diferencia es igual a 360° Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales. (a; b) Los siguientes ángulos están en la posición estándar, encuentre un ángulo coterminales positivos. 1) 120° --- > 480° 2) 135° --- > 495° 3) 240° --- > 600° 4) 315° --- > 675° 5) 60° --- > 420° 6) 90° --- > 450° 7) -30° --- > 330° 8) -150° --- > 210° 9) 150° --- > 510° 10) -45° --- > 315° y R.T.  = R.T.   x  Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, -4- Prof. Jhon Villacorta Villacorta

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