1Soluciones a los ejercicios y problemas                                                                                  ...
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  1. 1. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1 PÁGINA 37 P RACTICA Operaciones con números enteros. Calculadora 1 Calcula paso a paso y comprueba el resultado con la calculadora utilizando las teclas de paréntesis. a) 2(15 – 7)2 – 43 b) 3 – 2(24 – 3 · 5)5 c) (3 · 52 – 23 · 5) : 7 d) 8(2 – 5)3 : 62 e) 1 – [23(5 – 32)] : 32 f) –[3 – (–7)2] – 24 a) 2 · 82 – 64 = 128 – 64 = 64 b) 3 – 2(16 – 15)5 = 3 – 2 = 1 c) (3 · 25 – 8 · 5) : 7 = 35 : 7 = 5 d) 8(–3)3 : 36 = –216 : 36 = –6 e) 1 – [8(5 – 9)] : 32 = 1 – (–32) : 32 = 1 + 1 = 2 f ) –(3 – 49) – 16 = 46 – 16 = 30 Fracciones 2 Agrupa las fracciones que sean equivalentes. 21 24 4 14 10 15 3 49 36 5 21 15 35 7 21 = 15 = 3 24 = 14 = 10 4 49 35 7 36 21 15 5 3 Simplifica las fracciones siguientes: 24 114 51 26 125 225 60 72 68 39 50 400 24 = 2 ; 114 = 19 ; 51 = 3 ; 26 = 2 ; 125 = 5 ; 225 = 9 60 5 72 12 68 4 39 3 50 2 400 16 4 Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras: Azul = 7 ; rojo = 8 = 1 ; amarillo = 10 = 5 16 16 2 16 8 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  2. 2. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2 5 En cada apartado, reduce a común denominador y ordena de menor a mayor: 5 3 2 7 8 1 5 7 3 11 7 3 1 5 5 a) , , , , b) – , – , – , – c) , – , , – , , – 6 5 3 10 15 2 8 12 4 24 4 8 6 12 3 a) 25 , 18 , 20 , 21 , 16 8 8 < 3 < 2 < 7 < 5 30 30 30 30 30 15 5 3 10 6 b) – 12 , – 15 , – 14 , – 18 8 – 3 < – 5 < – 7 < – 1 24 24 24 24 4 8 12 2 c) 11 , – 42 , 9 , – 4, 10 , – 40 , 8 – 7 < – 5 < – 1 < 3 < 5 < 11 24 24 24 24 24 24 4 3 6 8 12 24 6 Efectúa y simplifica descomponiendo en factores como en el ejemplo: 15 7 15 · 7 3·5·7 1 • · = = = 21 25 21 · 25 3 · 7 · 5 · 5 5 3 20 6 5 a) · b) · 5 21 25 18 12 35 9 20 c) · d) · 7 36 16 27 13 84 90 14 e) · f) · 12 65 35 36 a) 3 · 20 = 3 · 4 · 5 = 4 b) 6 · 5 = 6·5 = 1 5 · 21 5 · 3 · 7 7 25 · 18 5 · 5 · 6 · 3 15 c) 12 · 35 = 4 · 3 · 5 · 7 = 5 d) 9 · 20 = 9 · 4 · 5 = 5 7 · 36 7·3·3·4 3 16 · 27 4 · 4 · 9 · 3 12 e) 13 · 84 = 13 · 4 · 3 · 7 = 7 f ) 90 · 14 = 9 · 2 · 5 · 2 · 7 = 1 12 · 65 4 · 3 · 5 · 13 5 35 · 36 7 · 5 · 9 · 2 · 2 7 Expresa como suma de un número entero y una fracción igual que se hace en el ejemplo: 8 6+2 6 2 2 • = = + =2+ 3 3 3 3 3 8 15 16 3 7 a) b) c) d) – e) – 5 8 7 2 3 a) 8 = 5 + 3 = 1 + 3 b) 15 = 8 + 7 = 1 + 7 5 5 5 8 8 8 c) 16 = 14 + 2 = 2 + 2 d) – 3 = –2 – 1 = –1 – 1 7 7 7 2 2 2 e) – 7 = –6 – 1 = –2 – 1 3 3 3 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  3. 3. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3 Cálculo mental 8 Calcula mentalmente. a) –17 + (–13) b) –15 + 17 – (–8) c) 5(–7 – 5) d) –50 – 5(–11) e) –3(6 + 4) + 7 f) (–3)2 – (–2)3 a) –30 b) 10 c) –60 d) 5 e) –23 f ) 17 9 Calcula y simplifica mentalmente. 1 1 1 1 1 a) 2 + b) + c) – 3 2 4 2 5 5 2 3 1 d) 2 · e) :2 f) · 4 3 5 3 2 9 12 7 g) · h) :3 i) · 21 3 4 7 3 a) 7 b) 3 c) 3 3 4 10 d) 5 e) 1 f) 1 2 3 5 g) 3 h) 4 i) 49 2 7 10 Calcula mentalmente el número que se pide en cada caso: a) Los dos tercios de un número valen 22. ¿Cuál es el número? b) Los cinco cuartos de un número valen 35. ¿Cuál es el número? c) Los siete décimos de una cantidad son 210. ¿Cuál es esa cantidad? a) 33 b) 28 c) 300 Operaciones con fracciones 11 Calcula paso a paso y, después, comprueba el resultado con la calculadora utilizando las teclas de fracción y paréntesis. a) 3 5 ( ) 2– 1 3 + : 1 1 6 2 4 1 3 b) – · + – 3 2 4 1 1 2 + : 3 2 3 ( ) c) 3 – 2 3( ) 1– 1 4 2 + 3 8 (–2) d) ( 5 5 2 1 – + · 2 6 3 4 : 2–) [ ( )] 1 2 1+ 5 3 5 3 () a) 3 5 + 1 : 1 = 1 + 1 = 4 6 2 3 3 3 4 ( ) b) – 2 + 3 – 1 + 3 = – 8 + 9 – 4 – 9 = –1 3 4 12 12 12 12 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  4. 4. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4 c) 3 – 2 · 9 – 3 = 3 – 3 – 3 = 24 – 3 – 6 = 15 3 16 4 8 4 8 8 8 8 ( 2 6 6 )(2 3 6 3 ) d) 5 – 5 + 1 : 2 – 1 · 8 = 11 : 2 – 4 = 11 : 2 = 11 6 3 4 ( ) PÁGINA 38 12 Calcula y comprueba con la calculadora. a) · ( ) ( 2 3 1 – 3 4 2 2 – 1 5 1 – 6 6 3 ) 2 b) 5 : ( ) ( 1 2 +1 2 –3: 1 1 – 2 4 ) c) – [ ( 3 8 3 3– – 5 17 20 –1 · 1 3 –3 ) ( )] d) [( ) ( 2 1 – 3 9 + 13 2 3 –1 )] ( ) 2 : – 2 3 a) 2 · 1 – 1 · 1 = 1 – 1 = 0 3 16 6 4 24 24 b) 5 : 9 – 3 : 1 = 20 – 12 = – 88 4 4 9 9 [5 ( ) ( )] ( c) – 3 3 – 3 – – 3 · – 8 8 20 3 8 5 5 ) = – 3 3 – 3 – 2 = – 3 (2) = – 3 8 4 9 ( 9 )( ) ( ) d) 5 + 13 · 1 : – 2 = 2 : – 2 = –3 3 3 13 Reduce a una fracción. 1 1 2 7 3 3+— —–— —·— a) 2 b) 4 3 c) 8 5 3 5 7 1 1 7– — —–— —–— 2 6 12 5 2 7 –5 21 — — — a) 2 = 7 b) 12 = – 5 c) 40 = – 7 11 11 3 3 –3 4 — — — 2 12 10 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  5. 5. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5 14 Cuadrados mágicos. Completa cada casilla para que las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo. a) b) 1/6 5/6 3/8 1/3 1/2 3/4 1 1/2 a) b) 1/6 2/3 5/6 5/8 5/4 3/8 1 1/3 1/3 1/2 3/4 1 1/2 2/3 1/2 9/8 1/4 7/8 Potencias y raíces 15 Calcula las potencias siguientes: a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3 d) –32 e) – 4–1 f) (–1)–2 g) 2() 1 –3 1 h) – –2 2 ( ) i) 3() 4 0 a) –27 b) 16 c) – 1 8 d) –9 e) – 1 f) 1 4 g) 8 h) 4 i) 1 16 Expresa como una potencia de base 2 ó 3. 1 1 1 a) 64 b) 243 c) d) e) – 32 3 27 a) 26 b) 35 c) 2–5 d) 3–1 e) –(3)–3 17 Calcula. a) ( ) () 3 2 –1 –3 : 1 2 –2 ( ) b) 2 + 1 3 –2 · 3–2 a) 1 2 () () () –3 : 1 2 –2 = 1 2 –1 =2 b) 7 3() –2 ·1= 9 ·1= 1 9 49 9 49 18 Expresa como potencia única. a) () () 3 4 –3 : 3 4 2 b) 25 · 2–7 2– 4 c) [( ) ] 1 2 +1 –1 3 d) () () 1 2 3 : 1 4 2 a) 3 4 () –5 –2 b) 2– 4 = 22 2 c) 3 2 () –3 d) 1 2 () –1 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  6. 6. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6 19 Calcula utilizando las propiedades de las potencias. 64 · 82 152 · 42 a) b) 32 · 23 · 24 122 · 10 2–5 · 43 25 · 32 · 4–1 c) d) 16 23 · 9–1 62 · 92 2–5 · 8 · 9 · 3–2 e) f) 23 · (–3)2 · 42 2– 4 · 42 · 6–1 ☞ Mira el ejercicio resuelto 2 c) de la página 28. 4 4 6 2 2 4 a) 2 ·23 ·72 = 23 · 32 = 72 b) 3 · 5 · 2 = 5 3 ·2 24 · 32 · 2 · 5 2 –5 6 5 2 2–2 c) 2 · 2 = 2–3 = 1 d) 2 ·33 ·–2 = 34 = 81 24 8 2 ·3 2 2 4 –5 3 2 –2 e) 23 · 32 · 34 = 2–5 · 34 = 81 f ) 2 4 · 24 · 3–1· 3 –1 = 3 – ·2 ·2 ·3 2 ·3 ·2 32 2 2 20 Simplifica. () () 3 a) a –4 a b) a –3 · (a–1)–2 b b2 b c) () () 1 a –3 a b –2 d) [( ) ] b a –3 –1(a–1 · b)–2 –1 2 3 3 a) a –2 = b b) b 3 · a 2 = b b a a a 3 a –2 3 c) a ·–2 = a · b 2 d) b 3 · a 2 · b –2 = b b a a 21 Calcula. 16 4 a) √ 16 b) √ 25 3 1 c) √ 8 5 d) √ –1 a) 2 b) 4 c) 1 d) –1 5 2 22 Halla las raíces siguientes: 3 7 a) √ 216 b) √ –128 5 6 c) √ –243 d) √ 4 096 a) 6 b) –2 c) –3 d) 4 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  7. 7. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7 P I E N S A Y R E S U E LV E 23 Una mezcla de cereales está compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena y el resto de arroz. a) ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla? b) ¿Qué cantidad de cada cereal habrá en 600 g de mezcla? ( a) Parte de arroz: 1 – 7 + 9 = 13 15 25 75 ) b) Trigo = 280 g; avena = 216 g; arroz = 104 g. 24 Los 5/12 de las entradas de un teatro son butacas, 1/4 son entresuelo, y el resto, anfiteatro. De las 720 entradas que tiene el teatro, ¿cuántas son de anfitea- tro? ¿Qué parte del total representan? 5 · 720 = 300 butaca 12 1 · 720 = 180 entresuelo 4 720 – (300 + 180) = 240 son de anfiteatro 240 = 1 8 parte que representan las entradas de anfiteatro. 720 3 25 Julia gastó 1/3 del dinero que tenía en libros y 2/5 en discos. Si le han so- brado 36 €, ¿cuánto tenía? ( ) 1– 1 + 2 = 4 3 5 15 4 del total son 36 € 8 total = 36 · 15 = 135 € 15 4 26 De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesía; 180, de novela, y el resto, de historia. ¿Qué fracción representan los libros de historia? 1 · 300 = 50 poesía; 30 – (180 + 50) = 70 6 70 = 7 son libros de historia. 300 30 27 El café pierde 1/5 de su peso al tostarlo. Si que-remos obtener 84 kg de café tostado, ¿qué cantidad de café tendremos que poner en la tostadora? 4 del café sin tostar son 84 kg de café tostado. 5 84 · 5 = 105 kg de café tendremos que poner en la tostadora. 4 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  8. 8. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8 PÁGINA 39 29 Del dinero de una cuenta bancaria, retiramos primero los 3/8 y, después, los 7/10 de lo que quedaba. Si el saldo actual es 1 893 €, ¿cuánto había al principio? Se retiran primero 3 y, después, 5 · 7 = 7 . 8 8 10 16 ( ) La parte que queda es 1 – 3 + 7 = 3 que son 1 893 €. 8 16 16 Lo que había al principio es 1 893 · 16 = 10 096 €. 3 30 De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otra vez la mitad y, luego, los 11/15 del resto. Si al final quedan 36 l, ¿cuántos había al principio? 2 2 2 4 ( 2 4 ) Sacamos 1 ; después, 1 · 1 = 1 . Queda 1 – 1 – 1 = 1 . 4 Sacamos 11 · 1 = 11 8 quedan 1 – 11 = 1 , que son 36 litros. 15 4 60 4 60 15 Lo que había al principio son 36 · 15 = 540 litros. 31 Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. Pago el primer mes los 2/9; el segundo, los 7/15 de lo que me queda por pagar, y luego, 124 €. a) ¿Cuánto he pagado cada vez? b) ¿Qué parte del precio me queda por pagar? a) Primer mes: 540 · 2 = 120 € 8 quedan por pagar 420 €. 9 Segundo mes: 420 · 7 = 196 €. 15 Tercer mes: 124 €. b) Quedan por pagar: 540 – (120 + 196 + 124) = 100 €. 100 = 5 8 Parte que queda por pagar. 540 27 32 Gasto 1/10 de lo que tengo ahorrado en mi hucha; después, ingreso 1/15 de lo que me queda y aún me faltan 36 € para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuál era esa cantidad? Gasto 1 , quedan 9 ; ingreso 1 · 9 = 3 . 10 10 15 10 50 En la cuenta hay 1 – 1 + 3 = 24 de lo que había. 10 50 25 Falta 1 , que son 36 €. 25 La cantidad inicial es 25 · 36 = 900 €. Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  9. 9. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9 33 La diferencia entre las diagonales de un rombo es 14 cm, y la menor es 4/11 de la mayor. Halla sus longitudes. La diferencia entre la diagonal mayor y la menor es 1 – 4 = 7 . 11 11 Como 7 son 14 cm, la longitud de la diagonal mayor es 14 · 11 = 22 cm. 11 7 La menor mide 4 · 22 = 8 cm. 11 34 En un rectángulo, la base mide 4 cm más que la altura, y esta es los 7/9 de la base. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? La diferencia entre la base y la altura es 1 – 7 = 2 de la base, que son 4 cm. 9 9 La base mide 4 · 9 = 18 cm, y la altura, 7 · 18 = 14 cm. 2 9 El perímetro del rectángulo es (18 + 14) · 2 = 64 cm. 35 Justifica cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que se verifique la igualdad: 4 a) a3 = 26 b) a–1 = 2 c) √ a = 5 4 1 d) √ a = 1 e) a–2 = f) a–5 = –1 4 a) a = 22 b) a = 1 c) a = 16 2 25 d) a = 1 e) a = 2 f ) a = –1 R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 36 Busca cuatro números fraccionarios comprendidos entre 1/3 y 1/2. ¿Cuántos puedes escribir? Buscamos fracciones equivalentes a 1 y 1 con un denominador común, por ejem- 3 2 plo 36: 1 = 12 1 = 18 3 36 2 36 Entre 12 y 18 están comprendidas 13 , 14 , 15 , 16 . 36 36 36 36 36 36 Si en lugar de 36 elegimos un denominador común muy grande, podemos escribir tantas como queramos. Hay infinitas. Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  10. 10. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10 37 ¿Cuál es la fracción inversa de –3/5? ¿Y la de 1/7? Justifica tu respuesta. 3 5( )( ) La inversa de – 3 es – 5 porque su producto es igual a 1: – 3 · – 5 = 1 5 3 La de 1 es 7, ya que 1 · 7 = 1. 7 7 38 La raíz de índice par de un número positivo tiene dos valores. Cuando es- cribimos –√ 4 nos referimos a la raíz negativa. Es decir, –√ 4 = –2. ¿Cuál es el va- lor de las siguientes expresiones?: 4 a) –√ 64 b) √ 81 c) –√ 1 6 3 d) √ 1 e) –√ 9 f) √ –8 a) –8 b) 3 c) –1 d) 1 e) –3 f ) –2 39 ¿Por qué no se puede hallar la raíz de índice par de un número negativo? Calcula, cuando sea posible, estas raíces: 4 3 4 a) √ 256 b) √ –27 c) √ –16 5 6 d) √ –1 e) –√ 36 f) √ –1 Porque al elevar un número negativo a un exponente par, obtenemos un número po- sitivo. a) 4 b) –3 c) Imposible. d) –1 e) –6 f ) Imposible. 40 Si a < b, compara los pares de fracciones de cada apartado (a y b son nú- meros naturales): 1 1 a a a+1 a a) y b) y c) y a b b b+1 b b a) 1 > 1 b) a > a c) a + 1 > a a b b b+1 b b P ROFUNDIZA 41 La diferencia entre dos fracciones es 1/3 y la segun-da es los 3/5 de la prime- ra. Calcula las dos fracciones. 1 – 3 = 2 diferencia entre la mayor y la menor. 5 5 2 de la primera fracción es igual a 1 . 5 3 La primera es 1 · 5 = 5 . 3 2 6 La segunda es 3 · 5 = 1 . 5 6 2 Unidad 1. Los números y sus utilidades I
  11. 11. 1Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11 42 Observa: 1+ 1–( 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … 2 2 3 3 4 a) Halla el valor de la expresión con 4 sumandos. b) Si aumentamos el número de sumandos, ¿aumenta o disminuye el valor de la expresión? c) Calcula el valor de la expresión cuando el número de sumandos sea 100. d) ¿A qué valor se aproxima la expresión cuando hay infinitos sumandos? a) 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 2 – 1 = 7 2 2 3 3 4 4 4 b) 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 2 – 1 = 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 Aumenta el valor de la expresión porque la fracción que le restamos al 2 va sien- do más pequeña a medida que aumenta el número de sumandos. c) Con 100 sumandos: 2 – 1 = 199 100 100 d) Cada vez restaremos a 2 un número menor. Por ejemplo con 10 000 sumando obtenemos 2 – 1 que es un número muy próximo a 2. 10 000 El valor de la expresión se aproxima a 2. 43 ¿En qué número termina 283? ☞ Observa en qué cifra terminan las sucesivas potencias de 2 y busca una regla que te permita saber la última cifra de cualquier potencia de base 2. 21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 = 16 28 = 256 Las cifras 2, 4, 8, 6 se repiten de 4 en 4. Como 83 = 80 + 3 8 283 terminará en la misma cifra que 23, en 8. Unidad 1. Los números y sus utilidades I

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