Fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas Objetivos: Determinar el M.CD. y el m.cm. de varias fracciones algebraicas. Aplicar los conceptos de M.C.D. y m.cm. para obtener el factor común de los términos de un polinomio. Aplicar estos conceptos de M.CO. y m.cm. en la simplificación de fracciones algebraicas. Desarrollar operaciones de adición sustracción y división de fracciones algebraicas. Simon Stevin (1548-1620). Nació en Brujas (Bélgica) y muy pronto ejerció el oficio de cajero y contable; más tarde se desempefió como funcionario de hacienda en su ciudad natal. Su primer libro apareció en Amberes en 1582 y trataba de las tablas de interés y su construcción. Stevin conocía bien los trabajos de Euclides, Apolonio y Al-Jwarizmi y estaba familiarizado con las obras de Cardano, Tartaglia y Bombelli. Sus preocupaciones matemáticas hicieron de él uno de los grandes matemáticos del siglo XVI y, en mecánica, el más importante de los sabios de todo el período que se extiende desde Arquímedes hasta Galileo. FRACClONES ALGEBRAICAS estudiado en cursos y unidades anteriores, todo lo concerniente a números racionales, :;;opiedades y sus posibles operaciones. todos estos conceptos los utilizaremos en el estudio de las fracciones algebraicas 'Ulles, o simplemente, fracciones algebraicas. 101 Analicemos las siguientes expresiones: x+l . _x+ 3 ' X2+ 3x+ 1 2xL5 fXL2X . 3x-4 _3_ x2+4x 8bservamos que todas las expresiones, son de tipo algebraico y que. constan de numeradores y denominadores los cuales están formados por binomios, trinomios, es decir, Polinomios. lo 2 ·eamos las siguientes expresiones: ~ 5 ~ 3x 4x2y -5 Observemos que los numeradores y denominadores de cada expresión, son términos, es decir ,monomios. Se dice que una expresión es fracción algebraica si es de la forma ~, con b quot;
# O, Y tanto el numerador como el denominador, son polinomios algebraicos de una o varias variables. 3781425699770000 VALORES ADMISIBLES DE UNA VARIABLE EN EL DENOMINADOR DE UNA FRACCION ALGEBRAICA 101 .--illalicemos la fracción algebraica: x + 11 x- Solución 8bservamos que, en el denominador de este ejemplo, x no puede tomar el valor 1, porque al reemplazar a x por este valor, la expresión queda: x + 1= 1 + 1= 1.. x-1 1-1 O ecuerda que la división por cero no está definida en el conjunto de los reales. Ejemplo 2 Analicemos la fracción algebraica; x2~9Solución La variable x puede tomar cualquier valor, excepto los valóres 3 y - 3, porque a..: remplazar estos en la fracción, tenemos: _3_=_3_=_3_=1 ó _3_ 3 =_3_=1 xL9 (3)2-9 9 -9 O xL9 (-3)2-9 9 -9 O El conjunto de valores de una variable x/ para los cuales, el denominador de la fracción es diferente de cero, se llama conjunto de valores admisibles de la variable x. Ejercicio 6.1 En cada una de las siguientes expresiones, dí qué valores no son admisibles para I variable. a) _1_ j) x2-16 q) 6z-10 2x-2 x{x + 4) (z -1)2 b) _5_ P 2c+S r) 7m -4 x-4 4c+8 (7m + 14)(m -5) c) -ª--- k) b2+2b s) 6>:- 4 Sa2 4b+ 12 13y-Y26 d) ~ 1) ~ t) Sn - 12 y-3 6z-3 n - (n-m e) m-S m) 4>: u) x m2- 4 (y -2)(y + 3) Vx-2f) z2- 4z+4 n) 6m-2 v) 4t 2z+2 2 (3m - 1)( m + 5) t(t2 -4) g) ~ o) 3x2w) 2s- 1 3x+6 x (x + 1) 52{S + 1)2 h) x2-2S p) x4 x) I x+S (2x+ 1) V 1-2+ 1 AXIMO COMUN DIVISOR Recordemos cómo se halla el M.C.D. de dos o más cantidades aritméticas. Ejl'mplo Determinemos el M.C.D. de: 18,27 Y 36 Solución Descomponemos cada número en sus factores primos, así: 18 2 27 3 36 2 9 3 9 3 18 2 3 3 3 3 9 3 1 1 3 3 1 18 = 2x32 27 = 33 36 = 22 X 32 El M.C.D. está formado por el producto de los factores primos comunes, con su menor exponente, o sea: M.C.D. de 18,27,36 = 32 = 9 6.2.1 MAXIMO COMUN DIVISOR DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Este mismo proceso, lo utilizaremos para hallar el M.C.D. de expresiones algebraicas, con la diferencia que además de términos constantes (números), también intervienen partes ti.te rales . .1odifiquemos un poco, el ejemplo anterior, es decir, agreguemos una parte literal a cada número,y hallemos el M.C.D. Ejemplo 1 Determinemos el M.C.D. de 18a2b , 27ab2c y 36a3b3c2 Solución Determinemos el M.C.D. de 18,27 Y 36: Determinemos el M.C.D. de a2b , ab2c y a3b3c2: M.C.D. de 18a2b, 27ab2c, 36a3b3c2: 9 ab = 9ab Eiprnplo 2 Determinemos el M.C.D. de 15ry Solución M.C.D. de 15 y 30 : 15 M.C.D. ry y ~1 : ry M.C.D de 15x7 y 30~1 = 15ry Ejemplo 3 Hallemos el M.C.D. de: r + 5x + 6; r - 4 Solución Las expresiones son polinomios, por 10 tanto las debemos factorizar. r + 5x + 6 es un trinomio de la forma Luego la factorizamos como: r+ bx+ e (x + 3)(x + 2) r - 4, es una diferencia de cuadrados, al factorizarla tenemos: (x + 2)(x- 2) Tomamos los factores comunes: M.C.D de r+ 5x + 64 ; x2 - 4 (x+ 2) = (x + 2) Para hallar el M.CO. de dos o más expresiones algebraicas, se halla el M. C D. de los coeficientes (parte numérica), a continuación se escriben las letras comunes con su menor exponente. Si la parte literal son polinomios factorizables, entonces se descomponen en sus factores y se toman los comunes con su menor exponente. 5104765494982500 Ejercicio 6.21 lo Halla el M.C.D. de: a) 14; 42 f) 3z;21z2 k) 30fv ; 42fv b) 21 ; 343 g) 12m; 108 1) 15a3t1-; 30a4b; 45a3tr el 7a; 14b h) 4d; 32d m)50xyz2 ; 25xyz3 d) 2c; 6¿ i) 33x; 11 n) 3mn3¡i ; 12m2n2p2 e) 9m2·81m j) 6y; 36my o) 20; 8V't; 12vf , 2. Halla el M.C.D. de cada una de las siguientes expresiones. a) 30m3n; 42m2n2 h) 2x + 2 ; xl-1 b) 42p3cf ; 54¡iq j) xl - 9; 2x + 6 el 20xly; 28xy3 j) xl + 8x+ 15; (x+ 3)2 d) 28a2t1-c; 36ab3¿ ; 40a3b2 k) (x + 5)2 ; xl - 25 e) 32r3sl ; 48rsf ; 64rst 1) ~-8;xl-4 f) 170m3n2 . 204m2n3 . 34mn m) xl + 12x + 36 ; xl + 7x + 6 , , g) 33vwy; 77vwy; 121 vwy3 n) (x + 2)3 ; (x + 2)2 ; xl - 4 INIMO COMUN MULTIPLO Recordemos cómo se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más cantidades aritméticas. Ejemplo Hallemos el m.c.m. de los números: 9 y 18. 9 3 3 3 1 18 2 9 3 3 3 1 18 = 32 X 2 Descomponemos los números dados, en sus factores primos: Tomamos los factores primos comunes y no comunes, con su mayor exponente: 32 x 2 = 9 X 2 = 18 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 9 y 18 es 18 6.3.1 MINIMO COMUN MULTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Así como es posible determinar, el m.C.m. de dos o más valores constantes (números), también podemos hallarlo para expresiones algebraicas. El procedimiento es el mismo, solamente que ahora existen partes literales. Veamos el procedimiento. Solución Ejemplo 1 Determinemos el m.c.m. de 30ryz3 y 15~y2z. Descomponemos los coe!icientes en sus factores primos: m.c.ro.de 30 Y 15, (2 X 3 x 5): 30 m.C.m. de ryz3 y ~y2z : x3y2z3 m.c.m. de 30ryz3 y 15~y2z = 30x3y2z3 Ejemplo 2 Deterninemos el m.c.m. de: 50a2b2c2; 80ab3c y 120a2bc3 Solución m.c.m. de 50, 80 Y 120: 1.200 m.c.m. de a2b2c2 ; ab3c y a2bc3: a2b3c3 m.c.m. de 50a2b2c2; 80ab3c y 120a2bc3 = 1.2ooa2b3c3 Ejemplo 3 Deterninemos el m.c.m de: X2 + 9x + 20 ; r - 16 Y 4x + 16 Solución Como las expresiones son polinomios debemos factorizarlas : El m.c.m. serán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente: r + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4) r-16 = (x+4)(x-4) 4x + 16 = 4(x + 4) = 4(x + 5)(x + 4)(x - 4) La característica fundamental del m.c.m. de dos o más cantidades, es que éste es divisible por cada una de las cantidades dadas. Compruébalo en el ejemplo desarrollado. Para hallar el m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, se halla primero, el m.c.m. de los coeficientes y luego se agregan a éste las letras comunes y no comunes, de las expresiones dadas, con su mayor exponente. Si la parte literal de las expresiones son polinomios factorizables, entonces, efectuamos la factorizaci6n y tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejercicio 6.3 Determina el m.c.m. de cada una de las siguientes expresiones. 46a3; 69a2b3c 7mn; 10m3n; 14m2n3 19p2cf; 39pcf ; 342p3q4 16~y2z; 48xly ; 150x~ 1 02a3gcd 3 ; 192¿d ; 306a/jc 1 08m3n2; 216nrn3 ; 432m3n3 812d2;100c4d3;300¿d3 210r; 39v4~; 6oV3z j) 80X4~; 120x4y2; 300yr xl + 4x + 4; ~ + 8 (X-1)2; xl -1; 5x- 5 1) xl -llx+ 24; ~ - 27; {X-3)2 ELACION ENTRE EL M.C.D y EL m.c.m. DE DOS O MAS CANTIDADES Los conceptos M.C.O. y m.c.m., los has estudiado en muchas ocasiones, en tu primaria, en el conjunto N (grado sexto); en el conjunto Z (grado 7) y ahora nuevamente, para aplicarlo a expresiones algebraicas. Pero ¿te has preguntado alguna vez qué relación existe entre ellos? eámoslo por medio del siguiente ejemplo. Ejemplo Hallemos la relación entre el M.C.O. y el m.c.m. de 105a2b3c; 21Oab2c3 Solución En primer lugar descomponemos los coeficientes en sus factores primos: 105 3 210 2 35 5 105 3 7 7 35 5 1 7 7 1 105=3x5x7 210 = 2 x 3 x 5 x 7 M.C.D.de 105a2b3c y 21Oab2c3 = 105ab2c m.c,m. de 105a2b3c y 21Oab2c3 = 21Oa2b3c3 Multipliquemos las expresiones dadas: (105a2b3c)(210ab2c3): Multipliquemos el M.C.O. y el m.c.m.: (105ab2c) (21Oa2b3c3) : Comparando los dos resultados vemos que son iguales. La relación que existe entre el M.Co. y el m.c.m. de dos o más cantidades I es que el producto de ellas es igual al producto del M. C D. por el m.c.m. de las mismas. Ejercicio 6.4 Comprueba la relación existente entre el M.C.D. y el m.c.m. para las siguientes cantidades. 21 ;343 13a2; 26a3 7 a2xZ ; 49a~ z + y; 3xz+3xy sJ:l- 1Sb; b3_ 3b2 mn + n ; m2+ m . REDUCCION DE FRACCIONES En el estudio del tema, reducción de fracciones algebraicas, tenemos que recordar, cómo simplificamos una fracción. Recordemos mediante la solución de algunos ejemplos: Ejemplo 1 Simplifiquemos o reduzcamos el racional, ~ 18 Solución Conocemos varios métodos para llegar a la respuesta correcta. Usemos la forma más sencilla, pues solamente necesitamos recordar los criterios de divisibilidad, es decir, cuando un número es divisible por 2, 3, 4, etc. En nuestro ejemplo, 1~,tanto el numerador como el denominador son divisibles por 3 entonces, los expresamos como un producto de factores, cancelando los términos que sean iguales: 9 _3x3_1 18 - 6 x3 - 6 Nuevamente los dos términos de la fracción son divisibles por 3, entonces: .3. = lx3=1. 6 2x3 2 Este proceso se puede realizar mentalmente y obtener de ~, directamente su fracción equivalente, }. 1 Ejemplo 2 Simplifiquemos o reduzcamos la fracción io , .. Solución Aplicando el proceso visto en el ejemplo anterior: í = 1 x5 = 1. 20 4 x5 4 Hemos aplicado el principio fundamental de la fracción. Para cualquier polinomio p, q y k, donde q, k son diferentes de cero, se cumple que: p x k = E. qx k q Esto indica que para simplificar fracciones, escribimos el numerador y el denominador como un producto de factores y luego cancelamos aquellos que sean comunes 1 REDUCCION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Ya recordamos cómo simplificamos fracciones; utilicemos el concepto anterior, para reducir fracciones algebraicas. Ejemplo 1 Reduzcamos: 6m2n2 9m3n Solución Fracción dada: ~ 9m3n _ (2n)(~ - (3m) (3m2ffr = 2n 3m Descomponiendo en factores: Cancelando los factores comunes: Ejemplo 2 Reduzcamos: 10a2b 20ab2 Solución Fracción dada: ~ 20ab2 = (lOab1(a) (j.OaoT(2b) Descomponiendo en factores: Cancelamos los factores comunes: = .fL 2b Ejemplo 3 Reduzcamos: 3x +3 xLI Solución Fracción dada: Como el numerador y el denominador no son monomios sino binomios, los factorizamos: 3~ = iv+-lr(x -1) = _3_ x-l Cancelamos los facto~s comunes: Para simplificar fracciones algebraicas, se expresan numerador y denominador como el producto de factores (se factoriza); luego se cancelan todos los factores comunes del numerador y del denominador. Ejercicio 6.51 Simplifica o reduce las siguientes fracciones. a) ~ g) - 6X3Z2 m) 5x+536 12xz2 3x+3 b) 120 h) 4m3n4 n) 2x3-4x2+2x 360 10m3n2 x2-2x+ 1 e) 12a2 j) - 7XS,t3Z o) 3x3+30x2+75x 40ab -35x4y3z2 (x+ 5)2 d) -21z2 j) &J2b3c4 p) x2-16 -7z3y -12a2b3c x2-8x+ 16 e) 15mk) 15 m5n6 q) x2-1 45 3m7nS (x- 1)(x2 +x+ 1) f) 6a2b31) 56ab2c3cf r) {x-1P 3a 7a2b2c2cf (X3_ 1) 6.5.2 AMPLlFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Recordemos que amplificar, es expresar una fracción en términos mayores pero equivalentes. Ahora, veamos cómo podemos amplificar una fracción algebraica a términos mayores. Ejemplo Amplifiquemos la fracción algebraica 3m2, a una fracción equivalente cuyo numerador sea 12m5. 4n Solución Fracción dada: 3m24n Busquemos una expresión que multiplicada por 3m2, dé, 12m5: Multipliquemos ahora numerador y denominador por el cociente obtenido: (3m2){4m3)(4n) (4m3) 12m516m3n Efectuando: Para amplificar una fracción algebraica, se multiplican el numerador y el denominador por una misma cantidad, diferente de cero. Ejercicio 6.6 Completa la amplificación, de las siguientes fracciones algebraicas, escribiendo en el rectángulo la expresión correcta. al 3a2= O 4b 20a2b2 bl jL= O 2x2 y= 14x4y3 dl r-I 7z L--J el __ 1'-----_ = 5 3x2y3z4 O 5425440299910500 el 2048510320611500 f) 3y3 8m i) 6 OPERACIONES CON FRACCIONES RACIONALES Con fracciones algebraicas podemos efectuar operaciones, como la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, etc. Adición y sustracción de fracciones Recordemos cómo se adicionan dos o más fracciones, con la solución de los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 Efectuemos la adición de las fracciones: ..1 + 2. 2 2 Solución Operación indicada: Como las fracciones son homogéneas, sumamos los numeradores y dejamos el denominador común. = 3+5 2 =.3.=4 2 Efectuando: Ejemplo 2 Efectuemos la adición, ..1 + l. 5 4 Solución Operación indicada: Como las fracciones son heterogéneas calculamos el m.c.m. (20 en este caso): 3(4)+1(5) 20 12+5= TI 20 20 Ejemplo 3 Efectuemos la siguiente operación y simplifiquémosla si es posible: 3sab2+ Sa 9b2 Solución Operación indicada: Como son fracciones heterogéneas, hallamos el m.c.m. de los denominadores: 72b2, es el común denominador, entonces, (3a2)(9b) +(5a) (S) 72b2 = 27a2b +40a 72b2 transformamos los numeradores: Resolviendo obtenemos: Ejemplo 4 Efectuemos la siguiente operación: 2x +~ x2+Sx+6 xL9 Solución Factorizamos los denominadores: 2x + Sx (x+3)(x+2) (x+3){x-3) Hallamos m.c.m. de los denominadores, que es el común denominador: (x +3) (x -3) (x + 2) Transformamos los numeradores y operamos como adición de homogéneos: 2x{x-3)+Sx{x+2) (x+3){x -3)(x +2) Efectuando: 2xL6x+Sx2+lOx = (xL9)(x +2) Reduciendo términos semejantes: = 7x2+4x (xL9){x +2) Para efectuar la suma o resta de fracciones algebraicas, con diferente denominador, (heterogéneas) se procede así: Se halla el m.c.m. de los denominadores, que es el denominador común. Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fracción y el cociente se multiplica por el numerador correspondiente. Se efectúan las operaciones indicadas y se simplifica la fracción resultante, si es posible. Si los denominadores son iguales, se suman los numeradores y se deja el denominador común. 9b: lo Efectúa y simplifica. a) 7m +_2_ 1) ~ ~ 2z-x + +-- Sw Sw xy yz xz b) Sa +_1_ m) b2-e e2-a a2_b2 --+-- 2a2 2a2 2b 2e 2a c) _2_ +_1_ n) 2 + 9x2y 9x2y 3(m +3)2 4(m + 3)(m -3) d) ~ __ 2_ o) 4x +~+ 8rfi3n 8nPn x2+Sx+6 x2-9 x3-27 e) --.2!l.. _ 3m p) _5_- 3x n-1 n-1 x2-9 x2+6x+9 f) _5 ___ 3_ q) ~+_2 __ 2x+ 1 2x+ 1 m-2 m-3 w-Sm +6 g) m-3n n-m r) x2 +~ +_2_ ----- 8m 3n x2+2x+ 1 3x+3 x2-1 h) x+2y _ x2y-3xy2 s) 2w - 3mn + 5m3.,2xy Sx2y 4w-9 8m -12 2m-3 i) 5- a + .iL±.3.+_2_ t) 3 +~_ 2x2 2a a2 3a2b 3x(x-1) Sx-S x2-2x+ 1 j) 2x+ 1 _ x -6 +K u) 4m-7 +_2 __ ~ Sx 4x2 2 w-3m + 2 m-1 2m-4 k) 3m+2 + m-1+ m+1 v) 4x +~ 2x-1 --- m2n 6mn2 3 wn2 x2-2S x-S x-S Aplicando la ley de los signos, coloca los paréntesis en los denominadores de los siguientes ejercicios para igualarlos. Observa que: y - x = - (x - y), es decir, que todo paréntesis, precedido del signo negativo, afecta a los signos de las cantidades que están dentro de él. a) _ 2 _ + _ 3_ x- 4 4-x b) ~ + _3_ m- 1 1 -m c) ~ + _ 1_ 5- a a-S d) -..JL + ~ __ 3_ 2-x x-2 x-2 ~ + _2_ +_1 _ x2-4 2 -x x-2 e) ~ __ 2_+_2_ -x+S x-S (x-S? z-l __ 1 2 _ z2+z 2z-2 2z+2 f) 2y -')-my 2 flr- - m +my Multiplicación de fracciones algebraicas Recordemos cómo se multiplican dos o más fracciones aritméticas. Ejemplo Hallemos el resultado de: ..1 x 2 8 7 Solución Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador: (3)(5) --- (8)(7) Efectuando obtenemos el resultado: = 12 56 El proceso para multiplicar fracciones algebraicas es idéntico al de las fracciones aritméticas, teniendo muy presente la propiedad del producto de potencias de igual base. Veámoslo: Ejemplo 1 Hallemos el resultado de: ..1 x ...i. x2 xy Solución Efectuando el producto: _ (3)(5) (x2)(xy) =12 x3y Ejemplo 2 5x+5 x x-l Efectuar: x+l xLI Solución Factorizando, los miembros del numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda fracción, tenemos: 5(x + 1) x (x+l) (x-l) (x+l)(x-l) Simplificando: =2x_l_ 1 (x+l) =_5_ x+l Efectuando obtenemos el resultado: Para multiplicar dos o más fracciones algebraicas se descomponen numeradores y denominadores, en factores, hasta donde sea posible. Se simplifican o cancelan los factores comunes y luego se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores; este producto se divide por el producto de las expresiones de los denominadores. Ejercicio 6.8 I Efectúa las siguientes multiplicaciones. 1. x J.. 7 4 1.. x lQ. x H 5 7 21 el ...J.L.. x 3a2 21tl 14b 2ab2x 9a3b 3a2b 12ab3 2. Efectúa las siguientes multiplicaciones indicadas. a) m x 3n2h) 3x+3 x 4x22n Sm 2x x2-1 b) 2x3 x ~ j) x2-x X X + 1 3y2 4x x -1 x el 2.. x 3tl x 4a2 j) x2-4 x x2-9 a 4a 2b x+3 x2-4x+4 d) 3x2y x 8wz3 X 6xyk) x2+Sx+6 x x2-1 4wz 9xy2 2wz x-1 (x+3)2 e) 1 x Sa x 2b2 1) m3-2'7 x m2-6m +9 a b 10 m2-9 m-3 f) x+2 6x2 m) x2-2S 3 x 2 x -- x 3x x+2 9 (x-sf x3 + 125 g) ~ x --ª-- x a -2 n) _4_xx2+8x+16 x x2-2S a-2 a-2 8 x+4 x-S 3 División de fracciones algebraicas Recordemos cómo se efectúa la división de fracciones aritméticas. Ejemplo 1 Efectuemos la siguiente operación: J.. + 1.. 5 4 Solución Operación indicada: Multiplicando la primera fracción, por el inverso multiplicativo de la segunda: Efectuando obtenemos: Este mismo procedimiento se utiliza para la división de fracciones algebraicas Ejemplo 2 Efectuemos el cociente: 2x2+ 4x 3y 9y2 Solución Operación indicada: Aplicando el concepto de división en fracciones aritméticas, tenemos: = 2x2 X 9y2 3y 4x = (2x2){9y2) (3y) (4x) = 18x2y2 12xy = 3xy 2 Para dividir fracciones algebraicas, se multiplica el dividendo (primera fracción), por el inverso multiplicativo del divisor, efectuando las descomposiciones en factores y simplificaciones respectivas. Ejercicio 6.9 rEfectúa las siguientes divisiones indicadas. a) 3m + 6fTJ12h) .a±.1 + a + 1 4m3 n 2mn 2 6a b) L ... ..2L i) a2-4 + a+43if Sb3 (a+4f 5 el Sx2y+ 10m3y2 j) x2_,r:2 + x+y8y2z 16yz2 x2_2xy+y2 3 d) 3ab2+ 6a2bk) 4m+ 8m2 Se lSc m-4 m2-6m+8 e) ~ + 9a 1) a2-6a+9 + a2+2a-1S 2b 8b a2_ a-6 a2+2a f) .s¿ ~ m) m2-121 + m2+11m + 2 3 m2-64 m+8 g) --º- ~ n) x3-27 + .K±..l. + 5m2 Sm x -3 x2-9 Multiplicación y división combinadas, de fracciones algebraicas Las operaciones de multiplicación y división en fracciones algebraicas. se pueden combinar. En estos ejercicios debemos tener cuidado. en el orden jerárquico de las operaciones. Ejemplo Resolvamos: 2m-2 -- x nL25 m-l)+ _3_ n-5 (n +5) m-l) ~ (2(m-l) (m-l)) (n +5) n-5 + (n+5) = (n+5)(n-5) x (n-5) x-3- = 2(m-l)2 x (n ~n-5)2 3 2(m-l)2 = 3(n -5)2 Solución 2m-2 --x nL25 Ej ejercicio 6.10 1 . Efectúa: a) .1xli+l f) (fu +~) x (U + _1 ) 4 9 3 4yz Sx X2 9 y2 bl S + (2 x ¡-) gl (~ x ~) + (4X3) Sx5 X2 y el llx .1+ª- h) 3x2+ (~ x 9K) 9 4 3 Z2 3x 8y dl ±ab x _1 + _a_ i) (x x lb) x JL S 3c 2hc 4g c2 Sa e) lxyz + (-.l x 12XYZ) j) ~ +(~ x~) 2 4x 7 Y x5 X2 2. Efectúa: al x5+ (x2 L) e) X2 - x - 6 x ( 5 .•. ~ ) 3y 6yX 4x3 4x+8 x2.-5x+6 (x-2f b) (~; + ~~)xL f) ( m2-Bm + 7 x m2-36 ) + (m -6) 4x3 (m-6)(m-S) m2-1 m2-1 el ( X2 - X - 6 5)...3 g) (x2- 3x x Xy2-2xY).... y4x+ 8 X x2-5x+ 6 . (x-2f y2-2y x2-9 . y{x +3) dl (X3-27 x X2-4)+ x2+3x+9 h) (2m2+3m x mn2-2mn) .•. m x2- x-6 . 3 x+2 n2-2n 4m2-9 2mn-3n 7 FRACCIONES ALGEBRAICAS COMPLEJAS Existen fracciones algebraicas en las que el numerador o el denominador, o ambos son fracciones algebraicas. Algunos ejemplos de esta clase de fracciones son: _1_ ---L x 3 x+2 4x+8 _2_ _4_ _5_ __5_ x 5x: x-I ;-5x:+6 Estas fracciones se llaman, fracciones algebraicas complejas. Con ellas podemos realizar todas las operaciones vistas. Veamos: Ejemplo .1+3 Resolvamos: _x_ .1-2 x Solución Efectuemos primero las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador: 1(¡)+3(x) = x 1(1 )-2(x) x 1 +3% x I-a - x Efectuando obtenemos: Efectuando la división indicada: =L±k x_X_ X 1-2x Simplificando, obtenemos: = 1+3x1-2x Para simplificar fracciones complejas, primero se efectúan las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador, luego se divide el numerador resultante por el denominador. Ejercicio 6.11 Resuelve las siguientes fracciones algebraicas complejas. x +1 a2_b2 -.L -x -º-+-º---ª- -- a) x c) ab e) ~3 g) m n mn X _1 a-b -.L - 1 J!. + 2. _11. - x b x2 m n mn J. +2. 1_1 X -~ x2 - be - 8 b) x yd) x yf) 3~ h) x2 - 9x + 20 2. _1 ~ Y _-L x2 - 4 x y y 3x x2 - 6x + 5 ECUACIONES RACIONALES DE PRIMER GRADO En la unidad 5, vimos cómo se resuelve una ecuación de primer grado, o, lineal, pero eran ecuaciones enteras. Teniendo en cuenta los conceptos vistos sobre expresiones algebraicas racionales, iniciaremos ahora el estudio de ecuaciones racionales. Ecuaciones fraccionarias Observemo& la forma de resolver ecuaciones fraccionarias. Ejemplo Resolvamos la ecuación: .Lx + ..3. = .L 342 Solución Hallamos el denominador común: Dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo: -±- x +.-2.- = -º- 12 12 12 Transponiendo términos: 3....x = -3 12 12 1; Ui)x = (~;)(~) x =_.3. 4 Eliminando denominadores: Una ecuación es fraccionaria, cuando los coeficientes son números fraccionarios. Ejercicio 6.12 Resuelve las siguientes ecuaciones . a) .3K_.l=l 4 4 4 3x-2 x-3 3 --+--=- 428 .l+2=L 5 6 60 g) e) 1. y_.l = _1 3 8 24 .1 t- 6 = _1 5 10 K+.l=l 5 4 2 ..9.x-l=3 5 6 b) f) c) h) j) .1.w_~=_l 7 14 28 j) ls=1.+Í- 9 9 36 k) lm+.l=_l 3 5 15 1) la-.l=_l 6 8 12 Ecuaciones racionales Veamos qué sucede cuando la incógnita o variable aparece en el denominador de UIU fracción algebraica. Ejemplo Resolvamos: ~ - 1 = _3_ x-l x+l Solución Ecuación dada: ~_1=_3_ x-l x+l Hallamos el m.c.m. de los denominadores: :-==:=~I - ~I ~~ (x-l)(x+l) (x-l)(x+1) - (x-l)(x+l) Dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos por el numerador respectivo: x(x+l)(x-l)(t+l) (x - 1) (x + 1) = 3 (x - 1) (x-l)(t+l) (x-l)(t+l) Efectuando las operaciones indicadas: X2+X-x2+1 3x-3 -:(x---=l:-:-) (t:--+-l::-:-) = -(x---I-) (t-+-l-) Simplificando: x+l = 3x-3 Transponiendo términos: 1+3 = 3x-x Resolviendo para x: 4 = 2x Simplificando: ~=x 2 2=x Luego la solución es x = 2 Ecuaciones racionales son las que tienen la variable en el denominador. Para resolver una ecuación racional, se procede asf: Se determina el m.c.m. de los denominadores, que viene a ser el común denominador. Se divide el m.C.m. por cada denominador y el cociente resultante en cada caso se multiplica por el numerador respectivo. Se efectúan las operaciones indicadas, agrupando t~rminos semejantes y por último se despeja la incógnita o variable. Determina el valor de la variable (incógnita) en cada caso. a) x- 48 =-8 x l-2=11 7y Y _6_ =_8_ n-8 n+10 1 - 2 + 1= 4 x x x k) x-1 = 1- x 3 x-1 = 1- x-2 2 _2_ = _3_ x-2 x-1 n) 2- x= 1 2x-2 3x -2 = O x-1 b) x-N = 3 x c) x+ li = 8 x x-2= 1- x+3 4 m +5= 1- m-1 5 x-3 = _3_ x-S x-S _5_ = _3_ x+ 6 x-8 2. Determina el valor de la variable en cada caso. -.lL = -±z+2 z-2 x +2 _ 2 + L = O 3x-6 3p+6 9 _7_ = _2_ y-3 y+2 .5. = v-3 v 2 m) x + m _ x + n = m2 + n2 - 2 m n mn n) 3z-2 _ 16-3z = z.±.1 15 z+6 5 ..L + 1l. = 1l. + 1 x t t o) m+l - 5m-6=0 4 p) 3x+ 2 _ x -1= A. 4 3 3 e)~=~ y-4 6 --L+J..=L 4m m 8 --L = .1 z+2 z ~ _ 2 = e-8 e+2 e-2 h) Se - ~ + 6 = O e+1 s) 2x+4 _ 3x-6 = l 5 4 20 j) K..±.5. _ L = í 2x 3x 12 j) d . __ 2_ = d - 1 d-3 3 - d _4_ + L _1 = O 3k-2 3k k Sx + 1 O = 4x + 8 (x+2) x2-4 u) 16x+3 = O 5 v) 18. - .1 = l x x 3 RESUMEN DE LA UNIDAD Fracciones algebraicas. Son expresiones de la forma :' con b '#. O. y a y b son polinomios algebraicos, de una e más variables. Valores admisibles de una variable: Es el conjunto de todos los valores de la variable, que hacen que el denominador de un fracción algebraica, sea diferente de cero. M.C.D. de expresiones algebraicas: Se halla el M.C.D. de los coeficientes (pan numérica), luego se escriben a continuació de éste, las letras comunes (parte literal) cm: su menor exponente. m.c.m. de expresiones algebraicas: Se halla el m. c.m. de los coeficientes y se agregan a éste las partes literales comunes y n comunes con su mayor exponente. Relación: M.C.D. m.c.m.: Dadas dos expresiones a, b, cualesquiera, se cumple que: a x b = M.C.D. (a, b) x m.c.m. (a,b). Reducción de fracciones algebraicas: A términos mayores: Si a, b, k son polinomios, donde b'#. 0, k '#. O, se cumple que !! = axk b b xk Operaciones: A términos menores: Sip, q, k, son polinomios, donde q '#. ° Y k '#. 0, se cumple que pxk = !!... q xk q Si a, b, p, q son polinomios, con b '#. 0, q '#. O entonces: ~ + e.. = (axq)+(bXp) A. b q bxq b q bxq !!xe.. = axp b q b xq ª- + e.. = !! x !I= a xq b q b P bxp RC/C/OS DE REPASO Reduce (simplifica), las siguientes expresiones racionales. a) 5x2y2d) 30x3y4z& g) x3-27 25xy 30x2y4zs x2+3x+9 b) 3m3nse) x2-9 h) x3-1 Ox2 + 25x 9m2n4 x2+6x+9 x2-25 c) 56a4b6c f) m2-4 j) 4a2 +32a+ 64 112a4b6 m2-5m +6 a2-16 Completa la amplificación colocando en el respectivo rectángulo, la expresión correcta. a) 13x2y3 = 30xsy6 d) m-3 --- 8z3 I Im+5 m2-25 b) 5~n6I I e) a-2 = = 7a4 b3 35a4b3 a2-2a+4 a3+8 ~ ~= c) f) = 3a+3b 6a2_6b2 m-n m2_n2 3. Determina el M.C.D. de las siguientes expresiones. a) a2~c; 5ab¿ g) 3x2; x2 - 9; x2 - 5x + 6 b) 3m3n2·9mn3 h) 15x2y3; 5x2 - 125; x2 - 1 Ox + 25 , c) 15Ky; 45xy3; 5x2y4 j) ~ - 27; x2 - 5x + 6; 3x2 - 9x d) 3m4n3; 9m2n4; 18m3n4 j) (x + 6)2; ~ + 216; 2x + 12 e) 5a4b3c; 10a3b4¿; 15ab¿ k) x2 - 2x + 1; x2 - 1; 2x - 2 :;: f) 7p4cf, 14p3cf5l; 28~cf~ 1) 3x2 + 15x + 18; ~ + 8; 5x2 + lOx 4. Determina el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas. a) ~y ; m4n2 g) 15x2y3; x2 - 16; x2 - 8x + 16 b) 6a3~. 10a4bc h) 25a2b3c4; x2 - 25; K + 125 , el 5m4n2. 25m3n6x j) x2 + 9x + 20; x2 - 16; (x + 5)2 , d) 4a4~; 10a3¿ j) (x+2)(x2-2x+4); x2 +4x+4; x2 + 9x+ 20 e) 2~y3; 20Ky4; 25~y4z k) (x + 3)(x - 3); x2 + 7x + 12; x2 - 16 f) 12m3n2c.t; 26m5n3; 36m4n3¿> 1) 3x + 3; x2 + 2x + 1; x2 - 1 5 Efectúa las siguientes operaciones indicadas. al 7 -3x= 2+4x x x m-2x m+2 m+3 m2-3m+9 bl 6-4y + 2=.x y+l y+1 j) 3x2-108x ---..5.- 15 x+6 el 7m-2 __ 6m_-_1 m-1 m-1 k) a - 3 x 'ª--±.1 a+2 a-2 x2+2 _ x -2 x2-1 x-1 1) x-9 x+1 x+9 e) 2x+1+ _x_ x2-6x+9 x2-9 15x-5x x +4 5x+20 x-1 _2 __ ~+x2+3x+3 x+ 5 x-1 X2 +4x-5 x+2 x+3 x2-3x+9 +--- x-2 g)~ 3m-1 m + 10m2+ m 3m + 1 9m2-1 m2-25 o) + 3m2-12 m-S 3m-6 2a2+12a + 3a+18 p) a2- a 4a3-4a 6 Determina el valor de la incógnita (variable) en cada uno de los siguientes casos. K - í = ± 3 12 9 g) _7_ -1. = 3 m-2 2 K - K = l 432 h) x+3 _ K = 4 2 3 el m-2+1.=..1 324 i) 5m +5 = 3 m-1 3b - 5 = l 4 4 2a-3-~=1 9 6 e) n+ 5 - L = í 2n 3 n 12 1. -~ = _2_ 3 9z2-1 3z-1 5m2-27m - -l = m-6 f) 60+ 1 = _5_ t2 -36 t-6 1) 5m+3 m

Fracciones algebraicas

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