1. CENTRO UNIVERSITÁRIO PARA O DESENVOLVIMENTO
DO ALTO VALE DO ITAJAÍ – UNIDAVI
ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO E MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
PROF. FERNANDO ANDRADE BASTOS
ALUNAS: JENNIFER LUIENE MACHADO
THAYSE PERINI APARICIO
MÉTODO DA BISSECÇÃO
RIO DO SUL, 31 DE AGOSTO DE 2014

2. 2
CENTRO UNIVERSITÁRIO PARA O DESENVOLVIMENTO
DO ALTO VALE DO ITAJAÍ – UNIDAVI
ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO E MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
PROF. FERNANDO ANDRADE BASTOS
ALUNAS: JENNIFER LUIENE MACHADO
THAYSE PERINI APARICIO
MÉTODO DA BISSECÇÃO
Trabalho para a disciplina de Cálculos e
Métodos Numéricos Computacionais
apresentado ao curso de Engenharia Civil
da Área de Ciências Naturais, da
Computação e Engenharias do Centro
Universitário para o Desenvolvimento do
Alto Vale do Itajaí.
Prof. Fernando Andrade Bastos.
RIO DO SUL, 31 DE AGOSTO DE 2014

3. 3
ÍNDICE
Método da Bissecção
O que é? Definição..........................................................................................................4
Como calcular..................................................................................................................5
Algoritmo do Método da Bissecção ...............................................................................7
Referências ....................................................................................................................8

4. 4
Método da Bissecção
Método da Bissecção – O que é? Definição.
Existe um grande número de métodos numéricos que são processos
iterativos. Como o próprio nome já diz, esses processos se caracterizam pela
repetição de uma determinada operação. A idéia nesse tipo de processo é
repetir um determinado cálculo várias vezes, obtendo-se a cada repetição ou
iteração um resultado mais preciso que aquele obtido na iteração anterior. E, a
cada iteração utiliza-se o resultado da iteração anterior como parâmetro de
entrada para o cálculo seguinte. Este tipo de método, na maioria das vezes,
não obtém solução exata para as raízes, mas sim uma solução aproximada
dentro de uma faixa de erro considerada aceitável. Um desses Métodos que se
caracterizam pela repetição de uma operação é o da Bissecção, sendo que
este determina uma raiz x de uma função f(x) num intervalo [x1, x2] Є Ɍ onde
f(x1)*f(x2)<0. A idéia como já dita é diminuir o intervalo através de repetidas
divisões ao meio do intervalo [x1, x2], de tal forma que o valor de x1 tenda ao
valor de x2, ou seja, que a raiz x ≈ x1 ≈ x2 e que a função f(x) seja
aproximadamente nula dentro de uma certa tolerância.
O Método da Bissecção tem a propriedade de sempre convergir para
uma solução, além de ter a vantagem de ser muito claro e simples de ser
implementado. Entretanto, tem a convergência muito lenta e uma aproximação
intermediária boa pode ser descartada. Por estas razões, o Método da
Bissecção é muito usado no início da aplicação de outros métodos mais
eficientes.

5. 5
Método da Bissecção – Como calcular.
O princípio fundamental do método da bissecção consiste em localizar a
raiz em um intervalo [x1, x2], onde a função é estritamente crescente ou
estritamente decrescente e considerar a raiz aproximada como o ponto médio
desse intervalo, ou seja, a raiz será (x1 + x2)/2 ou (a+b)/2.
Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas, devemos
ter f(x1)* f(x2) < 0.
Nesta consideração o erro cometido será menor ou igual à metade da
amplitude do intervalo [x1, x2]. Sendo assim: erro= ε <lx2-x1l >.
Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois intervalos
de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo anterior. Para isso,
tomemos x3 = (x1 + x2)/2.
A raiz estará no intervalo [x1, (x1+x2)/2] se f(x1)*f((x1+x2)/2) < 0, caso
contrário ela estará no intervalo [(x1+x2)/2, x2].
A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto médio do
intervalo se aproxime cada vez mais da raiz. Assim, o processo deverá ser
continuado até que se obtenha uma aproximação com erro inferior ao
solicitado.
Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bissecção consiste em
reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do
intervalo.
Considerando o intervalo [a, b]:
푎 + 푏
2
• Se f(a)*f (
) <0, o novo intervalo é [a, (a + b)/2]
푎+푏
2
• Se f(b)*f (
) < 0, o novo intervalo é [(a + b)/2, b]
Tendo em vista esses passos, também temos que:

6. 6
푏−푎
2푘 ≤ ε → k ≥
log(푏 −푎)−log(ε)
log(2)
Sendo assim, podemos esquematizar resumidamente este método num
ciclo:
Intervalo Inicial : [ a0, b0 ] = [ a, b ]
Repetir : 1) xn+1 = ( an + bn) / 2
2) Se f (xn+1) f(an) < 0
Então an+1 = an; bn+1 = xn+1
Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn
Até que : f(xn+1) = 0 ou |xn+1-xn| < ε
Podemos perceber que a convergência é lenta, sendo um método de
quebra, onde esses são os mais intuitivos geometricamente. Esses métodos
são assim chamados porque a partir de um intervalo que contenha uma raiz da
função, vai-se particionando este intervalo em outros menores, que ainda
contenham a raiz.
O método númerico da bisseção pode ser utilizado com o uso apenas de
uma calculadora e temos controle sobre a precisão desejada para a
aproximação obtida. Entretanto, para ser aplicado requer o conhecimento
prévio de um intervalo contendo um zero. Um gráfico da função pode apontar
este intervalo.

7. 7
ALGORITMO DO METODO DA BISSECÇAO;
VAR x, a, b, precisao : real;
// a E b SAO, RESPECTIVAMENTE, O PONTO INICIAL E O PONTO FINAL DO INTERVALO, f
É A FUNÇÃO DEFINIDA E precisao É A PRECISAO FORNECIDA.
INICIO
SE f(a) * f(b) < 0 ENTAO;
INICIO
x ← ( a + b ) / 2;
ENQUANTO | f( x ) | > precisao FAÇA
INICIO
SE f(a) * f(b) < 0 ENTAO
a ← x;
SENAO
b ← x;
x ← ( a + b ) / 2;
FIM;
ESCREVA (‘A RAIZ DO INTERVALO DADO É ’, x );
FIM;
SENÃO
ESCREVA (‘NÃO HA RAIZES NO INTERVALO’);
FIM.

8. 8
REFERÊNCIAS
Cavalcanti, Jorge. Resolução Numérica de Equações. Disponível em:
<http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/4CN_Parte2.1_Metodos.pdf> Acesso:
Agosto de 2014
Andretta, Marina. Determinação de raízes de funções: Método da Bissecção.
Disponível em: < http://www.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0100-2-
12/aula8-bisseccao.pdf> Acesso: Agosto de 2014.
Autor Desconhecido. Resolução Numérica de Equações. Disponível em:
<http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/bissec.pdf>
Acesso: Agosto de 2014.