Slicnost trouglova
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Slicnost trouglova

on

  • 11,588 views

 

Statistics

Views

Total Views
11,588
Views on SlideShare
11,580
Embed Views
8

Actions

Likes
1
Downloads
99
Comments
0

1 Embed 8

http://aaccaa1997.wordpress.com 8

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Slicnost trouglova Slicnost trouglova Document Transcript

  • SLIČNOST TROUGLOVAZa dve figure F i F1 kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti kojafiguru F prevodi u figuru F1 . Činjenicu da su dve figure slične obeležavamo sa F F1 .Sličnost bi neformalno mogli da opišemo kao:Sličnost je preslikavanje neke figure F u figuru F1 tako da je razmera odgovarajućih duži figura F i F1 isti broj iako su odgovarajući uglovi jednaki. Za utvrđivanje sličnosti trouglova koristimo četiri stava: C  C1 1 b a a1 b1   1 1 A B A1 c1 B1 c I stav Dva trougla ABC i A1 B1C1 su slična ako i samo ako je jedan par stranica jednog trougla proporcionalan paru stranica drugog, a uglovi zahvaćeni ovim stranicama jednaki su među sobom. II stav Trouglovi ABC i A1 B1C1 su slični ako i samo ako su dva ugla jednog trougla jednaka sa dva odgovarajuća ugla drugog. III stav Trouglovi ABC i A1 B1C1 su slični ako i samo ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne. IV stav Dva trougla ABC i A1 B1C1 su slična ako i samo ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne odgovarajućim stranicama drugog , uglovi naspram dveju od tih odgovarajućih stranica jednaki, a naspram drugih dveju odgovarajućih stranica su oba ugla oštra , oba prava ili oba tupa. www.matematiranje.com 1
  • U zadacima , pošto zaključimo da su neka dva trougla slična, primenjujemo : a : a1  b : b1  c : c1  O : O1  k Naravno : O  a  b  c je obim prvog trougla a O1  a1  b1  c1 je obim drugog trougla k je koeficijent sličnostiOvu gornju jednakost možemo zapisati i sa : a : b : c  a1 : b1 : c1 Vrlo lako možemo zaključiti da važe i sledeće proporcionalnosti: a : a1  ta : ta1  ha : ha1 b : b1  tb : tb1  hb : hb1 c : c1  tc : tc1  hc : hc1 P : P  a 2 : a12  b 2 : b12  c 2 : c12 1 Naravno ovde su : t- težišne duži, h – visine i P – površine sličnih trouglova.primer 1. Na crtežu su dati podaci o trouglovima ABC i PQR. Odrediti dužine stranica PQ i PR trougla PQR. Q 4cm  C R 12cm 6cm   A 15cm B  P www.matematiranje.com 2
  • Rešenje: Uočimo najpre da su trouglovi slični po II stavu o sličnosti trouglova. Dalje predlažemo da sa crticama obeležite koja kojoj stranici odgovara. Pogledajte na sledećoj slici: Q 4cm  C 12cm R 6cm  A B 15cm P Kako imamo podatke za najmanje duži ( sa po jednom crvenom crtkom) one će biti na početku proporcije... BC : RQ  AC : PR BC : RQ  AB : PQ 6 : 4  12 : PR 6 : 4  15 : PQ 6  PR  4 12 6  PQ  4 15 48 60 PR  PQ  6 6 PR  8cm PQ  10cmprimer 2. Ako su oznake i podaci kao na priloženom crtežu, odrediti dužinu zajedničke stranice BC trouglova ABC i CBD. C    B 3cm D 6cm  A www.matematiranje.com 3
  • Rešenje: Kao i u prethodnom primeru, trouglovi ABC i BCD su slični po II stavu , jer imaju po dva odgovarajuća ugla jednaka. I ovde ćemo upotrebiti trik sa crticama... C   B 3cm D 6cm A Uočimo dalje da nam stranice sa po tri crtice ( najduže) ne trebaju, jer nijedna od njih nema datu dužinu. Moramo paziti jer je zajednička stranica BC istovremeno najkraća za trougao ABC i srednja po dužini za trougao BDC. Dakle: AB : BC  BC : BD 6 : BC  BC : 3 BC  BC  6  3 2 BC  18 BC  18 BC  9  2  3 2primer 3. Stranice trougla ABC su a = 12cm , b = 18cm, c = 8cm. Odrediti obim njemu sličnog trougla čija je najduža stranica 27cm.Rešenje: 4
  • Ovde ćemo upotrebiti: a : a1  b : b1  c : c1  O : O1  k Najpre se pitamo : koja je to stranica u sličnom trouglu data? Pa pošto je b najduža stranica u prvom trouglu , to je b1  27cm . Dalje računamo obim prvog trougla: O  abc O  12  18  8 O  38cm Sada koristimo deo ove velike proporcije koji nam treba: b : b1  O : O1 18 : 27  38 : O1 18  O1  27  38 27  38 O1  18 O1  57cmprimer 4.Dva trougla su slična. Zbir dve odgovarajuće visine je 121cm a koeficijent sličnosti je 1,75. Odrediti visine.Rešenje:Recimo da se radi o visinama koje odgovaraju stranici a , odnosno a1 . Tada je: ha  ha1  121A pošto znamo koeficijent sličnosti, onda je ha : ha1  1, 75 . Upakujmo sad ove dve jednakosti:ha : ha1  1, 75  ha  1, 75  ha1ha  ha1  1211, 75  ha1  ha1  1212, 75  ha1  121 121ha1  2, 75ha1  44cmha  1, 75  ha1  ha  1, 75  44  ha  77cm www.matematiranje.com 5
  • primer 5. Osnovice jednakokrakog trapeza ABCD su 12cm i 8cm, a njegova visina 3cm. Ako se prave AD i BC seku u taćki E, odrediti dužinu visine EF trougla ABE.Rešenje: x 8cm N 3cm F 12cm Uočimo slične trouglove ABE i DCE , koji kao i u prethodnim zadacima imaju jednake uglove. Uočimo visinu trougla ABE koja je očigledno EF = 3 + x i visinu trougla DCE koja je EN = x. a : a1  ha : ha1 12 : 8  (3  x) : x 12 x  8(3  x) 12 x  24  8 x 12 x  8 x  24 4 x  24 x  6cm Dakle, visina trougla EF = 3 + x = 3 + 6 = 9 cm www.matematiranje.com 6
  • primer 6.Marko je visok 1,5 m i stoji pored jarbola koji je ortogonalan na vodoravnom pločniku. U jednom trenutku,dužine senki Marka i jarbola su 0,5 m i 6 m. Odrediti visinu tog jarbola.Rešenje: jarbol x Mare 1,5m 6m 0,5m Uočimo slične trouglove i postavimo proporciju: x :1,5  6 : 0,5 0,5  x  6 1,5 6 1,5 x 0,5 x  6  3  x  18mNaravno , sličnost se primenjuje i kod četvorouglova, petouglova...Evo par primera:primer 7.Stranice četvorougla odnose se kao 20:15:9:8 , a zbir dve manje stranice njemu sličnog četvorougla je25,5cm. Odrediti stranice drugog četvorougla. www.matematiranje.com 7
  • Rešenje:a : b : c : d  20 :15 : 9 : 8  a1 : b1 : c1 : d1  20 :15 : 9 : 8Iz proporcije vidimo da su najmanje stranice c i d, odnosno c1 i d1 .Onda mora biti: c1  d1  25,5a1 : b1 : c1 : d1  20 :15 : 9 : 8 a1  20kb1  15kc1  9kd1  8kOvo zamenimo u : 25,5c1  d1  25,5  9k  8k  25,5  17k  25,5  k   k  1,5 17a1  20k  a1  20 1,5  a1  30cmb1  15k  b1  15 1,5  b1  22,5cmc1  9k  c1  9 1,5  c1  13,5cmd1  8k  d1  8 1,5  d1  12cmprimer 8.Stranice petougla su 35mm,14mm,28mm,21mm i 42mm. Najmanja stranica njemu sličnog petougla je12mm. Odrediti dužine ostalih stranica ovog petougla.Rešenje:a  35mmb  14mmc  28mmd  21mme  42mmU zadatku kaže najmanja stranica sličnog petougla je 12mm, jasno je da to mora biti b1  12mmKako važi da je : 8
  • a b c d e     ka1 b1 c1 d1 e1b 14 7 k k   k b1 12 6Našli smo koeficijent sličnosti, vraćamo se da nadjemo dužine ostalih stranica… a 6a  35mm   k  a1  35   5  6  30mm a1 7 b 6b  14mm   k  b1  14   2  6  12mm b1 7 c 6c  28mm   k  c1  28   4  6  24mm c1 7 d 6d  21mm   k  d1  21   3  6  18mm d1 7 e 6e  42mm   k  e1  42   7  6  42mm e1 7 9