• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Logaritmi
 

Logaritmi

on

  • 7,595 views

 

Statistics

Views

Total Views
7,595
Views on SlideShare
7,595
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
90
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Logaritmi Logaritmi Document Transcript

    • www.matematiranje.com LOGARITMILogaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a dabi se dobilo pozitivan broj b. (a > 0, a ≠ 0) ili log a b = x ⇔ b = a xVažno: b > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je a ∈ R, a ≠ 1, i a > 0b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza)Osnovna svojstva logaritma 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( xy ) = log a x + log a y x 4. log a = log a x − log a y y 5. log a x n = n log a x 1 6. log a s x = log a x s 1 7. log a b ⋅ log b a = 1 tj. log a b = log b a log c b 8. Za prelazak na neku novu bazu c: log a b = log c a 9. a log a b = b→ Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju selog10 x = log x(Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10)→ Ako je osnova (baza) a=e ( e ≈ 2,7 ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI Ioznačavaju se log e x = ln x→ Moramo voditi računa o zapisu: (log a x )2 = log 2 x = log a x ⋅ log a x a log a x 2 = log a x ⋅ x = 2 log a xUpoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere: 1
    • www.matematiranje.comIzračunati:1) log 5 1 = ? Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, log 6 1 = ? od jedinice rešenje je 0 ( log a 1 = 0 ) log 1 1 = ? 2 log 1 = ? ln 1 = ?2) log12 12 = ? Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je log a a = 1 2 PAZI: log 10 = log10 10 = 1 log 2 =? 3 3 ln e = log e e = 1 log10 = ? ln e = ?3) a) log 6 2 + log 6 3 = ? b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = ?Primenićemo svojstvo 3: log a x + log a y = log a ( xy )Dakle: a) log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ( po drugom svojstvu)=1 b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = log 30 (2 ⋅ 5 ⋅ 3) = log 30 30 = 14) a) log 5 10 − log 5 2 = ? b) log 2 20 − log 2 10 = ? xPrimenićemo: log a x − log a y = log a yDakle: 10 a) log 5 10 − log 5 2 = log 5 = log 5 5 = 1 2 20 b) log 2 20 − log 2 10 = log 2 = log 2 2 = 1 10 2
    • www.matematiranje.com5) Izračunati: a) log 2 8 = ? 1 b) log 5 =? Ovde ćemo upotrebiti log a x n = n log a x 125 n 1 v) log a 5 a 2 = ? Podsetnik: m an = a m i = a −n ana) log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3b) 1 1 log 5 = log 5 3 = log 5 5−3 = −3log 5 5 = −3 ⋅1 = −3 125 5v) 2 2 2 2 log a a = log a a = 5 2 5 log a a = ⋅1 = 5 5 56) Izračunati: a) log81 3 = ? b) log 2 2=? v) log 3 27 = ? 1Ovde ćemo upotrebiti da je log a s x = log a x s 1 1 1a) log81 3 = log 34 3 = log 3 3 = ⋅1 = 4 4 4 1b) log 2 = log 1 2 = log 2 2 = 2 ⋅1 = 2 2 22 1 2 1v) log 27 = log 1 33 = 3 ⋅ log 3 3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 3 32 1 2 3
    • www.matematiranje.com7) Izračunati: a) log 5 2 ⋅ log 2 5 = ? Važi: b) log10 15 ⋅ log15 10 = ? log a b ⋅ log b a = 1Dakle rešenja oba ova zadačića je 1.8) Izračunati: a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 = ? b) Ako je log 5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ? Rešenje: log c bOvde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: log a b = log c aa) log 2 log 3 Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: log 3 2 = ; log 4 3 = , log 3 log 4itd.Dakle: log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 log 2Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ = = (sad vidimo da je bilo bolje da log 8 log c auzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u = = log b a ) log c b 1 1 1= log8 2 = log 23 2 = log 2 2 = ⋅1 = 3 3 3b) log 5 2 = a ∧ log 5 3 = b 4
    • www.matematiranje.com log 5 100log 45 100 = (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) = = log 5 45 log 5 102 2 log 5 10 2 log 5 (5 ⋅ 2) 2 ( log 5 5 + log 5 2 )= = = = = log 5 (5 ⋅ 9) log 5 5 + log 5 9 1 + log 5 32 1 + 2 log 5 3 2(1 + log 5 2) 2(1 + a )= = 1 + 2 log 5 3 1 + 2b9) Izračunati: a) 3log3 81 = ? Primenjujemo: b) 10 log 5 = ? a log a b = ?Dakle: 3 log3 81 = 81 i 10 log 5 = 5Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još nekeosnovne tipove zadataka:1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10. x⋅ y a) A = z x2 ⋅ y3 b) B = z5 3 x v) C = 5 y2 ⋅ y d) D = 3 5 x 4 y 3Rešenja:a) x⋅ y A= z xy log A = log = log( xy ) − log z = log x + log y − log z zb) x2 ⋅ y3 B= z5 x2 ⋅ y3 log B = log 5 = log( x 2 ⋅ y 3 ) − log z 5 = log x 2 + log y 3 − log z 5 = z = 2 log x + 3 log y − 5 log z 5
    • www.matematiranje.comv) 3 n 1 x C= PAZI: m an = a m , a = a2 5 y2 ⋅ z ( )   3 1 2 1 x log C = log = log 3 x − log 5 y 2 ⋅ z = log x 3 −  log y 5 + log z 2  = 5 y2 ⋅ z   1 2 1 = log x − log y − log z 3 5 2g) D = 3 5x 4 y 3 1 4 D = 3 5 x 4 y 3 = 3 5 3 x 4 3 y 3 = 5 3 ⋅x 3 ⋅ y  1 4  log D = log 5 3 ⋅ x 3 ⋅ y      1 4 = log 5 + log x + log y 3 32) Rešiti po x jednačine: a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log 15 b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H 1 v) 2 log x − 3 log a = log 5 + log b + log c 2Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemoizraz log x = log ⊗, ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimologaritme i dobijemo x = ⊗a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log 15 SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kaostepen numerusa!!! n log a x = log a x n log x = log 4 + log 52 + log 6 − log15 4 ⋅ 25 ⋅ 6 log x = log 15 600 log x = log 15 log x = log 40.................. / ANTILOGARITMOVANJE x = 40 6
    • www.matematiranje.comb) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H log( x ⋅ 3) = log r 2 + log π + log H log(3 x) = log(r 2π H )....................................... / ANTILOGARITMOVANJE 3 x = r 2π H r 2π H x= ...............................................(V kupe) 3v) 1 2 log x − 3log a = log 5 + log b + log c 2 1 log x − log a = log 5 + log b + log c 2 3 2 x2 log = log 5 ⋅ b ⋅ c ................. / ANTILOGARITMOVANJE a3 x2 = 5b c a3 x 2 = 5a 3 b c x = 5a 3 b c3) Ako je log14 7 = a i log14 5 = b Izračunati log 35 28 = ?Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14. 196 log14 7 = log14 196 − log14 7 = log14 14 − log14 7 = 2 log14 28 log 35 28 = = log14 35 log14 (7 ⋅ 5) log14 7 + log14 5 log14 7 + log14 5 2 log14 14 − log14 7 2 − a = = log14 7 + log14 5 a+b 196 14 2Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 28 = = . Probajte razne 7 7opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!! 7