Your SlideShare is downloading. ×
Iracionalne jednacine
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Iracionalne jednacine

10,779
views

Published on


0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
10,779
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
91
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. www.matematiranje.com IRACIONALNE JEDNAČINEPod iracionalnom jednačinom podrazumevaju se jednačine kod kojih se nepoznata nalazipod korenom.U opštem slučaju ove jednačine se ne mogu rešiti. Mi ćemo proučiti neke prostijeslučajeve.Važno: Jednačina a ( x) = b( x) je ekvivalentna sistemu a ( x) = b 2 ( x) ∧ b( x) ≥ 0Primer 1: Rešiti jednačinu: x + 7 = x +1 x + 7 = ( x + 1) 2 ∧ x +1 ≥ 0 ∧ x + 7 ≥ 0 ovo zbog korena x + 7 = x2 + 2x +1 ∧ x ≥ −1 ∧ x ≥ −7 x2 + 2x +1− x − 7 = 0 x2 + x − 6 = 0 −1± 5 x1, 2 = a =1 2 b =1 x1 = 2 c = −6 x 2 = −3Moramo proveriti da li su rešenja ‘’dobra’’ tj. da li zadovoljavaju x ≥ −1 i x ≥ −7x1 = 2 je dobrox2 = −3 nije jer x2 = −3 ≥ −1 nije tačno. Dakle, jedino rešenje je x=2Primer 2: Rešiti jednačinu: 1 + x 2 − 9 = x 1 + x 2 − 9 = x Ovde najpre ostavimo koren na jednu stranu, a sve bez korena prebacimo na drugu stranu x2 − 9 = x −1Sada postavljamo ekvivalenciju: 1
  • 2. www.matematiranje.com x 2 − 9 = ( x − 1) 2 ∧ x −1 ≥ 0 ∧ x2 − 9 ≥ 0 x2 − 9 = x2 − 2x +1 x ≥1 x1 = 3 2x = 1+ 9 x2 = −3 2 x = 10 x=5 x ∈ (− ∞,−3] ∪ [3, ∞ )Obavezno proverimo dal rešenje zadovoljava uslove: x ≥ 1 i x ∈ (− ∞,−3] ∪ [3, ∞ )Pošto zadovoljava → x=5 je rešenjePrimer 3: Rešiti jednačinu: 12 − x x 2 − 8 = 3 12 − x x 2 − 8 = 3 /() 2 → 12 − x x 2 − 8 ≥ 0 ∧ x 2 − 8 ≥ 0 1.uslov 2.uslov 12 − x x 2 − 8 = 9 − x x 2 − 8 = 9 − 12 3 3 − x x 2 − 8 = −3 → x 2 − 8 = ⇒ ≥0⇒ x>0 x x 3.uslov x − x 2 − 8 = 3 /() 2 x 2 ( x 2 − 8) = 9 x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 → ovo je bikvadratna jednačina x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 → smena x 2 = t t 2 − 8t − 9 = 0 8 ± 10 t1, 2 = 2 t1 = 9 t 2 = −1 x 2 = 9 ∨ x 2 = −1 x 3, 4 = ± i x1 = 3, x2 = −3Kad je ovako zamršena situacija sa uslovima, kao sada, a dobili smo rešenja x1 = 3 ix2 = −3 , zamenite rešenja u početnu jednačinu, da vidite da li su ‘’dobra’’! 2
  • 3. www.matematiranje.com 12 − x x 2 − 8 = 3 12 − 3 32 − 8 = 3 12 − 3 ⋅1 = 3 9 =3 3=3Dakle x=3 jeste rešenje x −3⇒ 12 − x x 2 − 8 = 3 12 − 3 9 − 8 = 3 12 + 3 = 3 15 = 3Natačno, dakle x=-3 nije rešenjeDakle x=3 je jedino rešenja!!!Drugi tip zadataka koji ćemo proučiti je oblika: a ( x ) ± b( x ) = c ( x )Važno:Ovde moramo najpre odrediti zajedničku oblast definisanosti funkcija a (x) i b(x)odnosno a( x) ≥ 0 i b( x) ≥ 0 , a kad dodjemo do oblika P( x) = Q( x) primenjujemo kaomalopre ekvivalenciju da P ( x) = Q( x) 2 ∧ Q( x) ≥ 0 . Opet vam savetujemo da ako se nesnalazite sa uslovima, dobijena rešenja ‘’proverite’’ u početnu jednačinu.Primer koliko su važni uslovi:Reši jednačinu: x + − x =1Ovde mora biti x ≥ 0 i − x ≥ 0 , odnosno x ≥ 0 i x ≤ 0 jedino može biti x=0, a toočigledno nije rešenje!!!Primer 1: Reši jednačinu: 2x + 8 + x + 5 = 7Pre nego počnemo sa rešavanjem: 2x + 8 ≥ 0 i x+5≥ 0 x ≥ −4 i x ≥ −5 x ∈ [− 4, ∞ ) 3
  • 4. www.matematiranje.com 2 x + 8 + x + 5 = 7 /() 2 2 2 2x + 8 + 2 2x + 8 x + 5 + x + 5 = 72 2 x + 8 + 2 (2 x + 8)( x + 5) + x + 5 = 49 2 (2 x + 8)( x + 5) = 49 − 2 x − 8 − x − 5 2 (2 x + 8)( x + 5) = 36 − 3 x /() 2 → Pazi uslov 36 − 3x ≥ 0 4(2 x + 8)( x + 5) = (36 − 3x) 2 − 3 ≥ −36 4(2 x 2 + 10 x + 8 x + 40) = 1296 − 216 x + 9 x 2 x ≤ 12 8 x 2 + 40 x + 32 x + 160 − 1296 + 216 x − 9 x 2 = 0 − x 2 + 288 x − 1136 = 0 x 2 − 288 x + 1136 = 0 288 ± 280 x1, 2 = 2 x1 = 284 x2 = 4Da se podsetimo uslova: x ∈ [− 4, ∞ ) i x ≤ 12 , Dakle, jedino rešenje je x=4Primer 2: Reši jednačinu 7 x − 1 − 3 x − 18 = 5 uslovi su: 7 x − 1x ≥ 0 i 3 x − 18 ≥ 0 1 x≥ i x≥6 7 x ∈ [6, ∞ ) → Uslov 7 x − 1 − 3 x − 18 = 5Lakše nam je da jedan koren prebacimo pa onda da kvadriramo!!! 7 x − 1 = 5 + 3 x − 18 /() 2 7 x − 1 = 25 + 10 3 x − 18 + 3 x − 8 7 x − 1 − 25 − 3 x + 18 = 10 3 x − 18 4 x − 8 = 10 3 x − 18 / : 2 4
  • 5. www.matematiranje.com 2 x − 4 = 5 3x − 18 /() 2 → uslov 2 x − 4 ≥ 0 (2 x − 4) 2 = 25(3x − 18) x≥2 4 x 2 − 16 x + 16 = 75 x − 450 4 x 2 − 16 x + 16 − 75 x + 450 = 0 4 x 2 − 91x + 466 = 0 91 ± 825 x1, 2 = 8 91 ± 5 33 x1, 2 = 8 91 + 5 33 x1 = 8 91 − 5 33 x2 = 8Kad se ovako desi moramo naći približne vrednosti za x1 i x2 da bi videli da lizadovoljavaju uslove: x1 ≈ 14,97 x2 ≈ 7,78Pošto su uslovi x ≥ 6 i x ≥ 2Zaključujemo da su oba rešenja dobra.Primer 3: Reši jednačinu: x + 3 + x + 8 = x + 24Rešenje: Ovde moramo postaviti: 3 uslova: x+3≥ 0 x+8 ≥ 0 x + 24 ≥ 0 , , x ≥ −3 x ≥ −8 x ≥ −24Dakle, kad upakujemo ova 3 uslova x ≥ −3 x + 3 + x + 8 = x + 24 /() 2 2 2 x + 3 + 2 x + 3 x + 8 + x + 8 =2 x + 24 x + 3 + 2 ( x + 3)( x + 8) + x + 8 = x + 24 2 ( x + 3)( x + 8) = x + 24 − x − 3 − x − 8 2 ( x + 3)( x + 8) = 13 − x → uslov: 13 − x ≥ 0 − x ≥ −13 x ≤ 13 5
  • 6. www.matematiranje.com 4( x + 3)( x + 8) = (13 − x) 2 4( x 2 + 8 x + 3x + 24) = 169 − 26 x + x 2 4 x 2 + 32 x + 12 x + 96 − 169 + 26 x − x 2 = 0 3x 2 + 70 x − 73 = 0 − 70 ± 5776 − 70 ± 76 x1, 2 = = 6 6 x1 = 1 x2 = −24Da li su rešenja dobra?Uslovi su x ≥ −3 i x ≤ 13 , dakle x=1 je jedno rešenjePrimer 4: Rešiti jednačinu: 5+3 x + 5−3 x = 3 xRešenje: Ovde ćemo morati da uvedemo smenu:3 x =t 5 + t + 5 − t = t /() 2Uslovi: 5+t ≥ 0 i 5−t ≥ 0 t ≥ −5 − t ≥ −5 t ≤5 t ∈ [− 5,5] 5 + t + 5 − t = t /() 2 ( 5+t + 5−t )2 = t2 2 2 5 + t + (5 + t ) − (5 − t ) + 5 − t = t 2 5 + t + 2 25 − t 2 + 5 − t = t 2 2 25 − t 2 = t 2 /() 2 → uslova: t 2 − 10 ≥ 0 6
  • 7. www.matematiranje.com 4(25 − t 2 ) = (t 2 − 10) 2 4(25 − t 2 ) = t 4 − 20t 2 + 100 100 − 4t 2 = t 4 − 20t 2 + 100 t 4 − 16t 2 = 0 t 2 (t 2 − 16) = 0 t2 = 0 ⇒ t = 0 t 2 − 16 = 0 ⇒ t = +4, t = −4za t = 4 ⇒ 3 x = 4 ⇒ x = 64 jeste rešenjeza t = −4 ⇒ 3 x − 4 ⇒ x = −64 nije rešenjeza t = 0 ⇒ x = 0 nije rešenjeDakle x = 64 je jedino rešenje!!! 7