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Traslación, Giro de ejes y Determinación de curvas
 

Traslación, Giro de ejes y Determinación de curvas

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    Traslación, Giro de ejes y Determinación de curvas Traslación, Giro de ejes y Determinación de curvas Presentation Transcript

    • Traslación de ejes Giro de ejesDeterminación de curvas
    •  Adriana Bohórquez Jefferson Rivera Marco Ruiz Andrés Apolo Richard Chasiluisa Jefferson Antamba Jordan Tonato Carlos Ruiz Byron Cadmen
    • TRANSFORMACIÓNDE COORDENADAS
    • Es importante elegir un sistema de coordenadas, o referencia, adecuado con el objetivo que el proceso de resolución sea lo mas rápido posible . Ello se realiza mediante la transformación de ejes coordenados cuyo proceso esta en dos movimientos, rotación y traslación.
    • TRASLACIÓN DE EJES Es el cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original. El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva que nos permita trabajar con las ecuaciones mas simple .
    • ECUACION DE TRANSLACION
    • Designamos el nuevo origen por 0’(h, k),referidos al sistema de coordenadas x, y por elpunto 0’ trazamos rectas paralelas al eje x y aleje y, las que tomaremos como los nuevos ejesx’ y y’. Todo punto P(x, y) en el sistema originaltendrá P’(x’, y’) referidos al nuevo sistema deejes. Según la figura :
    • MP = x, NP = yQue son las coordenadas originales del punto P(x, y)Así mismo, tenemos:M’P =x’ , N’P = y’Que son las nuevas coordenadas del punto P’(x’, y’).De la figura tambien se deduce que:MP = M’P + MM’ = x’ + hNP = N’P +N’N = y’ + kSustituyendo: o tambien:x = x’ + h (1) x’ = x – h (3)y = y’ + k (2) y’ = y – k (4)Que son las ecuaciones de translación, mediante lascuales se puede hacer una translación paralela de losejes de coordenadas. Su conocimiento nos ayuda asimplificar muchos problemas de la geometría analítica, yse emplearan en la deducción de algunas formulas en lastemas correspondientes a la parábola, elipse e hipérbola
    • APLICANDO LAS FORMULAS DE TRASLACIÓN DE. EJES, REDUCIR LA ECUACIÓN, A SU FORMA MÁS SIMPLE Y ESTABLECER LA. NATURALEZA DE LA CURVA QUE REPRESENTA
    • Ya tratamos el procedimiento, mediante el cual, conuna traslación paralela de ejes, simplificamos lasecuaciones en particular de las curvas cónicas.Ahora simplificaremos, presentando un proceso llamadogiro de ejes de coordenadas, mediante el cualtransformaremos la ecuación de la formaAx²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 En otra que parece deltermino Bxy, Que siempre esta cuando los ejes focalesde la parábola, elipse están inclinados respecto a losejes de coordenadas.
    • Cuando un sistema de coordenadasrectangulares xy consideremos un nuevo par deejes x’y’ con el mismo origen, y referimos unpunto del primer sistema coordenadas alsegundo, efectuando un giro de ejes. Tambiénen el giro de ejes existe una relación entre lascoordenadas de un punto (x,y) y lascoordenadas del mismo punto (x’,y’) referido alnuevo sistema de ejes coordenados; con elobjeto de obtener dicha relación, llamaremosØ ala magnitud del ángulo medido en sentidopositivo desde la parte positiva del eje x, hastala parte positiva del nuevo eje x’, como semuestra en la figura adjunta.
    • y E D B A C x
    • Según la figura, considerando el puntoP(x,y), 0x y 0y son los ejes originales, entanto 0x’ y 0y’ son los nuevos ejes, despuésde haber girado un ángulo Ø alrededor delorigen.0A=x; AP=y que son las coordenadasprimitivas de P(x,y)Y que 0B=x’; BP=y’ , que son lascoordenadas del mismo punto P.
    • ECUACION DE GIRO
    • Sustituyendo (3) y (4) en (1) y (2), respectivamentetenemos:AP=OBsenØ+BPcosØOA=OBcosØ-BPsenØPero según la figura:OA=x; OB=x’AP=y; BP=y’Por lo que al sustituir en las expresiones anterioresquedan como:x=x’cosØ-y’senØ (I)y=x’senØ+y’cosØ (II)Que son las ecuaciones de giro de los ejes, aplicablespara cualquier posición del punto P y cualquier valor deØVeremos la aplicación de estas dos formulas que se usanpara simplificar ecuaciones mediante un giro de ejes, opara encontrar las coordenadas de un punto, pasando deun sistema de coordenadas a otro de en que los ejeshayan sido girados en determinado ángulo.
    • Ejemplo Obtener la ecuación de la curva dada por la ecuación , después de sufrir un giro de ánguloSOLUCIÓN: Las ecuaciones de giro son: Pero:
    • Reemplazando tenemos:Sustituyendo en al ecuación , tenemos:
    • Multiplicando por 4, tenemos: Sumando términos semejantes: Esta ecuación representa a la elipse , pero rotada en sentido horarioVerifiquemos esto gráficamente
    • Ejemplo Obtener la ecuación de la curva dada por la ecuación , después de sufrir un giro de ánguloSOLUCIÓN: Las ecuaciones de giro son: Pero:
    • Reemplazando tenemos:Factorizando la ecuación ,tenemos:Reemplazando en los valores de x y y, tenemos:
    • Esta ecuación representa la parábolarotada un ángulo deGráficamente.
    • DETERMINACIÓN DE LASCÓNICAS POR MEDIO DE SUSCOEFICIENTES
    • La ecuación respectiva de las cónicas en una de sus formas es:Ax² + Cy² +Dx + Ey + F =0 (1)En donde los coeficientes A,C,D,E Y F son numero s reales que determinanel tipo de curva correspondiente que en caso de existir tendremos la linea recta la circunferencia , la parábola, la elipse o una hipérbola.En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par derectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío.
    • Determinación del tipo de curva considerandolos coeficientes, A y C Tomando en consideración la forma de la ecuación (1) “, se nos presentan los siguientes casos. PRIMERO: Si los coeficientes A y C son iguales a cero, es decir : A=C=0 La grafica es una recta. De acuerdo a la ecuación (1) nos queda reducir a la forma: Dx+Ey+F=0 Que nos representa a la ecuación general de la línea recta, vista anteriormente. EJEMPLOS: 6x - 2=0 4x+5y+3=0
    • SEGUNDO: Si los coeficientes A y C son diferentes a cero, es decir; A≠0 y C≠ 0Y se cumple que:A=C≠0La grafica será una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.EJEMPLOS:6x² +6y² =365x² + 5y² – 10x +15y -24 =0TERCERO: También puede presentarse que uno de los coeficientes de las variablesal cuadrado sea igual a cero, por lo que la grafica de la curva será una parábola,una línea recta , dos líneas rectas o un conjunto vacío.EJEMPLOS:X² – 4y =0Y² -4x + 8 =0X² + 12y – 24 =0
    • CUARTO: si se cumple que el producto de los coeficientes A y C es un resultadomayor que cero, la grafica representara a una elipse, un punto o un conjuntovacío. Es decir que :(A) (C) > 0EJEMPLOS:5x² + 3y² + 15 =03x² + 2y² – 24x +6y = -60QUINTO: cuando el producto de los coeficientes A y C es un resultado menorque cero, la grafica es una hipérbola o dos líneas rectas que se intersectan.EJEMPLOS:X² –y² =85x²-4y²+2x – 1 =0
    • DETERMINACIÓN DEL TIPO DELA CURVAConsiderando el término Bxy
    •  En los temas correspondientes a la posición general de la parábola, elipse e hipérbola vio la ecuación general es: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 Los coeficientes de los términos de segundo grado son los que definen a la curva correspondiente, y que el término Bxy aparece solamente cuando la curva tiene los ejes inclinados con respecto a los ejes cartesianos. La elipse, la parábola y la hipérbola reciben el nombre general de curvas de segundo grado. También es muy común llamarlas cónicas, porque resultan de un cono de revolución al ser cortado por un plano.
    • DISCRIMINANTE DE LAECUACIÓN
    • A partir de la ecuación general Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, podemos saber deque cónica se trata recurriendo al binomio B² - 4AC, llamado discriminante de laecuación, el cual se representa con la letra D de donde: D = B² - 4AC Por lo cual tenemos los casos siguientes:Si D = B² - 4AC < 0 , se trata de una ELIPSESi D = B² - 4AC = 0 , se trata de una PARÁBOLASi D = B² - 4AC > 0 , se trata de una HIPÉRBOLAEs decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nosindica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbolarespectivamente
    • EJEMPLOS:1.- Determinar qué tipo de curva representa la ecuación 3x² + 4y² + 36x – 24y + 36 = 0 SOLUCIÓN Según la forma general de la ecuación (2) de segundo grado los coeficientes son: A = 3, B = 0 Y C = 4; sustituyendo estos valores, el discriminante queda: B² - 4AC = 0 – 4(3)4 = -12(4) = -48 < 0Es decir que D < 0 De acuerdo con el resultado la ecuación dada representa una elipse.
    • 2.- Identificar la curva correspondiente a la ecuación 7x² - 14xy + 7y² + 5x -23y + 34 = 0 SOLUCIÓN: Los coeficientes son : A = 7, B = -14 y C = 7 Calculamos el discriminante: B² - 4AC = (-14)² - 4(7)7= 198 – 198 = 0 Como: D = 0 La ecuación dada corresponde a una parábola.
    • 3.- Determinar a qué tipo de curva corresponde la ecuación x² - xy - 3x + 2y + 4 = 0 SOLUCIÓN: Los coeficientes en este caso son: A = 1; B = -1 y C = 0 Calculando el discriminante: B² - 4AC = (-1)² - 4(1)(0) = 1 – 0 = 1 > 0 Como: D > 0 La ecuación representa a una hipérbola.