Este documento describe cómo ajustar polinomios de Lagrange de segundo grado a conjuntos de tres puntos de datos no equiespaciados para estimar derivadas. Explica que la derivada del polinomio de segundo grado proporciona una ecuación para estimar la derivada en cualquier punto dentro del intervalo. También compara este método con aproximaciones de Taylor y diferencias centradas.

2. Una manera de emplear datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un
polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado a cada conjunto de tres
puntos adyacentes.
Recuerde que estos polinomios no requieren que los puntos estén igualmente
espaciados.

3. Si se deriva analíticamente el polinomio de segundo grado se obtiene:
Donde x es el valor en el cual se quiere estimar la derivada.
Aunque esta ecuación es más complicada que las aproximaciones de la primera derivada tanto
para la expansión de la serie de Taylor y al truncar su resultado al excluir los términos de la
segunda derivada en adelante.
Exp. Serie de Taylor Truncamiento a la exp. Ser. Taylor

4. VENTAJAS:
Sirve para estimar la derivada en cualquier punto dentro de un
intervalo determinado por los tres puntos.
Los puntos no tienen que estar igualmente espaciados.
La estimación de la derivada tiene la misma exactitud que la
diferencia centrada

5. DIFERENCIA CENTRADA
Representación de las diferencias centradas de la primera derivada.
Si a nuestra ecuación para puntos no equidistantes
evaluamos en X=Xi obtenemos

6. EJERCICIO:
Un gradiente de Temperatura puede medirse abajo del suelo. El flujo de
calor en la interfaz suelo-aire Puede calcularse mediante la ley de Fourier.
Donde:
q = flujo de calor (W/m2)
k = coefi. de difusividad térmica en el suelo (≅ 3.5× 10–7 m2/s)
r = densidad del suelo (≅ 1 800 kg/m3)
C = calor específico del suelo (≅ 840 J/(kg · ºc))
Observe que un valor positivo del flujo indica que el calor se
transfiere del aire al suelo.
Utilice diferenciación numérica para evaluar el gradiente en la
interfaz Suelo-aire y emplee dicha estimación para determinar
el flujo de calor bajo el suelo.