• Like
Biomatemática: practicas 1 y 2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

Biomatemática: practicas 1 y 2

  • 282 views
Published

 

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
282
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
15
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLOFacultad de Ciencias F´ ısicas y Matem´ticas a M´dulo III: Biomatem´tica o a Practicas No 01 y 02 presentada por: Edith Cornetero Angeles Profesora: Roxana L´pez Cruz, Ph.D. o Lambayeque - Per´ u Abril 2010 1
  • 2. Pr´ctica No 01 a 1. Halle la soluci´n expl´ o ıcita del a) Modelo de Crecimiento Exponencial de una Poblaci´n o x (t) = kx(t) k>0 dx = kx dt dx = kdt x ln x = kt + c1 kt+c1 e = x x = c ekt b) Modelo de Crecimiento Log´ ıstico de una Poblaci´n o x(t) (1) x (t) = rx(t) 1 − k>0 k dx x = rx 1 − dt k kdx dt = rx(k − x) 1 rdt = k dx x(k − x) Descomponiendo en fracciones parciales, tenemos: 1 a b = + x(k − x) x k−x ak − ax + bx = 1 1 a = k 1 b = k 2
  • 3. Luego: 1 1 rdt = + dx x k−x dx dx rdt = + x k−x rt + c1 = ln x − ln(k − x) x rt + c1 = ln k−x x ert+c1 = k−x x c ert = k−x c ert k = (1 + c ert )x ck (2) x(t) = e−rt +c2. En 1970, se arroj´ en un lago 1000 ejemplares de una especie de pez o h´ ıbrido. En 1977 sea calcul´ que la poblaci´n de esta especie en el lago o o era de 3000. Si la poblaci´n de peces en 1984 se estim´ en 5000. Use o o un modelo log´ ıstico para calcular la poblaci´n de peces en 1991. Cu´l o a es la predicci´n de la poblaci´n limitante? o o Sea (1) la ecuaci´n log´ o ıstica, cuya soluci´n viene dada por (2). Adem´s o a con las siguientes condiciones: (3) x(0) = 1000 (4) x(7) = 3000 (5) x(14) = 5000 Usando la condici´n (3): o ck x(0) = = 1000 e−r(0) +c ck = 1000(1 + c) 1+c (6) k = 1000 c Usando la condici´n (4): o ck x(7) = = 3000 e−7r +c ck = 3000(e−7r +c) 3
  • 4. Reemplazando (6), tenemos: 1+c c(1000) = 3000(e−7r +c) c 1+c = 3 e−7r +3c 1 − 2c = e−7r 3 1 − 2c ln = −7r 3 1 1 − 2c(7) r = − ln 7 3Usando la condici´n (5): o ck x(14) = = 5000 e−14r +c ck = 5000(e−14r +c)Reemplazando (6), tenemos: 1+c c(1000) = 5000(e−14r +c) c 1+c = 5 e−14r +5c 1 − 4c = e−14r 5 1 − 4c ln = −14r 5 1 1 − 4c(8) r = − ln 14 5Igualando (7) y (8): 1 1 − 2c 1 1 − 4c − ln = − ln 7 3 14 5 1 − 2c 1 − 4c 2 ln = ln 3 5 2 1 − 2c 1 − 4c = 3 5 5 − 20c + 20c2 = 9 − 36c 5c2 + 4c − 1 = 0 c = −1 o c = 0,2 4
  • 5. Si c = −1 entonces k = 0 y r = 0 (contradiciendo K > 0)Si c = 0,2 entonces k = 6000 (poblaci´n limitante) y r = 0,23 (tasa de ocrecimiento)As´ nuestro modelo log´ ı, ıstico para calcular la poblaci´n de peces viene odado por: x(t) x (t) = 0,23x(t) 1 − 6000cuya soluci´n es: o 1200 x(t) = e−0,23t +0,2Calculamos la poblaci´n de peces en 1991: o 1200 x(21) = +0,2 e−0,23(21) 1200 x(21) = −4,83 e +0,2 1200 x(21) ≈ 0,008 + 0,2 x(21) ≈ 5769,60Se estima que para el a˜o 1991 habr´ 5770 peces. n aUsando MatLab, tenemos: x = dsolve( Dx = 0,23 ∗ x ∗ (1 − x/6000) , x(0) = 1000 ); ezplot(x, [0, 22]) 6000/(1+5 exp(−23/100 t)) 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 t Figura 1: 6000/(1 + 5 ∗ exp(−23/100 ∗ t)) 5
  • 6. ezplot(x, [0, 100]) 6000/(1+5 exp(−23/100 t)) 6000 5500 5000 4500 4000 3500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t Figura 2: 6000/(1 + 5 ∗ exp(−23/100 ∗ t))3. En 1970 se estim´ que la poblaci´n de lagartos en un criadero era o o exactamente de 300. En 1975, la poblaci´n hab´ crecido hasta alcanzar o ıa un valor aproximado de 1200 ejemplares. Si en 1980 se estim´ que o la poblaci´n de lagartos era de 1500 ejemplares. Utilice un modelo o log´ ıstico para calcular la poblaci´n de lagartos para el 2000. Cu´l es la o a poblaci´n limitante? o Sea (1) la ecuaci´n log´ o ıastica, cuya soluci´n viene dada por (2). Adem´s o a con las siguientes condiciones: (9) x(0) = 300 (10) x(5) = 1200 (11) x(10) = 1500 Usando la condici´n (9): o ck x(0) = = 300 e−r(0) +c ck = 300(1 + c) 1+c (12) k = 300 c 6
  • 7. Usando la condici´n (10): o ck x(5) = = 1200 e−5r +c ck = 1200(e−5r +c)Reemplazando (12), tenemos: 1+c c(300) = 1200(e−5r +c) c 1+c = 4 e−5r +4c 1 − 3c = e−5r 4 1 − 3c ln = −5r 4 1 1 − 3c(13) r = − ln 5 4Usando la condici´n (11): o ck x(10) = = 1500 e−10r +c ck = 1500(e−10r +c)Reemplazando (12), tenemos: 1+c c(300) = 1500(e−10r +c) c 1+c = 5 e−10r +5c 1 − 4c = e−10r 5 1 − 4c ln = −10r 5 1 1 − 4c(14) r = − ln 10 5Igualando (13) y (14): 1 1 − 4c 1 1 − 3c − ln = − ln 10 5 5 4 2 1 − 4c 1 − 3c ln = ln 5 4 1 − 4c 1 − 6c + 9c2 = 5 16 45c2 + 34c − 11 = 0 7
  • 8. c = −1 o c = 0,24Si c = −1 entonces k = 0 y r = 0 (contradiciendo K > 0)Si c = 0,24 entonces k = 1550 (poblaci´n limitante) y r = 0,53 (tasa ode crecimiento)As´ nuestro modelo log´ ı, ıstico para calcular la poblaci´n de lagartos oviene dado por: x(t) x (t) = 0,53x(t) 1 − 1550cuya soluci´n es: o 372 x(t) = e−0,53t +0,24Calculamos la poblaci´n de lagartos en 2000: o 372 x(30) = +0,24 e−0,53(30) 1200 x(30) = −15,9 e +0,24 1200 x(30) ≈ 0,000000124 + 0,2 x(30) ≈ 1549,999197Se estima que para el a˜o 2000 habr´ 1550 lagartos. n aUsando MatLab, tenemos: y = dsolve( Dy = 0,53 ∗ y ∗ (1 − y/1550) , y(0) = 300 ) ezplot(y, [0, 30]) 1550/(1+25/6 exp(−53/100 t)) 1600 1400 1200 1000 800 600 400 0 5 10 15 20 25 30 t 8
  • 9. ezplot(x, [0, 100]) 1550/(1+25/6 exp(−53/100 t)) 1550 1548 1546 1544 1542 1540 1538 1536 1534 1532 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t Figura 3: 1550/(1 + 25/6 ∗ exp(−53/100 ∗ t))4. La poblaci´n de una cierta especie sujeta a una clase espec´ o ıfica de depredaci´n es modelada por la siguiente ecuaci´n en diferencias o o u2 t ut+1 = a 2 + u2 a>0 b t Determine los puntos de equilibrio. Hallar los puntos de equilibrio (o ptos fijos de la funci´n f ), es hallar o u2 u/f (¯) = u; donde f (u) = a b2 +u2 ¯ u ¯ u2 ¯ f (¯) = a u 2 + u2 = u ¯ b ¯ a¯2 − u(b2 + u2 ) u ¯ ¯ = 0 u[a¯ − b2 − u2 ] ¯ u ¯ = 0 u = 0 u − a¯ + b2 ¯ ¯ 2 u = 0 √ a ± a2 − ab2 u = ¯ a ≥ ±2b 2 Por lo tanto los puntos de equilibrio son: u=0 √ ¯ 2 2 u = a± a2 −ab ¯ a ≥ ±2b 9
  • 10. 5 4 3 2 1 0 −1 −1 0 1 2 3 4 5 u2 Figura 4: ut+1 = 5 22 +u2 t t5. Dados los sistemas compartamentales de la figura adjunta. Sean x, y y z densidades de las Poblaciones 1, 2 y 3 respectivamente (no se considera interacci´n entre poblaciones). El primer modelo es un sistema cerrado o y el segundo es abierto. a) Interprete cada uno de los sistemas compartamentales. Justifique su respuesta con amplios detalles. Para la figura a). Sean: x: n´mero de habitantes en el pa´ 1 u ıs y: n´mero de habitantes en el pa´ 2 u ıs z: n´mero de habitantes en el pa´ 3 u ıs α: tasa de emigraciones del pa´ 1 al 3 ıs β: tasa de emigraciones del pa´ 3 al 2 ıs γ: tasa de emigraciones del pa´ 2 al 1 ıs δ: tasa de emigraciones del pa´ 2 al 3 ıs αx: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 1 al 3 u ıs βz: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 3 al 2 u ıs δy: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 2 al 3 u ıs γy: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 2 al 1 u ıs b) Escriba el sistema din´mico correspondiente a cada modelo. a 10
  • 11. Para la figura a): dx = γy − αx dt dy = βz − (γ + δ)y dt dz = αx − βz + δy dt Para la figura b): dx = γy − αx dt dy = βz − (γ + δ + φ)y dt dz = αx − βz + δy + ξ dt6. Consideremos a las Lapas (s) y algas marinas (l) conviviendo en un estanque de agua salada. La din´mica de este sistema viene dado por: a ds (15) = s − s2 − sl dt dl l (16) = sl − − l2 l ≥ 0, s ≥ 0 dt 2 a) Por cada punto de equilibrio no nulo del sistema dado, evalue la estabilidad y clasif´ ıquelo como un nodo, foco o punto silla. De (15) y de (16), tenemos: ds (17) = s(1 − s − l) = 0 dt dl 1 (18) = l(s − − l) = 0 dt 2 De (17): s=0 o s=1−l Si s = 0 entonces l = 0 ´ l = − 1 o 2 Si s = 1 − l entonces l = 0 ´ l = 1 o 4 Si l = 0 entonces s = 1 Si l = 1 entonces s = 3 4 4 Por lo tanto los puntos de equilibrio (s, l) son (0, 0); (0, −1/2); (1, 0); (3/4, 1/4) 11
  • 12. Estabilidad: Calculamos el Jacobiano f (s, l) = s − s2 − sl l g(s, l) = sl − − l2 2 ∂f ∂f 1 − 2s − l −s A= ∂s ∂l = ∂g ∂s ∂g ∂l l s − 1 − 2l 2 Evaluamos en los puntos de equilibrio no nulos: 1 − 2(0) − (−1/2) −(0) En (0, −1/2) ⇒ A|(0,−1/2) = 1 −1/2 0 − 2 − 2(−1/2) 3/2 0 A|(0,−1/2) = −1/2 1/2 As´ tr(A) = 2 y det(A) = 3/4. ı: Por lo tanto el punto (0, −1/2) es INESTABLE (Nodo repul- sor) −1 −1 En (1, 0) ⇒ A|(1,0) = 0 1/2 As´ tr(A) = −1/2 y det(A) = −1/2. ı: Por lo tanto el punto (1, 0) es INESTABLE (Punto silla) −3/4 −3/4 En (3/4, 1/4) ⇒ A|(3/4,1/4) = 1/4 −1/4 As´ tr(A) = −1 y det(A) = 3/8. ı: Por lo tanto el punto (3/4, 1/4) es ESTABLE (Nodo atractor)b) Esquematize las soluciones en el Plano de Fase En resumen: (0, −1/2) ⇒ tr(A) = 2 det(A) = 3/4. Entonces el punto es Inestable (repulsor) [Lo analizaremos puesto que matemati- camente es un punto de equilibrio pero recordar ques, l ≥ 0] (1, 0) ⇒ tr(A) = −1/2 det(A) = −1/2. Entonces el punto es Inestable (silla) (3/4, 1/4) ⇒ tr(A) = −1 det(A) = 3/8. Entonces el punto es Estable (atractor) 12
  • 13. x y y=1/4x=1 y=0x=3/4 y=−1/2 t x=0 t y 1 1/2 x −1/2 13
  • 14. Pr´ctica No 02 a 1. Determine cuales de las siguientes ecuaciones es lineal o no lineal. Si es lineal, halle la soluci´n expl´ o ıcita; si es no lineal, halle los punto de equilibrio y analize su estabilidad. a) xn = (1 − α)xn−1 + βxn , α, β constantes (1 − β)xn = (1 − α)xn−1 (1 − α) xn = xn−1 1−β (1 − α) f (x) = x Ecuac. en diferencias lineal 1−β Soluci´n expl´ o ıcita: + Dado x0 ∈ R0 (condici´n inicial) o (1 − α) x1 = x0 1−β 2 (1 − α) (1 − α) x2 = x1 = x0 1−β 1−β 3 (1 − α) (1 − α) x3 = x2 = x0 1−β 1−β n (1 − α) (1 − α) xn = xn−1 = x0 1−β 1−β tiene soluci´n recursiva: o n (1 − α) xn = x0 β=1 1−β x0 : condici´n inicial o b) xn+1 = xn eαxn , α constante f (x) = x eαx es una ecuaci´n en diferencias no lineal. Analicemos su estabilidad o 14
  • 15. Buena definici´n: f est´ bien definida para x ∈ R o a ∞f es continua, f ∈ C (R)En efecto: f (x) = x eαx ⇒ f (x) ∈ C ∞ ∈C ∞ ∈C ∞Puntos de equilibrio (ptos fijos de f ): f (¯) x = x ¯ f (¯) = x eα¯ x ¯ x = x ¯ x(eα¯ −1) ¯ x = 0 x = 0 eα¯ ¯ x = 1 ln 1 = α¯x 0 = α¯xLos puntos de equilibrio son: x=0 ¯ x ∈ R, ¯ α=0Estabilidad: Aplicando el criterio f (x) = αx eαx + eαx f (x) = eαx (αx + 1) • Si x = 0 ⇒ f (¯) = 1. Como |f (0)| = 1 nada se puede ¯ x decir de la estabilidad en este punto de equilibrio • Si x ∈ R; α = 0 ⇒ f (¯) = 1. Como |f (x)| = 1, ∀x ∈ R y ¯ x α = 0 nada se puede decir. 15
  • 16. 20 15 10 5 0 −5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Figura 5: Puntos de equilibrioc) xn+1 = −x2 (1 − xn ) n f (x) = −x2 (1 − x) = x3 − x2 no es lineal es una ecuaci´n en diferencias no lineal. Analicemos su estabilidad o Buena definici´n: f est´ bien definida para x ∈ R o a ∞ f es continua, f ∈ C (R) En efecto: f (x) = x3 − x2 ⇒ f (x) ∈ C ∞ ∈C ∞ ∈C ∞ Puntos de equilibrio (ptos fijos de f ): f (¯) x x ¯ = x − x2 ¯ ¯3 x ¯ = 3 2 x −x −x ¯ ¯ ¯ 0 = 2 x(¯ − x − 1) ¯x ¯ 0 = 2 x=0 x −x−1 ¯ ¯ ¯ = 0 √ 1± 5 x = ¯ 2 Los puntos de equilibrio son: x = ¯ 0√ 1± 5 x = ¯ 2 16
  • 17. Estabilidad: Aplicando el criterio f (x) = 3x2 − 2x • Si x = 0 entonces f (0) = 0 ¯ Como |f (0)| = 0 < 1 ⇒ x = 0 es ESTABLE ¯ √ 1+ 5 • Si x = ¯ 2 entonces √ √ 1+ 5 5+7 f( )= 2 2 Como √ 1+ 5 ∼ 4,61803 > 1 f = 2 √ 1+ 5 entonces x = ¯ 2 es INESTABLE. √ 1− 5 • Si x = ¯ 2 entonces √ √ 1− 5 7− 5 f = 2 2 Como √ 1− 5 ∼ 2,3819660 > 1 f = 2 √ 1− 5 entonces x = ¯ 2 es INESTABLE. 10 8 6 4 2 0 −2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Figura 6: puntos de equilibrio 17
  • 18. 2. La Ecuaci´n de Ricker para poblaci´n de peces viene dada por o o Nn+1 = αNn e−βNn donde α representa la tasa de crecimiento maximal de los peces y β es la inhibaci´n de crecimiento causado por la sobrepoblaci´n. o o a) Demuestre que esta ecuaci´n tiene un punto de equilibrio o ln α N= β En efecto: f (N ) = αN e−βN Para hallar los puntos de equilibrio (ptos fijos de f ), debemos ¯ ¯ ¯ hallar N /f (N ) = N ¯ ¯ ¯ αN e−β N = N ¯ ¯ N (α e−β N −1) = 0 ¯ ¯ N = 0 α e−β N = 1 1 ¯ ln = −β N α ¯ 1 1 N= − ln β α ¯ 1 N = ln α β b) Demuestre que el punto de equilibrio en (a) es estable provisto de la siguiente condici´n o |1 − ln α| < 1 Aplicando el criterio de estabilidad, tenemos: f (N ) = α e−βN +N (−αβ e−βN ) f (N ) = α e−βN [1 − βN ] 18
  • 19. ¯ Luego: N = 1 ln α es ESTABLE si y s´lo si f o 1 ln α <1 β β 1 1 1 f ln α = α e−β β ln α 1 − β ln α β β 1 f ln α = α eln α [1 − ln α] β 1 f ln α = αα−1 [1 − ln α] β 1 f ln α = 1 − ln α β 1 f ln α = |1 − ln α| < 1 β ¯ Por lo tanto N = 1 ln α es ESTABLE si y s´lo si |1 − ln α| < 1 o β3. Un sistema Huesped Par´sito en ambientes compartamentales viene a dado por −k aPt Ht+1 = F Ht 1 + k Ht+1 Pt+1 = Ht − F donde F, a, k son positivos. ¯ ¯ a) Halle los puntos de equilibrio. Es desarrollar: (H, P )/f = 0 y g=0 −k aP (19) f (H, P ) = F H 1 + =H k −k aP (20) g(H, P ) = H 1 − 1 + =P k Resolvemos algebraicamente: De (19), tenemos: −k aP H F 1+ −1 = 0 k −k aP H=0 ´ o F 1+ = 1 k k 1/k P = (F − 1) F = 1 a 19
  • 20. Reemplazando en 20 Si H = 0 ⇒ P = 0 k(F 1/k −1) Si P = k (F 1/k − 1); F = 1 a ⇒ H= a(1−F −1 ) ¯ ¯ Por lo tanto los puntos de equilibrio (H, P ) son: (0, 0) y k(F 1/k − 1) k 1/k ( , (F − 1)) F = 1 a(1 − F −1 ) a b) Analize la estabilidad de los puntos de equilibrio. Primero Linealizaremos el modelo: Hn+1 ∂f /∂H ∂f /∂P Hn = Pn+1 ∂g/∂H ∂g/∂P ¯ ¯ (H,P ) Pn −k −k−1 F 1 + aP −F Ha 1 + aP A= k −k k aP −k−1 1 − 1 + aPk Ha 1 + k En (0,0); F 0 A|(0,0) = 0 0 Luego, el sistema lineal asociado al sistema dado ser´: a Hn+1 = F Hn Pn+1 = 0 Cuyos autovalores son: λ1 = F y λ2 = 0 ⇒ |λ| = 1. Por lo tanto nada se puede decir de la soluci´n nula. o 1/k En ( k(F −1 ) , k (F 1/k − 1)) F = 1; a(1−F −1) a kF k (F 1/k −1) 1 a(1−F −1 ) A|(H,P ) = 1 kF k−1 (F 1/k −1) 1− F a(1−F −1 )4. Hallar los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas de ecuaciones a) dx = x2 + y 2 dt dy = x(1 − y) dt 20
  • 21. Es hallar (¯, y )/f = 0 ∧ g = 0 x ¯ (21) f (x, y) = x2 + y 2 = 0 (22) g(x, y) = x(1 − y) = 0 Resolvemos algebraicamente: De (22), tenemos: x = 0 y y = 1 En (21): Si x = 0 ⇒ y = 0 Si y = 1 ⇒ x = ±i Por lo tanto los puntos (¯, y ) de equilibrio son: (0, 0); (i, 1) y x ¯ (−i, 1) b) dx = x − x2 + xy dt dy = y(1 − y) dt Es hallar (¯, y )/f = 0 ∧ g = 0 x ¯ (23) f (x, y) = x − x2 + xy = 0 (24) g(x, y) = y(1 − y) = 0 Resolvemos algebraicamente: De (24), tenemos: y = 0 y y = 1 En (23): Si y = 0 ⇒ x = 0 ´ x = 1 o Si y = 1 ⇒ x = 0 ´ x = 2 o Por lo tanto los puntos de equilibrio (¯, y ) son: (0, 0); (0, 1); (2, 1) x ¯ y (1, 0)5. Las siguientes ecuaciones fueron sugeridas por Bellomo et al (1982) como un modelo para la interacci´n hormonal glucosa-insulina o di (25) = −Ki i + Kg (g − gd ) + Ks i dt dg (26) = Kh g − Ko gi − Ks g dt Los coeficientes Ki , Kg , Ks , Kh , K0 son constantes. a) Determine los puntos de equilibrio. b) Analize la estabilidad del sistema de ecuaciones. 21