UNIVERSIDAD NACIONAL       PEDRO RUIZ GALLOFacultad de Ciencias F´                      ısicas y Matem´ticas              ...
Pr´ctica No 01  a 1. Halle la soluci´n expl´                   o      ıcita del     a) Modelo de Crecimiento Exponencial d...
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Reemplazando (6), tenemos:                              1+c                 c(1000)                   = 3000(e−7r +c)     ...
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Usando la condici´n (10):                 o                              ck                 x(5) =             = 1200     ...
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Para la figura a):                                 dx                                    = γy − αx                         ...
Estabilidad: Calculamos el Jacobiano                         f (s, l) = s − s2 − sl                                       ...
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Pr´ctica No 02  a 1. Determine cuales de las siguientes ecuaciones es lineal o no lineal. Si    es lineal, halle la soluci...
Buena definici´n: f est´ bien definida para x ∈ R               o      a                    ∞f es continua, f ∈ C (R)En efec...
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Estabilidad: Aplicando el criterio                                     f (x) = 3x2 − 2x • Si x = 0 entonces f (0) = 0     ...
2. La Ecuaci´n de Ricker para poblaci´n de peces viene dada por            o                        o                     ...
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Biomatemática: practicas 1 y 2

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Biomatemática: practicas 1 y 2

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLOFacultad de Ciencias F´ ısicas y Matem´ticas a M´dulo III: Biomatem´tica o a Practicas No 01 y 02 presentada por: Edith Cornetero Angeles Profesora: Roxana L´pez Cruz, Ph.D. o Lambayeque - Per´ u Abril 2010 1
  2. 2. Pr´ctica No 01 a 1. Halle la soluci´n expl´ o ıcita del a) Modelo de Crecimiento Exponencial de una Poblaci´n o x (t) = kx(t) k>0 dx = kx dt dx = kdt x ln x = kt + c1 kt+c1 e = x x = c ekt b) Modelo de Crecimiento Log´ ıstico de una Poblaci´n o x(t) (1) x (t) = rx(t) 1 − k>0 k dx x = rx 1 − dt k kdx dt = rx(k − x) 1 rdt = k dx x(k − x) Descomponiendo en fracciones parciales, tenemos: 1 a b = + x(k − x) x k−x ak − ax + bx = 1 1 a = k 1 b = k 2
  3. 3. Luego: 1 1 rdt = + dx x k−x dx dx rdt = + x k−x rt + c1 = ln x − ln(k − x) x rt + c1 = ln k−x x ert+c1 = k−x x c ert = k−x c ert k = (1 + c ert )x ck (2) x(t) = e−rt +c2. En 1970, se arroj´ en un lago 1000 ejemplares de una especie de pez o h´ ıbrido. En 1977 sea calcul´ que la poblaci´n de esta especie en el lago o o era de 3000. Si la poblaci´n de peces en 1984 se estim´ en 5000. Use o o un modelo log´ ıstico para calcular la poblaci´n de peces en 1991. Cu´l o a es la predicci´n de la poblaci´n limitante? o o Sea (1) la ecuaci´n log´ o ıstica, cuya soluci´n viene dada por (2). Adem´s o a con las siguientes condiciones: (3) x(0) = 1000 (4) x(7) = 3000 (5) x(14) = 5000 Usando la condici´n (3): o ck x(0) = = 1000 e−r(0) +c ck = 1000(1 + c) 1+c (6) k = 1000 c Usando la condici´n (4): o ck x(7) = = 3000 e−7r +c ck = 3000(e−7r +c) 3
  4. 4. Reemplazando (6), tenemos: 1+c c(1000) = 3000(e−7r +c) c 1+c = 3 e−7r +3c 1 − 2c = e−7r 3 1 − 2c ln = −7r 3 1 1 − 2c(7) r = − ln 7 3Usando la condici´n (5): o ck x(14) = = 5000 e−14r +c ck = 5000(e−14r +c)Reemplazando (6), tenemos: 1+c c(1000) = 5000(e−14r +c) c 1+c = 5 e−14r +5c 1 − 4c = e−14r 5 1 − 4c ln = −14r 5 1 1 − 4c(8) r = − ln 14 5Igualando (7) y (8): 1 1 − 2c 1 1 − 4c − ln = − ln 7 3 14 5 1 − 2c 1 − 4c 2 ln = ln 3 5 2 1 − 2c 1 − 4c = 3 5 5 − 20c + 20c2 = 9 − 36c 5c2 + 4c − 1 = 0 c = −1 o c = 0,2 4
  5. 5. Si c = −1 entonces k = 0 y r = 0 (contradiciendo K > 0)Si c = 0,2 entonces k = 6000 (poblaci´n limitante) y r = 0,23 (tasa de ocrecimiento)As´ nuestro modelo log´ ı, ıstico para calcular la poblaci´n de peces viene odado por: x(t) x (t) = 0,23x(t) 1 − 6000cuya soluci´n es: o 1200 x(t) = e−0,23t +0,2Calculamos la poblaci´n de peces en 1991: o 1200 x(21) = +0,2 e−0,23(21) 1200 x(21) = −4,83 e +0,2 1200 x(21) ≈ 0,008 + 0,2 x(21) ≈ 5769,60Se estima que para el a˜o 1991 habr´ 5770 peces. n aUsando MatLab, tenemos: x = dsolve( Dx = 0,23 ∗ x ∗ (1 − x/6000) , x(0) = 1000 ); ezplot(x, [0, 22]) 6000/(1+5 exp(−23/100 t)) 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 t Figura 1: 6000/(1 + 5 ∗ exp(−23/100 ∗ t)) 5
  6. 6. ezplot(x, [0, 100]) 6000/(1+5 exp(−23/100 t)) 6000 5500 5000 4500 4000 3500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t Figura 2: 6000/(1 + 5 ∗ exp(−23/100 ∗ t))3. En 1970 se estim´ que la poblaci´n de lagartos en un criadero era o o exactamente de 300. En 1975, la poblaci´n hab´ crecido hasta alcanzar o ıa un valor aproximado de 1200 ejemplares. Si en 1980 se estim´ que o la poblaci´n de lagartos era de 1500 ejemplares. Utilice un modelo o log´ ıstico para calcular la poblaci´n de lagartos para el 2000. Cu´l es la o a poblaci´n limitante? o Sea (1) la ecuaci´n log´ o ıastica, cuya soluci´n viene dada por (2). Adem´s o a con las siguientes condiciones: (9) x(0) = 300 (10) x(5) = 1200 (11) x(10) = 1500 Usando la condici´n (9): o ck x(0) = = 300 e−r(0) +c ck = 300(1 + c) 1+c (12) k = 300 c 6
  7. 7. Usando la condici´n (10): o ck x(5) = = 1200 e−5r +c ck = 1200(e−5r +c)Reemplazando (12), tenemos: 1+c c(300) = 1200(e−5r +c) c 1+c = 4 e−5r +4c 1 − 3c = e−5r 4 1 − 3c ln = −5r 4 1 1 − 3c(13) r = − ln 5 4Usando la condici´n (11): o ck x(10) = = 1500 e−10r +c ck = 1500(e−10r +c)Reemplazando (12), tenemos: 1+c c(300) = 1500(e−10r +c) c 1+c = 5 e−10r +5c 1 − 4c = e−10r 5 1 − 4c ln = −10r 5 1 1 − 4c(14) r = − ln 10 5Igualando (13) y (14): 1 1 − 4c 1 1 − 3c − ln = − ln 10 5 5 4 2 1 − 4c 1 − 3c ln = ln 5 4 1 − 4c 1 − 6c + 9c2 = 5 16 45c2 + 34c − 11 = 0 7
  8. 8. c = −1 o c = 0,24Si c = −1 entonces k = 0 y r = 0 (contradiciendo K > 0)Si c = 0,24 entonces k = 1550 (poblaci´n limitante) y r = 0,53 (tasa ode crecimiento)As´ nuestro modelo log´ ı, ıstico para calcular la poblaci´n de lagartos oviene dado por: x(t) x (t) = 0,53x(t) 1 − 1550cuya soluci´n es: o 372 x(t) = e−0,53t +0,24Calculamos la poblaci´n de lagartos en 2000: o 372 x(30) = +0,24 e−0,53(30) 1200 x(30) = −15,9 e +0,24 1200 x(30) ≈ 0,000000124 + 0,2 x(30) ≈ 1549,999197Se estima que para el a˜o 2000 habr´ 1550 lagartos. n aUsando MatLab, tenemos: y = dsolve( Dy = 0,53 ∗ y ∗ (1 − y/1550) , y(0) = 300 ) ezplot(y, [0, 30]) 1550/(1+25/6 exp(−53/100 t)) 1600 1400 1200 1000 800 600 400 0 5 10 15 20 25 30 t 8
  9. 9. ezplot(x, [0, 100]) 1550/(1+25/6 exp(−53/100 t)) 1550 1548 1546 1544 1542 1540 1538 1536 1534 1532 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t Figura 3: 1550/(1 + 25/6 ∗ exp(−53/100 ∗ t))4. La poblaci´n de una cierta especie sujeta a una clase espec´ o ıfica de depredaci´n es modelada por la siguiente ecuaci´n en diferencias o o u2 t ut+1 = a 2 + u2 a>0 b t Determine los puntos de equilibrio. Hallar los puntos de equilibrio (o ptos fijos de la funci´n f ), es hallar o u2 u/f (¯) = u; donde f (u) = a b2 +u2 ¯ u ¯ u2 ¯ f (¯) = a u 2 + u2 = u ¯ b ¯ a¯2 − u(b2 + u2 ) u ¯ ¯ = 0 u[a¯ − b2 − u2 ] ¯ u ¯ = 0 u = 0 u − a¯ + b2 ¯ ¯ 2 u = 0 √ a ± a2 − ab2 u = ¯ a ≥ ±2b 2 Por lo tanto los puntos de equilibrio son: u=0 √ ¯ 2 2 u = a± a2 −ab ¯ a ≥ ±2b 9
  10. 10. 5 4 3 2 1 0 −1 −1 0 1 2 3 4 5 u2 Figura 4: ut+1 = 5 22 +u2 t t5. Dados los sistemas compartamentales de la figura adjunta. Sean x, y y z densidades de las Poblaciones 1, 2 y 3 respectivamente (no se considera interacci´n entre poblaciones). El primer modelo es un sistema cerrado o y el segundo es abierto. a) Interprete cada uno de los sistemas compartamentales. Justifique su respuesta con amplios detalles. Para la figura a). Sean: x: n´mero de habitantes en el pa´ 1 u ıs y: n´mero de habitantes en el pa´ 2 u ıs z: n´mero de habitantes en el pa´ 3 u ıs α: tasa de emigraciones del pa´ 1 al 3 ıs β: tasa de emigraciones del pa´ 3 al 2 ıs γ: tasa de emigraciones del pa´ 2 al 1 ıs δ: tasa de emigraciones del pa´ 2 al 3 ıs αx: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 1 al 3 u ıs βz: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 3 al 2 u ıs δy: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 2 al 3 u ıs γy: n´mero de habitantes que emigran del pa´ 2 al 1 u ıs b) Escriba el sistema din´mico correspondiente a cada modelo. a 10
  11. 11. Para la figura a): dx = γy − αx dt dy = βz − (γ + δ)y dt dz = αx − βz + δy dt Para la figura b): dx = γy − αx dt dy = βz − (γ + δ + φ)y dt dz = αx − βz + δy + ξ dt6. Consideremos a las Lapas (s) y algas marinas (l) conviviendo en un estanque de agua salada. La din´mica de este sistema viene dado por: a ds (15) = s − s2 − sl dt dl l (16) = sl − − l2 l ≥ 0, s ≥ 0 dt 2 a) Por cada punto de equilibrio no nulo del sistema dado, evalue la estabilidad y clasif´ ıquelo como un nodo, foco o punto silla. De (15) y de (16), tenemos: ds (17) = s(1 − s − l) = 0 dt dl 1 (18) = l(s − − l) = 0 dt 2 De (17): s=0 o s=1−l Si s = 0 entonces l = 0 ´ l = − 1 o 2 Si s = 1 − l entonces l = 0 ´ l = 1 o 4 Si l = 0 entonces s = 1 Si l = 1 entonces s = 3 4 4 Por lo tanto los puntos de equilibrio (s, l) son (0, 0); (0, −1/2); (1, 0); (3/4, 1/4) 11
  12. 12. Estabilidad: Calculamos el Jacobiano f (s, l) = s − s2 − sl l g(s, l) = sl − − l2 2 ∂f ∂f 1 − 2s − l −s A= ∂s ∂l = ∂g ∂s ∂g ∂l l s − 1 − 2l 2 Evaluamos en los puntos de equilibrio no nulos: 1 − 2(0) − (−1/2) −(0) En (0, −1/2) ⇒ A|(0,−1/2) = 1 −1/2 0 − 2 − 2(−1/2) 3/2 0 A|(0,−1/2) = −1/2 1/2 As´ tr(A) = 2 y det(A) = 3/4. ı: Por lo tanto el punto (0, −1/2) es INESTABLE (Nodo repul- sor) −1 −1 En (1, 0) ⇒ A|(1,0) = 0 1/2 As´ tr(A) = −1/2 y det(A) = −1/2. ı: Por lo tanto el punto (1, 0) es INESTABLE (Punto silla) −3/4 −3/4 En (3/4, 1/4) ⇒ A|(3/4,1/4) = 1/4 −1/4 As´ tr(A) = −1 y det(A) = 3/8. ı: Por lo tanto el punto (3/4, 1/4) es ESTABLE (Nodo atractor)b) Esquematize las soluciones en el Plano de Fase En resumen: (0, −1/2) ⇒ tr(A) = 2 det(A) = 3/4. Entonces el punto es Inestable (repulsor) [Lo analizaremos puesto que matemati- camente es un punto de equilibrio pero recordar ques, l ≥ 0] (1, 0) ⇒ tr(A) = −1/2 det(A) = −1/2. Entonces el punto es Inestable (silla) (3/4, 1/4) ⇒ tr(A) = −1 det(A) = 3/8. Entonces el punto es Estable (atractor) 12
  13. 13. x y y=1/4x=1 y=0x=3/4 y=−1/2 t x=0 t y 1 1/2 x −1/2 13
  14. 14. Pr´ctica No 02 a 1. Determine cuales de las siguientes ecuaciones es lineal o no lineal. Si es lineal, halle la soluci´n expl´ o ıcita; si es no lineal, halle los punto de equilibrio y analize su estabilidad. a) xn = (1 − α)xn−1 + βxn , α, β constantes (1 − β)xn = (1 − α)xn−1 (1 − α) xn = xn−1 1−β (1 − α) f (x) = x Ecuac. en diferencias lineal 1−β Soluci´n expl´ o ıcita: + Dado x0 ∈ R0 (condici´n inicial) o (1 − α) x1 = x0 1−β 2 (1 − α) (1 − α) x2 = x1 = x0 1−β 1−β 3 (1 − α) (1 − α) x3 = x2 = x0 1−β 1−β n (1 − α) (1 − α) xn = xn−1 = x0 1−β 1−β tiene soluci´n recursiva: o n (1 − α) xn = x0 β=1 1−β x0 : condici´n inicial o b) xn+1 = xn eαxn , α constante f (x) = x eαx es una ecuaci´n en diferencias no lineal. Analicemos su estabilidad o 14
  15. 15. Buena definici´n: f est´ bien definida para x ∈ R o a ∞f es continua, f ∈ C (R)En efecto: f (x) = x eαx ⇒ f (x) ∈ C ∞ ∈C ∞ ∈C ∞Puntos de equilibrio (ptos fijos de f ): f (¯) x = x ¯ f (¯) = x eα¯ x ¯ x = x ¯ x(eα¯ −1) ¯ x = 0 x = 0 eα¯ ¯ x = 1 ln 1 = α¯x 0 = α¯xLos puntos de equilibrio son: x=0 ¯ x ∈ R, ¯ α=0Estabilidad: Aplicando el criterio f (x) = αx eαx + eαx f (x) = eαx (αx + 1) • Si x = 0 ⇒ f (¯) = 1. Como |f (0)| = 1 nada se puede ¯ x decir de la estabilidad en este punto de equilibrio • Si x ∈ R; α = 0 ⇒ f (¯) = 1. Como |f (x)| = 1, ∀x ∈ R y ¯ x α = 0 nada se puede decir. 15
  16. 16. 20 15 10 5 0 −5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Figura 5: Puntos de equilibrioc) xn+1 = −x2 (1 − xn ) n f (x) = −x2 (1 − x) = x3 − x2 no es lineal es una ecuaci´n en diferencias no lineal. Analicemos su estabilidad o Buena definici´n: f est´ bien definida para x ∈ R o a ∞ f es continua, f ∈ C (R) En efecto: f (x) = x3 − x2 ⇒ f (x) ∈ C ∞ ∈C ∞ ∈C ∞ Puntos de equilibrio (ptos fijos de f ): f (¯) x x ¯ = x − x2 ¯ ¯3 x ¯ = 3 2 x −x −x ¯ ¯ ¯ 0 = 2 x(¯ − x − 1) ¯x ¯ 0 = 2 x=0 x −x−1 ¯ ¯ ¯ = 0 √ 1± 5 x = ¯ 2 Los puntos de equilibrio son: x = ¯ 0√ 1± 5 x = ¯ 2 16
  17. 17. Estabilidad: Aplicando el criterio f (x) = 3x2 − 2x • Si x = 0 entonces f (0) = 0 ¯ Como |f (0)| = 0 < 1 ⇒ x = 0 es ESTABLE ¯ √ 1+ 5 • Si x = ¯ 2 entonces √ √ 1+ 5 5+7 f( )= 2 2 Como √ 1+ 5 ∼ 4,61803 > 1 f = 2 √ 1+ 5 entonces x = ¯ 2 es INESTABLE. √ 1− 5 • Si x = ¯ 2 entonces √ √ 1− 5 7− 5 f = 2 2 Como √ 1− 5 ∼ 2,3819660 > 1 f = 2 √ 1− 5 entonces x = ¯ 2 es INESTABLE. 10 8 6 4 2 0 −2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Figura 6: puntos de equilibrio 17
  18. 18. 2. La Ecuaci´n de Ricker para poblaci´n de peces viene dada por o o Nn+1 = αNn e−βNn donde α representa la tasa de crecimiento maximal de los peces y β es la inhibaci´n de crecimiento causado por la sobrepoblaci´n. o o a) Demuestre que esta ecuaci´n tiene un punto de equilibrio o ln α N= β En efecto: f (N ) = αN e−βN Para hallar los puntos de equilibrio (ptos fijos de f ), debemos ¯ ¯ ¯ hallar N /f (N ) = N ¯ ¯ ¯ αN e−β N = N ¯ ¯ N (α e−β N −1) = 0 ¯ ¯ N = 0 α e−β N = 1 1 ¯ ln = −β N α ¯ 1 1 N= − ln β α ¯ 1 N = ln α β b) Demuestre que el punto de equilibrio en (a) es estable provisto de la siguiente condici´n o |1 − ln α| < 1 Aplicando el criterio de estabilidad, tenemos: f (N ) = α e−βN +N (−αβ e−βN ) f (N ) = α e−βN [1 − βN ] 18
  19. 19. ¯ Luego: N = 1 ln α es ESTABLE si y s´lo si f o 1 ln α <1 β β 1 1 1 f ln α = α e−β β ln α 1 − β ln α β β 1 f ln α = α eln α [1 − ln α] β 1 f ln α = αα−1 [1 − ln α] β 1 f ln α = 1 − ln α β 1 f ln α = |1 − ln α| < 1 β ¯ Por lo tanto N = 1 ln α es ESTABLE si y s´lo si |1 − ln α| < 1 o β3. Un sistema Huesped Par´sito en ambientes compartamentales viene a dado por −k aPt Ht+1 = F Ht 1 + k Ht+1 Pt+1 = Ht − F donde F, a, k son positivos. ¯ ¯ a) Halle los puntos de equilibrio. Es desarrollar: (H, P )/f = 0 y g=0 −k aP (19) f (H, P ) = F H 1 + =H k −k aP (20) g(H, P ) = H 1 − 1 + =P k Resolvemos algebraicamente: De (19), tenemos: −k aP H F 1+ −1 = 0 k −k aP H=0 ´ o F 1+ = 1 k k 1/k P = (F − 1) F = 1 a 19
  20. 20. Reemplazando en 20 Si H = 0 ⇒ P = 0 k(F 1/k −1) Si P = k (F 1/k − 1); F = 1 a ⇒ H= a(1−F −1 ) ¯ ¯ Por lo tanto los puntos de equilibrio (H, P ) son: (0, 0) y k(F 1/k − 1) k 1/k ( , (F − 1)) F = 1 a(1 − F −1 ) a b) Analize la estabilidad de los puntos de equilibrio. Primero Linealizaremos el modelo: Hn+1 ∂f /∂H ∂f /∂P Hn = Pn+1 ∂g/∂H ∂g/∂P ¯ ¯ (H,P ) Pn −k −k−1 F 1 + aP −F Ha 1 + aP A= k −k k aP −k−1 1 − 1 + aPk Ha 1 + k En (0,0); F 0 A|(0,0) = 0 0 Luego, el sistema lineal asociado al sistema dado ser´: a Hn+1 = F Hn Pn+1 = 0 Cuyos autovalores son: λ1 = F y λ2 = 0 ⇒ |λ| = 1. Por lo tanto nada se puede decir de la soluci´n nula. o 1/k En ( k(F −1 ) , k (F 1/k − 1)) F = 1; a(1−F −1) a kF k (F 1/k −1) 1 a(1−F −1 ) A|(H,P ) = 1 kF k−1 (F 1/k −1) 1− F a(1−F −1 )4. Hallar los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas de ecuaciones a) dx = x2 + y 2 dt dy = x(1 − y) dt 20
  21. 21. Es hallar (¯, y )/f = 0 ∧ g = 0 x ¯ (21) f (x, y) = x2 + y 2 = 0 (22) g(x, y) = x(1 − y) = 0 Resolvemos algebraicamente: De (22), tenemos: x = 0 y y = 1 En (21): Si x = 0 ⇒ y = 0 Si y = 1 ⇒ x = ±i Por lo tanto los puntos (¯, y ) de equilibrio son: (0, 0); (i, 1) y x ¯ (−i, 1) b) dx = x − x2 + xy dt dy = y(1 − y) dt Es hallar (¯, y )/f = 0 ∧ g = 0 x ¯ (23) f (x, y) = x − x2 + xy = 0 (24) g(x, y) = y(1 − y) = 0 Resolvemos algebraicamente: De (24), tenemos: y = 0 y y = 1 En (23): Si y = 0 ⇒ x = 0 ´ x = 1 o Si y = 1 ⇒ x = 0 ´ x = 2 o Por lo tanto los puntos de equilibrio (¯, y ) son: (0, 0); (0, 1); (2, 1) x ¯ y (1, 0)5. Las siguientes ecuaciones fueron sugeridas por Bellomo et al (1982) como un modelo para la interacci´n hormonal glucosa-insulina o di (25) = −Ki i + Kg (g − gd ) + Ks i dt dg (26) = Kh g − Ko gi − Ks g dt Los coeficientes Ki , Kg , Ks , Kh , K0 son constantes. a) Determine los puntos de equilibrio. b) Analize la estabilidad del sistema de ecuaciones. 21

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